Bài tập chương 2 – Hình học 10

Nguyễn Tích Đức TCV Bài tập chương 2 – Hỡnh học 10 
 Trang 1 
CHƯƠNG II: TÍCH Vễ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 
& ỨNG DỤNG 
A. TểM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN 
1. Định nghĩa: Giỏ trị lượng giỏc của một gúc, gúc giữa 2 vectơ, tớch vụ hướng 2 vectơ 
2. Dấu của cỏc giỏ trị lượng giỏc, hệ thức cơ bản và hệ quả, giỏ trị lượng giỏc gúc phụ, bự nhau 
3. Biểu thức tọa độ tớch vụ hướng, độ dài vectơ, gúc giữa hai vectơ 
4. Hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng, định lớ cosin, định lớ sin, định về đường trung tuyến, cụng thức 
diện tớch tam giỏc 
B. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP 
Dạng 1: Tớnh cỏc giỏ trị lượng giỏc của một gúc, chứng minh đẳng thức 
 Sử dụng cỏc hệ thức cơ bản, hệ quả, giỏ trị lượng giỏc gúc phụ nhau, bự nhau 
 sin cos2 2 1   , sintan
cos



 , coscot
sin



 , tan
cos
2
2
11 

  , cot
sin
2
2
11 

  
  0sin 90 cos   ,  0cos 90 sin   ,  0tan 90 cot   ,  0cot 90 tan   
  0sin 180 sin   ,  0cos 180 cos    ,  0tan 180 tan    ,  0cot 180 cot    
1. Tỡm cỏc giỏ trị lượng giỏc cũn lại của gúc  khi biết: 
a) cos 3
5
   b) sin 4
5
  và  nhọn c) tan 2 2  
2. Biết  sin 0 01 90 180
3
    , tớnh giỏ trị biểu thức tan cot
tan cot
3 1A  
 
 


3. Biết tan 2x  , tớnh giỏ trị biểu thức sin cos
sin cos sin3 33 2
x xB
x x x


 
4. Chứng minh cỏc đẳng thức sau: 
a) sin cos sin cos4 4 2 21 2x x x x   b) sin cos sin cos6 6 2 21 3x x x x   
c) tan sin tan sin2 2 2 2x x x x  d)    sin cos tan cot sin cos1 1 1 2x x x x x x    
e) sin 1 cos 2
1 cos sin sin
x x
x x x

 

 f) 
2 2
2
4 4 2
cos sin 1 tan
cos sin sin
x x x
x x x

 
 
5. Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức sau: 
a) sin sin sin sin2 0 2 0 2 0 2 09 18 81 72   b) tan .tan . tan . tan0 0 0 021 31 59 69 
c)        sin cos sin tan cot0 0 2 2 2 090 180 1 90x x x x x       
6. Tỡm giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: cos cos sinA x x x  4 2 2 
7. Biết tan cotx x m  , tớnh giỏ trị cỏc biểu thức sau theo m: 
a) tan cot2 2x x b) tan cot4 4x x c) tan cot6 6x x 
Dạng 2: Tớnh tớch vụ hướng, tớnh gúc giữa 2 vectơ, chứng minh đẳng thức tớch vụ hướng. 
 Dựng định nghĩa, tớnh chất tớch vụ hướng, cỏc qui tắc phộp cộng, trừ vectơ 
 
22AB AB

 Cụng thức hỡnh chiếu: H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ  A A lờn đt  . Khi đú với mọi điểm 
O, M trờn  , ta cú: . .OA OM OH OM
   
 Sử dụng biểu thức tọa độ của tớch vụ hướng . 1 2 1 2a b x x y y 
 
8. Tam giỏc ABC vuụng tại A và cú hai cạnh ,7 10AB AC  
a) Tỡm cosin của cỏc gúc      , ; , ; ,AB AC AB BC AB CB
     
Nguyễn Tích Đức TCV Bài tập chương 2 – Hỡnh học 10 
 Trang 2 
b) Gọi H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ A của tam giỏc ABC, tớnh .HB HC
 
9. Tam giỏc ABC cú , , 07 5 120AB AC A   
a) Tớnh cỏc tớch vụ hướng .AB AC
 
, .AB BC
 
b) Tớnh độ dài đường trung tuyến AM của tam giỏc ABC 
HD: 2 2 22 4 2 .AM AB AC AM AB AC AB AC     
    
