Bài giảng Giải tích 11 - Chương IV: Giới hạn hàm số

LUYỆN THI VÀ GIA SƯ CHẤT LƯỢNG CAO MƠN TỐN 
SĐT: 01234332133. ĐC: Phịng 5, dãy 22 Tập thể xã tắc.TP HUẾ 
Biên soạn: Ths. Trần Đình Cư 
Bài giảng Giải tích11 
 Chương IV 
TÀI LIỆU THÂN TẶNG CÁC EM HỌC SINH 
LỚP TỐN 11-THẦY CƯ 
 HUẾ, NGÀY 4/1/2017 
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế. 
1 
MỤC LỤC 
CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN ....................................................................................................................... 2 
BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ......................................................................................................... 2 
Dạng 1. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn 0 của dãy số ........................................................................... 3 
Dạng 2. Sử dụng định lí để tìm giới hạn 0 của dãy số ............................................................................. 4 
Dạng 4. Sử dụng các giới hạn đặc biệt và các định lý để giải các bài tốn tìm giới hạn dãy. .......................... 5 
Dạng 5. Sử dụng cơng thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vơ hạn, tìm giới hạn, biểu thị một số thập phân 
vơ hạn tuần hồn thành phân số ............................................................................................................ 6 
Dạng 6. Tìm giới hạn vơ cùng của một dãy bằng định nghĩa .................................................................... 9 
Dạng 7. Tìm giới hạn của một dãy bằng cách sử dụng định lý, quy tắc tìm giới hạn vơ cực ........................ 10 
MỘT SỐ DẠNG TỐN NÂNG CAO {Tham khảo} ............................................................................. 12 
BÀI 2. GIỚI HẠN HÀM SỐ .................................................................................................................. 20 
Dạng 1. Dùng định nghĩa để tìm giới hạn ............................................................................................ 23 
Dạng 2. Tìm giới hạn của hàm số bằng cơng thức .................................................................................. 26 
Dạng 3. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn một bên ............................................................................... 27 
Dạng 4. Sử dụng định lý và cơng thức tìm giới hạn một bên ................................................................. 27 
Dạng 5. Tính giới hạn vơ cực .............................................................................................................. 29 
Dạng 6. Tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vơ định 
0
0
 ........................................................................ 29 
Dạng 7. Dạng vơ định 


 .................................................................................................................. 31 
Dạng 8. Dạng vơ định ;0.  ....................................................................................................... 32 
MỘT SỐ DẠNG TỐN NÂNG CAO {Tham khảo} ............................................................................. 35 
BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC ................................................................................................................... 38 
Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x0 ............................................................................ 38 
Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm ................................................................................ 41 
Dạng 3. Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng K ....................................................................... 43 
Dạng 4. Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x) ....................................................................................... 45 
Dạng 5. Chứng minh phương trình f(x)=0 cĩ nghiệm ........................................................................... 45 
MỘT SỐ BÀI TẬP LÝ THUYẾT {Tham khảo} ...................................................................................... 51 
ƠN TẬP CHƯƠNG 4 ............................................................................................................................ 53 
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế. 
2 
CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN 
BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 
1. Định nghĩa dãy số cĩ giới hạn 0 
Dãy 
n
(u ) cĩ giới hạn là 0 khi n dần đến dương vơ cực, nếu mỗi số dương bé tùy ý cho trước, mọi số 
hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đĩ trở đi, |un| đều cĩ thể nhỏ hơn một số dương đĩ. 
Kí hiệu:  
n n n
lim u 0 hay limu 0 hoặc u 0   
n 0 0 n
lim u 0 0, n , n n u          
(Kí hiệu 
n
"lim u 0" cịn được viết 


