Bài giảng 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng - Phần 3

 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọi ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
 BÀI GIẢNG 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 
---phần 3--- 
Biên soạn: Trịnh Phương Liên 
BÀI TOÁN 3. CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG 
 CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY 
Cách giải 
 Chứ m h ba ểm thẳng hàng 
Ngoài cách chứng minh theo hình học phẳng thông thường, ta có thể dùng cách sau: 
Ta chứng minh ba điểm đó thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt. 
 Chứ m h ba ờng thẳ ồng quy 
Cách 1. Chứng minh chúng là giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt 
Cách 2. Chứng minh một đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng còn lại 
Ví dụ 1. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là một hình bình hành, O là tâm của đáy. Gọi M, N lần 
lượt là trung điểm của SA, SC. Gọi (P) là mặt phẳng qua M, N và B. Xác định giao điểm E, F 
của các đường thẳng DA, DC với mp(P), chứng tỏ ba điểm E, B, F thẳng hàng. 
Giải 
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọi ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
Xét mp(SAC), gọi I là giao điểm của SO với MN thì I là giao điểm của SO với mp(P) 
Gọi K là giao điểm của BI với SD thì K là giao điểm của SD với mp(P) 
Kéo dài MN cắt AD tại E 
Kéo dài KN cắt DC tại F 
Khi đó ta có E, B, E là ba điểm chung của hai mặt phẳng (P) và (ABC) nên chúng thẳng hàng. 
Ví dụ 2. Cho hình chóp .S ABCD . Trên cạnh SC lấy điểm E không trùng với điểm S và C. Xác 
định giao điểm F của đường thẳng SD với mp(ABE). Giả sử AB không song song với CD. 
Chứng minh ba đường thẳng AB, CD, EF đồng quy. 
Giải 
Gọi O là giao điểm của AC và ;BD J là giao điểm của SO và AE. 
Hai mặt phẳng (SBD) và (ABE) có hai điểm chung là B, J. 
Do đó giao tuyến của (SBD) và (ABE) là BJ 
Gọi F là giao điểm của BJ và SD thì F là giao tuyến của đường thẳng SD với mp(ABE). 
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọi ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
Gọi I là giao diểm của AB và CD. 
Khi đó ba điểm I, E, F cùng thuộc hai 
mặt phẳng (ABE) và (SCD) nên 
chúng thẳng hàng. 
Hay ba đường thẳng AB, CD, EF 
đồng quy tại I. 
Bài tập 
Bài 1. Cho tứ diện OABC. Gọi M, N, P là các điểm lần lượt lấy trên các đoạn thẳng OA, OB, OC 
và không trùng với đầu mút các đoạn thẳng đó. Chứng minh rằng nếu các cặp đường thẳng MN 
và AB, NP và BC, PM và CA cắt nhau lần lượt tại D, E, F thì ba điểm D, E, F thẳng hàng. 
 HD. Ba điểm D, E, F nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ABC) 
Bài 2. Cho tứ diện S.ABC có D, E lần lượt là trung điểm AC, BC và G là trọng tâm tam giác 
ABC. Mặt phẳng (P) qua AC cắt SE, SB lần lượt tại M, N. Mặt phẳng (Q) qua BC cắt SD và SA 
lần lượt tại R, T. 
a) Gọi I = AMDN, J = BR ET. Chứng minh rằng S, I, J, G thẳng hàng. 
b) Gọi K = AN DM, L = BTER. Chứng minh rằng S, K, L thẳng hàng. 
HD.a) S, I, J, G (SAE)  (SBD) 
 b) S, K, L  (SAB)  (SDE) 
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có O là giao điểm của AC và BD. Một mặt phẳng (P) cắt các 
cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q. Chứng minh rằng MP, NQ và SO đồng quy. 
 ợc tài trợ bởi: Thành Công Study – www.thanhcongstudy.edu.vn. Địa chỉ: 6A1, Tiểu khu Ngọc 
Khánh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội. Để ă ký học, quý phụ huynh và học sinh gọi ện tới: 0977.333.961 hoặc 
gửi email tớ hòm th : thanhcongstudy@gmail.com. Trân trọng! 
 HD. 
Cách 1. MP là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (P) 
NQ là giao tuyến của hai mặt phẳng (SBD) và (P) 
SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) 
Suy ra ba đường thẳng trên đồng quy 
Cách 2. Gọi I là giao điểm của MP và NQ 
Mà MP thuộc mp(SAC), NQ thuộc mp(SBD) 
Suy ra I thuộc giao tuyến SO của mp(SAC) và mp(SBD) 
Vậy ba đường thẳng đồng quy tại I 
Bài 4. (Đề cương học kỳ I Trường THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam) Cho tứ diện ABCD. 
a) Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, CD và DB. Chứng minh rằng các mặt phẳng (ADI), 
(ABJ), (ACK) cùng đi qua một đường thẳng. 
b) Gọi 'D là trọng tâm tam giác ABC và E là trung điểm AJ. Dựng thiết diện của tứ diện cắt bởi 
mặt phẳng ( ' ).KD E 
c) Gọi ', ', 'A B C lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, CDA, DAB. Chứng minh rằng các 
đường thẳng AA',BB',CC', DD' đồng quy tại một điểm G gọi là trọng tâm của tứ diện 
d) Chứng minh rằng G chia các đoạn thẳng AA',BB',CC', DD' theo cùng một tỷ số. Tính tỷ số đó. 
HD. a) Gọi O là giao của BJ và DI. Ba mặt phẳng trên cùng đi qua đường thẳng AO. 
b) G D' E IJ ,GK BC H,HD' AC L,LE AD M.        
Thiết diện cần tìm là tứ giác KHLM. 
c) Chứng minh AA',BB',CC' , AA',BB',DD' chúng là là giao tuyến của ba mặt phẳng, từ đó mỗi 
bộ 3 đường thẳng đó đồng quy. 
Từ đó có AA',BB',CC', DD' đồng quy tại G.