Bài tập chứng minh Quy nạp

	PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC :
I. Chứng minh rằng ta luơn cĩ các đẳng thức sau :
	1. 	 
	2. 	 
	3.	 
	4.	 
	5. 	 
	6. 	 
	7.	 
	8.	 
	9. 	 
	10.	 
	11. 	
II. Chứng minh rằng ta luơn cĩ :
	1. 	 chia hết cho 3
	2. 	 chia hết cho 6
	3. 	 chia hết cho 6
	4.	 chia hết cho 5
	5.	 chia hết cho 3
	6. 	 chia hết cho 225
	7.	 chia hết cho 9
	8.	 chia hết cho 27
	9. 	 	 chia hết cho 11
	10. 	 	 chia hết cho 5
	11. 	 	 chia hết cho 19
	12. 	 chia hết cho 24
	13. chia hết cho 64
	14. 	 chia hết cho 35
	15. 	 chia hết cho 25
	16. chia hết cho 23
	17. 	 chia hết cho 9
18. 	 chia hết cho 64 
19.	 chia hết cho 24
20.	 chia hết cho 6
21. 	 chia hết cho 133
III. Cho số thực . Chứng minh rằng , ta luơn cĩ :
	1. 
	2. 
IV. Cho số thực . Chứng minh rắng : , 
V. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luơn cĩ bđt :
	1.	
	2. 	
	3. 
VI. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , ta luơn cĩ :
VII. Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Hãy chứng minh bđt :
IX. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên , ta luơn cĩ đẳng thức :
X. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên , ta cĩ :
XI. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên , ta cĩ :
	1. 	
	2. 
XII. Chứng minh rằng với mọi số nguyên thì :
	 chia hết cho 169
XIII. 1. Tính tổng : 
 2. Tính tổng : 
BÀI TẬP VỀ DÃY SỐ :
I. Tìm 5 số hạng đầu tiên của mỗi dãy số sau :
 	1. Dãy số với 
	2. Dãy số với 
	3. Dãy số với 
II. Tìm 6 số hạng đầu tiên của mỗi dãy số sau :
Dãy số với 
Dãy số với 
III. Cho dãy số với . Hãy điền các số thích hợp vào các ơ trống sau đây :
n
1
2
3
4
5
un
IV. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hàm số cĩ đồ thị (C).
Với mỗi số nguyên dương n, gọi là giao điểm của (C) với đường thẳng d : . Xét dãy số với là tung độ của điểm . Hãy tìm cơng thức xác định cơng thức tổng quát của dãy số đĩ .
V. Hãy xét tính đơn điệu của các dãy số sau :
	1. Dãy số ( với 
	2. Dãy số với 
	3. Dãy số với 
	4. Dãy số với 
	5. Dãy số với 
	6. Dãy số với 
	7. Dãy số với 
8. Dãy số với 
VI. Xác định số thực a để dãy số với là :
Một dãy số tăng . 2. Một dãy số giảm.
VII. Chứng minh rằng : dãy số với là một dãy số bị chặn.
VIII. CMR : dãy số với là một dãy số tăng và bị chặn.
IX. Cho dãy số với 
Hãy tính : , , , , 
Dự đoán công thức của số hạng tổng quát và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp .
X. Cho dãy số xác định bởi : 
	1. Hãy tính : , , , 
2. Dự đoán công thức của số hạng tổng quát và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp .
XI. Cho dãy số xác định bởi : 
Hãy tính : , , 
Dự đoán công thức của số hạng tổng quát và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp .
XII. Cho dãy số xác định bởi : 
1. Hãy tính : , , , 
2. Dự đoán công thức của số hạng tổng quát và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp .
XIII. Cho dãy số với 
Chứng minh rằng : 
Hãy tính 17 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.
BÀI TẬP VỀ CẤP SỐ CỘNG :
I. Cho cấp số cộng (un) cĩ : u1 =1 và u2 = 6.
	1. Hãy tìm cơng sai d của cấp số cộng đã cho.
	2. Tính u3, u4, u5 và u6.
II. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng? Hãy xác định 
 cơng sai của mỗi cấp số đĩ.
Dãy số (an) xác định bởi a1 = 1 và an+1 = 3 + an với mọi 
Dãy số (bn) xác định bởi b1 = 3 và bn+1 = bn – n với mọi 
Dãy số (cn) mà cn+1 = cn + 2 	 với mọi 
III. Trong mặt phẳng toạ độ, cho đồ thị (C) của hàm số y = 3x – 2
Với mỗi số nguyên dương n, gọi An là giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng x = n
	Xét dãy số (un) với un là tung độ giao điểm An. Chứng minh dãy số un là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và cơng sai của cấp số cộng đĩ.