10. Tam giỏc ABC cú , ,AC b AB c BAC    và AD là phõn giỏc trong kẻ từ A (D thuộc cạnh BC) 
a) Hóy biểu thị AD

 theo hai vectơ ,AB AC
 
b) Tớnh độ dài đoạn AD theo b, c và  
ĐS: a) 
b cAD AB AC
b c b c
 
 
  
 b) Bỡnh phương vụ hướng  2 1 cosbcAD
b c
  

11. Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh . . . 0DA BC DB CA DC AB  
     
, từ đú suy ra định lý: “ba đường 
cao của tam giỏc đồng qui tại một điểm” 
12. Cho tam giỏc ABC với 3 đường trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng 
. . . 0AD BC BE CA CF AB  
     
13. Cho hai điểm M, N nằm trờn đường trũn đường kớnh 2RAB  . Gọi I là giao điểm của hai đường 
thẳng AM và BN 
a) Chứng minh . .AM AI AB AI
   
; . .BN BI BA BI
   
b) Tớnh . .AM AI BN BI
   
 theo R 
ĐS: b) 24R 
14. Cho hai đường thẳng a, b cắt nhau tại M. Trờn a lấy hai điểm A, B; trờn b lấy hai điểm C, D đều khỏc 
M và thỏa món . .MA MB MC MD
   
. Chứng minh rằng 4 điểm A, B, C, D nằm trờn một đường trũn. 
HD: Gọi D là giao điểm của đường trũn (ABC) với đường thẳng b. Từ bài 12 . .MA MB MC MD 
   
MD MD 
 
D D  
15. Đường thẳng AB cắt đường thẳng  tại M và C là điểm trờn  C M  . Cm  là tiếp tuyến của 
đường trũn (ABC) khi và chỉ khi .2MC MA MB 
HD: * ĐK cần:  tiếp xỳc (ABC) tại C: 2 2 2MC IM R  
. . .MA MB MA MB MA MB 
   
  MI IA MI IB  
   
2 2MI IA  
* ĐK đủ: Giả sử  cắt (ABC) tại điểm thứ hai C , theo bài 13 cú C C    tiếp xỳc (ABC) 
16. Cho 2 tam giỏc ABC, AB C  vuụng cõn tại A và khụng giao nhau (trừ A đồng thời ,B B nằm cựng 
một phớa so với đường thẳng CC ). Gọi I, J lần lượt là trung điểm cỏc đoạn ,BB CC  . Cm 
, ,AI CC AJ BB BC B C      
17. Cho hỡnh chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh AB; H là hỡnh chiếu của C lờn BD và N là trung 
điểm DH. Chứng minh MN NC 
18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho        ; , ; , ; , ;8 0 0 4 2 0 3 5A B C D   . Cm tứ giỏc ABCD nội tiếp 
được trong một đường trũn. Tỡm tọa độ tõm của đường trũn đú. 
19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho    ; , ;3 4 6 0A B 
a) Nhận xột gỡ về tam giỏc OAB. Tớnh diện tớch tam giỏc đú. 
b) Tỡm tọa độ trực tõm của tam giỏc OAB 
b) Viết phương trỡnh đường trũn ngoại tiếp, nội tiếp tam giỏc OAB 
c) Viết phương trỡnh đường phõn giỏc trong tại đỉnh O của OAB 
20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,  ;1 1A  và  ;3 0B là hai đỉnh của hỡnh vuụng ABCD. Tỡm tọa độ cỏc 
đỉnh C, D. 
21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hỡnh thang ABCD vuụng tại A và D, 
2
ABAD CD  . Tỡm tọa độ 
điểm cỏc đỉnh B, D khi biết  0;1A ,  2; 1C  . 
22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hỡnh vuụng ABCD. Biết  ;2 0B và  ;5 4N là trung điểm cạnh 
CD. Tỡm tọa độ cỏc đỉnh cũn lại của hỡnh vuụng. 
Nguyễn Tích Đức TCV Bài tập chương 2 – Hỡnh học 10 
 Trang 3 
Dạng 3: Phộp giải tam giỏc 
 Với một tam giỏc xỏc định, việc tỡm cỏc yếu tố (cạnh, gúc, trung tuyến, diện tớch, chiều cao, chu vi, 
bỏn kớnh đường trũn nội tiếp, ngoại tiếp) cũn lại của tam giỏc đú được gọi là giải tam giỏc 
Bài toỏn 1: Cho tam giỏc ABC xỏc định bởi 3 cạnh. 
 * Tớnh gúc trong: cos
2 2 2
2
b c aA
bc
 
