Bài tập Góc có đỉnh ở bên trong, bên ngoài đường tròn

GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG, BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN 
************* 
Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là điểm 
chính giữa cung AB, E là điểm chính giữa cung AC. Dây DE cắt dây AB 
tại điểm M; dây DE cắt dây AC tại N. Chứng minh tam giác AMN là 
tam giác cân. 
Bài 2: Từ điểm P ở ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến PA với đường 
tròn và cát tuyến PBC. 
a) Chứng minh PA
2
=PB.PC. 
b) Đường phân giác trong của góc A cắt PB tại I. Chứng minh PAI 
cân tại P. 
Bài 3: Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến MA và 
cát tuyến MCB. Phân giác của góc BAC cắt BC tại D, cắt (O) tại N. 
Chứng minh: 
a) MA=MD 
b) MA
2
=MC.MB 
c) NB
2
=NA.ND. 
Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là một điểm 
trên cung AB. Qua D kẻ DD’//BC cắt AC tại F. Đường thẳng AD’ cắt 
BC tại E. 
a) So sánh các ABD và AEC; ABE và ADC. 
b) Chứng minh rằng: AD.AE=AB.AC. 
c) Chứng minh rằng: AFD đồng dạng với AD’B. 
Bài 5: Cho đường tròn (O) có đường kính AB. Vẽ bán kính OC vuông 
góc với AB tại O. Lấy E là điểm tùy ý trên bán kính OA (E khác O và 
A). Đường thẳng CE cắt đường tròn tại F. Tiếp tuyến tại F của (O) cắt 
AB tại D. Chứng minh DE=DF. 
Bài 6: Từ điểm P bên ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến PA với đường 
tròn. Qua trung điểm B của đoạn PA vẽ cát tuyến BCD với đường tròn. 
Các đoạn thẳng PC và PD cắt (O) tại E và F. Chứng minh: 
a) DCE DPE CAF  
b) AP//EF. 
Bài 7: Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O). 
a) Tính số đo các cung nhỏ AB, AC. 
b) Gọi D là điểm chính giữa cung AB, E là điểm chính giữa cung AC. 
Dây DE cắt AB, AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh APQ đều. 
Bài 8: Cho ABC vuông tại C nội tiếp (O); đường cao CH ( 45oB  ). 
a) Chứng minh rằng: CA CB . 
b) Trên cung CB lấy điểm D sao cho CD CA . Dây AD lần lượt cắt 
CH, CB tại E và F. Chứng minh EA=EF=EC. 
c) Chứng minh E là trực tâm của CAO. 
Bài 9: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các tia phân 
giác trong của góc A, góc B và góc C cắt nhau tại I và cắt (O) lần lượt 
tại D, E và F. 
a) Chứng minh BDI cân tại D và FBI cân tại F. 
b) Gọi P là giao điểm của AB và DF, Q là giao điểm của AC và DE. 
Chứng minh P, I và Q thẳng hàng. 
Bài 10: Cho đường tròn (O) và điểm S nằm ngoài đường tròn. Từ S vẽ 
hai tiếp tuyến SA, SA’ và cát tuyến SBC. Phân giác của góc BAC cắt 
BC tại D, cắt đường tròn tại E. Gọi H là giao điểm của OS và AA’. G và 
F lần lượt là giao điểm của OE và AA’ với BC. Chứng minh rằng: 
a) SA=SD. 
b) SA
2
=SF.SG. 
Bài 11: Cho ABC có phân giác AD. Vẽ đường tròn (O) đi qua A, D và 
tiếp xúc với BC tại D. Đường tròn này cắt AB, AC lần lượt tại E và F. 
Chứng minh rằng: 
a) EF//BC 
b) AD
2
=AE.AC 
c) AE.AC=AB.AF. 
Bài 12: Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R). Đường pphaan giác trong và 
ngoài của góc A cắt đường thẳng BC lần lượt tại D và E. Cho AD=AE 
và AB=1,4; AC=4,8. Tính bán kính R.