Bài tập Giải tích 12 - Tích phân và các hàm số cơ bản

§ 5 TÍCH PHAÂN CAÙC HAØM SOÁ CÔ BAÛN 
TÍCH PHÂN TỰ LUẬN 
ĐỦ CÁC DẠNG V CÓ BI TẬP TỰ LUYỆN 
PHÂN THEO BI HỌC TRONG SGK 
CẦN FILE WORD 200 TRANG – GIÁ 300K. 
Liên hệ tác giả HUỲNH ĐỨC KHÁNH 
ĐT: 0975120189 
https://www.facebook.com/duckhanh0205 
 A. Các dạng toán... 00 
 Dạng 1. Tích phân hàm hữu tỷ..... 00 
 Dạng 2. Tích phân hàm vô tỷ.... 00 
 Dạng 3. Tích phân hàm lượng giác...... 00 
 Dạng 4. Tích phân hàm logarit..... 00 
 Dạng 5. Tích phân hàm số mũ...... 00 
 Dạng 6. Tích phân chứa trị tuyệt đối....... 00 
 Dạng 7. Tích phân chứa nhiều hàm số.... 00 
 B. Bài tập tương tự... 00 
 Dạng 1. Tích phân hàm hữu tỷ..... 00 
 Dạng 2. Tích phân hàm vô tỷ.... 00 
 Dạng 3. Tích phân hàm lượng giác...... 00 
 Dạng 4. Tích phân hàm logarit..... 00 
 Dạng 5. Tích phân hàm số mũ...... 00 
 Dạng 6. Tích phân chứa trị tuyệt đối....... 00 
 Dạng 7. Tích phân chứa nhiều hàm số.... 00 
 A. CAÙC DAÏNG TOAÙN 
DẠNG 1 TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ 
 Tích phân dạng 
( )
( )
d
P x
x
Q x∫ , với ( )P x và ( )Q x là những đa thức. Trong đó 
bậc của ( )P x nhỏ hơn bậc của ( )Q x . Ngược lại ta lấy ( )P x chia cho ( )Q x . 
Trong chương trình phổ thông ta xét các dạng sau: 
Bài toán 1. Mẫu là nhị thức bậc nhất ( ) ( ), 0Q x ax b a= + ≠ . 
Suy ra ( )P x là hằng số. 
Khi đó tích phân cần tính có dạng 
1 1
d . d . ln
A
x A x A ax b
ax b ax b a
= = +
+ +∫ ∫ . 
Bài 1. Tính các tích phân sau: 
a) 
1
0
2 1
d
1
x
I x
x
−
=
+∫ . b) 
2 2
0
3 5
d
1
x x
I x
x
+ +
=
+∫ . 
Lời giải 
a) Ta có 
( )1 1 1
0 0 0
2 1 32 1 3
2
1 1 1
xx
I dx dx dx
x x x
 + −− = = = −   + + +∫ ∫ ∫ 
 ( )
1
0
2 3 ln 1 2 3ln 2x x= − + = − . 
 Vậy 2 3ln 2I = − . 
b) Ta có 
2
3 5 3
2
1 1
x x
x
x x
+ +
= + +
+ +
. 
 Do đó 
2 22
0 0
3 5 3
2
1 1
x x
I dx x dx
x x
 + + = = + +   + +∫ ∫ 
2
2
0
2 3 ln 1 6 3ln 3
2
x
x x
  = + + + = +   
. 
 Vậy 6 3ln 3I = + . 
 Bài toán 2. Mẫu là tam thức bậc hai ( ) ( )2 , 0Q x ax bx c a= + + ≠ . 
Suy ra ( )P x là hằng số hay bậc nhất. 
● Trường hợp 2 0ax bx c+ + = có hai nghiệm phân biệt 
1 2
, x x thì phân tích 
( )
( ) 1 2
P x A B
Q x x x x x
= +
− −
. 
 Sau đó dùng phương pháp hệ số bất định để tìm A và B . 
● Trường hợp 2 0ax bx c+ + = có nghiệp kép 
0
x thì 
( )
( )
( )
( )20
P x P x
Q x a x x
=
−
 với 
0
2
b
x
a
=− . 
 ▪ Nếu ( )P x là hằng số thì 
( ) ( ) ( )2 2 00 0
1 1
d d .
A A A
x x
a a x xa x x x x
 −  = =    −− −  ∫ ∫
. 
