Bài giảng trọng tâm Mũ – Logarit - Đặng Việt Hùng

Khúa học LTĐH mụn Toỏn – Thầy Đặng Việt Hựng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 
Học offline: Số 11 – ngỏch 98 – ngừ 72 Tụn Thất Tựng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn 
Trang 1 
LUYỆN THI ĐẠI HỌC TRỰC TUYẾN 
ĐặNG VIệT HùNG 
BÀI GIẢNG TRỌNG TÂM 
MŨ – LOGA 
Khúa học LTĐH mụn Toỏn – Thầy Đặng Việt Hựng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 
Học offline: Số 11 – ngỏch 98 – ngừ 72 Tụn Thất Tựng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn 
Trang 2 
I. CÁC CễNG THỨC CƠ BẢN VỀ LŨY THỪA 
1) Khỏi niệm về Lũy thừa 

 Lũy thừa với số mũ tự nhiờn: . . ... ,=na a a a a với n là số tự nhiờn. 

 Lũy thừa với số nguyờn õm: 1 ,− =n
n
a
a
 với n là số tự nhiờn. 

 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: ( )= =m mn m nna a a với m, n là số tự nhiờn. 
Đặt biệt, khi m = 1 ta cú 
1
.=
nna a 
2) Cỏc tớnh chất cơ bản của Lũy thừa 

 Tớnh chất 1: 
0
1
1,
,
 = ∀

= ∀
a a
a a a

 Tớnh chất 2 (tớnh đồng biến, nghịch biến): 1:
0 1:
 > > ⇔ >

 ⇔ <
m n
m n
a a a m n
a a a m n

 Tớnh chất 3 (so sỏnh lũy thừa khỏc cơ số): với a > b > 0 thỡ 0
0
 > ⇔ >

< ⇔ <
m m
m m
a b m
a b m
Chỳ ý: 
+ Khi xột luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyờn õm thỡ cơ số a phải khỏc 0. 
+ Khi xột luỹ thừa với số mũ khụng nguyờn thỡ cơ số a phải dương. 
3) Cỏc cụng thức cơ bản của Lũy thừa 

 Nhúm cụng thức 1: 
( ) ( )
.
+
−
=
=
= =
m n m n
m
m n
n
n m
m mn n
a a a
a
a
a
a a a

 Nhúm cụng thức 2: 
( ) 1 11 3 32 ; ;
. , , 0
, , 0
= = → = = =
= ∀ ≥
= ∀ ≥ >
m
m
n m n nn n
n n n
n
n
n
a a a a a a a a a
ab a b a b
a a
a b
b b
Vớ dụ 1: Viết cỏc biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ, (coi cỏc biểu thức đó tồn tại) 
a) 24 3 .=A x x b) 5 3 .= b aB
a b
 c) 5 32 2 2 .=C
d) 3 32 3 2 .
3 2 3
=D e) 4 3 8 .=D a f) 
25
3
.=
b bF
b b
Vớ dụ 2: Cú thể kết luận gỡ về số a trong cỏc trường hợp sau? 
a) ( ) ( )
2 1
3 31 1 .− −− +a a c) 
0,2
21
.
−
 
< 
 
a
a
d) ( ) ( )
1 1
3 21 1 .− −− > −a a e) ( ) ( )
3 2
42 2 .− > −a a f) 
1 1
2 21 1
.
−
   
>   
   a a
Vớ dụ 3: Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức sau: 
a) ( ) ( )
11 1
2 23 2 3 2 3 2 3 2
−
   
= + − − + + −   
      
A 
01. ĐẠI CƯƠNG VỀ MŨ VÀ LOGARITH 
Khúa học LTĐH mụn Toỏn – Thầy Đặng Việt Hựng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 
Học offline: Số 11 – ngỏch 98 – ngừ 72 Tụn Thất Tựng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn 
Trang 3 
b) 4 10 2 5 4 10 2 5 .= + + + − +B 
Vớ dụ 4: Cho hàm số 4( ) .
4 2
=
+
x
x
f x 
a) Chứng minh rằng nếu a + b = 1 thỡ f(a) + f(b) = 1. 
b) Tớnh tổng 1 2 2010... .
2011 2011 2011
     
