Bài tập Giải tích 12 - Các phép biến hình trong mặt phẳng - Nguyễn Hữu Biển

Chương 1: CÁC PHẫP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG 
Giỏo viờn : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 1 
O
b
a
y'
y
x'x
M'
M
Chương I: PHẫP DỜI HèNH VÀ PHẫP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG 
BÀI HỌC 1: PHẫP TỊNH TIẾN 
I. TểM TẮT Lí THUYẾT
1. Định nghĩa:
Phộp tịnh tiến theo v (a;b)=


 là phộp biến hỡnh, biến điểm M thành M’ sao cho MM' v=

 

Ký hiệu: ( )
v
T M M '=
 hoặc 
v
T : M M'→
 
2. Tớnh chất
ĐỊNH Lí 1 
Nếu phộp tịnh tiến biến hai điểm M và N lần lượt thành hai điểm M’ và N’ thỡ M′N′=MN.
ĐỊNH Lí 2
Phộp tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và khụng làm thay đổi thứ tự
ba điểm đú.
HỆ QUẢ
- Phộp tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trựng với nú.
- Phộp tịnh tiến biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng với nú.
- Phộp tịnh tiến biến tam giỏc thành tam giỏc bằng nú.
- Phộp tịnh tiến biến đường trũn thành đường trũn bằng nú.
- Phộp tịnh tiến biến gúc thành gúc bằng nú.
3. Biểu thức tọa độ của phộp tịnh tiến
Trong mặt phẳng tọa độ với hệ tọa độ Oxy, cho
( ) ( ) ( )v a;b ;M x;y ;M' x';y '=
 . 
Khi đú phộp tịnh tiến : ( )
v
T M M '=
 cú biểu thức tọa 
độ là : 
x' x a
y ' y b
= +

= +
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
DẠNG 1: Xỏc định ảnh của một điểm hoặc một hỡnh
qua phộp tịnh tiến bằng tớnh toỏn
Bài 1: v ( 1;2);A(3;5);B( 1;1);d : x 2y 3 0= − − − + =


1. Tỡm tọa độ cỏc điểm A’, B’ theo thứ tự là ảnh của A, B qua phộp tịnh tiến v


2. Tỡm tọa độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phộp tịnh tiến v


3. Tỡm phương trỡnh đường thẳng d’ là ảnh của d qua phộp tịnh tiến v


Hướng dẫn: 
1. A' A v
v
A' A v
x x x 3 1 2
T (A) A' A'(2;7)
y y y 5 2 7
= + = − =
= ⇒ ⇒
= + = + =






Tương tự cú : B’(-2;3) 
v


M
M’ 
Tỡm tài liệu Toỏn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Chương 1: CÁC PHẫP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG 
Giỏo viờn : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 2 
2. A C v C C
v
A C C Cv
x x x 3 x 1 x 4
T (C) A C(4;3)
y y y 5 y 2 y 3
= + = − = 
= ⇒ ⇔ ⇔ ⇒  
= + = + =  






3. 
Cỏch 1: Giả sử 
v
x' x 1 x x' 1
M(x;y) d,T (M) M '(x';y ') d'
y ' y 2 y y ' 2
= − = + 
∈ = ∈ ⇒ ⇒ 
= + = − 


M(x' 1;y ' 2) d x' 2y ' 8 0⇒ + − ∈ ⇒ − + =
Vậy : d’ cú phương trỡnh: x - 2y + 8 = 0
Cỏch 2: 
v
T (d) d' d'/ /d d' : x 2y c 0= ⇒ ⇒ − + =

+ Chọn M(-3;0) M'
v
M'
x 3 1 4
d T (M) M' M'( 4;2)
y 0 2 2
= − − = −
∈ ⇒ = ⇒ ⇒ −
= + =


+ M' d' 4 2.2 c 0 c 8 d' : x 2y 8 0∈ ⇒ − − + = ⇔ = ⇒ − + =
Bài 2: d cắt Ox tại A(-4;0), cắt Oy tại B(0;5). Hóy viết phương trỡnh tham số của d’ là ảnh của d 
qua phộp tinh tiến v (5;1)=


