Bài giảng Véc tơ trong không gian (tham khảo)

Khóa học Chinh phục HÌNH KHÔNG GIAN (Pro-S 2018) Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG – MOON.VN 
Tham gia chương trình PRO-S TOÁN 2018 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2018 ! 
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN 
Group thảo luận bài tập : www.facebook.com/groups/Thayhungdz 

 KIẾN THỨC TRỌNG TÂM : 
I. CÁC QUY TẮC VÉC TƠ 
 Quy tắc véc tơ đối : 
Với mọi hai điểm A, B cho trước ta luôn có AB BA AB BA 0= − ⇔ + =



 


 


 


 
 Quy tắc cộng véc tơ : 
Cho trước hai điểm A, B. Với mọi các điểm M1, M2...Mn ta luôn có hệ thức sau: 
1 1 2 2 3 nAB AM M M M M ... M B= + + + +



 




 





 





 





 Quy tắc trừ hai véc tơ : 
Cho trước hai điểm A, B. Với mọi điểm M ta luôn có AB MB MA= −



 


 




 Quy tắc hình bình hành : 
Cho hình bình hành ABCD, khi đó 
AB AD AC
AB DC
+ =
=



 


 






 


 
 Quy tắc trung tuyến: 
Cho hai điểm A, B. Nếu M là trung điểm của AB thì ta có 
hệ thức 
MA MB 0
AM BM 0
 + =

+ =




 







 



 
 Quy tắc trung tuyến: 
Cho tam giác ABC, gọi M và N theo thứ tự là trung điểm 
của BC và AC. Khi đó 
AB AC 2AM
BA BC 2BN
+ =
+ =



 


 







 


 


 
 Quy tắc trọng tâm: 
Cho tam giác ABC có trọng tâm G như hình vẽ. 
Khi đó ta có 
GA GB GC 0
2AG AM 2GM
3
 + + =


= =




 


 


 



 



 



 
Nhận xét: 
+) Với mọi điểm I thì ta luôn có IA IB IC 3IG+ + =


 

 

 


+) Điểm G được gọi là trọng tâm tứ diện ABCD khi 
GA GB GC GD 0+ + + =



 


 


 


 

 CÁC VÍ DỤ MẪU THAM KHẢO (Phần video bài giảng hệ thống ví dụ khác nhé các em !) 
Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho tứ diện ABCD. Xác định các điểm M, N thỏa mãn: 
a) = + +AM AB AC AD




 


 


 



b) = + −AN AB AC AD



 


 


 



Lời giải: 
Tài liệu bài giảng (Chương trình PRO-S 2018) 
01. VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN (Tham khảo) 

	

		
Khóa học Chinh phục HÌNH KHÔNG GIAN (Pro-S 2018) Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG – MOON.VN 
Tham gia chương trình PRO-S TOÁN 2018 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2018 ! 
a) AM AB AC AD= + +




 


 


 



 Gọi I là trung điểm của BC, khi đó 
AB AC 2AI+ =



 


 


 Gọi J là điểm đối xứng của A qua I, khi đó ta có 
2AI AJ AB AC AJ= → + =


 

 


 


 


Từ đó AB AC AD AJ AD 2AE+ + = + =



 


 


 

 


 



, với E là 
trung điểm của DJ. 
Theo bài, AM AB AC AD 2AE= + + =




 


 


 


 



Vậy M là điểm đối xứng của A qua E. 
b) AN AB AC AD= + −



 


 


 



 Theo a, ta có AB AC 2AI AJ+ = =



 


 

 


 Gọi J là điểm đối xứng của A qua I, khi đó ta có 
AN AB AC AD AJ AD DJ→ = + − = − =



 


 


 


 

 


 


Vậy trong tam giác ADJ ta tạo ra hình bình hành 
ADJN thì điểm N thỏa mãn yêu cầu này chính là 
điểm cần tìm. 
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD, G là trung điểm của MN 
và G1 là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh các hệ thức sau: 
a) + = +AC BD AD BC



 


 


 



 b) ( ) ( )= + = +1 1MN AC BD AD BC2 2




 


 


 


 



c) + + + =GA GB GC GD 0



 


 


 


 
 d) 4NA NB NC ND NG, N.