= + + +     
     
S f f f 
Vớ dụ 5: So sỏnh cỏc cặp số sau 
a) 
5
2pi
2
 
 
 
 và 
10
3pi
2
 
 
 
 b) 
2
pi
2
 
 
 
 và 
3
pi
5
 
 
 
 c) 
10
43
5
 
 
 
 và 
5
24
7
 
 
 
d) 
3
7
6






 và 
2
8
7






 e) 
5
pi
6
 
 
 
 và 
2
pi
5
 
 
 
Vớ dụ 6: Tỡm x thỏa món cỏc phương trỡnh sau? 
1) 54 1024=x 2) 
15 2 8
2 5 125
+
 
= 
 
x
 3) 1 3 18
32
−
=
x
4) ( )
22 13 3
9
−
 
=  
 
x
x
 5) 2 8 27.
9 27 64
−
   
=   
   
x x
 6) 
2 5 63 1
2
− +
 
= 
 
x x
7) 2 81 0,25.32
0,125 8
−
−
 
=  
 
x
x
 8) 0,2 0,008=x 9) 
3 7 7 39 7
49 3
− −
   
=   
   
x x
10) ( ) ( ) 112 . 3
6
=
x x
 11) 1 1 17 .4
28
− −
=
x x
II. CÁC CễNG THỨC CƠ BẢN VỀ LOGARITH 
1) Khỏi niệm về Logarith 
Logarith cơ số a của một số x > 0 được ký hiệu là y và viết dạng log= ⇔ = yay x x a 
Vớ dụ: Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức logarith sau 
( )2 3 2 2log 4; log 81; log 32; log 8 2 
Hướng dẫn giải: 
• 2 2log 4 2 4 2 log 4 2= ⇔ = ⇔ = → =
yy y 
• 
y 4
3 3log 81 y 3 81 3 y 4 log 81 4= ⇔ = = ⇔ = → = 
• ( ) ( )y 1052 2log 32 y 2 32 2 2 y 10 log 32 10= ⇔ = = = ⇔ = → = 
• ( ) ( ) ( ) ( )732 2log 8 2 2 8 2 2 . 2 2 7 log 8 2 7= ⇔ = = = ⇔ = → =yy y 
Chỳ ý: 
Khi a = 10 thỡ ta gọi là logarith cơ số thập phõn, ký hiệu là lgx hoặc logx 
Khi a = e, (với e ≈ 2,712818) được gọi là logarith cơ số tự nhiờn, hay logarith Nepe, ký hiệu là lnx, (đọc là len-
x) 
2) Cỏc tớnh chất cơ bản của Logarith 
• Biểu thức logarith tồn tại khi cơ số a > 0 và a ≠ 1, biểu thức dưới dấu logarith là x > 0. 
• log 1 0 ;log 1,= = ∀
a a
a a 
• Tớnh đồng biến, nghịch biến của hàm logarith: 
1
log log
0 1
> ⇔ >
> ⇔  < ⇔ < <
a a
b c a
b c
b c a
3) Cỏc cụng thức tớnh của Logarith 

Cụng thức 1: log ,= ∀ ∈
xa a x x ,(1) 
Chứng minh: 
Theo định nghĩa thỡ hiển nhiờn ta cú log = ⇔ =x x xa a x a a 
Khúa học LTĐH mụn Toỏn – Thầy Đặng Việt Hựng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 
Học offline: Số 11 – ngỏch 98 – ngừ 72 Tụn Thất Tựng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn 
Trang 4 
Vớ dụ 1: ( )85 42 2 2 2 2log 32 log 2 5;log 16 log 2 log 2 8...= = = = = 
Vớ dụ 2: Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức sau: 
a) 
3 25
1 4
log .
a
a a aP
a a
= b) log .
a
Q a a a a= 
Hướng dẫn giải: 
a) Ta cú 
1 2 1 2 28 671 28 3 67 673 25 5 3 5 3 15 60
15 4 60 60
1 11 1 1 1 34
2 4 2 4 4
. . 1 67log log .
60
.
a a
a a a a a a a a
a a P a
aa a
a a a a
+ + −
−
+
 = = = = = → = = =−  
b) Ta cú ( )
157 15 151 3
88 16 162 4 15
. . . log log .
8a a
a a a a a a a a a a a a a a Q a a= = = = → = = = 
Vớ dụ 3: Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức sau: 
1) 1
5
log 125 .....................................................= 2) 
2log 64 ....................................................................= 
3) 16log 0,125 ..................................................= 4) 0,125log 2 2 ..........................................................=
5) 3 33log 3 3 ................................................= 6) 
7
8 7
7log 7 343 ............................................................= 
Vớ dụ 4: Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức sau: 
a) ( )3 5log ..................................................................................................................................aP a a a= = 
b) ( )23 54log ............................................................................................................................= =aQ a a a a 