Hướng dẫn: 
+ Chọn dU AB (4;5)= =

 

+ Vỡ d' d
v
T (d) d' U U (4;5)= ⇒ = =


 

+ Gọi A' A
v
A' A
x x 5 1
T (A) A' A'(1;1)
y y 1 1
= + =
= ⇒ ⇒
= + =


+ Vỡ (t R)
x 1 4t
A d A' d' d' :
y 1 5t
= +
∈ ⇒ ∈ ⇒ ∈
= +
Bài 3: 
1. Cho ( ) ( )2 2(C) : x 2 y 1 4− + − = . Tỡm ảnh của đường trũn (C) qua phộp tịnh tiến v ( 2;2)= −

2. Cho 2 2(C) : x y 2x 4y 4 0+ − + − = . Tỡm ảnh của đường trũn (C) qua phộp tịnh tiến v ( 2;3)= −


Hướng dẫn: 
1. 
Cỏch 1: 
+ (C) cú tõm I(2;1); bỏn kớnh R = 2
+ C'vT (C) C' R R 2= ⇒ = =

+ 
I' I
v
I' I
x x ( 2) 0
T (I) I ' I '(0;3)
y y 2 3
= + − =
= ⇒ ⇒
= + =


+ Vậy ( ) ( )2 2(C') : x 0 y 3 4− + − =
Cỏch 2: 
+ Gọi ( )
v
x' x 1 x x' 2
T M(x;y) (C) M'(x';y ') (C') M(x' 2;y ' 2)
y ' y 2 y y ' 2
= − = + 
∈ = ∈ ⇒ ⇒ ⇒ + − 
= + = − 


+ ( ) ( )2 22 2M (C) x' y ' 3 4 (C') : x y 3 4∈ ⇒ + − = ⇒ + − =
2. Tương tự ta cú ( ) ( )2 2(C') : x 1 y 1 9+ + − =
Tỡm tài liệu Toỏn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Chương 1: CÁC PHẫP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG 
Giỏo viờn : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 3 
Bài 4: Cho A(2;3);B(1;1);v (3;1)=


. Tỡm tọa độ A’, B’ tương ứng là ảnh của A, B qua 
v
T
 . Tớnh 
độ dài cỏc vectơ AB;A'B'

 

Hướng dẫn: 
+ 
A' A
v
A' A
x x 3 2 3 5
T (A) A' A'(5;4)
y y 1 3 1 4
= + = + =
= ⇒ ⇒
= + = + =


+ Tương tự ta cú: B’(4;2)
+ ( ) ( )2 2B A B AAB x x y y 5 A'B' AB 5= − + − = ⇒ = =
 
 
 (tớnh chất phộp tịnh tiến) 
Bài 5: Cho U (1;3);V (2;1);M(x;y)= =

 

1. Tỡm tọa độ của 1M là ảnh của M qua UT

2. Tỡm tọa độ của M' là ảnh của 1M qua VT

3. Tớnh tọa độ vectơ MM'


. So sỏnh MM'


 và vectơ t u v= +

 
 

Hướng dẫn: 
1. 1
1
M M
1
M M
x x 1 x 1
M (x 1;y 3)
y y 3 y 3
= + = +
⇒ + +
= + = +
2. 1
1
M' M
M' M
x x 2 x 3
M'(x 3;y 4)
y y 1 y 4
= + = +
⇒ + +
= + = +
3. Cú
MM' (3;4)
MM' t
t u v (3;4)
 =
⇒ =
= + =



 


 
 

Bài 6: Giải bài toỏn sau bằng cỏch sử dụng phộp tịnh tiến: 
“Xỏc định tọa độ cỏc đỉnh C và D của hỡnh bỡnh hành ABCD, biết A(-1;0); B(0;4) và giao điểm 
cỏc đường chộo là I(1;1)” 
Hướng dẫn: 
+ Ta cú : C I I AAI
C I I A
x x (x x ) 3
T (I) C C(3;2)
y y (y y ) 2
= + − =
= ⇒ ⇒
= + − =


