Bài giảng Tích phân

Sở GD & Đt nghệ an 
Tr−ờng THPT Đặng thúc hứa 
∫ 6 6sin4x + cos2x dxsin x + cos x 
tích phân 
 ( ) ( )∫ ∫
6 6
8 8
x +1 - x -1dx 1 = = dx
x +1 2 x +1
I = ... 
 Giáo viên : Phạm Kim Chung 
 Tổ : Toán 
Năm học : 2007 - 2008 
∫12
2007
bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung  Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa 
_____________________________ Tháng 12 – năm 2007 __________________________________ (Trang 1 
“ Thực ra trên mặt đất lμm gì có đ−ờng, ng−ời ta đi lắm thì thμnh đ−ờng thôi ! ” 
 - Lỗ Tấn - 
 Viết một cuốn tμi liệu rất khó, để viết cho hay cho tâm đắc lại đòi hỏi cả một đẳng cấp thực sự ! Cũng may tôi không có t− t−ởng lớn của 
một nhμ viết sách, cũng không hy vọng ở một điều gì đó lớn lao vì tôi biết năng lực về môn Toán lμ có hạn .. Khi tôi có ý t−ởng viết ra những điều 
tôi gom nhặt đ−ợc tôi chỉ mong sao qua từng ngμy mình sẽ lĩnh hội sâu hơn về môn Toán sơ cấp..qua từng tiết học những học trò của tôi bớt băn 
khoăn, ngơ ngác hơn.. Vμ nếu còn ai đọc bμi viết nμy nghĩa lμ đâu đó tôi đang có những ng−ời thầy, ng−ời bạn cùng chung một niềm đam mê sự 
diệu kì Toán học . 
Thử giải một bμi toán khó... nh−ng ch−a thật hμi lòng ! 
( ) ( )
( ) ( )∫ ∫
6 6
2 28 4 2
x +1 - x - 1dx 1= dx =
x +1 2 x +1 - 2x
 ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫
2 4 2 2 2 4 2 2
2 2 2 24 2 4 2
x +1 x - 2x +1 + 2 -1 x x - 1 x - 2x +1 + 2 +1 x1 1dx + dx
2 2x +1 - 2x x +1 - 2x
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫
2 2 2 22 2
4 2 4 24 2 4 2 4 2 4 2
2 - 1 2 +1x +1 x x - 1 x1 x +1 1 x -1= dx + dx + dx +
2 2 2 2x + 2x +1 x + 2x +1x - 2x +1 x + 2x +1 x - 2x +1 x + 2x +1
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ 22
11+1 x= dx
2 1x - +2+ 2
x
( ) ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫ 22 2
11+ dx2 -1 x+
2 1 1x - +2 - 2 x - +2+ 2
x x ( )⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ 22
11 -1 x+ dx
2 1x + - 2 - 2
x
( )
( ) ( )
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫ 22 2
11- dx2 +1 x+
2 1 1x + - 2+ 2 x + - 2 - 2
x x
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ 2
1d x -1 x=
2 1x - +2+ 2
x
( ) ( )⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫ ∫2 2
1 1d x - d x -2 - 1 2 -1x x+ -
4 2 4 21 1x - +2 - 2 x - +2+ 2
x x ( )
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ 2
1d x +1 x+
2 1x + - 2 - 2
x
( )
( )
( )
( )
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫ ∫2 2
1 1d x + d x +2 +1 2 +1x x+ -
4 2 4 21 1x + - 2+ 2 x + - 2 - 2
x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 1x + - 2 - 2 x + - 2+ 22+ 2 2 - 2 2 - 2 2+ 2x x= u+ v + ln + ln +C1 18 8 16 16x + + 2 - 2 x + + 2+ 2
x x
 ( Với 1x - = 2+ 2tgu = 2 - 2tgv
x
 ) 
 (Nếu dùng kết quả nμy để suy ng−ợc có tìm đ−ợc lời giải hay hơn ?.. ) 
∫12
2007
bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung  Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa 
ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 – năm 2007 ___________________ (Trang 2
Phần lý thuyết 
n Định nghĩa : Giả sử f(x) lμ một hμm số liên tục trên một khoảng K, a vμ b lμ hai phần tử bất kì của K, F(x) lμ 
một nguyên hμm của f(x) trên K . Hiệu số F(b) - F(a) đ−ợc gọi lμ tích phân từ a đến b của f(x) vμ đ−ợc kí hiệu lμ 
. Ta dùng kí hiệu ( )∫b
a
f x dx ( ) bF x
a
 để chỉ hiệu số : F(b) – F(a) 
Công thức Newton – Laipnit : ( )∫b
a
f x dx = ( ) bF x a = F(b) – F(a) 
Ví dụ : ( )31 2 3
0
1x 1 1
x dx 1 0
03 3
= = − =∫ 3 3 
Chú ý : Tích phân chỉ phụ thuộc vμ f, a vμ b mμ không phụ thuộc vμo kí hiệu biến số tích phân . Vì vậy ta 
có thể viết : F(b) – F(a) = = 
( )∫b
a
f x dx
( )∫b
a
f x dx ( )∫b
a
f t dt = ( )∫b
a
f u du ... 