Cụng thức 2: log , 0= ∀ >a xa x x , (2) 
Chứng minh: 
Đặt ( )log , 2= ⇒ = ⇔ =t t ta x t x a a a 
Vớ dụ 1: ( ) ( ) ( ) ( )33 352 log 4 11 1log 4 log 4log 6log 3 22 22 3, 5 6, 3 3 3 4 2...   = = = = = =     
Vớ dụ 3: Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức sau: 
1) 8log 152 .....................................................= 2) 2 2log 642 ....................................................................= 
3) 
81log 51
.....................................................
3
  =  
 4) 
( ) 3
log 43 9 ....................................................................= 

Cụng thức 3: ( )log . log log= +a a ax y x y , (3) 
Chứng minh: 
Áp dụng cụng thức (2) ta cú 
log
log log log log
log
. .
+
 =
→ = =
=
a
a a a a
a
x
x y x y
y
x a
x y a a a
y a
Áp dụng cụng thức (1) ta được : ( ) log loglog . log log log+= = + ⇒a ax ya a a ax y a x y dpcm 
Vớ dụ 1: Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức sau: 
a) ( ) 32 2 2 2 2 2 2log 24 log 8.3 log 8 log 3 log 2 log 3 3 log 3= = + = + = + 
b) ( ) 33 3 3 3 3 3log 81 log 27.3 log 27 log 3 log 3 log 3 3 1 4= = + = + = + = 
Vớ dụ 2: Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức sau: 
a) 
4
23 3 3
2 2 2 2 2
4 10log 4 16 log 4 log 16 log 2 log 2 2 .
3 3
= + = + = + = 
Khúa học LTĐH mụn Toỏn – Thầy Đặng Việt Hựng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 
Học offline: Số 11 – ngỏch 98 – ngừ 72 Tụn Thất Tựng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn 
Trang 5 
b) 
131 333 3 3
1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3 3
1 1 1 10log 27 3 log 27 log 3 log 3 log 3 log log 3 .
3 3 3 3
− −
     = + = + = + =− − =−       
c) ( ) ( )
6 235 5
2 2 2 2 2 2 2log 8 32 log 8 log 32 log 2 log 2 log 2 log 2 6 2 8.= + = + = + = + = 

Cụng thức 4: log log log  = − 
 
a a a
x
x y
y
, (4) 
Chứng minh: 
Áp dụng cụng thức (2) ta cú 
log log
log log
loglog
−
 =
→ = =
=
a a
a a
aa
x x
x y
yy
x a x a
a
y ay a
Áp dụng cụng thức (1) ta được : log loglog log log log−  = = − ⇒ 
 
a ax y
a a a a
x
a x y dpcm
y
Vớ dụ: 
45
3 32
2 2 2 2 23
32 5 4 7log log 32 log 16 log 2 log 2 .
2 3 616
= − = − = − = 

Cụng thức 5: log .log=ma ab m b , (5) 
Chứng minh: 
Theo cụng thức (2) ta cú ( )log log .log= ⇒ = =a a amb b m bmb a b a a 
Khi đú .loglog log .log= = ⇒am bma a ab a m b dpcm 
Vớ dụ 1: ( )
3 2
2 2 2 5 5 5
1
4 42 2 2
log 27 log 3 3log 3; log 36 log 6 2log 6
1 5log 32 log 32 log 32
4 4
= = = =
= = =
Vớ dụ 2: 
42
23
1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 6 .45 12log 6 log 400 3log 45 log 6 log 400 log 45 log log 81 log 4.
2 20 3
−
 
