Bài tập Hệ thức đường cao và hình chiếu

BÀI Cho tam giác ABC có AB = 3cm , BC = 4cm, AC = 5cm. Đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến của tam giác kẻ từ đình B chia tam giác thành bốn tam giác không có điểm trong chung. Tính diện tích của mỗi tam giác đó.
BÀI Một tam giác vuông có độ dài một cạnh bằng trung bình cộng của độ dài hai cạnh kia.
a) Độ dài ba cạnh của tam giác vuông đó tỉ lệ với ba số nào?
b) Nếu độ dài các cạnh của tam giác vuông đó là các số nguyên dương thì số nào trong các số sau có thể là độ dài một cạnh của tam giác đó : 17, 13, 35, 41, 22?
BÀI a) Một tam giác vuông có tỉ số các cạnh góc vuông bằng k. Tính tỉ số các hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
b) Tính độ dài hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền của một tam giác vuông, biết rằng tỉ số hai cạnh góc vuông bằng 5 : 4 và cạnh huyền dài 82cm.
BÀI Tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Tia phân giác của góc A cắt BD ở I. Biết tính diện tích tam giác ABC.
BÀI Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB : AC = 3 : 4 và AB + AC = 21cm
a) Tính các cạnh của tam giác ABC;
b) Tính độ dài các đoạn AH , BH , CH.
BÀI Trong một tam giác vuông tỉ số giữa đường cao và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh góc vuông bằng 40 : 41 . Tính độ dài các cạnh góc vuông của tam giác đó, biết cạnh huyền bằng  .
BÀI Cho tam giác ABC vuông tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác, M là trung điểm của BC.
a) Biết AB = 6cm, AC = 8cm. Tính 
b) Biết  . Ba cạnh của tam giác ABC tỉ lệ với ba số nào?
BÀI Chứng minh rằng trong một tam giác :
a) Bình phương của cạnh đối diện với góc nhọn bằng tổng bình phương của hai cạnh kia trừ đi hai lần tích của một trong hai cạnh ấy với hình chiếu của cạnh kia trên nó.
b) Bình phương của cạnh đối diện với góc tù bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia cộng với hai lần tích của một trong hai cạnh ấy với hình chiếu của cạnh kia trên nó.
BÀI Cho tam giác ABC có  , BC = 8cm, AB + AC = 12cm. Tính độ dài AB, AC.
BÀI Cho tam giác ABC, hai đường phân giác BD và CE cắt nhau tại  thỏa mãn  . Tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao
Bài tập 1: Cho tam giác ABC , biết AB = 27cm, BC = 45cm, AC=36cm. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Tính độ dài các đoạn thẳng AH, BH, CH.
Bài tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, gọi M là trung điểm của BC. Biết tam giác ABM là tam giác đều có cạnh bằng  cm. Tính diện tích tam giác ABC.
Bài tập 3: Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 25 cm, đường cao ứng với cạnh huyền bằng 12 cm. Tính cạnh nhỏ nhất của tam giác vuông đó.
Bài tập 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC. Chứng minh rằng. 
Bài tập 5: Trong một tam giác vuông, đường cao ứng với cạnh huyền chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng 54cm và 96cm. Tính độ dài cạnh huyền.
Bài tập 6: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm, các đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau. Tính độ dài BC.
Bài tập 7: Cho một tam giác vuông có đường cao thuộc cạnh huyền là 12cm và hiệu các hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền là 7cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác vuông.
Bài tập 8: Cho tam giác ABC, trực tâm H. Chứng minh hệ thức: 
Bài tập 9*: Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A. Kẻ các đường cao AH, BK, CI.
a. Chứng minh hệ thức: 
b. Chứng minh hệ thức: 
Xét trường hợp tam giác ABC là tam giác đều, từ đó suy ra công thức tính chiều cao của một tam giác đều ttheo các cạnh của nó
c. Một đường thằng qua C và song song với BK, cắt tia AB tại điểm M. Chứng minh rằng: AB = AI.AM
Bài tập 10*: Cho hình thang vuông ABCD có  và AD = DC (AB < DC). Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng DA và CB.
Chứng minh rằng  
Bài tập 11*: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, đường trung tuyến BM, đường phân giác CD đồng quy tại O.
a. Chứng minh rằng BH = AC.
b. Cho biết BC = x . Tính độ dài AB, AC theo x.
Bài tập 12*: Cho tam giác ABC có , Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE =1. Vẽ ED song song với AB ( D thuộc AC ).
Chứng minh rằng  =