Bài tập Chương 3: Quan hệ vuông góc trong không gian - Hình học 11

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923 
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 1 
BÀI 1: VECTO TRONG KHÔNG GIAN 
A. LÝ THUYẾT 
1. Định nghĩa và các phép toán 
  Định nghĩa, tính chất, các phép tốn về vectơ trong không gian được xây dựng hồn tồn tương tự như 
trong mặt phẳng. 
  Lưu ý: 
 + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có:  
  
AB BC AC 
 + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có:  
  
AB AD AC 
 + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.ABCD, ta có:   
   
' 'AB AD AA AC 
 + Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý. 
 Ta có:  
  
0IA IB ;  
  
2OA OB OI 
 + Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta có: 
      
      
0; 3GA GB GC OA OB OC OG 
 + Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có: 
        
        
0; 4GA GB GC GD OA OB OC OD OG 
 + Điều kiện hai vectơ cùng phương:    
   
( 0) ! :a vaø b cuøng phöông a k R b ka 
 + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k  1), O tuỳ ý. Ta có: 
  

   
;
1
OA kOBMA kMB OM
k
2. Sự đồng phẳng của ba vectơ 
  Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. 
  Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ 
 
, ,a b c , trong đó 

a vaø b không cùng phương. Khi 
đó: 
 
, ,a b c đồng phẳng  ! m, n  R:  
 
c ma nb 
  Cho ba vectơ 
 
, ,a b c không đồng phẳng, x tuỳ ý. 
 Khi đó: ! m, n, p  R:   
 x ma nb pc 
3. Tích vô hướng của hai vectơ 
  Góc giữa hai vectơ trong không gian: 
       
     0 0, ( , ) (0 180 )AB u AC v u v BAC BAC 
 Khi xác định góc của 2 vecto ko cùng gốc ta phải cố gắng đưa về cùng gốc để xác định góc bằng cách 
dựng vecto bằng vecto ban đầu 
  Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian: 
 + Cho 
 , 0u v . Khi đó:      . . .cos( , )u v u v u v 
 + Với  
  0 0u hoaëc v . Qui ước:  . 0u v 
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923 
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 2 
 +      . 0u v u v 
B. BÀI TẬP 
DẠNG 1: Chứng minh đẳng thức vecto 
Pp: Dùng các quy tắc, công thức đã học để cm: 
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là là một hình chữ nhật. 
Chứng minh rằng: 
a. SA SC SB SD  
   
b. 
2 2 2 2
SA SC SB SD  
   
Giải 
a. Gọi O là tâm của hình chữ nhật. Vì OA – OC nên: 2SA SC SO 
  
 (1) 
Vì OB = OD nên 2SB SD SO 
  
 (2) 
So sánh (1) và (2) ta suy ra SA SC SB SD  
   
b. Ta có: 
2 22( ) 2 .SA SO OA SO OA SO OA    
      
Mà 0OA OC 
  
 nên 
2 2 2 2 2
2SA SC SO OA OC   
    
Tương tự ta có: 
2 2 2 2 2
2SB SD SO OB OD   
    
Vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có 
OA OB OC OD  
   
Từ đó suy ra 
2 2 2 2
SA SC SB SD  
   
Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD, G là trung điểm của đoạn MN. 
Chứng minh rằng: 
a. 2AD BC AC BD MN   
    
b. 0GA GB GC GD   
    
c. 4PA PB PC PD PG   
    
 với P là một điểm bất kì. 
Giải: 
a. Ta có: MN MA AD DN  
   
 và 
MN MB BC CN  
   
Suy ra: 2 ( ) ( )MN MA MB AD BC DN CN     
      
Vì 0MA MB DN CN   
    
 nên 2MN AD BC 
  
Ta suy ra: 2AD BC AC BD MN   
    
b. Vì 2 , 2 , 0GA GB GM GC GD GN GM GN     
        
 nên 0GA GB GC  
   
c. Với điểm P bất kì, từ kết quả trên ta có: 
Hình 6.2
O
D
CB
A
S
Hình 6 .3
D
C
B
G
N
M
A
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923 
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 3 
( ) ( ) ( ) ( ) 0PA PG PB PG PC PG PD PG       
        
