Bài tập Đại số 11 - Chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân

§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
A. LÝ THUYẾT
Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n, ta thực hiện như sau:
· Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.
· Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k ³ 1), chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k + 1.
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) là đúng với với mọi số nguyên dương n ³ p thì:
	+ Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;
	+ Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k ³ p và phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1.
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Chứng minh một tính chất số học bằng quy nạp
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì số chia hết cho 6.
Ví dụ 2: Giả sử a là nghiệm của phương trình . Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì luôn là số nguyên.
Dạng2: Chứng minh đẳng thức bằng quy nạp
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có 
Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức bằng quy nạp
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n>1 ta đều có: 
Ví dụ 2: Cho n số dương . Chứng minh bất đẳng thức: 
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Chứng minh một tính chất số học, đại số bằng quy nạp
Bài 1: chứng minh các đẳng thức sau ()
 chia hết cho 10
 chia hết cho 169.
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, số là số nguyên.
Bài 3: Cho số thực a sao cho là số nguyên. Chứng minh rằng là số nguyên với mọi số nguyên dương n.
Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n luôn có ít nhất một số nguyên dương k sao cho .
Bài 5: Chứng minh số tập con của tập có n phần thử () là 
Bài 6: Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh () là 
Bài 7: Giả sử là số hữu tỉ. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì là số hữu tỉ.
Bài 8: Với mỗi số tự nhiện , ta đặt ( n dấu căn). Chứng minh rằng 
Chứng minh đẳng thức bằng quy nạp
Bài 9: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:
Bài 10: Giả sử . Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta đều có: 
Bài 11: Chứng minh rằng với mọi , ta có: 
Bài 12: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: 
Chứng minh bất đẳng thức bằng quy nạp
Bài 12: Chứng minh các bất đẳng thức sau bằng quy nạp với n>1;
 với n>2
Bài 13: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n>1, ta đều có 
Bài 14: Chứng mnh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có: ( n dấu căn )
§2. DÃY SỐ
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa: Một hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương gọi là dãy số vô hạn. 
Kí hiệu . Đặt . Ta gọi là số hạng tổng quát ( hay số hạng thứ n) của dãy số.
2. Cách cho một dãy số:
Cho bằng công thức của số hạng tổng quát
Cho bằng công thức truy hồi
Cho bằng cách mô tả
3. Dãy số tăng, dãy số giảm:
(un) là dãy số tăng Û un+1 > un với " n Î N*.
un+1 – un > 0 với " n Î N* Û với "n Î N* ( un > 0).
(un) là dãy số giảm 	Û un+1 < un với "n Î N*.
	Û un+1 – un 0).
4. Dãy số bị chặn: 
(un) là dãy số bị chặn trên Û $M Î R: un £ M, "n Î N*.
(un) là dãy số bị chặn dưới Û $m Î R: un ³ m, "n Î N*.
(un) là dãy số bị chặn Û $m, M Î R: m £ un £ M, "n Î N*.
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Tìm các số hạng của dãy số
Ví dụ 1: Cho dãy (un) được xác định bởi 
Hãy viết 7 số hạng đầu tiên của dãy số.
Tìm sao cho 
Ví dụ 2: Cho dãy (un) được xác định bởi 
Viết 6 số hạng đầu tiên của dãy số;
Chứng minh mọi số hạng của dãy số đều khác nhau.s
Ví dụ 3: Cho dãy số (un) xác định bởi 
Viết 6 số hạng đầu tiên của dãy số.
Chứng minh dãy số chỉ nhận hữu hạn giá trị.
Dạng2: Tìm công thức tổng quát của dãy số
Ví dụ 1: Cho dãy số được xác định bởi . Chứng minh rằng với mọi n.
Ví dụ 2: Cho dãy số được xác định bởi . Chứng minh rằng 
Ví dụ 3: 
Dạng 3: Xét tính tăng giảm của dãy số
Ví dụ 1: Xét tính tăng giảm của mỗi dãy số (un) cho bởi các công thức sau:
	a) 	b) 	c) 	d) 
Ví dụ 2: Xét tính đơn điệu của dãy số (un):
	a) 	b) 
Dạng 4: Xét tính bị chặn của dãy số
Ví dụ 1: Chứng minh rằng các dãy số sau bị chặn:
	a) 	b) 	
	c) 	d) 
Ví dụ 2: Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới và bị chặn của các dãy số sau đây:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Dạng 5: Một số tính chất khác của dãy số
Ví dụ 1: Cho dãy số thỏa mãn 
Tính 5 số hạng đầu tiên của dãy số.