 , cos
2 2 2
2
a c bB
ac
 
 , cos
2 2 2
2
a b cC
ab
 
 
 * Tớnh diện tớch, chiều cao, bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp, nội tiếp, độ dài trung tuyến: 
   S p p a p b p c    ; 2a
Sh
a
 ; 
4
abcR
S
 ; Sr
p
 ;  2 2 2 24 2aa m b c   
Bài toỏn 2: Cho tam giỏc ABC xỏc định bởi 2 cạnh b, c và gúc A giữa 2 cạnh đú. 
 * Tớnh cạnh thứ ba: cos2 2 2 2a b c bc A   
 * Tớnh gúc cũn lại: Theo bài toỏn 1 
 * sin1
2
S bc A 
Bài toỏn 3: Cho tam giỏc ABC xỏc định bởi cạnh a và hai gúc  ,B C . 
 * Gúc cũn lại:   0180A B C   
 * Cạnh cũn lại: 
sin sin sin
b c a
B C A
  
Bài toỏn 4: Cho tam giỏc ABC cú diện tớch bằng S và hai cạnh ,BC a AC b  
 * sin1
2
S ab C sin 2SC
ab
  
 * cos2 2 2 2c a b ab C   
Bài toỏn 5: Cho tam giỏc ABC cú diện tớch bằng S, ,BC a B   
 . cos
cos
1 2
2
SS a AB AB
a


   . Qui về bài toỏn 4 
23. Tớnh độ dài đường phõn giỏc trong và phõn giỏc ngoài từ A của tam giỏc ABC khi biết 3 cạnh 
HD: Phõn giỏc trong AD: bAB cACAD
b c



   
 
2
2
2
bAB c AC
AD
b c

 

 
Dạng 4: Hệ thức lượng trong tam giỏc 
24. Chứng minh tam giỏc ABC vuụng tại A khi và chỉ khi 2 2 25 a b cm m m  
25. Cho tam giỏc cõn cú gúc ở đỏy bằng  . Cm sin cos sin2 2   
HD:  0180 2A   , 21 sin 2
2ABC
S AB  ,   . sin cosABCS AH BH AB AB   
26. (Dự bị 2015) Biết 2sin 2
3
  , tớnh giỏ trị biểu thức 4 4sin cosP    
27. Tứ giỏc ABCD cú gúc giữa hai đường chộo bằng  . Cm diện tớch tứ giỏc đú bằng . sin1
2
AC BD  
28. Chứng minh 3 mệnh đề sau là tương đương 
a) hai trung tuyến kẻ từ B và C của tam giỏc ABC vuụng với nhau 
b) 2 2 25b c a  
c)  cot cot cot2A B C  
29. Chứng minh rằng nếu 3 gúc của tam giỏc ABC thỏa món sin sin .cos2A B C thỡ ABC là tam giỏc 
cõn 
HD: Sử dụng sin , sin
2 2
a bA B
R R
  , 
2 2 2
cos
2
a b cC
ab
 
 
Nguyễn Tích Đức TCV Bài tập chương 2 – Hỡnh học 10 
 Trang 4 
30. Gọi S là diện tớch và R là bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC. Chứng minh rằng 
sin sin sin22S R A B C 
31. Cho tam giỏc ABC cú , ,AB c AC b BC a   . 
 Đặt      . . .u AB BC CA BC CA AB CA AB BC  
         
a) Cm cos cos cosB C Au abc CA AB BC
b c a
     
 
   
b) Điều kiện cần và đủ để tam giỏc ABC đều là 0u 
 
HD: ĐK đủ 0u 
 
   2 2 2 2a c BC b c AC   
 
2 2 2 2 0a c b c     
32. Cho hỡnh vuụng ABCD. Điểm M nằm trờn đoạn AC sao cho 4AC AM ; điểm N là trung điểm CD. 
Cm BMN là tam giỏc vuụng cõn. 
HD: 25
8
BM MN a  , 2 25
4
BN a 
33. Cho tứ giỏc ABCD nội tiếp đường trũn đường kớnh AC. Đặt  , ,BD a CAB CAD    . Tớnh AC và 
diện tớch tứ giỏc ABCD theo , ,a   . 
HD: 
 