Do đó: 4PA PB PC PD PG   
    
DẠNG 2. chứng minh 3 vecto đồng phẳng và phân tích một vecto theo 3 vecto ko đồng phẳng 
Pp: 
 Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các cách: 
 + Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng. 
 + Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: 
 Nếu có m, n  R:  
 
c ma nb thì 
 
, ,a b c đồng phẳng 
 Để phân tích một vectơ x theo ba vectơ 
 
, ,a b c không đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p sao cho: 
  
 x ma nb pc 
BÀI TẬP 
Bài 1: Cho hình tứ diện ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh 
AC và BD ta lần lượt lấy các điểm M,N sao cho ( 0)AM BN k k
AC BD
   . Chứng minh rằng ba vectơ 
, ,PQ PM PN
  
 đồng phẳng. 
Giải: 
Vì Q là trung điểm của cạnh DC nên ta có: 
1 1( ) [( ) ( )
2 2
1 [( ) ( )]
2
PQ PC PD AC AP BD BP
AC BD AP BP
     
   
      
    
Vì 0AP BP 
  
 nên 1 ( ) 0
2
PQ AC BD  
   
Theo giả thiết ta có 1AC AM
k

 
 và 1BD BN
k

 
Do đó 
1 ( )
2
PQ AM BN
k
 
  
Vì: AM AP PM 
  
 và BN BP PN 
  
 nên 1 ( )
2
PQ AP PM BP PN
k
   
    
Vậy: 1 1
2 2
PQ PM PN
k k
 
  
Từ hệ thức trên ta suy ra ba vectơ , ,PQ PM PN
  
 đồng phẳng 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 
1. Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngồi mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho 
 
 
2MS MA và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho  
 1
2
NB NC . Chứng minh rằng ba vectơ 
  
, ,AB MN SC 
đồng phẳng. 
HD: Chứng minh  
  2 1
3 3
MN AB SC . 
2. Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi M, N, I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các cạnh AE, CG, AD, 
DH, GH, FG; P và Q lần lượt là trung điểm của NG và JH. 
a) Chứng minh ba vectơ 
  
, ,MN FH PQ đồng phẳng. 
Q
P
Hình 6.4
D
C
B
G N
M
A
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923 
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 4 
b) Chứng minh ba vectơ 
  
, ,IL JK AH đồng phẳng. 
HD: a) 
  
, ,MN FH PQ có giá cùng song song với (ABCD). 
b) 
  
, ,IL JK AH có giá cùng song song với (BDG). 
3. Cho hình lăng trụ ABC.DEF. Gọi G, H, I, J, K lần lượt là trung điểm của AE, EC, CD, BC, BE. 
 a) Chứng minh ba vectơ 
  
, ,AJ GI HK đồng phẳng. 
 b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên AF và CE sao cho   1
3
FM CN
FA CE
. Các đường thẳng vẽ từ M và N 
song song với CF lần lượt cắt DF và EF tại P và Q. Chứng minh ba vectơ 
  
, ,MN PQ CF đồng phẳng. 
4. Cho hình hộp ABCD.ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và DD; G và G lần lượt là 
trọng tâm của các tứ diện ADMN và BCCD. Chứng minh rằng đường thẳng GG và mặt phẳng 
(ABBA) song song với nhau. 
HD: Chứng minh   
  1
' 5 '
8
GG AB AA  
  
, ', 'AB AA GG đồng phẳng. 
5. Cho ba vectơ 
 
, ,a b c không đồng phẳng và vectơ 

d . 
a) Cho  
 d ma nb với m và n  0. Chứng minh các bộ ba vectơ sau không đồng phẳng: 
 i) 
 
, ,b c d ii) 
 
, ,a c d 
b) Cho   
  
d ma nb pc với m, n và p  0. Chứng minh các bộ ba vectơ sau không đồng phẳng: i) 
 
, ,a b d ii) 
 
, ,b c d iii) 
 
, ,a c d 
HD: Sử dụng phương pháp phản chứng. 
6. Cho ba vectơ 
 
, ,a b c khác 

0 và ba số thực m, n, p  0. Chứng minh rằng ba vectơ 
     
      
, ,x ma nb y pb mc z nc pa đồng phẳng. 
HD: Chứng minh   
   0px ny mz . 
7. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có   
   