− + = − + = = = = − 
 
Vớ dụ 3: 5 5 5 5 5 5 5 5
1 50 3log 3 log 12 log 50 log 3 log 12 log 50 log log 25 2.
2 2 3
− + = − + = = = 

Cụng thức 6: 1log log=n aa b bn
, (6) 
Chứng minh: 
Đặt ( )log = ⇒ = ⇔ =n yn nya b y a b a b 
Lấy logarith cơ số a cả hai vế ta được : 1log log log log= ⇔ = ⇒ =nya a a aa b ny b y b
n
 hay 1log log= ⇒n aa b b dpcmn
Vớ dụ 1 : 
1
2
5 1
5
22
2
22
2
1log 16 log 16 log 16 2.4 8.1
2
1log 64 log 64 log 64 5.6 30.1
5
= = = =
= = = =
Hệ quả: Từ cỏc cụng thức (5) và (6) ta cú : log log=n m aa
mb b
n
Vớ dụ 2: ( ) ( ) ( ) ( )3 1 33
1 1134 4
5 2 2 25 2
5
3
9 11 114log 125 log 5 log 5 ; log 32 2 log 2 log 2 .1 4 3 3
3
= = = = = = 
Khúa học LTĐH mụn Toỏn – Thầy Đặng Việt Hựng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 
Học offline: Số 11 – ngỏch 98 – ngừ 72 Tụn Thất Tựng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn 
Trang 6 
Vớ dụ 3: Tớnh giỏ trị biểu thức 
13 3 5
3
4
13
3
27log 27 log
9
.
1 1log log
81 3
 
+  
 
=
 
+  
 
A 
Hướng dẫn giải: 

 ( )23 3 3 3log 27 log 3 3 2= = 

 1
2
133
5
1 325
33 5
27 3 1 13 26log log log 3 2. .1 5 59 3 2
−
    = = = − = −    
− 

 1
2
13 3 5
4 3
3 43
3
13
3
27 26log 27 log 291 45log log 3 4.2log 3 8 .
81 8 4 51 1log log
81 3
−
 
+  
−
 
= = − = − → = = =
− + 
+  
 
A 

Cụng thức 7: (Cụng thức đổi cơ số) loglog
log
=
c
a
c
bb
a
, (7) 
Chứng minh: 
Theo cụng thức (2) ta cú ( )log log loglog log log .log log log= ⇒ = = ⇒ = ⇒a ab b cc c a c a
c
bb a b a b a b dpcm
a
Nhận xột : 
+ Để cho dễ nhớ thỡ đụi khi (7) cũn được gọi là cụng thức “chồng” cơ số viết theo dạng dễ nhận biết như sau 
log log .log=
a a c
b c b 
+ Khi cho b = c thỡ (7) cú dạng log 1log .
log log
= =
b
a
b b
bb
a a
Vớ dụ 1: Tớnh cỏc biểu thức sau theo ẩn số đó cho: 
a) Cho 2 2log 14 log 49 ?= → = =a A 
b) Cho 15 25log 3 log 15 ?= → = =a B 
Hướng dẫn giải: 
a) Ta cú ( )2 2 2 2log 14 log 2.7 1 log 7 log 7 1.= ⇔ = = + ⇒ = −a a a 
Khi đú ( )2 2log 49 2log 7 2 1 .= = = −A a 
b) Ta cú 
3
15
3 3
5
1 1log 5 11 1log 3
log 15 1 log 5 log 3
1
−
= − =
= ⇔ = = →
+ 
=

