Bài tập bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8

Cho và . Chứng minh rằng : .
Cho . Chứng minh rằng: 
Cho a, b dương và a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 
Tinh: a2011 + b2011
Cho x, y, z đụi một khỏc nhau và . 
Tớnh giỏ trị của biểu thức: 
Cho x = ; y = 
Tớnh giỏ trị P = x + y + xy
Cho .Tớnh 
Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thỡ:
Cho abc = 2 Rỳt gọn biểu thức: 
Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a > b > 0
Tớnh: 
Cho x + y = 1 và x y 0 . Chứng minh rằng 
Cho a,b,c thoả mãn: = = . Tính giá trị M = (1 +)(1 +)(1 + )
Cho a+b+c = 0, Tính giá trị của biểu thức: A = + + 
Cho = và = 
Tính giá trị của biểu thức A = 
Cho xyz = 1 và x+y+z = = 0. Tính giá trị M = 
Cho a, b, c ≠ 0; a2 + 2bc ≠ 0; b2 + 2ca ≠ 0; c2 + 2ab ≠ 0 và a2 + b2 + c2 = (a+b+c)2
CMR: S = M = 
Cho 3 số x, y, z thoả mãn đồng thời
x2+2y = -1, y2+2z = -1, z2+2x = -1
Tính giá trị của A = x2001 + y2002 + z2003
Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = 0 và ab+bc+ca = 0
Tìm giá trị của: M = (a-1)1999+ b2000 + (c+1)2001
Cho a+b+c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tìm giá trị B = a4+b4+c4.
Tìm nghiệm Z của: x4 + x2 + 4 = y2 – y
Tìm nghiệm nguyên dương của PT: x2 + (x+y)2 = (x+9)2
Tìm nghiệm nguyên của PT: x7 – x5 +x4 – x3 – x2 + x = 1992.
Tìm giá trị lớn nhất của M = 
 b, Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x2+26y2-10xy+14x-76y +59.
Cho a, b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất: P = 
Cho a+b+c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tìm giá trị B = a4+b4+c4.
Tìm giá trị lớn nhất của: N = 
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của M = 
Cho x, y thoả mãn: x+y=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x3+y3+xy
Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của A = 
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: A = 
Cho x, y, z 0 và x + 5y = 1999; 2x + 3z = 9998. Tìm giá trị lớn nhất của M = x + y + z
Cho x, y thoả mãn: 2x2 + + = 4 (x0). Tìm x, y để xy đạt giá trị nhỏ nhất
Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2x2 + 2xy + y2 - 2x + 2y +1
Cho x+y+z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x2 + y2 + z2
Giải phương trỡnh: 
Giải phương trình : 
Giải phương trỡnh:
	.
Giải phương trỡnh:
a, = ++ (x là ẩn số)
Giải phương trỡnh: 
(x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 
Giải PT: 
CM: A = n6 – n4 +2n3 +2n2 không là số chính phương với nN và n >1
A = n4 + 2n3 + 2n2 + 2n + 1 không là số chính phương
Bài 3: (2đ) Cho hỡnh vuụng ABCD; Trờn tia đối tia BA lấy E, trờn tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF
	a) Chứng minhEDF vuụng cõn
 	b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chộo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng.
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (HBC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo .
Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: .
Cho tam giỏc ABC vuụng tại C (CA > CB), một điểm I trờn cạnh AB. Trờn nửa mặt phẳng bờ AB cú chứa điểm C người ta kẻ cỏc tia Ax, By vuụng gúc với AB. Đường thẳng vuụng gúc với IC kẻ qua C cắt Ax, By lần lượt tại cỏc điểm M, N.
a) Chứng minh: tam giỏc CAI đồng dạng với tam giỏc CBN.
b) So sỏnh hai tam giỏc ABC và INC.
c) Chứng minh: gúc MIN = 900.
d) Tỡm vị trớ điểm I sao cho diện tớch ∆IMN lớn gấp đụi diện tớch ∆ABC.
 Cho hỡnh vuụng ABCD. M là một điểm trờn đường chộo BD. Kẻ ME và MF vuụng gúc với AB và AD.
a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuụng gúc với nhau.
b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy.
c) Xỏc định vị trớ của điểm M để tứ giỏc AEMF cú diện tớch lớn nhất.
Cho hỡnh vuụng ABCD trờn cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đường thẳng vuụng gúc vơi AE cắt đường thẳng CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF. AI cắt CD tại M. Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI tại N.
a) Chứng minh tứ giỏc MENF là hỡnh thoi.
b) Chứng minh chi vi tam giỏc CME khụng đổi khi E chuyển động trờn BC
Cho hỡnh chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đường chộo AC ta dựng hỡnh chữ nhật AMPN ( M ẻ AB và N ẻAD). Chứng minh:
a) BD // MN.
b) BD và MN cắt nhau tại K nằm trờn AC.
Cho hỡnh chữ nhật cú AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Nối D với E. Vẽ tia Dx vuụng gúc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trờn tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho DM = EK. Gọi G là giao điểm của DK và EM.
a/ Tớnh số đo gúc DBK.
b/ Gọi F là chõn đường vuụng gúc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A, I, G, H cựng nằm trờn một đường thẳng.
Hỡnh thang ABCD (AB // CD) cú hai đường chộo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đỏy AB cắt cỏc cạnh bờn AD, BC theo thứ tự ở M và N.
a, Chứng minh rằng OM = ON.
b, Chứng minh rằng .
c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tớch); SCOD= 20092 (đơn vị diện tớch). Tớnh SABCD. 
Cho tam giỏc ABC nhọn, cỏc đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tõm. 
a) Tớnh tổng 
b) Gọi AI là phõn giỏc của tam giỏc ABC; IM, IN thứ tự là phõn giỏc của gúc AIC và gúc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM.
c) Tam giỏc ABC như thế nào thỡ biểu thức đạt giỏ trị nhỏ nhất?
Cho tam giác đều ABC , gọi M là trung điểm của BC . Một góc xMy bằng 600 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx , My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E . Chứng minh :
a) BD.CE=
b) DM,EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED.
c) Chu vi tam giác ADE không đổi.