' , ,AA a AB b AC c . Hãy phân tích các vectơ 
 
' , 'B C BC theo 
các vectơ 
 
, ,a b c . 
HD: a)   
  
'B C c a b b)   
  
'BC a c b . 
8. Cho tứ diện OABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. 
 a) Phân tích vectơ 

OG theo các ba 
  
, ,OA OB OC . 
 b) Gọi D là trọng tâm của tứ diện OABC. Phân tích vectơ 

OD theo ba vectơ 
  
, ,OA OB OC . 
HD: a)    
   1
3
OG OA OB OC b)    
   1
4
OD OA OB OC . 
9. Cho hình hộp OABC.DEFG. Gọi I là tâm của hình hộp. 
a) Phân tích hai vectơ 
 
OI vaø AG theo ba vectơ 
  
, ,OA OC OD . 
b) Phân tích vectơ 

BI theo ba vectơ 
  
, ,FE FG FI . 
HD: a)    
   1
2
OI OA OC OD ,    
   
AG OA OC OD . b)   
   
BI FE FG FI . 
10. Cho hình lập phương ABCD.EFGH. 
a) Phân tích vectơ 

AE theo ba vectơ 
  
, ,AC AF AH . 
b) Phân tích vectơ 

AG theo ba vectơ 
  
, ,AC AF AH . 
HD: a)    
   1
2
AE AF AH AC b)    
   1
2
AG AF AH AC . 
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923 
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 5 
DẠNG 3. Hai đường thẳng vuông góc 
PP: 
Chứng minh góc giữa hai đường thẳng đó bằng 900. 
Chứng minh 2 vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng đó vuông góc với nhau. 
Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go, ). 
BÀI TẬP 
Bài 1: Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối diện là AB và CD, AC và DB vuông góc với nhau. 
Chứng minh rằng 
a) . . . 0AB CD AC DB AD BC  
     
b) cặp cạnh đối diện còn lại là AD và BC cũng vuông góc với nhau. 
Giải: 
a): . . . 0AB CD AC DB AD BC  
     
Ta có: 
. .( ) . . (1)
. .( ) . . (2)
. .( ) . . (3
AB CD AB AD AC AB AD AB AC
AC DB AC AB AD AC AB AC AD
AD BC AD AC AB AD AC AD AB
   
   
   
        
        
        
)
Từ (1), (2), (3) ta suy ra . . . 0AB CD AC DB AD BC  
     
b) theo câu a, nếu ABCD nghĩa là . 0AB CD 
 
 và AC  DB nghĩa là . 0AC DB 
 
 thì từ hệ thức (4) ta suy ra 
. 0AD BC 
 
 nghĩa là AD  BC. 
Bài 2:( VD2 trang 170 TT vân anh) 
Bài 3 ( VD1: trang 385 L H Đ) 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 
1. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và    ASB BSC CSA . Chứng minh rằng SA  BC, SB 
 AC, SC  AB. 
HD: Chứng minh 
 
.SA BC = 0 
2. Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD. 
 a) Chứng minh AO vuông góc với CD. 
 b) Gọi M là trung điểm của CD. Tính góc giữa AC và BM. 
 HD: b)   3cos( , )
6
AC BM . 
3. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. 
 a) CMR đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối diện thì vuông góc với 2 cạnh đó. 
 b) Tính góc hợp bởi các cạnh đối của tứ diện. 
 HD: b)   
2 2 2 2 2 2
2 2 2arccos ; arccos ; arccos
a c b c a b
b a c
. 
4. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình bình hành với AB = a, AD = 2a, SAB là tam giác vuông cân tại 
A, M là điểm trên cạnh AD (M  A và D). Mặt phẳng (P) qua M song song với mp(SAB) cắt BC, SC, 
SD lần lượt tại N, P, Q. 
 a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông. 
 b) Đặt AM = x. Tính diện tích của MNPQ theo a và x. 
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923 
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 6 
5. Cho hình hộp ABCD.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Chứng minh rằng AC  BD, AB  
CD, AD  CB. 
BÀI 2: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG 
A. LÝ THUYẾT 
1. Định nghĩa 
 d  (P)  d  a, a  (P) 
2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 
  
 
 
, ( ),
( )
,
a b P a b O
d P
d a d b
3. Tính chất 
  Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm 
của nó. 
 Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó. 
  