+ Tương tự: D(2;-2)
Bài 7: Cho 1v ( 2;1);d : 2x 3y 3 0;d : 2x 3y 5 0= − − + = − − =


1) Viết phương trỡnh 
v
d' T (d)= 

2) Tỡm tọa độ w


 cú phương vuụng gúc với d để 
w1d T (d)= 
 
Hướng dẫn: 
1) Đỏp số: d’: 2x - 3y + 10 = 0
2) 
w


d1
d
M 
M’ 
D C
I(1;1)
B(0;4)A(-1;0)
Tỡm tài liệu Toỏn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Chương 1: CÁC PHẫP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG 
Giỏo viờn : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 4 
+ Vỡ w


 cú phương vuụng gúc với d nờn ( )w dk.n k.2;k.( 3)= = −
 

+ Chọn w
w
w
M' M
1
M' M
x x x 2k
M(0;1) d T (M) M' d M'(2k; 3k 1)
y y y 3k 1
= + =
∈ ⇒ = ∈ ⇒ ⇒ − +
= + = − +






+ w1
8 16 24M' d 2.(2k) 3.( 3k 1) 5 0 k ;
13 13 13
 
∈ ⇒ − − + − = ⇔ = ⇒ = − 
 


Bài 8: Cho (d): 3x - y - 9 = 0. Tỡm phộp tịnh tiến theo phương song song với trục Ox biến d 
thành d’ đi qua gốc tọa độ. Hóy viết phương trỡnh d’. 
Hướng dẫn: 
+ Giả sử
v
T (d) d' d'/ /d d' : 3x y c 0= ⇒ ⇒ − + =

+ Vỡ d’ đi qua gốc tọa độ 3.0 0 c 0 c 0 d' : 3x y 0⇒ − + = ⇔ = ⇒ − =
+ Do v


 cú phương song song với Ox v (a;0)⇒ =


+ Chọn M(3;0) M' M v
v
M' M v
x x x 3 a
d T (M) M' d' M'(3 a;0)
y y y 0 0
= + = +
∈ ⇒ = ∈ ⇒ ⇒ +
= + = +






+ M' d' 3.(3 a) 0 0 a 3 v ( 3;0)∈ ⇒ + − = ⇔ = − ⇒ = −


Vậy phộp tịnh tiến cần tỡm là 
v
T
 với v ( 3;0)= −


Bài 9: Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho parabol (P): 2y ax= . Gọi T là phộp tịnh tiến theo vectơ 
u (m;n)=


 và (P’) là ảnh của (P) qua phộp tinh tiến đú. Hóy viết phương trỡnh của (P’) 
Hướng dẫn 
+ Gọi 
u
x ' x m x x ' m
M(x; y) (P),M '(x '; y ') T (M) M(x ' m; y ' n)
y ' y n y y ' n
= + = − 
∈ = ⇒ ⇒ ⇒ − − 
= + = − 


+ Mà 2 2 2M (P) y ' n a(x ' m) y ' ' 2amx ' am nax∈ ⇒ − = − ⇒ = − + +
+ Mặt khỏc ta cú 2 2M '(x '; y ') (P ') (P ') : y 2amx am nax∈ ⇒ = − + +
Bài 10: Cho đường thẳng : 6x 2y 1 0∆ + − = . Tỡm vec tơ u 0≠

 

 để 
u
T ( )∆ = ∆

Hướng dẫn 
+ Ta cú VTCP của đường thẳng ∆ là U (2; 6) 2(1; 3)∆ = − = −


+ Do
u
T ( )∆ = ∆
 u⇒


 cựng phương với U∆


⇒ chọn u (1; 3)= −


Bài 11: Cho A( 5;2),C( 1;0)− − . Biết 
u v
B T (A),C T (B)= =
 
 . Tỡm mối quan hệ giữa u


 và v


 để cú 
thể thực hiện phộp tịnh tiến biến đổi A thành C 
Hướng dẫn 
+ Ta cú 
u v u v
T (A) B AB u,T (B) C BC v T (A) C AC u v (4; 2)
+
= ⇒ = = ⇒ = ⇒ = ⇒ = + = −
 
