Bài tập Giải Tích 12 - Tính đơn điệu của hàm số

Giải Tích 12 Chương 1: Khảo Sát Hàm Số 
Gv: Lê Thái Dương : 01654565578 Trang 1 
BÀI: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
I. Lý Thuyết: 
1. Định nghĩa: 
Cho hàm số ( )f x xác định trên  ;a b 
 Hàm số ( )f x được gọi là đồng biến trên  ;a b nếu  1 2, ;x x a b  
1 2x x thì 1 2( ) ( )f x f x . 
 Hàm số ( )f x được gọi là nghịch biến trên  ;a b nếu  1 2, ;x x a b  
1 2x x thì 1 2( ) ( )f x f x . 
2. Định lý: 
Cho hàm số ( )y f x có đạo hàm trên  ;a b 
 Nếu  '( ) 0, ;f x x a b   thì hàm số ( )f x đồng biến trên  ;a b 
 Nếu  '( ) 0, ;f x x a b   thì hàm số ( )f x nghịch biến trên  ;a b 
3. Các bước khảo sát sự biến thiên của hàm số: 
 Tìm miền xác định. Tính '( )f x 
 Tìm các điểm tại đó '( ) 0f x  hoặc '( )f x không xác định. 
 Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. 
 Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. 
+ ' 0y  : hàm số đồng biến. 
+ ' 0y  : hàm số nghịch biến. 
4. Tìm tham số để hàm số đơn điệu trên miền K: 
Phương pháp: Sử dụng các kiến thức sau đây: 
1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. 
 Nếu f '(x) 0, x K   thì f(x) đồng biến trên K. 
 Nếu f '(x) 0, x K   thì f(x) nghịch biến trên K. 
2. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c có biệt thức 
2b 4ac   . Ta có: 
 
a 0
f (x) 0, x R
0

   
 
 
a 0
f (x) 0, x R
0

   
 
Giải Tích 12 Chương 1: Khảo Sát Hàm Số 
Gv: Lê Thái Dương : 01654565578 Trang 2 
3. Xét bài toán: “Tìm m để hàm số y = f(x,m) đồng biến trên K”. Ta thực hiện theo 
các bước sau: 
 B1. Tính đạo hàm f’(x,m). 
 B2. Lý luận: 
Hàm số đồng biến trên K f '(x,m) 0, x K    
 
 
K K
m g(x), x K m g(x)
m Maxg(x) m Maxg(x)
    
  
 B3. Lập BBT của hàm số g(x) trên K. Từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m. 
II. Bài Tập: 
Bài 1. Khảo sát chiều biến thiên của các hàm số sau: 
a) 22y x x  
b) 2 2 1y x x   
c) 3 22 3 1y x x   
d) 3 22 1y x x x    
e) 3 23 3 2y x x x    
f) 4 22 3y x x   
g) 4 22 2y x x    
h)    
2 2
1 1y x x   
i) 
1
1
x
y
x



j) 
5 2
3
x
y
x



k) 
2 2
1
x x
y
x
 


l) 
2 2 4
2
x x
y
x
 


m) 
2 1
1
x x
y
x
 


n) 
2
2
1
1
x x
y
x x
 

 
Bài 2. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau: 
a) 2 2 3y x x   
b) 3y x x   
c) 24y x x    
d) 3y x x 
Bài 3. Định m để các hàm số sau nghịch biến trên từng khoảng xác định: 
a) 3 2 10 3y x mx x     
b)  3 2
1
2 2 1 3 2
3
y x x m x m       
c) 
x m
y
x m



d) 
 1 2
2
m x
y
mx m
 

 
Bài 4. Định m để các hàm số sau đây đồng biến trên từng khoảng xác định: 
a) 
2 1
x m
y
x



 b) 
3 2
1
m x
y
x



Giải Tích 12 Chương 1: Khảo Sát Hàm Số 
Gv: Lê Thái Dương : 01654565578 Trang 3 
c) 
2 1
1
x mx
y
x
 


d) 2
1
m
y x
x
  

e) 
  21 2 6
1
m x mx m
y
x
  


Bài 5. Xét tính đơn điệu của hàm số sau: 
a) 2sin cos 2y x x  với  0;x  
b) sin 2 2cos 2y x x x   với ;
2 2
x
  
  
 
Bài 6. Chứng minh rằng: 
a) Hàm số 2siny x x  đồng biến trên R. 
b) Hàm số tany x x  nghịch biến trên từng khoảng xác định. 
c) Hàm số sin tan 2y x x x   đồng biến trên nửa khoảng 0;
2
 

 
. 
Bài 7. Định m để hàm số: 
a) 3 23 4y x x mx    đồng biến trên khoảng  ;0 . 
b) 3 2
1
(2 1) 2
3
y x m x mx     đồng biến trên khoảng  2; . 
c) 
4mx
y
x m



 đồng biến trên khoảng  ;1 . 
d) 
2 6 2
2
mx x
y
x
 


 nghịch biến trên nửa khoảng  1; . 
e) 3 2
1
( 1) (2 1) (3 2)
3
y m x m x m x m       nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 4. 
f) 3 2
1
( 1) ( 3) 4
3
y x m x m x       đồng biến trên khoảng có độ dài bằng 4. 
g) 3 23y x x mx m    nghịch biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn 2 2 .