 ▪ Nếu ( )P x là hàm bậc nhất thì 
( )
( )
( )
0 0
2 2
0 0
1
d d
A x x B AxAx B
x x
aa x x x x
− + ++
=
− −∫ ∫
 ( )
( )0 20 0
1 1 1
. d . dA x B Ax x
a x x x x
 
 = + + − −  
∫ ∫ . 
● Trường hợp 2 0ax bx c+ + = vô nghiệm thì 
( )
( )
( )
( )2
P x P x
Q x a x m n
=
+ +
 với , 0
2 4
b
m n
a a
∆
= =− > . 
 ▪ Nếu ( )P x là hằng số thì 
( ) ( )2 22 2
1
d d
A
x A x
a x m n a x m n
=
+ + + +∫ ∫
. 
 Đặt tan
n
x m t
a
+ = . 
 ▪ Nếu ( )P x là hàm bậc nhất thì 
( )
2 2
2
2 2d d
A Ab
ax b B
Ax B a ax x
ax bx c ax bx c
+ + −+
=
+ + + +∫ ∫ 
2
2
d
2
A ax b
x
a ax bx c
+
=
+ +∫ 
( )2 2
1
d
2
Ab
B x
a a x m n
 + −    + +∫
. 
Bài 2. Tính các tích phân sau: 
a) 
3
2
2
5 1
d
2
x
I x
x x
+
=
+ −∫ . b) 
1
2 3
2
0
d
1
x
I x
x
=
−∫ . 
Lời giải 
a) Ta có 
( )( )2
5 1 5 1
2 1 2
x x
x x x x
+ +
=
+ − − +
. 
 Ta phân tích 
( )( )
5 1
1 2 1 2
x A B
x x x x
+
= +
− + − +
( ) ( )
( )( )
( )
( )( )
2 1 2
1 2 1 2
A x B x A B x A B
x x x x
+ + − + + −
= =
− + − +
. 
 Đồng nhất hai vế ta được 
5 2
2 1 3
A B A
A B B
 + = =  ⇔  − = =  
. 
 Do đó ( )
3 3
3
2
2 2
2 3 2 ln 1 3 ln 2 3ln 5 4 ln 2
1 2
dx dx
I x x
x x
= + = − + + = −
− +∫ ∫ . 
 Vậy 3ln 5 4 ln 2I = − . 
b) Ta có 
1 1 1
2 2 2
2 2
0 0 0
1 1
1 8 1 8
x x
I xdx dx dx A
x x
= + = + = +
− −∫ ∫ ∫ . 
 Ta phân tích 
( ) ( )
( )( )2
1 1
1 1 1 1 1
A x B xx A B
x x x x x
+ + −
= + =
− − + − +
. 
 Đồng nhất hai vế ta được 
1 1
0 2
A B
A B
A B
 + = ⇔ = = − =
. 
 Khi đó 
1 1
2 2 1 1
2 2
0 0
0 0
1 1 1 1 1 1 1 3
ln 1 ln 1 ln
2 1 2 1 2 2 2 4
A dx dx x x
x x
= + = − + + =
− +∫ ∫ . 
 Vậy 
1 1 1 3
ln
8 8 2 4
I A= + = + . 
Bài 3. Tính các tích phân sau: 
a) 
1 5 4 3 2
2
0
2 3 3 3 3 19
d
2 3 5
x x x x x
I x
x x
− − − − −
=
− −∫ . b) 
3 4 2
2
2
3 2
1
x x
I dx
x
+ −
=
−∫ . 
Lời giải 
a) Ta có 
5 4 3 2
3
2 2
2 3 3 3 3 19 2 19
2 3 5 2 3 5
x x x x x x
x x
x x x x
− − − − − −
= + +
− − − −
. 
 Phân tích 
( )( )2
2 19 2 19
2 3 5 2 5 1 2 5 1
x x A B
x x x x x x
− −
= = +
− − − + − +
. 
 Đồng nhất hai vế ta được 4A=− , 3B = . 
 Do đó ( )
1 1 1
3
0 0 0
1 1
4 3
2 5 1
I x x dx dx dx
x x
= + − +
− +∫ ∫ ∫ 
1 14 2
0 0
3
2 ln 2 5 3ln 1 3ln 2 2 ln 3 2 ln 5
4 2 4
x x
x x= + − − + + = + − + . 
 Vậy 
3
3ln 2 2 ln 3 2 ln 5.