 
 


 
 
 
 
 
 

+ vu
v
u
C
B
A
Tỡm tài liệu Toỏn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Chương 1: CÁC PHẫP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG 
Giỏo viờn : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 5 
Bài 12: Cho 3 điểm K(1;2),M(3; 1), N(2; 3)− − và 2 vec tơ u (2;3), v ( 1;2)= = −

 

. Tỡm ảnh của K, 
M, N qua phộp tịnh tiến 
u
T
 rồi 
v
T
 . 
Hướng dẫn 
+ Theo cỏch làm Bài 11, ta cú: 
u v
K ' T (K) K '(2;7)
+
= ⇒
 
 . Tương tự: M '(4;4), N '(3;2)
Bài 13: Cho ABC,A(3;0), B( 2;4),C( 4;5)∆ − − . G là trọng tõm ABC∆ và phộp tịnh tiến theo 
vectơ u 0≠

 

 biến A thành G. Tỡm 
u
G ' T (G)= 

Hướng dẫn 
+ Ta tớnh được :
AG ( 4;3) AG ( 4;3)G( 1;3) T (A) G T (G) G ' G '( 5;6)= − = −− ⇒ = ⇒ = ⇒ −
 

Bài 14: Cho đường trũn 2 2 2(C) : (x 1) (y 3) 4, (C ') : x y 10x 4y 25 0− + + = + − + + = . Cú hay 
khụng phộp tịnh tiến vec tơ u


 biến (C) thành (C’). 
Hướng dẫn 
+ Ta thấy (C) cú tõm I(1;-3) bỏn kớnh R = 2, (C’) cú tõm I’(5;-2) bỏn kớnh R’ = R = 2 nờn ta cú
phộp tịnh tiến theo vec tơ u II ' (4;1)= =

 

 biến (C) thành (C’).
Bài 15: Cho hỡnh bỡnh hành OABC với A( 2;1),B : 2x y 5 0− ∈ ∆ − − = . Tỡm quỹ tớch đỉnh C (biết 
O là gốc tọa độ) 
Hướng dẫn 
+ Do OABC là hỡnh bỡnh hành nờn
AO (2; 1)T (B) C= − =
 , mà quỹ tớch B là 
đường thẳng ∆ bờn quỹ tớch C là 
đường thẳng AO (2; 1)' T ( )= −∆ = ∆
 
+ Ta tỡm được ' : 2x y 10 0∆ − − = ,
vậy quỹ tớch C là đường thẳng cú 
phương trỡnh 2x y 10 0− − =
DẠNG 2: Một số bài toỏn suy luận và quỹ tớch
Bài 1: Cho 
1 2
1 2 1 1U UU ;U ;T (M) M ;T (M ) M'= =
 


 

. Tỡm v


 để 
v
T (M) M'=

Hướng dẫn: 
Theo đề bài, ta cú: 
+ 
1 1 1U
T (M) M U MM= ⇒ =


 

+ 
2
21 1UT (M ) M ' U M M '= ⇒ =


 

V=U1+U2
U2
U1
M
M'
M1
G
C
B
A
B
CO(0;0)
A(-2;1)
∆:2x - y - 5 = 0
Tỡm tài liệu Toỏn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Chương 1: CÁC PHẫP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG 
Giỏo viờn : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 6 
+ 1 21 1VT (M) M ' V MM' MM M M ' U U= ⇒ = = + = +


 
 
 
 
 

Vậy 1 2V U U= +

 
 

Bài 2: Cho d / /d' . Hóy chỉ ra một phộp tịnh tiến biến d thành d’. Hỏi cú bao nhiờu phộp tịnh 
tiến như thế ? 
Hướng dẫn: 
+ Chọn 2 điểm cố định A d;A' d'∈ ∈ .
+ Xột điểm M tựy ý trờn d. Giả sử :
AA
AA
'
T (M) M' MM' ' MA M 'A' MA / /M' A' M' d'= ⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒ ∈


 
 
 