 

( )
( )
a b
P b
P a
  

 
  ( ), ( )
a b
a b
a P b P
  

 

( ) ( )
( )
( )
P Q
a Q
a P
  

 
 
( ) ( )
( ) )
( ) ,( )
P Q
P Q
P a Q a
  

 

( )
( )
a P
b a
b P
  

 
 
( )
)
,( )
a P
a P
a b P b
4. Định lí ba đường vuông góc 
 Cho  ( ), ( )a P b P , a là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b  a  b  a 
5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 
  Nếu d  (P) thì  ,( )d P = 900. 
  Nếu  ( )d P thì  ,( )d P =  , 'd d với d là hình chiếu của d trên (P). 
 Chú ý: 00   ,( )d P  900. 
B. BÀI TẬP 
DẠNG 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mp. Hai đường thẳng vuộng góc 
Pp: chứng minh đường thẳng vuông góc với mp 
1. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với 2 
đường thẳng b và c cắt nhau nằm trong mặt 
phẳng () . 
( ), ( ), c
( )
,
b c b x
a
a b a c
 

  
 
  
2. Chứng minh đường thẳng a song song với b 
và b vuông góc với mặt phẳng (). 
//
( )
( )
a b
a
b



 
 
3. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với 
mp() và () song song () 
( ) //( )
( )
( )
a
a
 



 
 
4. Chứng minh a là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  () 
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923 
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 7 
5. Chứng minh đường thẳng a nằm trong () và 
vuông góc với giao tuyến b của hai mặt phẳng 
() và () vuông góc nhau. 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
a
b a
a b
 
  
  

   
 
6. Chứng minh đường thẳng a là giao tuyến của 
hai mặt phẳng () và() cùng vuông góc với mặt 
phẳng thứ ba (). 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
a
a
 
  
 
  

  
 
Pp: chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng 
1. Dùng định nghĩa : ( , ) 90oa b a b   
2. Dùng tích vô hướng 
Với u, v
 
 là vectơ chỉ phương của a và b thì a  b  
u v.
 
 = 0 
3. Chứng minh đường thẳng a vuông góc đường 
thẳng c song song với b 
//b c
a b
a c

 
 
4. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt 
phẳng () chứa đường thẳng b. 
( )
( )
a
a b
b


 
 
 
5. Chứng minh a và b đồng phẳng rồi áp dụng tính chất trong hình học phẳng như : Pytago đảo, trung tuyến 
tam giác cân, tính chất đường cao,  
6. Chứng minh a nằm trong mp () và a vuông góc 
với hình chiếu b’ của b trên mặt phẳng () (định lí 3 
đvg) ( )
( )
'
a
a b
a b bch 
 
   
7. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với một 
mp (P) và (P) song song với đường thẳng b 
( )
//( )
a P
a b
b P
 
 