n
n
"lim u 0" , đọc dãy số 
n
(u ) cĩ giới hạn là 0 khi n dần đến dương vơ 
cực) 
Nhận xét: Từ định nghĩa ta suy ra rằng 
a) Dãy số 
n
(u ) cĩ giới hạn là 0 khi và chỉ khi dãy số  nu cĩ giới hạn 0 
b) Dãy số khơng đổi 
n
(u ) , với 
n
u 0 cĩ giới hạn 0. 
2. Các định lí 
* Định lí 1: Cho hai dãy số  
n
u và  
n
v . Nếu 
n n
u v với mọi n và 
n
limv 0 thì 
n
lim u 0 
* Định lí 2: Nếu q 1 thì nlimq 0 
3. Định nghĩa dãy cĩ giới hạn hữu hạn 
* Định nghĩa 1: Ta nĩi dãy 
n
(v ) cĩ giới hạn là số L ( hay 
n
v dần tới L) nếu  
n
n
lim v L 0

  . 
Kí hiệu: 
n n
limv L hay v L  
Ngồi ra ta cũng cĩ thêm định nghĩa như sau (Ngơn ngữ  ): 
n 0 0 n
limv L 0, n , n n v L           
4. Một số định lí 
* Định lí 1: Giả sử 
n
lim u L. Khi đĩ 
 
n
lim u L và 33
n
lim u L 
 Nếu 
n
u 0 với mọi n thì L 0 và 
n
lim u L 
* Định lí 2: Giả sử 
n n
limu L và lim v M 0, c là một hằng số. Ta có:   
    n n
n n n n n n n
n n
u lim u a
lim u v a b; lim cu cL; lim u .v lim u .limv ; lim ;
v limv b
       
5. Tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn 
 Cấp số nhân lùi vơ hạn là cấp số nhân vơ hạn và cĩ cơng bội q thỗ mãn q 1 
 Cơng thức tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn: 1
1 2 n
u
S u u .... u ...
1 q
     

6. Dãy cĩ giới hạn  
Định nghĩa: Ta nĩi dãy số 
n
(u ) cĩ giới hạn  , nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của 
dãy số, kể từ số hạng nào đĩ trở đi, đều lớn hơn số dương đĩ. 
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế. 
3 
 Kí hiệu: 
n
limu   hay 
n
u  
n 0 0 n
limu M 0, n , n n u M         
7. Dãy cĩ giới hạn  
Định nghĩa: Ta nĩi dãy số 
n
(u ) cĩ giới hạn  , nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của 
dãy số, kể từ số hạng nào đĩ trở đi, đều nhỏ hơn số dương đĩ. 
 Kí hiệu: 
n
limu   hoặc 
n
u  
n 0 0 n
limu M 0, n , n n u M          
Chú ý: Các dãy số cĩ giới hạn  và  được gọi chung là dãy số cĩ giới hạn vơ cực hay dần đến vơ 
cực 
8. Một vài quy tắc tính giới hạn vơ cực 
n
n n
n
n
n n n
n
n n n n
u
a)Nếu lim u a và lim v thì lim 0
v
u
b)Nếu lim u a 0 và lim v 0 và v 0 với mọi n thì lim
v
Tương tự ta lập luận các trường hợp còn lại
c) Nếu lim u và lim v a 0 thì lim u v
   
     
    
Tương tự ta lập luận các trường hợp còn lại

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 
Dạng 1. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn 0 của dãy số 
Phương pháp: 
n
lim u 0 khi và chỉ khi |un| cĩ thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ số hạng nào đĩ 
trở đi. 
Ví dụ 1. Biết dãy số (un) thỗ mãn 
n 2
n 1
u
n

 với mọi n. Chứng minh rằng 
n
lim u 0 
Giải 
 Đặt 
n 2
n 1
v
n

 . 