Chứng minh rằng dãy tuần hoàn, nghĩa là tồn tại số tự nhiên p khác 0 sao cho 
Ví dụ 2: Cho dãy số xác định bởi công thức .
Tìm những giá trị nguyên dương của n sao cho 
Chứng minh rằng với mọi số luôn có số N sao cho với n>N thì 
Ví dụ 3:
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Xác định số hạng của dãy số
Bài 1: Viết 5 số hạng đầu tiên của các dãy số sau:
	a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 2: Cho dãy số (un) được xác định bởi 
Hãy viết 7 số hạng đầu tiên của dãy số
Chứng minh dãy số có vô số số hạng âm cũng như vô số số hạng dương
Bài 3: Cho dãy số (un) được xác định bởi 
Viết 6 số hạng đầu tiên của dãy số;
Tìm m, n ( m khác n) sao cho 
Bài 4: Cho dãy số (un) được xác định bởi công thức 
Hãy viết 6 số hạng đầu tiên của dãy số;
Chứng minh rằng tập các giá trị của dãy số là hữu hạn.
Bài 5: Cho dãy số (an) được xác định như sau: an là số dư của số tự nhiên n trong phép chia cho 6.
Tính 7 số hạng đầu tiên của dãy số;
Chứng minh rằng nếu thì 
Xác định công thức dãy số
Bài 6: xác định công thức tổng quát của dãy số (un) trong mỗi trường hợp sau
Bài 7: Cho dãy số (un) được xác định bởi . Chứng minh rằng: 
Xét tính đơn điệu của dãy số
Bài 8: Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
	a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 9: xét tính đơn điệu của các dãy số cho bởi các công thức sau:
	a) 	b) 	
	c) 	d) 
Bài 10: Xét tính tăng giảm của các dãy số cho bởi các công thức sau”
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 11: Cho dãy số (un) xác định bởi công thức 
Chứng minh rằng dãy số (un) tăng;
Xác định n sao cho 
Bài 12: Cho dãy số (un) xác định bởi công thức 
Chứng minh rằng dãy số (un) tăng;
Xác định n sao cho 
Bài 13: Cho các dãy số (un) và (vn) được xác định bởi các công thức: , . Xét tính tăng giảm của các dãy số trên.
Xét tính bị chặn của dãy số
Bài 14: Xét tính bị chặn của các dãy số:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 15: Xét tính bị chặn của dãy số
	a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 16: Xét tính bị chặn của các dãy số
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 17: Cho dãy số được xác định bởi 
Chứng minh rằng dãy số (un) bị chặn trên bởi số 3;
Chứng minh rằng dãy số (un) tăng.
Một số tính chất khác của dãy số
Bài 18: Cho dãy số (an) được xác định bởi : với mọi m, n
Chứng minh rằng 
Chứng minh rằng với mọi n.
Bài 19: Cho dãy số (un) được xác định bởi 
Chứng minh rằng 
Tính tổng 
Bài 20: Cho dãy số (un) được xác định bởi ( n dấu căn )
Chứng minh rằng 
Chứng minh rằng với mọi 
Bài 21: Cho dãy số 
Chứng minh rằng dãy (un) tăng và bị chặn trên.
Xác định n sao cho 
Bài 22: Cho dãy số (an) được xác định bởi . Chứng minh rằng 
§3. CẤP SỐ CỘNG
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa:	(un) là cấp số cộng Û un+1 = un + d, "n Î N*	(d: công sai)
2. Số hạng tổng quát:	 	với n ³ 2
3. Tính chất các số hạng:	với k ³ 2
4. Tổng n số hạng đầu tiên:	= 
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Xác định các yếu tố của cấp số cộng
Ví dụ 1: Cho cấp số cộng 2, 5, 8, 11, Hãy tính 
Ví dụ 2: Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un) biết:
	a) 	b) 
Ví dụ 3: Xác định số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng trong mỗi trường hợp sau:
	a) 	b) 
Ví dụ 4: Cho cấp số cộng (un) có tổng n số hạng đầu tiên là 
Tính 
Xác định số hạng đầu tiên u1, công sai d và số hạng thứ n của cấp số cộng đó.
