Bài giảng 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng - Phần 5

 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
 BÀI GIẢNG 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 
---phần 5--- 
Biên soạn: Trịnh Phương Liên 
BÀI TOÁN 5. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ QUỸ TÍCH GIAO ĐIỂM, GIAO TUYẾN, 
ĐIỂM CỐ ĐỊNH 
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD . Hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AB, AC sao cho 
.
AM AN
AB AC
 Một mặt phẳng (P) thay đổi luôn chứa MN, cắt các cạnh CD, BD lần lượt tại E và F. 
a) Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định. 
b) Tìm tập hợp giao điểm I của ME và NF 
c) Tìm tập hợp giao điểm J của MF và NE 
Giải 
a) Gọi K là giao điểm của MN và BC. Ta có K cố định và K là điểm chung của mp(P) với 
mp(BCD) 
Mặt khác    mp P mp BCD EF  . 
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
Vậy K EF , chứng tỏ rằng EF luôn đi qua điểm K cố định 
b) Gọi I ME NF  . Ta có    ,I MCD I NBD I   thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng 
(MCD) và (NBD) .I OD  
Khi E chạy đến C thì F chạy đến B và I chạy đến O 
Khi E chạy đến D thì F chạy đến D và I cũng chạy đến D 
Vậy tập hợp các điểm I là đoạn thẳng OD 
c) J là giao điểm của MF và NE. Từ đó dễ thấy J thuộc cả hai mặt phẳng (ABD) và (ACD). 
Vậy J phải thuộc giao tuyến AD của (ABD) và (ACD). 
Tương tự câu a, ta có tập hợp điểm J là đường thẳng AD trừ các điểm trong của đoạn AD. 
Ví dụ 2. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi C’ là trung điểm của SC, M là 
một điểm di động trên cạnh SA. Mặt phẳng (P) di động luôn đi qua C’M và song song với BC. 
a) Chứng minh (P) luôn chứa một đường thẳng cố định 
b) Xác định thiết diện mà (P) cắt hình chóp .S ABCD . Xác định vị trí điểm M để thiết diện là 
hình bình hành 
c) Tìm tập hợp giao điểm của hai cạnh đối diện của thiết diện khi M di động trên SA. 
Giải 
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
a) Do (P)//BC, gọi  'B P SB  , khi đó ta có ' '/ /B C BC B’ là trung điểm của SB. 
Vậy (P) luôn chứa đường thẳng ’C’ cố định 
b) Vì  ' '/ / , / / / / .B C BC BC AD AD P 
Trong mp(SAD) kẻ  '/ /MD AD D SD . Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác ’C’D’M 
Để ’C’D’M là hình bình hành thì ta phải có 
' ' '
' '/ /
B C MD
B C MD



. 
Đã có ' '/ /B C MD vì ' '/ / / / / /B C BC AD MD 
Do 
1 1 1
' ' '
2 2 2
B C BC AD MD AD    M là trung điểm của SA. 
c) Khi M A thì '.D D Gọi ' ' ' ' 'I AB DC MB D C    
Khi 'M S D S   nên ' ' 'S MB D C  
Vậy tập hợp giao điểm của hai cạnh đối diện thiết diện khi M di động trên cạnh SA là đường 
thẳng SI, trừ khoảng giữa SI 
Ví dụ 3. Cho hai điểm A, B cố định nằm ngoài mp(P) sao cho AB luôn cắt (P). M là một điểm di 
động trong không gian sao cho    ', '.MA P A MB P B    Chứng minh rằng A’ ’ luôn đi qua 
một điểm cố định. 
Giải 
Xét mp(P) và  ABM
có: 
   
   
' , '
' '
B P MB A P MA
A B P AMB
   
  
Gọi   ' 'I AB P I A B    
Mà AB và (P) cố định I cố định. 
Vậy A’ ’ luôn đi qua điểm I cố định 
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
Bài tập 
Bài 1. Cho tứ diện ABCD . Gọi I, J là hai điểm di động lần lượt trên các cạnh AD, BC sao cho 
luôn có 
IA JB
ID JC
 
a) Chứng minh rằng IJ luôn song song với một mặt phẳng cố định 
b) Tìm tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số k cho trước 
HD. 
a) Chứng minh IJ son song với mặt phẳng đi qua AB và song song với CD 
b) Tập hợp điểm M là đoạn EF, với E, F là các điểm chia đoạn AB, CD theo tỉ số k 
Bài 2. Cho hình chóp .S ABCD . Gọi I, J là hai điểm cố định trên SA và SC, với SI>IA, SJ<JC. 
Một mp(P) quay quanh IJ và cắt SB, SD lần lượt tại M, N 
a) Chứng minh rằng IJ, MN, SO đồng quy ( )O AC BD  . Suy ra cách dựng điểm N khi biết 
M 
b) , .AD BC E IN MJ F    CMR , ,S E F thẳng hàng 
c) , .IN AD P MJ BC Q    CMR PQ luôn đi qua một điểm cố định 
HD. 
a) Gọi .K IJ SO  Chứng minh K MN nên IJ, MN, SO đồng quy 
Từ đó N là giao điểm của MK với SD 
b) Vì S, E, F cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) 
c) Gọi H là giao điểm của IJ và AC. Chứng minh PQ luôn đi qua điểm H cố định. 
Bài 3. Cho hình chóp .S ABCD (AB không song song với CD). Điểm M di động trên SA, 
  .CMD SB N  Chứng minh MN đi qua điểm cố định 
HD. Xét (SAB) và (MCD) 
Gọi        ,M SAB MCD N SAB MCD    . Vậy    MN SAB MCD  
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọ ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
Gọi K AB CD K MN    . AB và CD cố định 
=> K cố định 
vậy MN luôn đi qua diểm K cố định.