o Các tính chất của tích phân . 
1. ( )
a
a
f x dx = 0∫
2. ( ) ( )
b a
a b
f x dx = - f x dx∫ ∫
3. ( ) ( ) ( ) ( )α ± β α ± β⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫b b
a a
f x g x dx = f x dx g x dx∫b
a
VD : ( ) ( )e e e 2 2
1 1 1
e e3 1
2x dx 2 xdx 3 dx x 3ln x e 1 3 1 0 e 2
1 1x x
⎛ ⎞+ = + = + = − + − = +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ 2 
4. ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫c b c
a a b
f x dx = f x dx+ f x dx
VD : 
2 21 0 1 0 1
1 1 0 1 0
0 1x x
x dx x dx x dx xdx xdx 1
1 02 2− − −
= + = − + = − +−∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = 
5. f(x) 0 trên đoạn [a ; b] ⇒ 0 ≥ ( )∫b
a
f x dx ≥
6. f(x) g(x) trên đoạn [a ; b] ⇒ ≥ ( )∫b
a
f x dx ≥ ( )∫b
a
g x dx 
VD : Chứng minh rằng : 
2 2
0 0
sin2xdx 2 sinxdx
π π
≤∫ ∫ 
7. m f(x) M trên đoạn [a ; b] ⇒ m(b – a) = ≤ ≤ ∫b
a
m dx ≤ ( )∫b
a
f x dx ≤ ∫b
a
M dx = M(b – a) 
VD : Chứng minh rằng : 
2
1
1 5
2 x dx
x 2
⎛ ⎞≤ + ≤⎜ ⎟⎝ ⎠∫ 
 HD . Khảo sát hμm số 1y x
x
= + trên đoạn [1; 2] ta có : [ ] [ ]1;21;2
5
y ; y
2
2= =max min 
∫12
2007
bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung  Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa 
ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 – năm 2007 ___________________ (Trang 3
 Do đó : 
2 2 2
1 1 1
1 5
2 dx x dx dx
x 2
⎛ ⎞≤ + ≤ ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫
2
1
2 21 5
2x x dx x
1 1x 2
⎛ ⎞≤ + ≤ ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠∫
2
1
1 5
2 x dx
x 2
⎛ ⎞≤ + ≤⎜ ⎟⎝ ⎠∫ 
Phần ph−ơng pháp 
p Ph−ơng pháp đổi biến số : t = v(x) . 
VD . Tính tích phân : 2
1
0
x
I dx
x 1
= +∫ 
 Đặt : . Khi x= 0 thì t=1, khi x=1 thì t=2 . 2t x 1= +
 Ta có : dtdt = ⇒ . Do đó : 2xdx xdx
2
=
 2
1 2
0 1
2x 1 dt 1 1
I d x ln t ln2
12 t 2 2x 1
= = = =+∫ ∫
. Quy trình giải toán . ( ) ( )( ) ( )x x x∫ ∫b b
a a
f x dx = g v v' d 
 B−ớc 1 . Đặt t = v(x) , v(x) có đạo hμm liên tục, đổi cận . 
 B−ớc 2 . Biểu thị f(x)dx theo t vμ dt : f(x)dx = g(t)dt 
 B−ớc 3 . Tính . ( )
( )
( )
∫
v b
v a
g t dt
/ Bμi tập rèn luyện ph−ơng pháp : 
 Tính các tích phân sau : 
 1 . 