 


 


 


 



+ + + = ∀ 
e) + + = 1AB AC AD 3AG



 


 


 





Lời giải: 
a) AC BD AD BC+ = +



 


 


 



Sử dụng quy tắc cộng véc tơ ta có 
( )AC AD DC AC BD AD BC DC CD
BD BC CD
 = +
→ + = + + +
= +



 


 






 


 


 


 


 






 


 


 
Mà DC CD 0 AC BD AD BC.+ = → + = +



 


  


 


 


 



b) ( ) ( )1 1MN AC BD AD BC2 2= + = +




 


 


 


 



 Chứng minh: ( )1MN AC BD AC BD 2MN2= + ⇔ + =




 


 


 


 


 




Theo quy tắc cộng ta có 
AC AM MN NC
BD BM MN ND
= + +
= + +



 



 



 






 



 



 


 
( ) ( )AC BD AM BM 2MN NC ND→ + = + + + +


 


 



 



 



 


 


 
Theo quy tắc trung điểm ta lại có 
AM BM 0
NC ND 0
 + =

+ =




 



 



 


  
Từ đó ta được ( )AC BD 2MN dpcm .+ = →


 


 



 
 Chứng minh: ( )1MN AD BC2= +




 


 



Khóa học Chinh phục HÌNH KHÔNG GIAN (Pro-S 2018) Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG – MOON.VN 
Tham gia chương trình PRO-S TOÁN 2018 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2018 ! 
Ta có thể chứng minh tương tự như trên, hoặc sử dụng kêt quả câu a là AC BD AD BC+ = +



 


 


 



 ta cũng được điều phải 
chứng minh. 
c) GA GB GC GD 0+ + + =



 


 


 


 
Theo quy tắc trung điểm trong ∆GAB và ∆GCD ta có ( )GA GB 2GM GA GB GC GD 2 GM GN
GC GD 2GN
+ =
→ + + + = +
+ =



 


 







 


 


 


 



 






 


 


 
Mà G là trung điểm của MN nên GM GN 0 GA GB GC GD 0.+ = → + + + =




 


  


 


 


 


 
d) NA NB NC ND 4NG, N.+ + + = ∀



 


 


 


 



Ta có ( )
0
NA NG GA
NB NG GB
NA NB NC ND 4NG GA GB GC GD 4NG
NC NG GC
ND NG GD
= +
= +
→ + + + = + + + + =
= +
= +




 


 






 


 






 


 


 


 


 


 


 


 


 






 


 







 


 



e) 1AB AC AD 3AG+ + =



 


 


 




 Sử dụng quy tắc trung tuyến cho ∆ACD ta được AC AD 2AN+ =



 


 



Gọi I là điểm đối xứng của A qua N, khi đó 2AN AI AC AD AI= → + =



 

 


 


 


 Ta có ( )AB AC AD AB AC AD AB AI 2AE,+ + = + + = + =


 


 


 


 


 


 


 

 


 với E là trung điểm của BI. 
 Xét trong ∆ABI có BN và AE là các đường trung tuyến, giả sử BN ∩ AE = G′ thì G′ là trọng tâm ∆ABI. 
Khi đó 1 1
2BG BN BG G G
3
′ ′= = → ≡ . 
Mà 1 1
2 2AE AB AC ADAG AE AB AC AD 3AG
3 3 3
+ +
= = = ←→ + + =



 


 


 







 


 


 


 


 




II. PHÉP PHÂN TÍCH, CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN VÉC TƠ 
 Ba véc tơ đồng phẳng: 
Cho ba véc tơ đồng phẳng a, b, c.
  
 Khi đó, tồn tại duy nhất một phép phân tích c ma nb= +
  
. 
 Ba véc tơ không đồng phẳng: 
Cho ba véc tơ đồng phẳng a, b, c.
  
 Khi đó, với mỗi véc tơ d

 thì tồn tại duy nhất một phép phân tích d ma nb pc= + +
   
. 

 CÁC VÍ DỤ MẪU THAM KHẢO (Phần video bài giảng hệ thống ví dụ khác nhé các em !) 
Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Hãy phân tích các véc tơ 
SA, SB, SC, SD



 


 


 



 theo AB, AC, SO.