 
 
n n2
n n n
n
n 1
Ta có lim v lim 0. Do đó, v có thể nhỏ hơn một số dương tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi (1)
n
Mặt khác, theo giả thiết ta có u v v (2)
Từ (1) và (2) suy ra u có thể 

n
nhỏ hơn một số dương tùy ý kể từ một số hạng 
nào đó trở đi, nghĩa là lim u 0
Ví dụ 2. Biết rằng dãy số (un) cĩ giới hạn là 0. Giải thích vì sao dãy số (vn) với vn=|un| cũng cĩ giới hạn là 
0. Chiều ngược lại cĩ đúng khơng? 
Hướng dẫn 
n n
n n n n
Vì (u ) có giới hạn là 0 nên u có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng 
nào đó trở đi.
Mặt khác, v u u . Do đó, v cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy y 
n
n
ù, kể 
từ một số hạng nào đó trở đi. Vậy (u ) có thể nhoe hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số 
hạng nào đó trở đi. Vậy (v ) cũng có giới hạn là 0.
(Chứng minh tương tự, ta có chiều ngược lại cũng đúng).
Ví dụ 3. Vì sao dãy 
n
(u ) với  
n
n
u 1  khơng thể cĩ giới hạn là 0 khi n ? 
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế. 
4 
Ví dụ 4. Sử dụng đỉnh nghĩa chứng minh rằng 
sinn
lim 0
n
Hướng dẫn 
 Ta cĩ 
n 0
0 0 n n
sinn 1 1
u 0 n ,n . Khi đó: 
n n
>0, n : n n u 0 . Vậy :lim u 0
      

         
Dạng 2. Sử dụng định lí để tìm giới hạn 0 của dãy số 
Phương pháp: Ta dụng định lí 1 và 2 và một số giới hạn thường gặp 
 
   
 
  
  
k
n
1 A
lim 0 hay lim 0
n n
1 1
lim 0 ; lim 0 với k nguyên dương
nn
lim q 0 nếu q 1
Ví dụ 1. 
a) Cho hai dãy số 
n n
(u ) và (v ) . Chứng minh rằng nếu 
n n n
limv 0 và u v  với mọi n thì 
n
lim u 0 
b) Áp dụng kết quả câu a) để tính giới hạn của các dãy số cĩ số hạng tổng quát như sau: 
n
n n n 2
n n
n n
1 ( 1) 2 n( 1)
a) u b) u c) u
n! 2n 1 1 2n
d)u (0,99) cosn e) u 5 cos n
  
  
 
   
Ví dụ 2. Tình giới hạn sau: 
 
 
  
 
   
    
n
nn 1 n 1 n n n 1
n n n n n n 1
n 1
2 33 2 5 1 4.3 7
a) lim ; b)lim ; c)lim ; d)lim
3 2 5 1 2.5 7 2 3
Hướng dẫn và đáp số: Sử dụng cơng thức nlimq 0, q 1  
1
a) 3 b)1 c)7 d)
3
Dạng 3. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn hữu hạn 
Phương pháp:  
n n
n n
lim v a lim v a 0
 
    
Ví dụ 1. Sử dụng định nghĩa chứng minh 



3n 2
lim 3
n 1
Hướng dẫn 
n 0 0
0 0 n n
1 1 1 1
u 3 n ; chọn n ,n . Khi đó: 
n 1 n
>0, n : n n u 3 . Vậy :lim u 3
       
  
         
Ví dụ 2. Sử dụng định nghĩa chứng minh 
n
( 1)
lim 1 1
n
 
  
 
 
Ví dụ 3. Cho dãy (un) xác định bởi: 
n
3n 2
u
n 1



a) Tìm số n sao cho 
n
1
u 3
1000
  
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế. 
5 
b) Chứng minh rằng với mọi n > 999 thì các số hạng của dãy (un) đều nằm trong khoảng 
(2,999;3,001). 
Hướng dẫn 
n
n n n
1 1
a) u 3 n 999
n 1 1000
1 1 1
b) Khi n 999 u 3 3 u 3 2,999 u 3,001
1000 1000 1000
    