2e
e
dx
x ln x∫ 2 . ( )
2
2
1
dx
2x 1−∫ 3.
1 2
3
0
x dx
x 1+∫ 4. 
3
4
2
xdx
x 1−∫ 
 5 .
2
3
4
dx
sin x
π
π
∫ 6 . ( )
1
0
dx
2x 1 x 1+ +∫ 7. ( )
4
1
dx
x 1 x+∫ 
q Ph−ơng pháp đổi biến số : x = u(t) . 
 VD . Tính tích phân : 
1
2
0
1 x∫ dx−
 Đặt x = sint t ;
2 2
π π⎛ ⎞⎡ ⎤∈ −⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠ . Khi x=0 thì t=0, khi x=1 thì t= 2
π 
 Vậy với x = sint thì x 0;1∈ ⇒⎡ ⎤⎣ ⎦ t 0;2
π⎡∈ ⎢⎣ ⎦
⎤⎥ vμ dx = costdt . 
 Do đó :
1 2 2
2 2
0 0 0 0
1 x dx 1 sin t cos tdt cos t cos tdt cos tdt
π π
− = − = =∫ ∫ ∫ ∫2 2
π
 = 
 =
2
0
1 cos2t 1
sinx 
cosx O 
1
dt t sin2t 2
2 2 2 40
π π+ π⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ 
. Quy trình giải toán . ( )∫b
a
f x dx
B−ớc 1 . Đặt x = u(t), t ;∈ α β⎡⎣ ⎤⎦sao cho u(t) có đạo hμm liên tục trên đoạn ;α β⎡⎣ , f(u(t)) đ−ợc xác định trên đoạn 
 vμ . 
⎤⎦
⎤⎦ b;α β⎡⎣ ( ) ( )u a; uα = β =
∫12
2007
bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung  Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa 
ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 – năm 2007 ___________________ (Trang 4
 B−ớc 2 . Biểu thị f(x)dx theo t vμ dt : f(x)dx = g(t)dt 
 B−ớc 3 . Tính . ( )
β
α
∫g t dt
/ Bμi tập rèn luyện ph−ơng pháp : 
 Tính các tích phân sau : 
 1 . 
1
2
0
dx
1 x+∫ 2 .
1
2
2
0
dx
1 x−∫ 3.
1
2
0
dx
x x 1+ +∫ 
 4.
1
2 2
0
x 1 x dx−∫ 5 . 1 3 2
0
x 1 x dx+∫ 6 . 
5
2
0
5 x
dx
5 x
+
−∫ ( Đặt x=5cos2t) 
r Ph−ơng pháp đổi biến số : u(x) = g(x,t) 
VD1 . Tính tích phân : I = 
1
2
0
1 x dx+∫ 
Cách (1) Đặt 
2
2 2 t 11+ x = x - t 1 = -2xt t x
2t
−⇒ + ⇒ = 
Khi x =0 thì t= -1, khi x=1 thì t= 1 2− vμ dx = 
2
2
t 1
2t
+ dt . Do đó : 
1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 4 2
2 3
1 1 1 1
t 1 t 1 1 t 2t 1 1 1 1
I . dt dt tdt 2 dt dt
2t 2t 4 t 4 t t
− − − −
− − − −
⎛ ⎞− − + + += = − = − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ 31
−
−
=∫ 
 = 
2
2
1 2 1 2 1 2t 1 1
ln t
8 2 8t1 1 1
− =−
− −− − +− − ( )1 2ln 2 12 2− − + 
⎤⎦ nên ta có thể chọn t 0; 4
π⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦ . Khi x=0 thì t=0, khi x=1 thì t
πCách (2) : Đặt x=tgt , do x 0;1∈⎡⎣ 4= 
 vμ dx= 2
1
dt
cos t
 . Do đó : 
( )
( )
1 4 4 4 4 4
2 2
22 2 3 4 2
0 0 0 0 0 0
d sin t1 1 1 1 cos t
1 x dx 1 tg t dt dt dt dt
cos t cos t cos t cos t cos t 1 sin t
π π π π π
+ = + = = = =
−∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = 
= 
( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
4 4
0 0
1 sin t 1 sin t1 1 1
d sin t d sin t
4 1 sin t 1 sin t 4 1 sin t 1 sin t
π π
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫
1 = 
= ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
2
4 4 4
2 2
0 0 0
d 1 sin t d 1 sin td sin t1 1 1 1 1 1
d sin t
4 1 sin t 1 sin t 4 2 1 sin t 1 sin t 41 sin t 1 sin t
π π π
⎡ ⎤ − ++ = − + +⎢ ⎥− + − +− +⎣ ⎦∫ ∫ ∫
4
0
π
=∫ 
= 2
1 1 1 1 1 sin t 1 sin t 1 1 sin t
. ln ln 4
0
π
4 4 4
4 1 sin t 1 sin t 4 1 sin t 2 cos t 4 1 sin t0 0 0
π π+ +⎡ ⎤− + = +⎢ ⎥− + − −⎣ ⎦
π
= ( )1 2ln 2 12 2− − + . 