4
I = + − + 
b) Ta có 
4 2
2
2 2
3 2 2
3 4
1 1
x x
x
x x
+ −
= + +
− −
. 
 Do đó ( )
3 3 34 2
2
2 2
2 2 2
3 2 2
3 4
1 1
x x
I dx x dx dx
x x
+ −
= = + +
− −∫ ∫ ∫ . 
 ● ( ) ( )
3 3
2 3
2
2
3 4 4 23A x dx x x= + = + =∫ . 
 ● 
3 3
2
2
2
2 1 3
ln ln
1 1 2
x
B dx
x x
−
= = =
− +∫ . 
 Vậy 
3
23 ln
2
I A B= + = + . 
Bài 4. Tính các tích phân sau: 
a) 
( )
( )
21
2
0
1 1
d
1
x
I x
x
− +
=
+∫
. b) 
( )
1 3 2
2
0
3 3 1
d
1
x x x
I x
x
+ − +
=
+∫
. 
Lời giải 
a) Ta có 
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2 2 2
2 2 2
1 1 1 4 1 1 4 1 5
1 1 1
x x x x x
x x x
− + + − + + − + +
= =
+ + +
. 
 Do đó 
( )
( ) ( )
21 1 1 1
2 2
0 0 0 0
1 1 1 1
4 5
11 1
x
I dx dx dx dx
xx x
− +
= = − +
++ +∫ ∫ ∫ ∫
1
0
5
4 ln 1 7 4 ln 2
1
x x
x
 = − + − = −  +
. 
 Vậy 
7
4 ln 2
2
I = − . 
b) Ta có 
( )
( ) ( )
( )
33 2
2 2
1 6 1 63 3 1
1 1
x xx x x
x x
+ − + ++ − +
=
+ +
. 
 Do đó ( )
( )
1 1 1
2
0 0 0
1 1
1 6 6
1 1
I x dx dx dx
x x
= + − +
+ +∫ ∫ ∫
1
2
0
6 9
6 ln 1 6 ln 2.
2 1 2
x
x x
x
  = + − + − = −  + 
 Vậy 
9
6 ln 2.
2
I = − 
Bài 5. Tính các tích phân sau: 
a) 
2 3 2
2
0
2 4 9
d
4
x x x
I x
x
+ + +
=
+∫ . b) 
3 3
2
1
3 2 1
d
2 5
x x
I x
x x
+ −
=
− +∫ . 
Lời giải 
a) Ta có 
3 2
2 2
2 4 9 1
2
4 4
x x x
x
x x
+ + +
= + +
+ +
. 
 Do đó ( )
2 2
2
0 0
1
2
4
I x dx dx
x
= + =
+∫ ∫ 
2 22
2
00
2 6
2 4
x dx
x A
x
  = + + = +   +  ∫ . 
 Tính 
2
2
0
4
dx
A
x
=
+∫ . Đặt 2 tanx t= , suy ra ( )
22 1 tandx t dt= + . 
 Đổi cận: 
0 0
2
4
x t
x t
π
 = ⇒ = = ⇒ =
. 
 Suy ra 
( )24 4 4
2
00 0
2 1 tan
4 tan 4 2 2 8
t dt dt t
A
t
π π
π
π+
= = = =
+∫ ∫ . 
 Vậy 6 6
8
I A
π
= + = + . 
b) Ta có 
3
2 2
3 2 1 31
3 6
2 5 2 5
x x x
x
x x x x
+ − +
= + −
− + − +
. 
 Do đó ( )
3 3
2
1 1
31
3 6
2 5
x
I x dx dx
x x
+
= + −
− +∫ ∫ 
32 3
2
1
1
3 31
6 24
2 2 5
x x
x dx A
x x
  + = + − = −   − +  ∫ . 
 Tính 
( )
3
2
1
31
1 4
x
A dx
x
+
=
− +∫
. Đặt 
( )22 1 tan
1 2 tan
1 2 tan
dx t dt
x t
x t
 = +− = ⇒ = +
. 
 Đổi cận: 
1 0
3
4
x t
x t
π
 = ⇒ = = ⇒ =
. 
 Suy ra ( )
4
2
2
0
2 tan 32
2 1 tan
4 tan 4
t
A t dt
t
π
+
= +
+∫ 
 ( ) ( )
4
4
0
0
2
tan 16 ln cos 16 ln 4
2
t dt t t
π
π
π= + = − + =− +∫ . 