+ Do đú:
AA'
T (d) d'=
 . Cú vụ số phộp tịnh tiến biến d thành d’.
Bài 3: Cho 2 đường trũn (O;R) và (O’;R). Hóy chỉ ra phộp tịnh tiến biến (O;R) thành (O’;R) 
Hướng dẫn: 
+ Đú chớnh là phộp tịnh tiến
OO'
T

Chứng minh: Lấy M (O;R)∈ . Giả sử 
OO
OO
'
T (M) M' MM' ' OM O'M'= ⇒ = ⇒ =


 
 
 

 (quy tắc 
hỡnh bỡnh hành) O'M' OM R M' (O';R)⇒ = = ⇒ ∈ 
Bài 4: ABC∆ , G là trọng tõm. Xỏc định ảnh của ABC∆ qua phộp tịnh tiến AG


. Xỏc định điểm 
D sao cho AGT (D) A=

Hướng dẫn: 
+ Ta cú: AAAGT (A) A' ' AG A' G= ⇒ = ⇒ ≡


 

+ BB AAAGT (B) B' ' AG 'B'B= ⇒ = ⇒


 

 là hỡnh bỡnh hành. 
+ CC AAGT (C) C' ' AG CC'G= ⇒ = ⇒


 

 là hỡnh bỡnh hành. 
Vậy AGT ( ABC) A'B'C'∆ = ∆

+ Xỏc định D: AGT (D) A DA AG= ⇒ = ⇒


 

 A là trung điểm 
của DG.
G
A
D
Bài 5: Cho 2 điểm B, C cố định trờn (O;R) và A thay đổi trờn đường trũn đú. Chứng minh rằng 
trực tõm H của ABC∆ nằm trờn đường trũn cố định. 
d'd
M'M
A'A
M'M
O'O
C'
B'
G A'
C
B
A
Tỡm tài liệu Toỏn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Chương 1: CÁC PHẫP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG 
Giỏo viờn : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 7 
Hướng dẫn: 
+ Kẻ đường kớnh BD ADCH⇒ là hỡnh bỡnh hành (Vỡ AD //
CD do cựng vuụng gúc AB; AH // DC do cựng vuụng gúc
BC) DCAH DC H T (A)⇒ = ⇒ = 


 

. 
Mà A thay đổi trờn đường trũn (O;R) ⇒ H thay đổi nằm trờn 
đường trũn (O’;R) là ảnh của đường trũn (O;R) qua DCT

Bài 6: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD, 2 điểm A, B cố định, tõm I di động trờn đường trũn (C). Tỡm 
quỹ tớch trung điểm M của cạnh DC. 
Hướng dẫn 
+ Gọi K là trung điểm của cạnh AB ⇒ K cố định.
+ Ta cú KIT (I) M=
 , mà quỹ tớch I là đường trũn (C),
vậy quỹ tớch KIM (C') T (C)∈ = 

O
D
CB
A
H
(C)
B
M
IK
C
D
A
Tỡm tài liệu Toỏn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Chương 1: CÁC PHẫP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG 
Giỏo viờn : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 8 
BÀI HỌC 2: PHẫP ĐỐI XỨNG TRỤC 
I. TểM TẮT Lí THUYẾT
1. Định nghĩa:
Phộp đối xứng trục d là phộp biến hỡnh biến mỗi điểm M thành M’ sao cho d là đường trung trực
của MM’.
Ký hiệu: Đd(M) = M’
* Nhận xột:
+ Đd(M) = M’ ⇒ Đd(M’) = M
+ M d∈ ⇒ Đd(M) = M
2. Biếu thức tọa độ của phộp đối xứng trục qua Ox, Oy
+ ĐOy(M) = M’ cú biểu thức tọa độ: 0 0
0 0
x ' x
y ' y
= −

