Bài giảng 4: Hai mặt phẳng song song - Phần 1

 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
BÀI GIẢNG 4. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 
--phần 1-- 
Biên soạn: Đặng Thị Phượng 
Bài toán 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song 
Phương pháp giải 
PP1: Chứng minh 2 mặt phẳng đó cùng song song với 1 mặt phẳng thứ 3. 
PP2: Ta chứng minh mặt phẳng này chứa 2 đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt 
phẳng kia. 
( ), ( )
( ) / /( )
/ /( ), / /( )
a b
a b I
a b
 
 
 
  

  


Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD . Gọi 1 2 3, ,G G G lần lượt là trọng tâm của các tam giác , ,ABC ACD ABD . 
Chứng minh mặt phẳng 1 2 3( )G G G song song với mặt phẳng ( )BCD 
Giải: 
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, DB ta 
có: 
1
1
2
,
3
AG
M AG
AM
  
2
2
2
,
3
AG
N AG
AM
  
3
3
2
,
3
AG
P AG
AM
  
Do đó: 1 2 1 2 / /
AG AG
G G MN
AM AN
  
 Mà ( )MN BCD nên 1 2 / /( )G G BCD (1) 
Tương tự: 31 1 3 / /
AGAG
G G MP
AM AP
  
Mà ( )MP BCD nên 1 3 / /( )G G BCD (2) 
Từ (1) và (2) ta có 1 2 3( ) / /( )G G G BCD 
b
a
M
β
α
B D
C
A
M
P
N
G1
G3
G3
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
A B
F E
D C
M
N
M'
N'
Ví dụ 2: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF không nằm trên một mặt phẳng và có cạnh chung 
AB. Lấy hai điểm M và N trên hai đường chéo AC, BF sao cho AM = BN. Hai đường thẳng 
song song với AB kẻ từ M và N lần lượt cắt AD tại M’ và AF tại N’. 
a) Chứng minh mặt phẳng (ADF) và (BCE) song song 
b) Chứng minh MN//(CDF) 
Giải: 
a) Vì ABCDvà ABEF là hình vuông có chung cạnh AB 
nên 
/ /
( ) / /( )
AF / /
AD BC
ADF BCF
BE



b) Ta có
'/ /
AB / /
MM AB
CD



 '/ / / /( ' ')MM CD CD MM NN  (1) 
Trong ACD có 
'
'/ /
AM AM
MM CD
AD AC
  
Trong ABF có 
'
'/ /
AF
AN BN
NN AB
BF
  
Mà ,AM BN AC BF  (đường chéo hai hình vuông bằng nhau) 
Suy ra:  
' '
' '/ / / / ' '
AF
AM AN
M N DF DF MM NN
AD
   (2) 
Từ (1) và (2) ta có: ( ) / /( ' ')CDF MM NN / /( )MN CDF 
Ví dụ 3:Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình bình 
hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, CD. 
a) Chứng minh mặt phẳng ( ) / /( )OMN SBC 
b) Gọi I là trng điểm của SC, J là điểm thuộc 
(ABCD) và cách đều AB , CD. Chứng minh 
IJ / /( )SAB 
c) Giả sử hai ,SAD ABC  đều cân tại A. AE, 
AF là các đường phân giác trong của 
,ACD SAB  . Chứng minh / /( )EF SAD 
Giải: 
I
O
A
D
B
C
S
M
N
P
Q
J
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
a) Vì O là tâm của hình bình hành ABCD nên OA=OCM là trung điểm của SA nên 
SM =MA 
N là trung điểm của DC nên ND = NC 
Trong SAC và DAC có OA = OC; SM = 
MA;ND=NC 
/ /
( ) / /( )
/ /
OM SC
OMN SBC
ON BC

 

b) Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AD và 
BC. J PQ  
Ta có 
/ /
( ) / /( ) IJ / /( )
/ /
PQ AB
IPQ SAB SAB
IQ SB

 

c) Từ E kẻ EH//SD, HSC (1) 
Ta có: 
ASHS ED AD FS
SC EC AC AB SB
    
/ / / /HF BC HF AD  (2) 
Từ (1) và (2) ta có : ( EF) / /( D) EF / /( )H SA SAD 
Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Một mặt phẳng (P) cắt bốn 
cạnh bên của hình chóp tại các điểm A’,B’,C’,D’. Chứng minh rằng nếu tứ giác A’B’C’D’ là 
hình bình hành thì / /( )P ABCD 
Giải: 
Gọi  là giao tuyến của ( )SAB và ( )SCD 
Gọi ' là giao tuyến của ( )SAD và ( )SBC 
Giả sử A’B’C’D’ là hình bình hành ta có: 
' '/ / ' '
' ' ( )
' ' ( )
A B C D
A B SAB
C D SCD



 
nên giao tuyến / / ' '/ / ' 'A B C D 
 Mà
/ /
( ) / / / /
( )
AB CD
AB SAB AB CD
CD SCD