−
a
a a
a a
a
a
( ) ( )
3
25
3 3
1 1
log 15 1 1log 15 .1log 25 2log 5 2 1 2 12
= = = = = → =
−
− −
a aB B
a a a
a
Vớ dụ 2: Cho log 3.a b= Tớnh 
a) log .= b
a
bA
a
 b) log .=
ab
bB
a
Hướng dẫn giải: 
Từ giả thiết ta cú 1log 3 log .
3
= ⇒ =a bb a 
a) 
1 1 1 1log log log
log log log log
log log
= = − = − = − =
    − −
      
   
b b b
b b a aa a a
b a
bA b a
a b a b ab b
a a
Khúa học LTĐH mụn Toỏn – Thầy Đặng Việt Hựng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 
Học offline: Số 11 – ngỏch 98 – ngừ 72 Tụn Thất Tựng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn 
Trang 7 
1 1 1 1 3 1 3 1
.21 2log log 2 3 2 3 2 3 21
3
− −
= − = − = → =
− −
− − −
−
b a
A
a b
Cỏch khỏc: Ta cú được 2
2
2
2
log log 1 3 1log log log
log 2 3 2log
a
a
bb b
aaa a a
b
bb b b aA ba ba a
a
 
  
 
 
− −
= = = = = =  
−
− 
b) 1 1 1 1log . log log
log log log log log log
= = − = − = − =
+ +ab ab ab b b ba a a
bB b a
a ab ab a b a b
1 1 1 1 2 3 1 2 3 1
.1 1 1 11 log 1 3 3 1 3 1log
2 2 22 3
− −
= − = − = → =
+ + + ++ +ab
B
b
a
Cỏch khỏc: Ta cú ( )2
2
2 2 log 2log 1 2 3 1log log log .
log 1 log 1 3
a
a
abab ab
a a
b
bb b b aB
a ab ba a
−  −
= = = = = =  + + 
Vớ dụ 3: Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức sau: 
a) 36log 3.log 36 ......................................................................= 
b) 43log 8.log 81 ......................................................................= 
c) 32 25
1log .log 2 .................................................................
5
= 
Vớ dụ 4: Cho log 7.a b= Tớnh 
a) 
3
log .=
a b
aA
b
 b) 3 2log .= b
a
B ab 
Vớ dụ 5: Tớnh cỏc biểu thức sau theo ẩn số đó cho: 
a) Cho 325 2 5
49log 7 ; log 5 log ?
8
= = → = =a b P 
b) Cho log 2 log ?= → = =ab ab
b
a Q
a

Cụng thức 8: log log=b bc aa c , (8) 
Chứng minh: 
Theo cụng thức (7): ( )loglog log .log log log loglog log .log= ⇒ = ⇔ = = ⇒bb b a b a bac a c c c ab b ac a c a a a a c dpcm 
Vớ dụ 1: ( ) 27 7 2 1log 27log 2 log 49 log 22 249 2 2 4; 2 27 27 3 3...= = = = = = 
Vớ dụ 2: Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức sau: 
a) 36 9log 4log 5 log 3636 3 3 ..........................................................................= + − =A 
b) 
23
3
log 32 log 2
log 4
3 .4
...........................................................................................
27
−
= =B 
c) 3 9 9log 5 log 36 4log 781 27 3 .......................................................................C = + + = 
BÀI TẬP LUYỆN TẬP : 
Bài 1. Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức sau 
1) 1 425log 5 5− 2) 3 3log 729 3) 9
3
log 27 
4) 9 3log 3 5) ( )33log 3 3 6) 
4log
2
1
3
9
1






