Bài giảng 4: Hai mặt phẳng song song - Phần 3

 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
BÀI GIẢNG 4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 
--phần 3-- 
Biên soạn: Đặng Thị Phượng 
Bài toán 3: Tìm thiết diện qua một điểm và song song với một mặt phẳng 
Phương pháp giải: 
Để xác định thiết diện của một mặt phẳng và hình chóp ta xác định giao tuyến của mặt 
phẳng đó với các mặt phẳng của hình chóp 
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AD lấy trung điểm M, trên BC lấy điểm N bất kì. Gọi 
( ) là mặt phẳng chứa MN và song song với CD. 
a) Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với ( ) 
b) Xác định vị trí của N trên BC sao cho thiết diện là hình bình hành. 
Giải: 
a)Ta có ( ) và ( )ACD có chung điểm M. 
Mà ( ) / /( )ACD nên ( ) ( ) / /ACD MP CD   
P là trung điểm của AC 
Ta có ( ) và ( )BCD có chung điểm N. 
Mà ( ) / /( )BCD nên ( ) ( ) / /BCD NQ CD   (Q BD ) 
Vậy thiết diện của tứ diện ABCD với ( ) là hình thang MNPQ 
b)Để MNPQ là hình bình hành thì PN//MQ hoặc NQ=PM. Khi đó NP//AB 
N là trung điểm của BC 
Ví dụ 2: Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ đáy là tam giác đều cạnh a. Các mặt bên ABB’A’; 
ACC’A’ là hình vuông. Gọi I, J là tâm các mặt bên nói trên và O là tâm đường tròn ngoại tiếp 
ABC . 
a) Chứng minh IJ song song với (ABC) 
b) Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng (IJO). 
Chứng minh thiết diện là hình thang cân. Tính diện tích 
của nó theo a. 
Giải: 
a) Ta có: I là tâm của hình vuông ABB’C’ nên IA’=IB 
J là tâm của hình vuông ACC’A’ nên AJ’=JC 
 IJ//BC ( ) IJ / /( )ABC ABC  
α
B
C
D
A
M
P
N
Q
JI
B'
A'
C'
B
A
C
OE F
H G
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
b) Ta có 
IJ (IJ ) à ( )
IJ / / Ox / /IJ / /
(IJ ) ( ) Ox
O v BC ABC
BC BC
O ABC
 


  
Ox cắt AB, AC tại E, F. 
EI cắt A’B’ tại H. FJ cắt A’C’ tại G. 
Khi đó thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng (OIJ) là tứ giác EFGH. 
Ta có: 
( ) / /( ' ' ')
(IJ ) ( ) EF
(IJ ) ( ' ' ')
ABC A B C
O ABC
O A B C GH


 
  
 EF/ /GH  EFGH là hình thang 
Vì ABC đều nên tứ giác AA’B’B=tứ giác AA’C’C. Do đó EH=FG 
Vậy thiết diện EFGH là hình thang cân. 
Trong ABC có 
EF 2 2
EF
3 3
a
BC
   
Trong 
' 1
' ' ' ó :
' ' ' ' 3 3
HG A H BE a
A B C c HG
B C A B BA
      
Trong 2 2 2ó:IE 2 . . osIBE c BI BE BI BE c IBE    
2 2 2
02 2 52. . os45
2 3 2 3 18
a a a a a
c
   
          
10 10
EF 2
6 3
a a
IE IE     
Gọi HM là đường cao của hình thang cân EFGH. Khi đó ta có: 
2
2 2 2
2
EF
EF 39
2 6
1 1 2 39 39
(EF ) ( )
2 2 3 3 6 12
GH
HG a
HM EH ME EH
a a a a
S HG HM
 
     
 