IV. Xét dãy số (un) xác định bởi u1 = a và un+1 = 5 – un với mọi , trong đĩ a là một số thực. Hãy xác định tất cả các gía trị của a để dãy số (un) là một cấp số cộng.
V. Cho một cấp số cộng cĩ 5 số hạng. Biết rằng số hạng thứ hai bằng 3 và số hạng thứ tư bằng 7. Hãy tìm các số hạng cịn lại.
VI. Một cấp số cộng cĩ 7 số hạng mà tổng của số hạng thứ ba và số hạng thứ năm bằng 28, tổng của số hạng thứ năm và số hạng cuối bằng 140. Hãy tìm cấp số cộng đĩ.
VII. Cho cấp số cộng (un) cĩ số hạng đầu u1 = 2 và cơng sai d = -3
Trên mặt phẳng tọa độ, lấy các điểm A1, A2, ......sao cho với mỗi số nguyên dương n, điểm An cĩ toạ độ (n, un). Chứng minh rằng tất cả các điểm An, ( n = 1,2,3,,,,) cùng nằm trên một đường thẳng . Hãy cho biết phương trình của đường thẳng đĩ.
VIII. Cho một cấp số cộng cĩ 7 số hạng với cơng sai duơng và số hạng thứ tư bằng 11. Hãy tìm các số hạng cịn lại của cấp số cộng đĩ, biết rằng hiệu của số hạng thứ ba và số hạng thứ năm bằng 6.
IX. Cấp số cộng (un) cĩ u17 – u20 = 9 và (u17)2 + (u20)2 = 153. Hãy tìm số hạng đầu và cơng sai của cấp số cộng đĩ.
X. Cho cấp số cộng (un) cĩ cơng sai d > 0, u31 + u34 = 11 và 
(u31)2 + (u34)2 = 101. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đĩ.
XI. Cho cấp số cộng (un) và cho các số nguyên dương m, k với 
m < k. Chứng minh rằng: 
Áp dụng: Hãy tìm một cấp số cộng cĩ 7 số hạng mà số hạng thứ ba bằng 2 và tổng của số hạng đầu và số hạng cuối bằng 10.
XII. Hãy tính các tổng sau đây :
Tổng tất cả các số hạng của một cấp số cộng cĩ số hạng đầu bằng 102, số hạng thứ hai bằng 105 và số hạng cuối bằng 999.
Tổng tất cả các số hạng của một cấp số cộng cĩ số hạng đầu bằng , số hạng thứ hai bằng và số hạng cuối 
 bằng : -2007.
XIII. Cho cấp số cộng (un) cĩ u5 + u19 = 90. Hãy tính tổng 23 số hạng đầu của (un).
XIV. Cho cấp số cộng (un) cĩ u2 + u5 = 42 và u4 + u9 = 66. Hãy tính tổng 346 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đĩ.
XV. Cho cấp số cộng tăng (un) cĩ và tổng 15 số hạng đầu tiên bằng 585. Hãy tìm u1 và cơng sai d của cấp số cộng đĩ.
XVI. Tìm số hạng đầu tiên a1 và cơng sai d trong mổi trường hợp sau :
a3 = -15 & a14 = 18 
a2 + a5 – a3 = 10 & a4 + a6 = 26
a2 + a4 + a6 = 36 & a2 . a3 = 54
a5 – a3 = – 4 & a2 . a4 = – 3
a1 + a7 = 4 & a32 + a72 = 122
S4 = 15 & S7 = 12
a3 + a5 = 4 & S12 = 129
a4 . a5 = 130 & S5 = 35
XVII. 1. Tính S10 . Biết : u1 + u6 = 17 & u2 + u5 – u3 = 10
2. Tính S20 . Biết : u7 = 8 & u13 = 23
3. Tính S20 . Biết : u3 = –15 & u14 = 18
	4. Tính S30 . Biết : u5 = 19 & u8 = 31
	5. Tính S100 . Biết : u9 – u4 = 10 & u3 . u6 = 55
	6. Tính tổng các số hạng sau :
	a. S = 1002 – 992 + 982 – 972 +...+ 22 – 12
	b. S = 105 + 110 + 115 + ... + 955
XVIII. Số đo các gĩc của một tam giác lập thành một cấp số cộng. Gĩc lớn nhất cĩ số đo bằng số đo gĩc nhỏ nhất . Tìm số đo của mỗi gĩc .