           
BTTT: Cho dãy (un) xác định bởi: 
n
2n 1
u
n 2



a) Tìm số n sao cho 
n
1
u 2
100
  
b) Chứng minh rằng với mọi n > 2007 thì các số hạng của dãy (un) đều nằm trong khoảng 
(1,998;2,001). 
Dạng 4. Sử dụng các giới hạn đặc biệt và các định lý để giải các bài tốn tìm giới hạn 
dãy. 
Phương pháp 
 Ta thường sử dụng: 
n n
n n
n n
A A
lim 0 lim v ; lim lim v 0
v v 
     
 Nếu biểu thức cĩ dạng phân thức tử số và mẫu số chứa luỹ thừa của n thì chia tử và mẫu cho 
nk với k là mũ cao nhất bậc ở mẫu. 
 Nếu biểu thức chứa căn thức cần nhân một lượng liên hiệp để đưa về dạng cơ bản. 
33 32 2
33 32 2
A B lượng liên hiệp là: A B
A B lượng liên hiệp là: A B
A B lượng liên hiệp là: A B
A B lượng liên hiệp là: A B A B
A B lượng liên hiệp là: A B A B
 
 
 
    
 
    
 
Ví dụ 1. Tính 
 
  
3 2
3 2
3n 5n 1
lim
2n 6n 4n 5
. 
Giải 

 
 
 
     
3 2
3
3 2 n
2 3
5 1
3
3n 5n 1 3n n
lim lim
6 4 5 22n 6n 4n 5
2
n n n
Ví dụ 2. Tính 
2
2
2n 1 5n
lim
1 3n
 

. 
Giải 
2 2
2
2
1 1 5
2
n n2n 1 5n 0n
lim lim 0
1 31 3n
3
n
 
 
  
 
Ví dụ 3. Tính 2 2lim n 7 n 5    
 
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế. 
6 
Giải 
2 2
2 2
2 2 2 2
n 7 n 5 2
lim n 7 n 5 lim lim 0
n 7 n 5 n 7 n 5
         
       
Ví dụ 4. Tính 2 2lim n 3n n   
 
Giải 
2 2
2 2
3n 3 3
lim n 3n n lim lim
23n 3n n
1 1
n
      
     
BÀI TẬP ÁP DỤNG 
Bài 1. Tính các giới hạn sau: 




    
 
   
   
   
 
 
 
2 2
2
2 3
m m 1
0 1 m 1 m
p p 1n
0 1 p 1 p
4n n 1 n n 1 2
a)lim b)lim c)lim n
n 13 2n 2n 5
a n a n ... a n a
 Tính giới hạn: lim
b n b n ... b n b
Xét p m
HướngDẫn: Xét n p .Chia cả tử và mẫu cho 
Xé
Tổng qua
t
t:
p
ù
n
   
     
  
p
3 2
4 2
52
n ,p là bậc cao nhất ở mẫu
Tính giới hạn sau: 
2 3n n 12n n 1
d) lim e) lim
1 4n2n 1 3 n n 2
Đáp số: 
27
a) 2 b)0 c) d) 1 e)
4
  
Bài 2. Tính các giới hạn: 

       
  
34 2 2 2 2 3
2 2n
2n n 7 3n 1 n 1 3n 14 n 2n n
a)lim ; b)lim ; c) lim ; d)lim
n n 22n n 3 1 2n
Đáp số: 3
2
a) b) 3 1 c)0 d) 2
2
 
Bài 4. Tính các giới hạn sau: 
              
   
            
    
    
 
32 3 2
2
2 2 2
2
3 3
a)lim n 1 n b)lim n 3n n 2 c) l im n 2n n
4n 1 2n 1
d)lim n n n e)lim f)lim n n 1 n 2
n 2n n
g) lim n n n 2
Hướng dẫn và đáp số: Nhân lượng liên hiệp 
7 2 1 3
a)0 b) c) d) e)1 f) g)3
2 3 2 2
 