    
Bài tập: 
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I, J, K lần lượt là điểm thuộc các cạnh SA, AB và BC sao 
cho IJ song song với SB. 
a. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAC) và (SBD). 
Vì ABCA’B’C’ là hình lăng trụ tam 
giác 
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
b. Tìm giao điểm P của IK và mặt phẳng (SBD). 
c. Xác định thiết diện của mặt phẳng (IJK) và hình chóp S.ABC. 
Hướng dẫn 
a) S  (SAC)  (SBD) 
Trong (ABCD), O = AC ∩ BD 
( ) ( D)
( ) ( )
O SAC SB
SAC SBD SO
  
  
b) Trong (ABCD): AK∩BD = M 
Trong (SAK): SM∩IK = P 
SM  (SBD) 
=> IK∩(SBD) = P. 
c. IJ//SB, IJ  (IJK) , SB  (SBC) , K =(IJK)  (SBC) 
 (IJK) ∩ (SBC) = KH//IJ, H SC 
Thiết diện là hình thang IJKH. 
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB//CD). Điểm M thuộc cạnh BC không 
trùng với B và C. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (P) qua M và song 
song với mp(SAB). Thiết diện là hình gì? 
Hướng dẫn 
Chứng minh : MN//AB MF//SB 
 NE//SA EF//CD 
Các điểm N, E, F là giao điểm của (P) với AD, SD, SC có tính chất EF//MN. Vậy thiết diện là 
hình thang MNEF. 
Bài 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi P, Q, R, S lần lượt là tâm các mặt bên ABB’A’, 
BCC’B’, CDD’C’, DAA’D’ 
a. Chứng minh rằng RQ //(ABCD), (PQRS)//(ABCD) 
b. Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng (AQR) 
Hướng dẫn 
a. Cần chứng minh: QR//(ABCD) 
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
 PQ //(ABCD) 
 (PQR) //(ABCD) 
b. Ta có: QR//(ABCD) 
 (AQR) cắt mp(ABCD) theo một giao tuyến song song với BD 
Giao tuyến này cắt CD tại N. Nối N với R cắt DD’ và CC’ lần lượt tại E và M. Nối M với Q cắt 
BB’ tại F. Dễ thấy thiết diện là hình bình hành AEMF. 
Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Trên AB, CC’, C’D’, AA’ lần lượt lấy các điểm 
M, N, P, Q sao cho AM = C’N = C’P = AQ. 
a. Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng và MP, NQ cắt nhau tại 1 điểm cố định. 
b. Dựng thiết diện của hình lập phương cắt bởi (MNPQ). Thiết diện có đặc điểm gì? 
Hướng dẫn 
a. MP và NQ cắt nhau tại tâm O của hình lập phương. 
b. Thiết diện là lục giác MRNPSQ có tâm đối xứng là O. 
Bài 5: Cho hình chóp SABCD có đáy là một tứ giác lồi. M, N lần lượt là trung điểm của SA, 
SC. 
a) Xác định các thiết diện của hình chóp khi cắt bởi các mặt phẳng lần lượt qua M, N và 
song song với mặt phẳng (SBD) 
b) Gọi I và J là giao điểm của hai mặt phẳng trên với AC. Chứng minh 
1
IJ
2
AC 
Hướng dẫn: 
Giả sử (P) là mặt phẳng qua M và song song với (SBD) và E, F là giao điểm của (P) với các 
cạnh AB và AD.Khi đó thiết diện của hình chóp là tam giác MEF 
Tương tự: Thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng qua N và song song với (SBD) là tam 
giác NKH với NK//SB, NH//SD, KH//BD 
b) 
1 1
;OJ
2 2
1
IJ
2
IO OC OC
AC
 
 
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
Bài 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi M là một điểm bất kì trên AC. 
a) Qua M vẽ mặt phẳng ( ) song song với hai canh AB, CD. Mặt này cắt các cạnh AC, BC, 
BD, AD của tứ diện tại M, N, R, S. Tứ giác MNRS là hình gì? Khi nào thì nó là hình chữ 
nhật. 
b) Gọi I là trung điểm của AB. Giao điểm của các đường IC, ID với các cạnh của tứ giác 
MNRS có gì đặc biệt. Từ đó tìm quỹ tích tâm O của hình bình hành MNRS khi M chuyển 
động trên AC. 
Hướng dẫn: 
a) Tứ giác MNRS là hình bình hành (vì có hai cặp cạnh song song) 
Hình bình hành MNRS là hình chữ nhật thì cần phải có AB CD 
b) IC cắt MN tại E. E là trung điểm của IC 
ID cắt RS tại F. F là trung điểm của RS 
Quỹ tích trung điểm O là trung tuyến IJ của ICD