 Vậy 
2
24 24 4 ln .
2
I A π= − = − + 
Bài toán 3. Mẫu là đa thức bậc ba ( ) ( )3 2 , 0Q x ax bx cx d a= + + + ≠ . 
● Trường hợp 3 2 0ax bx cx d+ + + = có ba nghiệm phân biệt 
1 2 3
, , x x x thì 
phân tích 
( )
( ) 1 2 3
P x A B C
Q x x x x x x x
= + +
− − −
. 
● Trường hợp 3 2 0ax bx cx d+ + + = có một nghiệm đơn 
1
x và một nghiệm 
kép 
2
x thì phân tích 
( )
( )
( )
( )( ) ( )2 21 21 2 2
P x P x A B C
Q x x x x xa x x x x x x
= = + +
− −− − −
. 
● Trường hợp 3 2 0ax bx cx d+ + + = có nghiệm đơn duy nhất 
0
x thì phân 
tích 
( )
( )
( )
( )( ) 22 00
P x P x A Bx C
Q x x x ax mx nx x ax mx n
+
= = +
− + +− + +
. 
Bài 6. Tính các tích phân sau: 
a) 
( )
3
2
2
1
d
1
I x
x x
=
−∫ . b) ( )
4
2
3
1
d
4
x
I x
x x
+
=
−∫ . 
Lời giải 
a) Cách 1. Phương pháp hệ số bất định 
 Ta có 
( ) ( )( )2
1 1
1 1 1 11
A B C
x x x x x xx x
= = + +
− + − +−
. 
 Đồng nhất hau vế ta được 
1 1
1, , 
2 2
A B C=− = = . 
 Do đó 
( ) ( )
3
2
1 1 1
2 1 2 1
I dx
x x x
  = − + +   − + 
∫ 
3ln 1 ln 1 5 3
ln ln 2 ln 3
22 2 2 2
x x
x
 − + = − + + = − 
 
. 
 Cách 2. Phương pháp ghép và tách (thêm bớt) 
 Ta có 
( )
( )
( )
2 2
22 2
11 1
11 1
x x x
x xx x x x
− −
= = −
−− −
. 
 Do đó 
3 3 3
2
2
2 2
1
ln ln 3 ln 2.
1
xdx
I dx A x A
x x
= − = − = − +
−∫ ∫ 
 Tính 
3
2
2
1
xdx
A
x
=
−∫ . Đặt 
2
1t x= − , suy ra 
1
2
2
dt xdx xdx dt= ⇒ = . 
 Đổi cận: 
2 3
.
3 8
x t
x t
 = ⇒ = = ⇒ =
 Suy ra 
8 8
3
3
1 1 1 1 3 1
ln ln 8 ln 3 ln 2 ln 3
2 2 2 2 2 2
dt
A t
t
= = = − = −∫ . 
 Vậy 
5 3
ln 3 ln 2 ln 2 ln 3
2 2
I A= − + = − . 
b) Ta có 
( ) ( )( )2
1 1
2 2 2 24
x x A B C
x x x x x xx x
+ +
= = + +
− + − +−
. 
 Đồng nhất hai vế ta được 
1 3 1
, , 
4 8 8
A B C=− = =− . 
 Do đó 
( ) ( )
4
3
1 3 1
4 8 2 8 2
I dx
x x x
 
 = − + − − +  
∫ 
4
3
ln 3 ln 2 ln 2 1 1 1
ln 2 ln 3 ln 5.
4 8 8 4 8 8
x x x − +  = − + − =− + +   
 Vậy 
1 1 1
ln 2 ln 3 ln 5.
4 8 8
I =− + + 
Bài 7. Tính các tích phân sau: 
a) 
( )( )
3 2
2
2
5 5
d
1 2
x x
I x
x x
− + +
=
− +∫
. b) 
( )( )
3 2
2
2
3 5
d
1 2
x x
I x
x x
+ +
=
− +∫ . 
Lời giải 
a) Ta có 
( )( ) ( )
2
2 2
5 5
1 21 2 2
x x A B C
x xx x x
− + +
= + +
− +− + +
. 
 Đồng nhất hai vế ta được 1, 2, 3A B C= =− = . 
 Do đó 
( )
3 3 3
2
2 2 2
2 3
1 2 2
dx dx dx
I
x x x
= − +
− + +∫ ∫ ∫
3
2
3 3
ln 1 2 ln 2 5ln 2 2 ln 5.