7) 
27log 811
3
    
 8) 103 2log 310 + 9) 8 163log 3 2log 54 + 
Khúa học LTĐH mụn Toỏn – Thầy Đặng Việt Hựng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 
Học offline: Số 11 – ngỏch 98 – ngừ 72 Tụn Thất Tựng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn 
Trang 8 
10) 3 27
1 log 2 2log 3
29
−
 11) 22 log 34 + 12) 
9 1
3
log 2 log 5
3
−
13) 5 7log 6 log 825 49+ 14) 8log3 1010 15) 7
7 7
log 16
log 15 log 30−
16) 9 12521 log 4 log 272 log 33 4 5+ −+ + 17) 7log
1
5log
1
68 4925 + 
Bài 2. Quy đổi cỏc biểu thức sau theo cỏc ẩn đó cho 
a) Cho log23 = a ; log25 = b. Tớnh 32 2 2log 3; log 135; log 180 theo a, b. 
b) Cho log53 = a, tớnh log2515. 
c) Cho log96 = a, tớnh log1832. 
d) Cho lg5 = a; lg3 = b. Tớnh log308. 
Bài 3. Chứng minh cỏc đẳng thức sau (với giả thiết cỏc biểu thức đều cú nghĩa) 
a) ( )1lg lg lg
3 2
+
= +
a b
a b , với a2 + b2 = 7ab. 
b) ( ) ( )1lg 2 2lg 2 lg lg
2
+ − = +a b a b , với a2 + 4b2 = 12ab 
c) log log2 3log 
4 2
++
=
c c
c
a ba b
, với 4a2 + 9b2 = 4ab 
d) Cho log1218 = a, log2454 = b, chứng minh rằng: ab + 5(a – b) = 1. 
e) log 1 log
log
= +a a
ab
c b
c
 f) ax
log loglog
1 log
+
=
+
a a
a
b xbx
x
g) log log log
log log log
−
=
−
a b a
b c c
N N N
N N N
, với b2 = ac. h) 
2
1 1 1 ( 1)
...
log log log 2log
+
+ + + =
ka aa a
k k
x x x x
Khúa học LTĐH mụn Toỏn – Thầy Đặng Việt Hựng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 
Học offline: Số 11 – ngỏch 98 – ngừ 72 Tụn Thất Tựng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn 
Trang 9 
1. Hàm số mũ y = ax (với a > 0, a ≠ 1). 
• Tập xỏc định: D = R. 
• Tập giỏ trị: T = (0; +∞). 
• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến. 
• Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang. 
2. Hàm số logarit = logay x (với a > 0, a ≠ 1) 
 • Tập xỏc định: D = (0; +∞). 
 • Tập giỏ trị: T = R. 
 • Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến. 
 • Nhận trục tung làm tiệm cận đứng. 
3. Giới hạn đặc biệt 
 • 
1
0
1lim (1 ) lim 1
x
x
x x
x e
x→ →±∞
 
+ = + = 
 
 • 
0 0
ln(1 ) ln(1 )lim 1 lim 1
→ →
+ +
= → =
x u
x u
x u
• 
0 0
1 1lim 1 lim 1
→ →
− −
= → =
x u
x u
e e
x u
 • 
0 0
sin sin ( )lim 1 lim 1( )x x
x u x
x u x→ →
= → = 
Vớ dụ 1. Tớnh cỏc giới hạn sau: 
1) 
2
0
1lim
→
−
x
x
e
x
 2) 
3
0
1lim
−
→
−
x
x
e
x
 3) 
3 2
0
lim
→
−
x x
x
e e
x
4) 
0
ln(1 3 )lim
→
+
x
x
x
 5) 
0
ln(1 4 )lim
2→
+
x
x
x
 6) 
4
0
1lim
3
−
→
−
x
x
e
x
Hướng dẫn giải: 
1) 
2 2
0 0
1 1lim lim .2 2
2→ →
 − −
= = 
 
x x
x x
e e
x x
2) 
3 3
0 0
1 1 1 1lim lim .
3 3
3
− −
→ →
 
 
− − − 
= = −  
−   
 
x x
x x
e e
xx
3) ( ) ( )3 23 2 3 2
0 0 0 0
1 1 1 1lim lim lim lim 3 2 1.
→ → → →
− − −
− − −
= = − = − =
x xx x x x
x x x x
e ee e e e
x x x x
4) 
0 0
ln(1 3 ) ln(1 3 )lim lim .3 3
3→ →
+ + 
= =  x x
x x
x x
5) 
0 0
ln(1 4 ) ln(1 4 )lim lim .2 2
2 4→ →
+ + 
= =  x x
x x
x x
6) 
4 4
0 0
1 1 4 4lim lim .
3 4 3 3
− −
→ →
 − − − 
= = −  
−   
x x
x x
e e
x x
BÀI TẬP LUYỆN TẬP 
Tớnh cỏc giới hạn sau: 
1) ( )
0
ln 1 4
lim
sin
2
x
x
x→
+
 2) 
2
20
coslim
x
x
e x
x→
−
 3) 
0
lim
ax bx
x
e e
x→
−
02. HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH 
Khúa học LTĐH mụn Toỏn – Thầy Đặng Việt Hựng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 
Học offline: Số 11 – ngỏch 98 – ngừ 72 Tụn Thất Tựng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn 
Trang 10 
4) 
sin 2 sin
0
lim
x x
x
e e
x→
−
 5) lim
1
x
x
x
x→+∞
 