Dạng 5. Sử dụng cơng thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vơ hạn, tìm giới hạn, biểu 
thị một số thập phân vơ hạn tuần hồn thành phân số 
Phương pháp: Cấp số nhân lùi vơ hạn là cấp số nhân vơ hạn và cĩ cơng bội là |q|<1. 
 Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vơ hạn (un) 
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế. 
7 
1
1 2 n
u
S u u ... u ...
1 q
     

 Mọi số thập phân đều được biểu diễn dưới dạng luỹ thừa của 10 
n
31 2
1 2 3 n 2 3 n
aa a a
X N,a a a ...a ... N ... ...
10 10 10 10
        
I. Các ví dụ mẫu 
Ví dụ 1. Viết số thập phân m=0,030303...( chu kỳ 03) dưới dạng số hữu tỉ. 
Giải 
n
3
3 3 3 3 1 100100
m 3 ... 3 3 3
1100 10000 99 33 33100
1
100
           

Ví dụ 2. Tính tổng 
1 1
S 2 2 1 ...
22
      
Giải 
Xét dãy: 2,- 2 ,1,
1
2
 ,... là cấp số nhân 
 
2
2 1 1
q ; q 1
2 2
2

     
Vậy 
2 2 2
S 4 2 2
1 2 1
1
2
   

II. Bài tập rèn luyên 
Bài 1. Hãy viết số thập phân vơ hạn tuần hồn sau dưới dạng một phân số. 34,1212...  (chu kỳ 12). 
Hướng dẫn và đáp số 
2 n
1
12 12 12 1134100
34,1212... 34 ... 34 12
1100 33100 100
1
100
 
 
          
  
 
Bài 2. Tính tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn: 
n 1
1 1 1 2 1 1 1
a)S 1 ... ... b) S ...
4 16 4 2 1 2 2 2


         
 
Hướng dẫn :a)
1 4
q ; S
4 3
  b)
2 2
q ;S 4 3 2
2

   
Bài 3. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vơ hạn cĩ tổng S=3 và cơng bội 
2
q
3
 . 
Đáp số: Cấp số nhân lùi vơ hạn đĩ là: 1;
n 1
2 4 2
; ;...
3 9 3

 
 
 
Bài 4. Tìm cấp số nhân lùi vơ hạn, biết tổng S=6. Tìm hai số hạng đầu 
1 2
1
u u 4
2
  
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế. 
8 
Hướng dẫn: 
 
 
1
1
1
1 1
u
u 6 1 qS 6
1
1 q q1
1 u 1 q 4 2
u u q 4 2
2

         
    
Bài 5. Giải phương trình sau:  
n
2 3 4 5 n 13
2x 1 x x x x ... 1 x ...
6
          với x 1 
Hướng dẫn: Dãy số  
n
2 3 4 5 n
x , x ,x , x ,..., 1 x ...   là một cấp số nhân với cơng bội q x  . 
ĐS: 
1 7
x ; x
2 9
   
Bài 6. 
a) Tính tổng      
2 3 n 1
S 1 0,9 0,9 0,9 .... 0,9 ...

       
b) Cho 0 .
4

   Tính tổng 2 3S 1 tan tan tan ...     
c) Viết số thập phân vơ hạn tuần hồn sau dưới dạng phân số hữu tỉ 
a = 0,272727...... b = 0,999999999........... 
d) Cho dãy   2 3 n
n
b sin sin sin ... sin      với k
2

    . Tìm giới hạn dãy bn. 
Hướng dẫn: 
a) 
1
S 10
1 0,9
 

b) 
1
S
1 tan

 
2 3 4
3 2n 1 2 4
2 2
2 7 2 7
a 0 ...
10 10 10 10
1 1
2 2 2 7 7 310 10
... ... .... 2 7
1 110 1110 10 10 10
1 1
10 10
9 1
b . 1
110
1
10

     
          