2 20
x x
x
 = − − + − = + −  +
 Vậy 
3
5 ln 2 2 ln 5
20
I = + − . 
b) Ta có 
( )( ) ( )( )( )
2 2
2
3 5 3 5
1 1 2 1 1 21 2
x x x x A B C
x x x x x xx x
+ + + +
= = + +
− + + − + +− +
. 
 Đồng nhất hai vế ta được 
3 3
, , 1
2 2
A B C= =− = . 
 Do đó 
( ) ( )
3
2
3 3 1
2 1 2 1 2
I dx
x x x
 
 = − + − + +  
∫ 
3
2
3ln 1 3 ln 1 7 ln 2 3ln 3 2 ln 5
ln 2 .
2 2 2
x x
x
 − + − + + = − + + =   
. 
 Vậy 
7 ln 2 3ln 3 2 ln 5
.
2
I
− + +
= 
Bài 8. Tính các tích phân sau: 
a) 
5 2
3 2
4
3 1
d
2 5 6
x
I x
x x x
+
=
− − +∫ . b) 
5 4
3 2
3
2 5
d
6 12 8
x x
I x
x x x
+ −
=
− + −∫ . 
Lời giải 
a) Ta có 
( )( )( )
2 2
3 2
3 1 3 1
2 5 6 2 3 1 2 3 1
x x A B C
x x x x x x x x x
+ +
= = + +
− − + + − − + − −
. 
 Đồng nhất hai vế ta được 
13 14 2
, , 
15 5 3
A B C= = =− . 
 Do đó 
5
4
13 1 14 1 2 1
. . .
15 2 5 3 3 1
I dx
x x x
 
 = + −
 + − − 
∫ 
5
4
13 14 2
ln 2 ln 3 ln 1
15 5 3
2 4 13 7 14
ln ln ln 2.
3 3 15 6 5
x x x
 = + + − − −   
=− + +
 Vậy 
2 4 13 7 14
ln ln ln 2.
3 3 15 6 5
I =− + + 
b) Ta có 
4 2
3 2 3 2
2 5 24 62 43
6
6 12 8 6 12 8
x x x x
x
x x x x x x
+ − − +
= + +
− + − − + −
. 
 Do đó ( )
5 5 2
3 2
3 3
24 62 43
6
6 12 8
x x
I x dx dx
x x x
− +
= + =
− + −∫ ∫ 
( )
5 52 2
3
33
24 62 43
6 20 .
2 2
x x x
x dx A
x
  − + = + + = +    −∫
 Tính 
( )
5 2
3
3
24 62 43
2
x x
A dx
x
− +
=
−∫
. Đặt 2 .
2
dt dx
t x
x t
 == − ⇒ = +
 Đổi cận: 
3 1
5 3
x t
x t
 = ⇒ = = ⇒ =
. 
 Suy ra 
( ) ( )23 3 2
3 3
1 1
24 2 62 2 43 24 34 15t t t t
A dt dt
t t
+ − + + + +
= =∫ ∫ 
33
2 3 2
1 1
24 34 15 34 15 88
24 ln 24 ln 3
2 3
dt t
t t t t t
     = + + = − − = +       ∫ . 
 Vậy 
148
20 24 ln 3 .
3
I A= + = + 
Bài toán 4. Mẫu là đa thức có bậc lớn hơn 4 . 
Bài 9. Tính các tích phân sau: 
a) 
( )
1
2
2
0
d
3 2
x
I
x x
=
+ +
∫ . b) 
1
4 2
0
d
4 3
x
I
x x
=
+ +∫ . 
Lời giải 
a) Ta có 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22
1 1
1 21 2 1 23 2
A B C D
x xx x x xx x
= = + + +
+ ++ + + ++ +
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2
1 2 2 1 2 1
1 2
A x x B x C x x D x
x x
+ + + + + + + + +
=
+ +
. 
 Đồng nhất hai vế ta được 
0 2
5 4 0 1
8 4 5 2 0 2
4 4 2 1 1
A C A
A B C D B
A B C D C
A B C D D
 + = =−    + + + = = ⇔  + + + = =   + + + = =  
. 