=
O
y
x
y0
-x0 x0
MM'
+ ĐOx(M) = M’ cú biểu thức tọa độ: 0 0
0 0
x ' x
y ' y
=

= −
x
y
O
-y0
y0
x0
M'
M
3. Tớnh chất của phộp đối xứng trục
Tớnh chất 1.
Phộp đối xứng trục bảo toàn khoảng cỏch giữa hai điểm bất kỡ
Tớnh chất 2.
Phộp đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng
nú, biến tam giỏc thành tam giỏc bằng nú, biến đường trũn thành đường trũn cú cựng bỏn kớnh.
4. Trục đối xứng của một hỡnh
Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hỡnh H nếu phộp đối xứng qua d biến H thành
chớnh nú.
Khi đú, ta núi H là hỡnh cú trục đối xứng.
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
DẠNG 1: Tỡm ảnh của một hỡnh qua phộp đối xứng trục bằng tớnh toỏn
Bài 1: Cho điểm M(1;3). Tỡm tọa độ M’ là ảnh của M qua phộp đối xứng trục Oy, rồi tỡm tọa độ 
của điểm M’’ là ảnh của M’ qua phộp đối xứng trục Ox. 
Hướng dẫn: 
M M’ 
d
Tỡm tài liệu Toỏn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Chương 1: CÁC PHẫP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG 
Giỏo viờn : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 9 
+ ĐOy(M) = M’
x' x 1
M'( 1;3)
y ' y 3
= − = −
⇒ ⇒ −
= =
+ ĐOx(M’) = M’’
x'' x' 1
M''( 1; 3)
y '' y ' 3
= = −
⇒ ⇒ − −
= − = −
Bài 2: Cho đường trũn ( ) ( )2 2(C) : x 1 y 1 4− + − = . Viết phương trỡnh đường trũn (C') là ảnh
của đường trũn (C) qua phộp đối xứng trục Ox 
Hướng dẫn: 
+ Goi I; R lần lượt là tõm và bỏn kớnh của đường trũn (C); gọi I’;R’ lần lượt là tõm và bỏn kớnh
của đường trũn (C’). Khi đú ta cú R’ = R = 2 và I’ = ĐOx(I)
+ Dễ dàng tỡm được I’(1;-2) từ đú cú phương trỡnh đường trũn (C’) là:
( ) ( )2 2(C') : x 1 y 2 4− + + = 
Bài 3: 
1. Cho x 1 y 2d :
2 3
− +
= . Viết phương trỡnh đường thẳng d’ là ảnh của d qua phộp đối xứng trục
Oy 
2. Cho M(-3;2); ( ) ( )2 2: x 3y 8 0;(C) : x 3 y 2 4∆ + − = + + + = . Tỡm ảnh của M; ∆ ; (C) qua Đa,
trong đú a: x - 2y + 2 = 0 
3. Cho d: x - 5y + 7 = 0; d’: 5x - y - 13 = 0. Tỡm phộp đối xứng trục biến d thành d’
4. Cho d: x - 2y + 5 = 0; d’: x - 2y + 3 = 0. Tỡm phộp đối xứng trục biến d thành d’
Hướng dẫn: 
1. 
+ Gọi M(x;y) d∈ , khi đú ĐOy(M) = M’
x' x x x'
M( x';y ')
y ' y y y '
= − = − 
⇒ ⇔ ⇒ − 
= = 
+ 
x' 1 y ' 2M d 3x' 2y ' 7 0
2 3
− − +
∈ ⇒ = ⇔ + + = 
+ Vậy d’: 3x + 2y + 7 = 0
2. 
í 1: 
+ Gọi M’ = Đa(M) ⇒ a là đường trung trực của MM’.
+ Đường thẳng MM’ qua M và vuụng gúc với a
MM' : 2x y 4 0⇒ + + =
+ Gọi ( )H MM ' a H 2;0= ∩ ⇒ −
+ H là trung điểm của MM’ M '( 1; 2)⇒ − −
a:x - 2y + 2 = 0
H M'M(-3;2)
Tỡm tài liệu Toỏn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Chương 1: CÁC PHẫP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG 
Giỏo viờn : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 10 
í 2: 
+ Lấy 8A(8;0);B 0;
3
 