2
sin
aAC R
 
 

,  
2
2
sin cos sin cos
2sin ( )
a
S
   
 



34. Cho tam giỏc ABC. Chứng minh: 
a) cot
2 2 2
4
b c aA
S
 
 (đlớ cosin suy rộng) b) cot cot cot
2 2 2
4
a b cA B C
S
 
   
c) sin sin cos sin cosC A B B A  d) sin sin sin2 A B C  , biết 2 1 1
a b ch h h
  
e)  cos cos2 2b c a b C c B   f)    cos cos cos2 2b c A a c C b B   
g)      cos cos cos2 2 2 2 2 2 0bc b c A ca c a B ab a b C      
h)      cos cos2abc A B a b c b a c a b       
35. Cho tam giỏc ABC. Chứng minh rằng: 
a) Nếu    3a b c b c a bc     thỡ  060A  b) Nếu 
3 3 3
2b c a a
b c a
 

 
 thỡ  060A  
c) Nếu    2 2 2 2b b a c a c   thỡ  060A  d) Nếu cos cos
2 2
2
b a b A a B
c

  thỡ ABC cõn tại C 
e) Nếu sin cos
sin
2B A
C
 thỡ ABC cõn tại B f) Nếu 
cos cos sin .sin
b c a
B C B C
  thỡ ABC vuụng 
36. Cho hai đường trũn  ;1 1O R và  ;2 2O R cắt nhau tại hai điểm A, B. Một đường thẳng tiếp xỳc hai 
đường trũn tại C và D. Gọi N là giao điểm của AB và CD (B nằm giữa A và N), 1AO C  , 

2AO D  . 
a) Tớnh AC theo ,1R  và AD theo ,2R  
b) Tớnh bỏn kớnh r của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ACD 
HD: a) 12 sin 2
AC R  , 22 sin 2
AD R  b) 2
sin sin
2 2
AC ADr
 
  1 2r R R  
Dạng 5: Tập hợp điểm 
37. Cho 2 điểm cố định A, B với AB a . Tỡm tập hợp điểm M thỏa món 1 trong cỏc điều kiện sau: 
a)  . 0MA MB k k 
 
 b) . 22AM AB a
 
HD: a) Gọi I là trung điểm AB,    .k MI IA MI IA  
   
Nguyễn Tích Đức TCV Bài tập chương 2 – Hỡnh học 10 
 Trang 5 
 b) Giả sử H là hỡnh chiếu của M lờn đường thẳng AB. Ta cú 22 .a AH AB
 
2AH a  . Tập hợp M là đường thẳng vuụng gúc với AB tại H nằm trờn 
AB và 2AH a 
38. Gọi G là trọng tõm tam giỏc ABC. 
a) Cm với mọi M, ta cú: 2 2 2 2 2 2 23MA MB MC MG GA GB GC      
b) Tỡm tập hợp cỏc điểm M sao cho 2 2 2 2MA MB MC k   , trong đú k là số thực cho trước 
HD: a)  2 2MA GA MG MA GA  
    
 b) 2 2 2 2 23MG k GA GB GC    
39. Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. Tỡm tập hợp điểm M sao cho 2 2 2 2 2MA MB MC MD k    
HD:  222 2 2 2 .MA MA MO OA MO OA MO OA     
    
40. Cho điểm M cố định trờn đường trũn (O; R) và hai điểm A, B chạy trờn đường trũn sao cho 
 030AMB  . 
a) Tỡm quĩ tớch trung điểm I của đoạn AB. 
b) Xỏc định vị trớ của A, B để diện tớch tam giỏc MAB đạt giỏ trị lớn nhất 
HD: a) AB R OAB đều 3
2
OI R  b) 
2 2 2 21 4.
4 8 16MAB
MA MB R MIS MA MB     , MI lớn nhất , ,M O I thẳng hàng