 Do đó 
( ) ( )
1 1 1 1
2 2
0 0 0 0
2 2
1 21 2
dx dx dx dx
I
x xx x
=− + + +
+ ++ +∫ ∫ ∫ ∫
1
0
1 1 2
2 ln 1 2 ln 2 4 ln 2 2 ln 3
1 2 3
x x
x x
 = − + − + + − = − +  + +
. 
 Vậy 
2
4 ln 2 2 ln 3.
3
I = − + 
b) Ta có 
( )( )4 2 2 22 2
1
4 3 1 31 3
dx Ax B Cx D
x x x xx x
+ +
= = +
+ + + ++ +
. 
 Đồng nhất hai vế ta được 
0
0
0
1
3 0
2
3 1
A C
A C
B D
A C B D
B D
 + =  = =  + = ⇔  + = = =   + =
. 
 Do đó 
( )( )
1 1 1
2 22 2
0 0 0
1 1 1 1
2 1 2 3 2 21 3
dx dx dx
I A B
x xx x
= = − = −
+ ++ +∫ ∫ ∫ . 
 ● Tính 
1
2
0
1
dx
A
x
=
+∫ . Đặt tanx t= , suy ra ( )
21 tandx t dt= + . 
 Đổi cận: 
0 0
1
4
x t
x t
π
 = ⇒ = = ⇒ =
. Suy ra 
4 42 0
2
40 0
1 tan
.
1 tan 4
t
A dt dt t
t
π π
π
π+
= = = =
+∫ ∫ 
 ● Tính 
1
2
0
3
dx
B
x
=
+∫ . Đặt 3 tanx t= , suy ra ( )
23 1 tandx t dt= + . 
 Đổi cận: 
0 0
1
6
x t
x t
π
 = ⇒ = = ⇒ =
. 
 Suy ra 
( )26 6 6
2
00 0
3 1 tan 1 1
.
3 3 tan 3 3 6 3
t
B dt dt t
t
π π
π
π+
= = = =
+∫ ∫ 
 Vậy 
1 1 1 1
.
2 2 8 12 3
I A B π
 = − = −   
Bài 10. Tính các tích phân sau: 
a) 
( )
2 7
7
1
1
d
1
x
I x
x x
−
=
+∫ . b) ( )
2 2011
1007
2
1
d
1
x
I x
x
=
+
∫ . 
Lời giải 
a) Ta có 
( )
( )
( )
7 62 27
7 7 7
1 1
11
1 1
x xx
I dx dx
x x x x
−−
= =
+ +∫ ∫ . 
 Đặt 7t x= , suy ra 6 6
1
7
7
dt x dx x dx dt= ⇒ = . Đổi cận: 
1 1
2 128
x t
x t
 = ⇒ = = ⇒ =
. 
 Do đó 
( ) ( )
128 128 128
1 1 1
1 1 1 1 2 1 1 2
7 1 7 1 7 1
t t t
I dt dt dt
t t t t t t
 − + − = = = −   + + +∫ ∫ ∫ 
 ( )
128
1
1 ln128 2 ln129 2 ln 2 9 ln 2 2 ln129
ln 2 ln 1
7 7 7
t t
− + −
= − + = = . 
 Vậy 
9 ln 2 2 ln129
.
7
I
−
= 
b) Ta có 
( ) ( )
2 2 22011 2014
1007 1007 1007
2 3 2
31 1 1
2
1
11 1
1
x x
I dx dx dx
x x x
x
x
= = =
 + +  +   
∫ ∫ ∫ . 
 Đặt 
2
1
1t
x
= + , suy ra 
3 3
2 1
2
dx
dt dx dt
x x
=− ⇒ =− . 
 Đổi cận: 
1 2
5
2
4
x t
x t
 = ⇒ = = ⇒ =
. 
 Do đó 
5
224 1006
1007 1007 1006 1006 1006
5
52
4
4
1 1 1 1 4
2 2 2012 2012.2 2012.5
dt dt
I
t t t
=− = =− =− +∫ ∫ . 
 Vậy 
1006
1006 1006
1 4
.
2012.2 2012.5
I =− + 
DẠNG 2 TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ 
Bài toán 1. Dạng ( ) ( )( ), , dn mR x f x f x x∫ . 
Phương pháp: Đặt ( )kt f x= với k là bội chung nhỏ nhất của m và n . 
Bài 1. Tính các tích phân sau: 
a) 
64
3 2
1
dx
I
x x
=
+
∫ . b) 
0
3
1
1 1
d
1 1
x
I x
x−
− +
=
+ +∫ . 