∈ ∆ 
 
. 
+ Gọi A’ = Đa(A); B’ = Đa(B) A',B'⇒
+ Gọi '∆ = Đa( ∆ ) '⇒ ∆ là đường thẳng đi qua A’; B’
' : 3x y 4 0⇒ ∆ − − =
í 3:
+ Giả sử (C’) = Đa(C), khi đú
đường trũn (C) và (C’) cựng bỏn kớnh, tõm I’ của đường trũn
(C’) tương ứng là ảnh của tõm I đường trũn (C) qua phộp đối
xứng trục a.
+ Từ đú ta tỡm được
2 221 2 21 2I ' ; (C') : x y 4
5 5 5 5
     
− ⇒ + + − =     
     
3. 
+ Ta thấy d; d’ khụng song song, vậy trục đối xứng ∆ của
phộp đối xứng trục biến d thành d’ chớnh là phõn giỏc của d và
d’ và cú phương trỡnh:
( ) ( )
1
2 22 2 2
: x y 5 0x 5y 7 5x y 13
: x y 1 01 5 5 1
∆ + − =− + − −
= ⇔ ∆ − − =+ − + −
. Vậy 
Đ 1∆ (d) = d’; Đ 2∆ (d) = d’
4. 
+ Ta thấy d // d’ , vậy trục đối
xứng ∆ của phộp đối xứng trục
biến d thành d’ chớnh là đường
thẳng song song và cỏch đều d;
d’ cú phương trỡnh:
5 3
: x 2y 0
2
+∆ − + = . Vậy Đ∆ (d) = d’
DẠNG 2: Một số bài toỏn suy luận và quỹ tớch 
Bài 1: Cho A, B cựng nằm trong 1 nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d. Tỡm trờn d một điểm M 
sao cho tổng ( )
minMA MB+ 
Hướng dẫn: 
∆'∆
B'
A'
B
A
K
a:x - 2y + 2 = 0
I
(C)
I'I(-3;-2)
a:x - 2y + 2 = 0
∆2
∆1
d'
d
d'd
Tỡm tài liệu Toỏn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Chương 1: CÁC PHẫP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG 
Giỏo viờn : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 11 
d
B
M'
M
A'
A
+ Gọi Đd(A) = A’ MA MA' MA MB MA' MB A'B⇒ = ⇒ + = + ≥
+ ( ) khi M M' (M'=A'B d)
minMA MB A'B+ = ≡ ∩
Bài 2: Qua phộp đối xứng trục d: 
+ Những điểm nào biến thành chớnh nú?
+ Những đường thẳng nào biến thành chớnh nú?
+ Những đường trũn nào biến thành chớnh nú?
Hướng dẫn: 
+ Những điểm nằm trờn trục đối xứng d biến thành chớnh nú
+ Những đường thẳng vuụng gúc với trục đối xứng d hoặc trựng với d thỡ biến thành chớnh nú.
+ Những đường trũn cú tõm nằm trờn trục đối xứng d thỡ biến thành chớnh nú.
Bài 3: Tỡm trục đối xứng của cỏc hỡnh sau: 
1. Hỡnh gồm 2 đường trũn khụng đồng tõm nhưng cú bỏn kớnh bằng nhau.
2. Hỡnh gồm 2 đường trũn khụng đồng tõm cú bỏn kớnh khỏc nhau.
3. Đoạn thẳng AB.
4. Đường thẳng d.
Hướng dẫn: 
1. Cú 2 trục đối xứng:
+ Đường nối tõm.
+ Đường trung trực của đoạn thẳng nối tõm.
2. Cú 1 trục đối xứng: Là đường nối tõm.
3. Cú 2 trục đối xứng:
+ Đường trung trực của đoạn AB
+ Đường thẳng chứa đoạnAB
4. Cú vụ số trục đối xứng:
+ Những đường thẳng vuụng gúc với d
+ Chớnh đường thẳng d
Bài 4: Cho 2 đường trũn (O;R) ; (O’;R’) và đường thẳng d. Hóy xỏc định 2 điểm M và M’ lần 
lượt nằm trờn 2 đường trũn đú sao cho d là trung trực của MM’ 
Hướng dẫn: 
O'
d
O
H
O''
M'M
Tỡm tài liệu Toỏn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Chương 1: CÁC PHẫP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG 
Giỏo viờn : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 12 
+ Gọi (O’’) là ảnh của đường trũn (O) qua Đd
+ Lấy M bất kỳ trờn (O), goi M’ = Đd(M) M'=(O'') (O')M ' (O'');⇒ ∈ ⇒ ∩
Số nghiệm hỡnh là số giao điểm của (O’) và (O’’)
Bài 5: Cho 2 điểm B; C phõn biệt cố định trờn đường trũn (O); A là điểm di động trờn (O). Tỡm 
quỹ tớch trực tõm H của ABC∆ 
Hướng dẫn: 
+ Gọi  1 1H' AH (O) A C= ∩ ⇒ = (cựng phụ với ABC ); 
 