Bình luận : Bμi toán nμy còn giải đ−ợc bằng ph−ơng pháp tích phân từng phần . Còn với 2 cách giảI trên rõ rμng 
khi bắt gặp cách 1) ta nghĩ rằng nó sẽ chứa đựng những phép tính toán phức tạp còn cách 2) sẽ chứa những phép 
tính toán đơn giản hơn. Nh−ng ng−ợc lại sự suy đoán - cách 2) lại chứa những phép tính toán dμi dòng vμ nếu quả 
thật không khá tích phân thì ch−a hẳn đã lμ đ−ợc hoặc lμm đ−ợc mμ lại dμi dòng hơn . 
VD2 . Tính tích phân : I = 
1
2
0
1
dx
1 x+∫ 
∫12
2007
bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung  Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa 
ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 – năm 2007 ___________________ (Trang 5
Cách (1) Đặt 
2
2 2 t 11+ x = x - t 1 = -2xt t x
2t
−⇒ + ⇒ = 
Khi x =0 thì t= -1, khi x=1 thì t= 1 2− vμ dx = 
2
2
t 1
2t
+ dt . Do đó : 
1 2 1 22
2 2
1 1
2t t 1 1
I . dt dt
t 1 2t t
− −
− −
− += = −+∫ ∫ = 
 = 
1 2
ln t
1
−− − ( )ln 2 1= − − 
⎤⎦ nên ta có thể chọn t 0; 4
π⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦ . Khi x=0 thì t=0, khi x=1 thì t
πCách (2) : Đặt x=tgt , do x 0;1∈⎡⎣ 4= 
 vμ dx= 2
1
dt
cos t
 . 
Do đó : 
1 4 4 4 4
2 2 22 2
0 0 0 0 0
cos t1 1 1 1 cos
dx dt dt dt dt
cos t cos t cost cos t1 x 1 tg t
π π π π
= = = =+ +∫ ∫ ∫ ∫ ∫
t = 
( )
( )
4
2
0
d sin t 1 1 sin t
ln 4
2 1 sin t1 sin t 0
π π−= = =+−∫ ( )ln 2 1− − . 
/ Bμi tập rèn luyện ph−ơng pháp : 
 Tính các tích phân sau : 
 1 . 
2
2
1
x 1dx−∫ 2 . 2 22
1
x
dx
x 1−∫ 3.
0
2
1
x 2x 2dx
−
+ +∫ 
 4.
1
2
2
0
dx
1 x 4x 3+ − +∫ 5 .
1
2
2
dx
1 1 2x x
−
− + − −∫ 6 .
1
2
0
xdx
x x 1+ −∫ 
iChú ý : Khi đứng tr−ớc một bμi toán tích phân, không phải bμi toán nμo cũng xuất hiện nhân tử để chúng ta sử dụng 
ph−ơng pháp đổi biến số . Có nhiều bμi toán phải qua 1 hay nhiều phép biến đổi mới xuất hiện nhân tử để đặt ẩn phụ ( 
sẽ nói đến ở phần Phân Loại Các dạng Toán ) 
s Ph−ơng pháp tích phân từng phần . 