Lời giải 
a) Đặt 66t x t x= ⇒ = , suy ra 56t dt dx= . 
 Đổi cận: 
1 1
64 2
x t
x t
 = ⇒ = = ⇒ =
. 
 Khi đó 
2 2 25 2
4 3
1 1 1
6 6 6
6 6
1 1
t dt t dt
I t dt
t t t t
 = = = − +   + + +∫ ∫ ∫ 
 ( )
2
2
1
3
3 6 6 ln 1 3 6 ln .
2
t t t= − + + = + 
 Vậy 
3
3 6 ln .
2
I = + 
b) Đặt 66 1 1t x t x= + ⇒ = + , suy ra 56t dt dx= . 
 Đổi cận: 
1 0
0 1
x t
x t
 =− ⇒ = = ⇒ =
. 
 Khi đó 
1 13 8 5
5
2 2
0 0
1 6 6
.6
1 1
t t t
I t dt
t t
− − +
= =
+ +∫ ∫ 
1
6 4 3 2
2 2
0
1 1 17 5 4
3 2
2 2
0 00
6 6
6 6 6 6 6 6
1 1
6 6 3 1
2 3 6 6 6
7 5 2 1 1
199
6 6 .
70
t
t t t t t dt
t t
t t t t
t t t dt dt
t t
A B
 = − + + − − + + −   + +
  = − + + − − + + −   + + 
= + −
∫
∫ ∫ 
 ● Tính 
1
2
0
1
t
A dt
t
=
+∫ . Đặt 
2
1u t= + , suy ra 2
2
du
du tdt tdt= ⇒ = . 
 Đổi cận: 
0 1
1 2
t u
t u
 = ⇒ = = ⇒ =
. Suy ra 
2 2
1
1
1 1 1
ln ln 2.
2 2 2
du
A u
u
= = =∫ 
 ● Tính 
1
2
0
1
1
B dt
t
=
+∫ . Đặt tant u= , suy ra ( )
21 tandt u du= + . 
 Đổi cận: 
0 0
1
4
t u
t u
π
 = ⇒ = = ⇒ =
. Suy ra 
( )24 4
4
2
0
0 0
1 tan
.
tan 1 4
u
B du du u
u
π π
π
π+
= = = =
+∫ ∫ 
 Vậy 
199 199 3
6 6 3 ln 2 .
70 70 2
I A B
π
= + − = + − 
Bài toán 2. Dạng thường gặp ( ) ( )( ) ( ), . ' dnR f x f x f x x∫ . 
Phương pháp: 
 + Đặt ( )nt f x= . 
 + Đổi cận và suy ra tích phân theo biến t . 
Bài 2. Tính các tích phân sau: 
a) 
2
2 3
0
1dI x x x= +∫ . b) 
0
3
1
 1dI x x x
−
= +∫ . 
Lời giải 
a) Đặt 3 2 31 1t x t x= + ⇒ = + , suy ra 2 2
2
2 3
3
tdt x dx tdt x dx= ⇒ = . 
 Đổi cận: 
0 1
2 3
x t
x t
 = ⇒ = = ⇒ =
. 
 Vậy 
33 3
2
11
2 2 52
3 9 9
t
I t dt= = =∫ . 
b) Đặt 33 1 1t x t x= + ⇒ = + , suy ra 
2
3
3
1
t dt dx
x t
 = = −
. 
 Đổi cận: 
1 0
0 1
x t
x t
 =− ⇒ = = ⇒ =
. 
 Vậy ( ) ( )
11 1 7 4
3 2 6 3
00 0
9
1 .3 3 3
7 4 28
t t
I t t t dt t t dt
  = − = − = − =−  ∫ ∫ . 
Bài 3. Tính các tích phân sau: 
a) ( )( )
1
2 2
0
1 2 2 2 2d .I x x x x x x= + + + + +∫ b) 
1
3 2
0
4d .I x x x= +∫ 
Lời giải 
 a) Đặt 2 2 22 2 2 2t x x t x x= + + ⇒ = + + , suy ra ( )1tdt x dx= + . 
 Đổi cận: 
0 2
1 5
x t
x t
 = ⇒ = = ⇒ =
. 
 Vậy 
55 5 5
2 4
22 2
25 5 4 2
. . .