Ví dụ 5: Tổng 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng bằng 2 và tổng bình phương của các số đó bằng . Xác định số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng.
Ví dụ 6: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn . Tính .
Ví dụ 7: Tìm số tự nhiên n biết:
	a) 	b) 
Dạng2: Chứng minh một dãy số là cấp số cộng
Ví dụ 1: Cho dãy số (un) được xác định bởi công thức . Chứng minh rằng dãy (un) là cấp số cộng.
Ví dụ 2: Cho dãy số (an) được xác định bởi . Chứng minh rằng dãy số (bn) xác định bởi là một cấp số cộng. Xác định số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng đó.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng trong tam giác ABC nếu theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì cũng tạo thành cấp số cộng.
Dạng 3: Chứng minh hệ thức liên quan đến cấp số cộng
Ví dụ 1: Cho cấp số cộng (an). Chứng minh các hệ thức sau đây:
	a) 	b) 
Ví dụ 2: Cho cấp số cộng (an). Chứng minh rằng: 
Ví dụ 3: Cho cấp số cộng (an). Chứng minh rằng: 
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Xác định các yếu tố của cấp số cộng
Bài 1: Cho cấp số cộng (un) có . Tính 
Bài 2: Xác định số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng biết: 
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 3: Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng trong những trường hợp sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 4: Một cấp số cộng (un) có .
	a) Tìm công sai của cấp số cộng	b) Tính 
Bài 5: Một cấp só cộng (un) có tổng n số hạng đầu tiên Sn được cho bởi công thức . Hãy xác định số hạng tổng quát un của cấp số cộng đó.
Bài 6: 
Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng là 9 và tổng các bình phương của chúng là 77.
Tìm 5 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng là 25 và tổng các bình phương của chúng là 165.
Bài 7: Bốn số nguyên lập thành cấp số cộng có tổng là 30 và tổng các nghịch đảo của chúng là . Hãy tìm 4 số đó.
Bài 8: Năm số lập thành cấp số cộng, trong đó tổng của số hạng thứ nhất, thứ ba, thứ năm bằng tổng số hạng thứ hai và thứ tư. Hãy tìm cấp số cộng đó.
Bài 9: Cho một cấp số cộng biết rằng . Tính tỉ số 
Bài 10: Một cấp số cộng hữu hạn có số hạng đầu là 2, số hạng cuối là 29 và tổng tất cả các số hạng là 155. Hãy tính công sai của cấp số cộng đó.
Bài 11: Tìm số tự nhiên n sao cho 
	b) 
Bài 12: Tính các tổng sau đây: 
	a) 	
	b) 
Chứng minh hệ thức liên quan đến cấp số cộng
Bài 13: Cho cấp số cộng (an). Chứng minh các hệ thức sau:
;
Bài 14: Cho 3 số a,b,c lập thành cấp số cộng. Chứng minh các hệ thức sau:
	a) 	b) 
Bài 15: Cho cấp số cộng (an) có các số hạng có các số hạng là số dương. Chứng minh rằng: 
Chứng minh một dãy số là cấp số cộng
Bài 16: Chứng minh rằng các dãy số cho bởi các công thức sau đây là cấp số cộng. Tính tổng n số hạng đầu tiên của mỗi cấp số cộng đó.
	a) 	b) 
Bài 17: Cho dãy số (an) thỏa mãn hệ thức với mọi 
Chứng minh rằng dãy số lập thành cấp số cộng.
Tìm số hạng tổng quát của dãy (an) biết a1=2.