 + 
 6) 
1
1lim 1
x
x
x x
+
→+∞
 
+ 
 
7) 
2 11lim
2
x
x
x
x
−
→+∞
+ 
 
− 
 8) 
1
33 4lim
3 2
x
x
x
x
+
→+∞
− 
 + 
 9) 2 1lim
1
x
x
x
x→+∞
+ 
 
− 
4. Đạo hàm của hàm mũ và logarith 

 Hàm mũ: 
.ln
. .ln
x x
u u
y a y a a
y a y u a a
 ′= → =

 ′ ′= → =
Đặc biệt, khi a = e thỡ ta cú 
.
x x
u u
y e y e
y e y u e
 ′= → =

 ′ ′= → =

 Hàm logarith: 
1log
.ln
log
.ln
a
a
y x y
x a
uy u y
u a

′= → =

′
′= → =

Đặc biệt, khi a = e thỡ ta cú 
1ln
ln
y x y
x
uy u y
u

′= → =

′
′= → =

Chỳ ý: Bảng đạo hàm của một số hàm cơ bản thường gặp: 
Hàm sơ cấp Hàm hợp 

 0′= → =y k y 

 
2
1
1 1
. 1
2
−
′= → = −
′= → = ⇒
′= → =
n n
y y
x xy x y n x
y x y
x

 
sin cos
cos sin
′ = → =

′= → = −
y x y x
y x y x

 
2
2
1
tan
cos
1
cot
sin

′= → =

− ′= → =

y x y
x
y x y
x

 .′ ′= → =y ku y k u 

 
2
1
1
. .
2
−
′
′= → = −
′ ′= → = ⇒
′
′= → =
n n
uy y
u uy u y n u u
uy u y
u

 
sin .cos
cos .sin
′ ′ = → =

′ ′= → = −
y u y u u
y u y u u

 
2
2
tan
cos
cot
sin
′
′= → =

′− ′= → =

uy u y
u
uy u y
u

 
2
.
′ ′
−
′= → =

 ′ ′ ′= → = +
u uv u vy y
v v
y u v y uv u v
Vớ dụ 2. Tớnh đạo hàm của cỏc hàm số sau: 
1) 4 3 3 2= − +y x x 2) 
2
3 1
3
− +
=
+
x xy
x
4 3 3 2= − +y x x 3) ( )23 sin 2 1= −y x 
Hướng dẫn giải: 
1) ( ) ( )( )1 34 3 3 2 34 413 2 3 2 . 3 3 3 24
−
′= − + = − + → = − − +y x x x x y x x x 
2) 
1 3
2 2 2 23 3
3 1 1 1 1 1
. .
3 3 3 3 3
− ′     
− + − + − + − +
′= = → = =     
+ + + +     
x x x x x x x xy y
x x x x
3 3
2 2 2 23 3
2 2
1 1 (2 1)( 3) 1 1 1 5 4
. . . .
3 3 3 3( 3) ( 3)
− −′     
− + − + − + − − + + −
= =     
+ ++ +     
x x x x x x x x x x
x xx x
Khúa học LTĐH mụn Toỏn – Thầy Đặng Việt Hựng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 
Học offline: Số 11 – ngỏch 98 – ngừ 72 Tụn Thất Tựng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn 
Trang 11 
3) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
23 3
3 3
2 1 4 1
sin 2 1 sin 2 1 . . sin 2 1 . cos 2 1
3 3sin 2 1 sin 2 1
′
′= − =  −  → = − = − 
− −
y x x y x x
x x
BÀI TẬP LUYỆN TẬP: 
Bài 1: Tớnh đạo hàm của cỏc hàm số sau: 
1) 
31 1 5
1 2
xy
x
+ +
=
+
 2) 11 5 99 6y x= + 3) 4 4sin
3
xy += 
4) ( )2 4 4 xy x x e= −