Bài tập 
Bài 1. Cho tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có ABC là tam giác vuông tại B. 
a. Chứng minh BC vuông góc với mặt phẳng (SAB) và BC SB. 
b. Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh AH SC. 
Bài 2. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy 
(ABCD). Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB và SD. 
a. Chứng minh BC (SAB), CD (SAD), BD (SAC) 
b. Chứng minh SC (AHK) và HK (SAC). 
Bài 3. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O và có SA = SC, SB = SD. 
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923 
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 8 
a. Chứng minh đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD). 
b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SD. Chứng minh MN (SAC). 
Bài 4: (ĐH Khối B năm 2002) 
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB’, CD, A’D’. Chứng 
minh: 'MP C N . 
Giải: 
Gọi E là trung điểm CC’. Ta có: ME// A’D’, ( ' ')MP MED A 
(1) 
Hai tam giác vuông C’CN và D’C’E bằng nhau 
    0' ' ' ' ' 90 ' 'CNC C ED CC N C NC C N ED       (2) 
Do ME // BC ( ' ') 'ME CDD C ME C N    (3) 
Từ (2) và (3) ' ( ' ') 'C N MED A C N MP    
Bài 5: (ĐH Khối A năm 2007) 
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên 
SAD là tam giác đều và ở trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, 
BC, CD. Chứng minh AM BP. 
Giải : 
Gọi H là trung điểm AD, do tam giác SAD đều nên SH AD 
Vì (SAD) (ABCD), suy ra SH  (ABCD) suy ra SHBP (1) 
Dễ thấy hai tam giác vuông BPC và CHD bằng nhau, nên ta có 
    090CBP DCH CBP HCB BP CH      (2) 
Từ (1) và (2) suy ra:  BP SHC (3) 
Do HC // AN, MN // SC    / /SHC MAN (4) 
Từ (3) và (4) suy ra:  BP MAN AM BP   (đpcm) 
Bài 6: (ĐH khối B năm 2007) 
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a. Gọi E là điểm đối xứng của điểm D qua trung điểm 
của SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE, BC. Chứng minh 
MN BD 
Giải 
Ta có SEAD là hình bình hành / /SE DA và SE = DA 
 SEBC cũng là hình bình hành / /SC EB 
Gọi P là trung điểm của AB. Khi đó trong các tam giác EAB và 
ABC ta có MP // EB, PN // AC. 
Từ đó suy ra (MNP) // (SAC) (1) 
Ta có DB AC và   SH (ABCD)BD SH do   BD SAC  
(2) 
Từ (1) và (2) suy ra:  DB MNP BD MN   (đpcm) 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 
1. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông tâm O. SA  (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu 
vuông góc của A trên SB, SC, SD. 
a) CMR: BC  (SAB), CD  (SAD), BD  (SAC). 
H
M
N
P
A
C
B
D
S
N
P
N
M
E
H
D
CB
A
S
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN 01649802923 
CHƯƠNG 3. HÌNH HỌC 11 9 
b) CMR: AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra 3 đường thẳng AH, AI, AK cùng nằm trong 
một mặt phẳng. 
c) CMR: HK  (SAC). Từ đó suy ra HK  AI. 
2. Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B; SA  (ABC). 
a) Chứng minh: BC  (SAB). 
b) Gọi AH là đường cao của SAB. Chứng minh: AH  SC. 
3. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết: SA = SC, SB = SD. 
a) Chứng minh: SO  (ABCD). 
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC. CMR: IJ  (SBD). 
4. Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều. Gọi I là trung điểm của BC. 
a) Chứng minh: BC  (AID). 
b) Vẽ đường cao AH của AID. Chứng minh: AH  (BCD). 
5. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu vuông góc của 
điểm O trên mp(ABC). Chứng minh rằng: 
a) BC  (OAH). 
b) H là trực tâm của tam giác ABC. 
c)   2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
. 
d) Các góc của tam giác ABC đều nhọn. 
6. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều; SAD là tam giác 
vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. 
a) Tính các cạnh của SIJ và chứng minh rằng SI  (SCD), SJ  (SAB). 
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. CMR: SH  AC. 
c) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho: BM  SA. Tính AM theo a. 
HD: a) a, 3,
2 2
a a c) 5
2
a 
7. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC = a 2 . Gọi 
H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD. 
a) CMR: SH  (ABCD). 
b) Chứng minh: AC  SK và CK  SD. 
8. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình chữ nhật có AB = a, BC = a 3 , mặt bên SBC vuông tại B, mặt 
bên SCD vuông tại D có SD = a 5 . 
a) Chứng minh: SA  (ABCD) và tính SA. 
b) Đường thẳng qua A và vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB, CD lần lượt tại I, J. Gọi H là 
hình chiếu của A trên SC. Hãy xác định các giao điểm K, L của SB, SD với mp(HIJ). CMR: AK  
(SBC), AL  (SCD). 
c) Tính diện tích tứ giác AKHL. 
HD: a) a 2 . c) 
28
15
a . 
9. Gọi I là 1 điểm bất kì ở trong đường tròn (O;R). CD là dây cung của (O) qua I. Trên đường thẳng 
vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn (O) tại I ta lấy điểm S với OS = R. Gọi E là điểm đối tâm 
của D trên đường tròn (O). Chứng minh rằng: 
a) Tam giác SDE vuông tại S. 
b) SD  CE. 
c) Tam giác SCD vuông. 
10. Cho MAB vuông tại M ở trong mặt phẳng (P). Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A ta lấy 2 
điểm C, D ở hai