Nếu u(x) vμ v(x) lμ hai hμm số có đạo hμm liên tục trên đoạn [a; b] thì : 
 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )∫ ∫b b
a a
b
u x v' x dx = u x .v x - v x u' x dxa 
 hay 
 ( ) ( ) ( )( ) ( )∫ ∫b b
a a
b
u x dv = u x .v x - v x dua 
 VD1. Tính 
2
0
x cos xdx
π
∫ 
 Đặt ⎨ = , ta có : 
u x
dv cos xdx
=⎧
⎩
du dx
v sin x
=⎧⎨ =⎩
∫12
2007
bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung  Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa 
 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 – năm 2007 ___________________ (Trang 6
 ( )2 2
0 0
x cos xdx x sin x sin xdx cosx 12 2
2 20 0
π ππ ππ π= − = + = −∫ ∫ 
Nhận xét : Một câu hỏi đặt ra lμ đặt có đ−ợc không ? 
u cosx
dv xdx
=⎧⎨ =⎩
 Ta hãy thử : 
22 2
2
0 0
x 1
x cos xdx cosx x sin xdx2
2 20
π ππ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ , rõ rμng tích phân 
2
2
0
x sin xdx
π
∫ còn phức tạp hơn tích 
phân cần tính . Vậy việc lựa chọn u vμ dv quyết định rất lớn trong việc sử dụng ph−ơng pháp tích phân từng phần . Ta 
hãy xét một VD nữa để đi tìm câu trả lời vừa ý nhất ! 
 VD2. Tính 
2
5
1
ln x
dx
x∫ 
 Ta thử đặt : 5
1
u
x
dv ln xdx
⎧ =⎪⎨⎪ =⎩
rõ rμng để tính v= lμ một việc khó khăn ! ln xdx∫
 Giải . Đặt 
5
u ln x
1
dv dx
x
=⎧⎪⎨ =⎪⎩
 ta có : 
5 4
1
du
x
1 1
v dx
x 4x
⎧ =⎪⎪⎨⎪ = = −⎪⎩ ∫
 Do đó : 
2 2
5 4 5 4
1 1
2 2ln x ln x 1 dx ln2 1 1 15 ln2
dx
1 1x 4x 4 x 64 4 4x 256 64
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = − + − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ 
iNhận xét : Từ 2 VD trên ta có thể rút ra một nhận xét ( với những tích phân đơn giản ) : Việc lựa chọn u vμ dv 
phải thoả mãn : 
1 du đơn giản, v dễ tính . 
2 Tích phân sau ( )vdu∫ phải đơn giản hơn tích phân cần tính ( )udv∫ . 
/ Bμi tập rèn luyện ph−ơng pháp : 
 Tính các tích phân sau : 
1 . 
1
x
0
xe dx∫ 2 . 1 3x
0
xe dx∫ 3. ( )2
0
x 1 cosxdx
π
−∫ 4. ( )6
0
2 x sin3xdx
π
−∫ 5 . 
1
2 x
0
x e dx−∫ 
6 .
2
2
0
x sin xdx
π
∫ 7. 2 x
0
e cosxdx
π
∫ 8. 9. 10. 
e
1
ln xdx∫ ( )5
2
2x ln x 1 dx−∫ ( )e 2
1
ln x dx∫
Mỗi dạng toán chứa đựng những đặc thù riêng của nó ! 