 
1 2 1 2
sdBH'A C C C
2
= = ⇒ =
HCH'⇒ ∆ cõn tại C ⇒ BC là trung trực của HH’ ⇒ H’ =
ĐBC(H)
+ H' (O) H (O')Do ∈ ⇒ ∈ là ảnh của (O) qua ĐBC.
KIẾN THỨC MỞ RỘNG : Biểu thức tọa độ của phộp đối xứng trục 
1. Nếu Ax Đ0 0 0 0: By C 0;M(x ;y );M'(x ';y ') (M)∆∆ + + = = . Khi đú ta cú: 
( )
( )
 Trong đó f(x;y)=Ax+By+C
0 0
0 0 2
0 0
0 0 2
f (x ;y )
x ' x 2. .A
n
f (x ;y )y ' y 2. .B
n
∆
∆

= −



= −






Vớ dụ minh họa: Cho điểm M(1;2) và : 3x 4y 1 0∆ + − = . Tỡm tọa độ M’ đối xứng với M qua ∆
+ Ta cú điểm M’ cú tọa độ là :
2 2
2 2
3.1 4.2 1 7
x' 1 2. .3 7 63 4 5 M' ;
3.1 4.2 1 6 5 5y ' 2 2. .4
3 4 5
+ −
= − = −  +
⇒ − −  + −  
= − = −
 +
2. Nếu Ax1 1 1 1d : A x B y C 0; : By C 0+ + = ∆ + + = . Khi đú 2d là đường thẳng đối xứng với 1d
qua ∆ cú phương trỡnh: 
( ) (trong đó: f
1d .
2 1 1 1 1 12
n nd : 2. .f (x;y) f (x;y) 0 (x;y) A x B y C ;f (x;y) Ax By C)
n
∆
∆
− = = + + = + +

 


 
Vớ dụ 1: Hóy tỡm cỏc đường thẳng 1d ' đối xứng với 1d : 5x y 14 0+ − = và 2d ' đối xứng với 
2d : 5x 3y 10 0+ + = qua đường thẳng : 5x 3y 4 0∆ + − =
+ Đường thẳng 1d ' cú phương trỡnh là: 
( ) ( )
( ) ( ) ( )2
5;1 . 5;3
2. . 5x 3y 4 5x y 14 0
5;3
+ − − + − = 
O
2
1
1
H'
CB
A
H
Tỡm tài liệu Toỏn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Chương 1: CÁC PHẫP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG 
Giỏo viờn : NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Trang 13 
N'
N
E M'M
P'
P
N'
N
E
M'M
1d ' : 55x 67y 126 0+ + = 
+ Đường thẳng 2d ' cú phương trỡnh là: 
( ) ( )
( ) ( ) ( )2
5;3 . 5;3
2. . 5x 3y 4 5x 3y 10 0
5;3
+ − − + + = 
2d ' : 5x 3y 18 0+ − =
Vớ dụ 2: Lập phương trỡnh cỏc cạnh của ABC∆ , biết B(2;-1), đường cao và đường phõn giỏc 
trong đi qua 2 đỉnh A và C lần lượt cú phương trỡnh: 1 2d : 3x 4y 27 0;d : x 2y 5 0− + = + − =
+ Đường thẳng BC đi qua B và vuụng gúc
1d BC : 4x 3y 5 0⇒ + − =
+ CA đối