§4. CẤP SỐ NHÂN
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa:	(un) là cấp số nhân Û un+1 = un.q với n Î N*	(q: công bội)
2. Số hạng tổng quát:	với n ³ 2
3. Tính chất các số hạng:	với k ³ 2
4. Tổng n số hạng đầu tiên:	
B. CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Xác định các yếu tố của cấp số nhân
Ví dụ 1: Cho cấp số nhân 2, 6, 18, 54, 162 Tính 
Ví dụ 2: Xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (un) biết:
	a) 	b) 
Ví dụ 3: Xác định số hạng đầu và công bội của một cấp số nhân trong mỗi trường hợp sau:
	a) 	b) 
Vi dụ 4: Cho a,b dương. Hãy thêm 5 số giữa hai số để được cấp số nhân.
Ví dụ 5: Hãy tìm các số x,y sao cho x,y,12 lập thành cấp số nhân và x,y,9 lập thành cấp số cộng.
Ví dụ 6: Tìm giá trị của x sao cho ba số lập thành cấp số nhân.
Ví dụ 7: Tính các tổng sau:
Ví dụ 8: Cho hai tổng . Tìm điều kiện của a và b sao cho tòn tại n để 
Dạng 2: Chứng minh một dãy số là cấp số nhân
Ví dụ 1: Cho dãy số (un) được xác định bởi công thức với mọi . Chứng minh rằng dãy (un) là một cấp số nhân.
Ví dụ 2: Cho dãy (an) được xác định bởi . 
Chứng minh rằng dãy số (bn) được xác định bởi là cấp số nhân.
Tìm công thức tổng quát của an.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng:
Nếu a,b,c lập thành một cấp số nhân thì ab,b2, cb cũng lập thành cấp số nhân.
Nếu 4 số dương a,b,c,d lập thành cấp số nhân thì 3 số cũng lập thành cấp số nhân.
Dạng 3: Chứng minh hệ thức liên quan đến cấp số nhân
Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (an). Chứng minh rằng: với 
Ví dụ 2: Cho a,b,c là 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Chứng minh rằng:
	a) 	b) 
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Xác định các yếu tố của cấp số nhân
Bài 1: Xác định số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân biết:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
Bài 2: Cho dãy số a,b,c lập thành cấp số nhân. Tìm a,b,c biết:
	a) 	b) 
Bài 3: 
Cho cấp số nhân a,b,c. Tìm a,b,c biết a<b<c, abc=216 và a+b+c=19
Một cấp số nhân có công bội bằng số hạng đầu và tổng của 4 số hạng đầu tiên bằng . Tính S10.
Bài 4: Một cấp số nhân gồm 5 số hạng có tổng là 40 và tổng các nghịch đảo là 10. Hãy xác định cấp số nhân đó.
Bài 5: Tìm hai số a và b sao cho là cấp số cộng và là cấp số nhân.
Bài 6: Tính các tổng sau đây:
Bài 7: 
Ba số 3,x, y lập thanh cấp số nhân và ba số x,y,9 lập thành cấp số cộng. Hãy tính giá trị của x và y.
Tìm 3 số tự nhiên a,b,c biết rằng chúng vừa lập thành một cấp số cộng, vừa lập thành cấp số nhân theo thứ tự đó.
Bài 8: Cho tam giác ABC biết sinA, sinB, sinC theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân và . Tính góc B.
Bài 9: Các số 3,4,5 có thể là các số hạng của một cấp số nhân được hay không?
Chứng minh hệ thức liên quan đến cấp số nhân
Bài 10: Cho cấp số nhân với công bội q. Chứng minh rằng:
 với mọi m,n,k và m>k
 với mọi m, n.
Bài 11: Cho a,b,c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Chứng minh các hệ thức:
 với 
Bài 12: Cho 4 số a,b,c,d lập thành cấp số nhân. Chứng minh các hệ thức:
Bài 13: Cho 5 số a,b,c,d,e lập thành cấp số nhân. Chứng minh rằng:
Chứng minh một dãy số là cấp số nhân
Bài 14: Cho dãy số (un) được xác định bởi với mọi .
Chứng minh rằng dãy số (vn) được xác định bởi là một cấp số nhân.
Tìm số hạng tổng quát của (un).
Bài 15: Cho cấp số nhân có công bội . Chứng minh rằng các dãy số và cũng là cấp số nhân và tính công bội của chúng.
Bài 16: Cho dãy số (un) được xác định bởi 
Chứng minh rằng dãy số (vn) được xác định bởi là một cấp số nhân.
Tính số hạng tổng quát un của dãy số (un).