  
 
Nên / / ' ' ' '/ /( )AB A B A B ABCD (1) 
Tương tự ta có ' '/ / ' '/ /( )A D AD A D ABCD (2) 
'
A B
D C
S
D'
A' B'
C'
O
A
D
B
C
S
Q
E
F
H
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
Từ (1) và (2) ( ) / /( ' ' ' ')ABCD A B C D hay / /( )P ABCD 
Vậy nếu tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành thì / /( )P ABCD 
Bài tập: 
Bài 1: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Gọi  là mặt phẳng chứa a và song song với b, 
 là mặt phẳng chứa b và song song với a. Chứng minh: / /  
Hướng dẫn: Lấy điểm O trên mặt phẳng  . Từ O kẻ b’ //b 
Lấy O’ trên mặt phẳng  . Từ O’ kẻ a’//a 
Nếu   suy ra vô lí ;  phân biệt. Chứng minh / /  theo phương pháp 2 
Bài 2: Cho 3 tia Ax, ,By Cz song song và cùng chiều. Ba điểm M, N, P chuyển động lần lượt trên 
Ax, ,By Cz với AM=BN CP . Chứng minh ( )MNP song song với mặt phẳng cố định. 
Hướng dẫn: ( )MNP // ( )ABC 
Bài 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABCA’B’C’. Gọi I, K, G lần lượt là trọng tâm của 
, ' ' ', 'ABC A B C ACC   .Chứng minh: 
a) ( ) / /( ')IKG BCC b) ( ' ) / /( ')A KG AIB 
Hướng dẫn: 
' ' '
2; 2
/ / '; / / ( ) / /( ')
BI C G A K A G
IH GH KL GC
IG BC GK CL IGK BCC
   
 
Bài 4: Cho hai góc ; ' ' 'AOB A O B không cùng nằm trên một mặt phẳng; / / ' '; / / ' 'OA O A OB O B 
Chứng minh: ( ) / /( ' ' ')AOB A O B 
Bài 5: Hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến  . Một mặt phẳng (R) song song với 
 cắt (P) và (Q) theo giao tuyến a và b. Chứng minh a//b 
Hướng dẫn: Chứng minh a và b cùng song song với giao tuyến  
Bài 6: Trong mặt phẳng  cho hình bình hành ABCD. Dựng các tia Ax, By,Cz,Dt nằm cùng về 
một phía so với  . Mặt phẳng ' cắt tia Ax, By,Cz,Dt lần lượt tại A’; B’; C’; D’. 
a) Chứng minh (AA’BB’) //(CC’DD’) 
b) Chứng minh tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành. 
Hướng dẫn: 
a) AB//DC; AA’//DD’ 
b) Ta minh A’B’//D’C’, A’D’//B’C’ vì mặt phẳng ' cắt hai mặt phẳng song song 
theo hai giao tuyến thì hai giao đó tuyến song song. 
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
Bài 7: Cho mặt phẳng (P) và một điểm nằm ngoài (P). Chứng minh rằng tất cả những đường 
thẳng đi qua A và song song với (P) đều cùng nằm trong một mặt phẳng (Q) song song với (P). 
Hướng dẫn: Gọi (Q) là mặt phẳng duy nhất đi qua A và song song với(P). Giả sử a là một 
đường thẳng bất kì qua A và song song với (P).Ta phải chứng minh đường thẳng a nằm trên 
(Q). 
Bài 8: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD, BCD. Chứng 
minh MN song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD) 
Hướng dẫn: Gọi I là trung điểm của CD. 
AI là trung tuyến của 
1
2
IM
ACD
IA
   
Tương tự BI là trung tuyến của BCD suy ra điều phải chứng minh. 
Bài 9: Cho điểm O nằm ngoài mặt phẳng ( ) . Gọi M là điểm thay đổi nằm trên ( ) . Tìm quỹ 
tích trung điểm của đoạn OM. 
Giải: 
Thuận: Gọi I là điểm cố định trên ( ) và J là trung điểm của OI  J cố định. 
Trong OIM có JM’ là đường trung bình 
'/ / ( ) '/ /( )JM IM JM    
Vậy M’ nằm trong mặt phẳng ( ) đi qua J và song song với ( ) 
Đảo: Gọi M’ là điểmbất kì của ( ) nối dài OM’ cắt ( ) tại M. 
Vì ( ) // ( ) nên JM’//IM,mà J là trung điểm của IO nên M’ là trung điểm của OM. 
Vậy quỹ tích trung điểm M’của OM là mặt phẳng ( ) đi qua trung điểm J của OI và song song 
với mặt phẳng ( ) cho trước.