 
 

c) Cấp số nhân lùi vơ hạn d) 
n
sin
lim b
1 sin


 
Bài 9. Tính 
n số hạng
nn
a aa ... aaa...a
lim
10
  
Hướng dẫn: Ta cĩ 
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế. 
9 
 
n số hạng n số hạng
n
n
n số hạng
n
n nn
10 1 100 1 10 1
a aa ... aaa..a a 1 11 ... 111..1 a ...
9 9 9
10 10 1 9n
a
81
a aa ... aaa..a 10a 10 1 9n 10a
Vậy lim
81 8110 10
                 
       
 

     
  
 
 
Dạng 6. Tìm giới hạn vơ cùng của một dãy bằng định nghĩa 
Phương pháp 
 
n
limu   khi và chỉ khi un cĩ thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào 
đĩ trở đi. 
 
n n
limu lim( u )     
Ví dụ 1. Dùng định nghĩa giới hạn của dãy số. Chứng minh: 
2
3 3n 2
a)lim b)lim 1 n
n 1

    

Hướng dẫn: 
2 2
n
2
0 0 0 n n
3 2
3 3
n
a)Lấy số dương M lớn tùy ý.
n 2 n 1
u n 1 M n M 1;
n 1 n 1
n 2
Chọnn M 1,n . Khiđó: n n n M 1 u M.Vậy lim u
n 1
b)Ta có: 1-n (1 n)(n n 1) 1 n; n
Lấy số dương M lớn tùy ý.
u 1 n
 
       
 

            

       
  
3 3 3 3
0 0
33 3
0 n n
1 n M n M 1;chọnn M 1,n .
Khi đó: n n n M 1 u 1 n M. Vậy :lim u
        
           
Ví dụ 2. Cho dãy (un) thoả mãn 
n
u n với mọi n. Chứng minh rằng 
n
limu   
Giải 
n n
n
n
lim n vì vậy n lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng
nào đó trở đi. mặt khác u n nên u lớn hơn một số dương bất kì kể
từ một số hạng nào đó.
Vậy lim u

 

 
Ví dụ 3. Biết dãy số (un) thỗ mãn 2
n
u n với mọi n. Chứng minh rằng 
n
limu   
Giải 
2 2
2
n n
Vì lim n nên n có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi
Mặt khác, theo giả thiết u n với mọi n, nên u cũng có thể lớn hơn một số dương tùy
y,ù k
 

n
ể từ số hạng nào đó trở đi. Vậy lim u . 
Ví dụ 4. Cho biết 
n
limu   và 
n n
v u với mọi n. Cĩ kết luận gì về giới hạn vn. 
Hướng dẫn 
n n n n n
n
lim u lim( u ) v u lim( v )
Vậy limv
          
 
Bài giảng Giải tích 11. Chương IV: Giới hạn hàm số. 
Ths. Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133. Luyện thi và gia sư chất lượng cao Mơn Tốn, TP Huế. 
10 
Ví dụ 5. Cho dãy số (un) hội tụ, dãy (vn) khơng hội tụ. Cĩ kết luận gì về sự hội tụ của dãy  
n n
u v . 
Hướng dẫn: Kết luận dãy  
n n
u v khơng hội tụ 
Thật vậy: 
   
 
n n n n n
n n
n n
n n
n
n n
Xét dãy u v , giả sử nó hội tụ nghĩa là lim u v a và limu b.
Khi đó limu limv a
Vậy limv a limu
Vì limu b limv a b
Vậy(v ) là hội tụ, điều này không đúng.
Vậy dãy u v
   
 
 
   
 không hội tụ.
Ví dụ 6. 
a) Cho hai dãy (un) và (vn). Biết 
n n n
limu và v u với mọi n.    
n
Có kết luận gì về giới hạn của dãy (v ) khi n + ?  
b) Tìm 
n n
 limv với v n!  
Hướng dẫn 
a) Vì 
n n
limu nên lim(-u ) .    Do đĩ, (un) cĩ thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số 
hạng nào đĩ trở đi. (1) 
Mặt khá