Phần phân loại các dạng toán 
ê
 Tích phân của các hμm hữu tỷ 
A. Dạng : I ( ) ( )a 0≠∫ P x= dxax + b 
∫12
2007
bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung  Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa 
ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 – năm 2007 ___________________ (Trang 7
Công thức cần l−u ý : I dx ln ax b C
ax b a
α α= = ++∫ + 
# Tính I1 x 1 dx+= −∫ x 1
# Tính I2 2x 5 dx−= +∫ x 1
# Tính I3 3x dx
2x 3
= ∫ + 
Ph−ơng pháp : Thực hiện phép chia đa thức P(x) cho nhị thức : ax+b, đ−a tích phân về dạng : 
I ( )Q x dx dx
ax b
α= + +∫ ∫ ( Trong đó Q(x) lμ hμm đa thức viết d−ới dạng khai triển ) 
B. Dạng : I ( ) ( )a 0≠∫ 2P x= d xax + bx + c
1. Tam thức : có hai nghiệm phân biệt . ( ) 2f x ax bx c= + +
Công thức cần l−u ý : I ( )( ) ( )
u' x
dx ln u x C
u x
= = +∫ 
☺ Tính I 2
2
dx
x 4
= −∫ 
 Cách 1. ( ph−ơng pháp hệ số bất định ) 
( ) ( )2
1
AA B 02 A B 22 A B x 2 A B
A B 1 1x 4 x 2 x 2 B
2
⎧ =⎪+ =⎧ ⎪= + ⇒ ≡ + + − ⇒ ⇔⎨ ⎨− =− − + ⎩ ⎪ = −⎪⎩
 Do đó : I 2
2
dx
x 4
= −∫ = 1 1 dx2 x 2−∫ - 1 1 dx2 x 2+∫ = 1 x 2ln C2 x 2− ++ 
 Cách 2. ( ph−ơng pháp nhảy tầng lầu ) 
 Ta có : I 22 2 2
2 1 2x 2x 4 1
dx dx dx ln x 4 ln x 2 C
x 4 2 x 4 x 4 2
−⎡ ⎤= = − = − − +⎢ ⎥− − −⎣ ⎦∫ ∫ ∫ + 
# Tính I 2 2 dxx a
α= −∫ 
# Tính I 22x dx9 x= −∫ 
# Tính I 23x 2 dxx 1
+= −∫ 
# Tính I 22 x dxx 5x 6= − +∫ 
# Tính I 32 3x dxx 3x 2= − +∫ 
Ph−ơng pháp : 
• Khi bậc của đa thức P(x) <2 ta sử dụng ph−ơng pháp hệ số bất định hoặc ph−ơng pháp nhảy 
tầng lầu. 
• Khi bậc của đa thức P(x) ≥2 ta sử dụng phép chia đa thức để đ−a tử số về đa thức có bậc < 2 . 
∫12
2007
bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung  Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa 
 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 – năm 2007 ___________________ (Trang 8
2. Tam thức : có nghiệm kép . ( ) ( )22f x ax bx c x= + + = α + β
Công thức cần l−u ý : I ( )( ) ( )2
u' x 1
dx C
u x u x
= = − +∫ 
# Tính I ( )( )22
d x 21 1
dx C
x 4x 4 x 2x 2
−= = = −− + −−∫ ∫ + 
# Tính I 2 4x dx4x 4x 1= − +∫ . 
 Đặt : 2x – 1 = t 
dt
dx=
2
2x t 1
⎧⎪⇒ ⎨⎪ = +⎩
, lúc đó ta có : 
 I 2 2
t 1 dt dt 2
2 dx 2 2 2ln t
t t t t
+= = + = −∫ ∫ ∫ C+ 
# Tính I 22 x 3 dxx 4x 4
−= − +∫ 
# Tính I 32 x dxx 2x 1= + +∫ 
Ph−ơng pháp : Để tránh phức tạp khi biến đổi ta th−ờng đặt : tx t x −βα + β = ⇒ = α vμ thay vμo biểu thức 
trên tử số . 
3. Tam thức : vô nghiệm . ( ) 2f x ax bx c= + +
# Tính I 21 dxx 1= +∫ 
 Đặt : 2
1
x tg dx d
cos
= α ⇒ = αα , ta có : 
 I ( )2 2
1
d d
cos tg 1
= α = αα α +∫ ∫ C= α + , với ( )tg xα = 
# Tính I 2 21 dxx a= +∫ . HD Đặt x atg= α 2adx dcos⇒ = αα , ta có : 
 I d C
a a
α α= = +∫
# Tính I 2 2 dxx 2x 2= + +∫ 
# Tính I 2 2x 1 dxx 2x 5
+= + +∫ 
# Tính I 22x dxx 4= +∫ 
# Tính I 32x dxx 9= +∫ 
ê
C. Dạng : I ( ) ( )≠∫ 3 2P x= d x a 0ax + bx + cx+ d
1. Đa thức : có một nghiệm bội ba. ( ) 3 2f x ax bx cx d= + + +
∫12
2007
bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung  Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa 
ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 – năm 2007 ___________________ (Trang 9
Công thức cần l−u ý : I ( )n n 1
1 1
dx C
x n 1 x −
= − +−∫ ( )n 1≠ =
☺ Tính I ( )3
1
dx
x 1
= −∫ 
Nếu x > 1 , ta có : I ( ) ( ) ( )
( )
( )
2
3
3 2
x 11 1
dx x 1 d x 1 C C
2x 1 2 x 1
−
− −= = − − = + = −−− −∫ ∫ + . 