XIX . Giả sử a, b, c lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng :
a2 + 8bc = (2b+c)2 
a2 + 2bc = c2 +2ab
XX. Gọi a, b, c và A, B, C là ba cạnh và ba gĩc của tam giác ABC. Chứng minh rằng : Nếu a, b, c lập thành cấp số cộng thì :
XXI. 1. Tìm x để ba số : 10 – 3x ; 2x2 +3 ; 7 – 4x lập thành cấp số cộng.
2. Giải phương trình : 
 	(x+1) + (x+4) + (x+7) + ... + (x+28) = 155
XXII. Thêm 20 số vào giữa số 4 và 67 để được một cấp số cộng. hãy tìm các số đã thêm.
XXIII. Định m để mỗi phương trình sau cĩ 4 nghiệm lập thành một cấp số cộng :
x4 – 2mx2 + m + 4 = 0
x4 – 2mx2 + 2m – 1 = 0
x4 – 2(m+2)x2 + 2m + 3 = 0
x4 – 2(m+1)x2 + 2m + 1 = 0
 	 	BÀI TẬP VỀ CẤP SỐ NHÂN :
I. Cho cấp số nhân (un ) cĩ u1 = 3 & u2 = 2
	1. Hãy tìm cơng bội q của cấp số nhân.
	2. Hãy tính u3 ; u4 ; u5 và u6 .
II. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số nhân ? Hãy xác định cơng bội của mổi cấp số nhân đĩ .
Dãy số (an) xác định bởi a1=1 và an+1 = 
Dãy số (bn) xác định bởi b1=3 và bn+1 = 
Dãy số (cn) xác định bởi c1=2 và cn+1 = 
Dãy số (dn) mà dn+1 = 3dn 
III. Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un+1 = 4un + 9 
Chứng minh rằng dãy số (vn) xác định bởi : vn = un + 3 là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng đầu và cơng bội của cấp số nhân đĩ.
IV. Xét dãy số (un)xác định bởi u1= a và un+1 = trong đĩ a là một số thực khác 0. Hãy xác định tất cả các giá trị của a để dảy số (un) là một cấp số nhân .
V. Cho một cấp số nhân cĩ 5 số hạng với cơng bội dương. Biết rằng số hạng thứ hai bằng 3 và số hạng thứ tư bằng 6. Hãy tìm các số hạng cịn lại của cấp số nhân đĩ .
VI. Một cấp số nhân cĩ 7 số hạng với số hạng đầu và cơng bội là các số âm. Biết rằng tích các số hạng thứ ba và thứ năm bằng 5184, tích của số hạng thứ năm và số hạng cuối bằng 746 496. Hãy tìm cấp số nhân đĩ.
VII. Cho một cấp số nhân cĩ 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số thứ bảy gấp 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm các số hạng cịn lại của cấp số nhân đĩ.
VIII. Xác định cấp số nhân gồm 6 số hạng với ba số hạng đầu bằng 168 và ba số hạng cuối bằng 21.
IX. Tìm số hạng đầu tiên u1 và cơng bội q , biết :
	1. u5 = 96 & u6 = 192
	2. u4 – u2 = 72 & u5 – u3 = 144
	3. u7 – u4 = – 216 & u5 – u4 = –72
	4. u20 = 8u17 & u3 + u5 = 272
	5. u1 – u3 + u5 = – 65 & u1 + u7 = – 325
	6. u2 + u4 = 30 & u4 + u6 = 270
X. Cho cấp số nhân (un) cĩ : 6u2 + u5 = 1 & 3u3 + 2u4 = –1. Hãy xác định số hạng tổng quát và cơng bội của cấp số nhân đĩ .
XI. Hãy tính các tổng sau : 
1. Tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân cĩ số hạng đầu bằng , số hạng thứ hai bằng –2 và số hạng cuối bằng 64.
2. Tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân cĩ 11 số hạng, số hạng đầu tiên bằng và số hạng cuối bằng 
XII. Cho cấp số nhân (un) cĩ 8u2 – 5.u5 = 0 & u13 + u33 = 189. Hãy tính tổng 12 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đĩ .
XIII. Cho cấp số nhân (un) với cơng bội q (0 ;1). Hãy tính 25 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đĩ, biết : u1 + u3 = 3 & u12 + u32 = 5 
XIV. Cho cấp số nhân (un) cĩ : .u2 + u5 = 0 & u32 + u62 = 63 . Hãy tính tổng : S = .
XV. Xác định bốn số a, b, c, d. Nếu chúng lập thành một cấp số nhân theo thứ tự trên và : 
XVI. Cho dãy số (un) xác định bởi : 
Chứng minh rằng dãy số (un) vừa là cấp số cộng, vừa là cấp số nhân.