Bài kiểm tra đội tuyển HSG Toán 8 lần 1

BÀI KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HSG TOÁN 8 LẦN 1
Ngày kiểm tra 16 tháng 10 năm 2015
Bài 1: ( 5 đ) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a, x3 - 19x – 30	1đ
b, 2x3 - 5x2 + 8x - 3	1đ
c, x2(y - z) + y2(z - x) + z(x - y)	1đ
d, a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)	1 đ
e, x2 - x - 2001.2002	0,5
f, x4 + 1997x2 + 1996x + 1997	0,5
Bài 2 ( 1 đ) Chứng minh rằng A = 13 + 23 + 33 + ...+ 1003 chia hết cho
 B = 1 + 2 + 3 + ... + 100
Bài 3: ( 2 đ) Chứng minh rằng
a) n5 - n chia hết cho 30 với n Î N ; 
b) n4 -10n2 + 9 chia hết cho 384 với mọi n lẻ nÎ Z
Bài 4:( 2 đ)
 Cho hình bình hành ABCD.Trên đường chéo AC lấy điểm M,N sao cho AM = CN.Trên AB lấy điểm E, trên CD lấy điểm F sao cho BE = DF.Chứng minh rằng MENF là hình bình hành.
ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM
Bài 1: 
e, x2 - x - 2001.2002 = x2 - x - 2001.(2001 + 1)
= x2 - x – 20012 - 2001 = (x2 – 20012) – (x + 2001) = (x + 2001)(x – 2002)
f, x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = (x4 + x2 + 1) + (1996x2 + 1996x + 1996)
= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + 1996(x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1 + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1997)
Bài 2: Ta có: B = (1 + 100) + (2 + 99) + ...+ (50 + 51) = 101. 50
Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 và 101
Ta có: A = (13 + 1003) + (23 + 993) + ... +(503 + 513) 
= (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99)(22 + 2. 99 + 992) + ... + (50 + 51)(502 + 50. 51 + 512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 2. 99 + 992 + ... + 502 + 50. 51 + 512) chia hết cho 101 (1)
Lại có: A = (13 + 993) + (23 + 983) + ... + (503 + 1003)
Mỗi số hạng trong ngoặc đều chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 (2) 
Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 101 và 50 nên A chi hết cho B
Hoặc chứng minh được A =B2
Bài 3: a) n5 - n = n(n4 - 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2 + 1) = (n - 1).n.(n + 1)(n2 + 1) chia hết cho 6 vì
(n - 1).n.(n+1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 (*)
Mặt khác n5 - n = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n2 - 1).(n2 - 4 + 5) = n(n2 - 1).(n2 - 4 ) + 5n(n2 - 1)
 = (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1)
Vì (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5
 5n(n2 - 1) chia hết cho 5
Suy ra (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1) chia hết cho 5 (**)
Từ (*) và (**) suy ra đpcm
b) Đặt A = n4 -10n2 + 9 = (n4 -n2 ) - (9n2 - 9) = (n2 - 1)(n2 - 9) = (n - 3)(n - 1)(n + 1)(n + 3)
Vì n lẻ nên đặt n = 2k + 1 (k Z) thì 
A = (2k - 2).2k.(2k + 2)(2k + 4) = 16(k - 1).k.(k + 1).(k + 2) A chia hết cho 16 (1)
Và (k - 1).k.(k + 1).(k + 2) là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên A có chứa bội của 2, 3, 4 nên A là bội của 24 hay A chia hết cho 24 (2)
Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 16. 24 = 384
Bài 4: A
B
C
D
N
M
E
F
 Giải :
 ABCD là hình bình hành.
 GT M,N AC : AM = CN
 E AB ; F CD :BE = DF
 KL Cm: MENF là hình bình hành
Giải : ABCD là hình bình hành => AB = CD
 Mà E AB ; F CD ; BE = DF
 => AE = CF
 Xét có :
 AE = CF 
 ( so le trong)
 AN = MC ( AM = CN )
 => (c.g.c)
 => EN = MF (1)
 =>EN // MF (2)
 MENF là hình bình hành