Nếu x < 1 , ta có : I ( ) ( ) ( )
( )
( )
2
3
3 2
1 x1 1
dx 1 x d 1 x C C
21 x 2 x 1
−
− −= − = − − = + = − +−− −∫ ∫ 
Vậy : I ( )3
1
dx
x 1
= −∫ = ( )2
1
C
2 x 1
− +− 
Chú ý : mm
1
x , với x > 0
x
−= 
# Tính I ( )3
x
dx
x 1
= −∫ 
Đặt : x – 1 = t ta có : I 3 2 3 2
t 1 1 1 1 1
dt dt C
t t t t 2t
+ ⎛ ⎞= = + = − − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ 
# Tính I ( )
2
3
x 4
dx
x 1
−= −∫ 
# Tính I ( )
3
3
x
dx
x 1
= −∫ 
# Tính I ( )
4
3
x
dx
x 1
= +∫ 
2. Đa thức : có hai nghiệm . ( ) 3 2f x ax bx cx d= + + +
☺ Tính I ( )( )2
1
dx
x 1 x 1
= − +∫ 
 Đặt : x + 1 = t , ta có : I ( )2 3
1 d
dt
t t 2 t 2t
= =− −∫ ∫ 2t 
Cách 1 
Ta có : 
2 2 2 2
3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 2
1 3t 4t 1 3t 4t 4 3t 4t 1 3t 2 3t 4t 1 3 2
t 2t t 2t 4 t 2t t 2t 4 t t 2t 4 t t
⎛ ⎞− − − − + −⎛ ⎞ ⎛= − = − = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− − − − −⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠
⎞⎟⎠ 
Do đó : I
2
3 2
3 2 2
3t 4t 1 3 2 3 1
dt dt ln t 2t ln t C
t 2t 4 t t 4 2t
− ⎛ ⎞= − + = − − +⎜ ⎟− ⎝ ⎠∫ ∫ + . 
Cách 2 
( ) ( )23 2 2
2B 1
1 At B C
1 A C t 2A B t 2B 2A B 0
t 2t t t 2
A C 0
− =⎧+ ⎪= + ⇒ ≡ + + − + − ⇒ − + =⎨− − ⎪ + =⎩
1
B
2
1
A
4
1
C
4
⎧ = −⎪⎪⎪⇒ = −⎨⎪⎪ =⎪⎩
Do đó : 3 2 2 2
1 1 t 2 1 1 1 2 1 1 2
dt dt dt ln t ln t 2 C
t 2t 4 t t 2 4 t t t 2 4 t
+⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡= − − = − + − = − − − − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣∫ ∫ ∫ ⎤⎥⎦ 
∫12
2007
bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung  Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa 
ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 – năm 2007 ___________________ (Trang 10
 Ph−ơng pháp “nhảy tầng lầu” đặc biệt có hiệu quả khi tử số của phân thức lμ 
một hằng số . 
 Ph−ơng pháp “hệ số bất định” : bậc của đa thức trên tử số luôn nhỏ hơn bậc 
mẫu số 1 bậc . 
# Tính I ( )2
2x 1
dx
x x 2
+= −∫ 
Để sử dụng ph−ơng pháp nhảy tầng lầu ta sẽ phân tích nh− sau : 
 ( ) ( ) ( )2 2
2x 1 2 1
x x 2 x x 2 x x 2
+ = +− − − 
# Tính I ( ) ( )
2
2
x
dx
x 1 x 2
= − +∫ 
Sử dụng ph−ơng pháp hệ số bất định : ( ) ( ) ( )
2
2 2
x Ax B C
x 2x 1 x 2 x 1
+= + +− + − 
 Do đó : ( )( ) ( 22 )x x 2 Ax B C x 1≡ + + + − 
Cho : x=-2, suy ra : 4C
9
= 
 x=0 , suy ra : 2B
9
= − 
 x=1, suy ra : 5A
9
= 
Ph−ơng pháp trên gọi lμ ph−ơng pháp “gán trực tiếp giá trị của biến số” để tìm A, B, C. 