5 5
t
I t t tdt t dt
−
= = = =∫ ∫ 
b) Đặt 2 2 24 4t x t x= + ⇒ = + , suy ra 
2 2 4
tdt xdx
x t
 = = −
. 
 Đổi cận: 
0 2
1 5
x t
x t
 = ⇒ = = ⇒ =
. 
 Khi đó ( )
1 1 5
3 2 2 2 2
0 0 2
4 4. 4 .I x x dx x x xdx t t tdt= + = + = −∫ ∫ ∫ 
 ( )
5 5 3 5
4 2
2
2
4 5 5 64
4 .
5 3 3 15
t t
t t dt
  = − = − =− +   ∫ 
 Vậy 
5 5 64
.
3 15
I =− + 
Bài 4. Tính các tích phân sau: 
a) 
2
2
1
1
3 dI x x
x
= +∫ . b) 
1
0
2 1 1
d
3
x x
I x
x
− +
=
+∫ . 
Lời giải 
a) Ta có 
2 2 23 2 3
2 3
1 1 1
1 3 1 3 1
3
x x x
I x dx dx dx
x x x
+ +
= + = =∫ ∫ ∫ . 
 Đặt 3 2 33 1 3 1t x t x= + ⇒ = + , suy ra 
22
2
23
3
2
2 9
9
1
1
3
3
tdt x dxtdt x dx
t
tx
x
  ==   ⇒ −  −=  =  
. 
 Đổi cận: 
1 2
2 5
x t
x t
 = ⇒ = = ⇒ =
. 
 Khi đó 
55 52
2 2
2 2 2
2 2 1 2 1 1 1
1 ln 2 ln 2.
3 1 3 1 3 2 1 3
t t
I dt dt t
t t t
   −  = = + = + = +     − − + ∫ ∫ 
 Vậy 
1
2 ln 2.
3
I = + 
b) Đặt 21 1t x t x= − ⇒ = − , suy ra 
2 2
2 2
1 1
tdt dx tdt dx
x t x t
 =− − =  ⇒  = − = −  
. 
 Đổi cận: 
0 1
1 0
x t
x t
 = ⇒ = = ⇒ =
. 
 Khi đó 
( )20 1 4 2
2 2
1 0
2 1 1 4 4 2
.2
4 4
t t t t t
I tdt dt
t t
− + − + +
=− =
− −∫ ∫ 
( )( )
1 1
2 2
0 0
1
3
0
2 48 11 13
4 12 4 12
2 2 2 2
4 40
12 11ln 2 13 ln 2 2 ln 2 13 ln 3.
3 3
t
t dt t dt
t t t t
t
t t t
   −  =  + + = + − −     − + − + 
  = + + − − + = + −   
∫ ∫
 Vậy 
40
2 ln 2 13 ln 3.
3
I = + − 
Bài 5. Tính các tích phân sau: 
a) 
3
2 3
2
0
2
d
1
x x
I x
x
−
=
−
∫ . b) 
2 2
2 2
3
d
1 1
x
I x
x x
=
− + +
∫ . 
Lời giải 
a) Ta có 
( )
3 3
22 23
2 2
0 0
22
1 1
x xx x
I dx dx
x x
−−
= =
− −
∫ ∫ . 
 Đặt 2 2 21 1t x t x= − ⇒ = − , suy ra 
2 2 2 2
2 2
1 1
tdt xdx tdt xdx
x t x t
 =− − =  ⇒  = − = −  
. 
 Đổi cận: 
0 1
3 1
2 2
x t
x t
 = ⇒ =
 = ⇒ =
. 
 Khi đó 
( ) ( )
1 1
22 2 13
2 2
1
1 1
1 19
1
3 24
t t
I tdt t dt t
t
 − −  =− = + = + =−   ∫ ∫ . 
 Vậy 
19
.
24
I =− 
b) Đặt 2 2 21 1t x t x= + ⇒ = + , suy ra 
2 2 2 2
2 2
1 1
tdt xdx tdt xdx
x t x t
 = =  ⇒  = − = −  
. 
 Đổi cận: 
3 2
.
2 2 3
x t
x t
 = ⇒ = = ⇒ =
 Khi đó 
( )( )
3 3 3
2
2 2 2
1 1 2
2 1 2 3 1 2
t t
I dt dt dt
t t t t t t
 
 = = = +
 − + − + − + 
∫ ∫ ∫ 
 ( ) ( )
3
2
1 1
ln 1 2 ln 2 2 l