 


 



Lời giải: 
 Phân tích SA




: 
Ta có 1 1SA SO OA SO CA SO AC
2 2
= + = + = −



 


 


 


 


 


 



1SA SO AC
2
→ = −



 


 



 Phân tích SB



: 
( ) 1SB SO OB SO OA AB SO AC AB2= + = + + = − +


 


 


 


 


 


 


 


 



1SB SO AC AB
2
→ = − +


 


 


 



 Phân tích SC



: 
1SA SC 2SO SC 2SO SA 2SO SO AC
2
 
+ = → = − = − − 
 



 

 


 

 


 


 


 


 



1SC SO AC
2
→ = +


 


 



 Phân tích SD




: 
Khóa học Chinh phục HÌNH KHÔNG GIAN (Pro-S 2018) Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG – MOON.VN 
Tham gia chương trình PRO-S TOÁN 2018 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2018 ! 
1SB SD 2SO SD 2SO SB 2SO SO AC AB
2
 
+ = → = − = − − + 
 


 


 


 


 


 

 


 


 


 



1SD SO AC AB
2
→ = + −



 


 


 



Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho tứ diện ABCD, gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Chứng minh rằng ba 
véc tơ MN, BC, AD




 


 



 đồng phẳng. 
Lời giải: 
Nhận xét: 
Để chứng minh ba véc tơ MN, BC, AD




 


 



 đồng phẳng ta đi 
kiểm tra xem có đẳng thức véc tơ nào liên quan đến ba 
véc tơ trên hay không. Bằng trực quan hình học, ta thấy 
MN ở giữa BC và AD nên ta sẽ xuất phát từ véc tơ MN đi 
theo hai hướng là BC và AD. 
Ta có 
MN MA AD DN
MN MB BC CN
 = + +

= + +




 



 


 







 


 


 


 
( ) ( ) ( )
0 0
2MN MA MB BC AD DN CN→ = + + + + +
 




 



 


 


 


 


 



 
Từ đó ta có ( )1MN BC AD2= +




 


 



, tức là ba véc tơ đồng 
phẳng. 
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hình chóp tam giác S.ABC. Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho = −MS 2MA



 




 và trên đoạn 
BC lấy điểm N sao cho = − 1NB NC.
2



 



 Chứng minh rằng ba vectơ AB, MN, SC



 



 



 đồng phẳng. 
Lời giải: 
Tương tự như ví dụ trên, chúng ta phân tích MN





 theo hai 
hướng. 
Ta có 
( )
( )
MN MA AB BN, 1
MN MS SC CN, 2
 = + +

= + +




 



 


 







 


 

 


 
Nhân cả hai vế của (1) với 2 rồi cộng với (2) ta được 
( ) ( ) ( )3MN 2MA MS 2AB SC 2BN CN= + + + + +



 



 


 


 

 


 


 
Từ giả thiết 
MS 2MA 2MA MS 0
1NB NC 2NB NC 0
2
 = −  + =
←→ 
= − + =



 








 


 



 


 


 


 
2 13MN 2AB SC MN AB SC
3 3
→ = + ⇔ = +




 


 

 



 


 


Vậy ba véc tơ AB, MN, SC



 



 


 đồng phẳng. 
Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho tứ diện S.ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. 
a) Phân tích vectơ 




SG theo các ba véc tơ , , .


 

 



SA SB SC 
b) Gọi D là trọng tâm của tứ diện S.ABC. Phân tích vectơ 




SD theo ba vectơ , , .


 

 



SA SB SC 
Lời giải: 
a) Ta có: ( ) ( ) ( )0 0GA GB GC GS SA GS SB GS SC+ + = ⇒ + + + + + =


 


 


  


 

 


 

 


 


  ( ) ( )1 13SG SA SB SC⇒ = + +



 

 

 



b) Ta có : ( ) ( ) ( )0 0DS DA DB DC DS DS SA DS SB DS SC+ + + = ⇒ + + + + + + =


 


 


 


  


 


 

 


 

 


 


  
( ) ( )14 1 4SA SB SC SD SD SD SA SB SC⇒ + + = ⇒ = ⇒ = + +


 

 


 


 


 


 

 

 



. 
Khóa học Chinh phục HÌNH KHÔNG GIAN (Pro-S 2018) Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG – MOON.VN 
Tham gia chương trình PRO-S TOÁN 2018 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2018 ! 
Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có ' , , .= = =



 


 



 AA a AB b AC c 
a) Hãy phân tích các vectơ ,′ ′




 




B C BC theo các vectơ , ,a b c
  
. 
b) Gọi G′ là trọng tâm tam giác A′B′C′. Biểu diễn véc tơ ′





AG qua các véc tơ , ,
  
a b c . 
Lời giải: 
a) ' ' ' ' ' ' ' ' 'B C B B B C B B B A A C a b c= + = + + = − − +



 



 




 



 




 




    
' ' ' ' ' ' ' ' 'BC BB B C BB B A A C a b c= + = + + = − +




 


 




 


 




 




   
b) ( ) ( ) ( )1 1 1' ' ' ' ' '3 3 3AG AA AB AC AA AB AC a b c′ = + + = + + = + +