# Tính I 33 2x 1 dxx 2x x
−= + +∫ 
3. Đa thức : có ba nghiệm phân biệt . ( ) 3 2f x ax bx cx d= + + +
☺ Tính I ( )2
1
dx
x x 1
= −∫ 
Cách 1. Ta có : ( ) ( )
2 2 2
3 32 2
1 1 3x 1 3x 3 1 3x 1
2 x x 2 x x xx x 1 x x 1
⎡ ⎤ 3⎡ ⎤− − −⎢ ⎥= − = −⎢ ⎥− −− −⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
 Do đó : I
2
3
3
1 3x 1 3 1 3
dx ln x x ln x C
2 x x x 2 2
⎡ ⎤−= − = − −⎢ ⎥−⎣ ⎦∫ + 
Cách 2 . Ta có : ( ) ( ) ( ) (22
1 A B C
1 A x 1 Bx x 1 Cx x 1
x x 1 x 1x x 1
= + + ⇒ ≡ − + + + −− +− ) 
 Cho x=0, suy ra A = -1 . 
 x=1, suy ra 1B
2
= 
 x=-1, suy ra 1C
2
= 
 Do đó : I 21ln x ln x 1 C
2
= − + − + 
∫12
2007
bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung  Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa 
ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 – năm 2007 ___________________ (Trang 11
# Tính I ( )2
x 1
dx
x x 4
+= −∫ 
# Tính I ( )( )
2
2
x
dx
x 1 x 2
= − +∫ 
# Tính I ( )( )
3
2
x
dx
x 1 x 2
= − −∫ 
# Tính I ( )( )2
dx
2x 1 4x 4x 5
= + + +∫ 
 Đặt : 2x + 1 =t dtdx
2
⇒ = , ta có : 
 I ( )2
1 dt
2 t t 6
= −∫ = ( )
2 2
3
3 2
1 3t 6 3t 18 1
dt dt ln t 6t 3 ln t C
24 t 6t 24t t 6
⎡ ⎤− −⎢ ⎥− = − −− −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ + 
4. Đa thức : có một nghiệm (khác bội ba) ( ) 3 2f x ax bx cx d= + + +
☺ Tính I 3
1
dx
x 1
= −∫ 
 Đặt x – 1 = t , ta có : dx dt⇒ =
I ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
dt 1 t 3t 3 t 3t
dt dt
3t t 3t 3 t t 3t 3 t t 3t 3
⎡ ⎤+ + +⎢ ⎥= = −+ + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ 2
1 dt t 3
dt
3 t t 3t 3
+⎡ ⎤= −⎢ ⎥+ +⎣ ⎦∫ ∫ = 
 22
1 dt 1 2t 3 3 dt
dt
3 t 2 t 3t 3 2 3 3t
2 4
⎡ ⎤⎢ ⎥+⎢ ⎥= − −⎢ ⎥+ + ⎛ ⎞+ +⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ ∫ ∫ 21 1ln t ln t 3t 3 3 C3 2= − + + − α + ( Với 3x tg2= α ) 
# Tính I ( )2
1
dx
x x 1
= +∫ 
# Tính I ( )2
1
dx
x x 2x 2
= + +∫ 
# Tính I 23x dxx 1= +∫ 
# Tính I 33x dxx 8= −∫ 
# Tính I 3 21 dxx 3x 3x 2= − + −∫ 
 Tóm lại : Ta th−ờng sử dụng hai phép biến đổi : 
 c Tử số lμ nghiệm của mẫu số . 
 d Tử số lμ đạo hμm của mẫu số . 
 vμ phân thức đ−ợc quy về 4 dạng cơ bản sau : 
 n {↔ ∫
 ứng với 
1 1 1
dx = ln ax + b + C
ax + b ax + b a
 o {↔ ∫
 ứng với 
u' u'
dx = ln u + C
u u
∫12
2007
bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung  Tr−ờng THPT Đặng Thúc Hứa 
ê 0974.337.449 ___________________________ Tháng 12 – năm 2007 ___________________ (Trang 12
 p ( ) { ( )≥ ↔ ∫n n ứng với 
u' u' 1
n 2 dx = - + C
u u n - 1 n-1u
 q ( ) { ( )↔ ∫2 22 2 ứng với 
1 1
dx = + C
ax + d + a x + d + a
a
, với x