5 Đề thi HSG huyện Lộc Hà qua các năm - Môn Toán 9

Đề thi HSG huyện Lộc Hà năm học 2011 - 2012
Môn toán 9
Thời gian làm bài 150 phút
Câu 1: Tính: 
Câu 2: Cho biểu thức 
a) Rút gọn A
b) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
Câu 3: Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì:
a) a3 + b3 + c3 = 3abc
b) (a2 + b2 + c2)2 = 2(a4 + b4 + c4).
Câu 4: Cho tam giác ABC vuông cân có AB = AC = 10cm. Tam giác DEF vuông cân ở D nội tiếp tam giác ABC (D thuộc AB, E thuộc BC, F thuộc AC). Xác định vị trí điểm D để diện tích tam giác DEF nhỏ nhất. 
Câu 5: Cho đtròn tâm O và một điểm M. Hãy dựng qua M hai dây vuông góc với nhau sao cho tổng độ dài của chúng lớn nhất.
Câu 6: Chứng minh rằng tích của 8 số nguyên dương liên tiếp không thể bằng lũy thừa bậc 4 của một số nguyên.
Đề thi HSG Lộc Hà năm học 2009-2010
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1 Tính
Câu 2 Cho biểu thức:
 a) Tìm ĐK đối với x để A xác định
 b) Rút gọn A
 c) Tìm giá trị của x để A= 4
 d) Chứng minh rằng nếu x nhận giá trị dạng x= m2 +1 với m nguyên thì A nhận giá trị nguyên
 Câu 3 Cho hình vuông ABCD, O là giao diểm hai đường chéo AC và BD. Gọi M là trung điểm của OB, N là trung điểm của CD. Chứng minh rằng 4 điểm A, m, n, d cùng thuộc một đường tròn và so sánh AN với ND
Câu 4 Cho tam giác ABC có AB = 10 cm, AC=17cm, BC = 21 cm. Điểm O nằm bên trong tam giác cách BC là 2 cm, cách AC là 4 cm. Tính khoảng cách từ O đến AB.
Câu 5 CMR a,b,c là các số hữu tỉ khác nhau từng đôi một thì là một số hữu tỉ
ĐỀ THI HSG HUYỆN LỘC HÀ NĂM HỌC 2012 – 2013
MễN TOÁN 9
THỜI GIAN LÀM BÀI 150 PHÚT
 Cõu 1: a) Phõn tớch thành nhõn tử (x+y+z)3 – x3 – y3 – z3
 b) Chứng minh (a+b+c)3 – (a+b-c)3 – (b+c-a)3 – (c+a-b)3 chia hết cho 24 với mọi a, b, c thuộc Z.
 Cõu 2: a) Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức A = 
 b) Tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = 
 Cõu 3: Tớnh giỏ trị của f(x) = x3 – 6x với x = 
 Cõu 4: Cho hỡnh vuụng ABCD cú cạnh bằng a, lấy điểm M tựy ý trờn đường chộo AC, kẽ ME vuụng gúc với AB, MF vuụng gúc với BC. Xỏc định vị trớ của điểm M trờn đường chộo AC để diện tớch tam giỏc DEF nhỏ nhất, tỡm giỏ trị nhỏ nhất đú.
 Cõu 5: Cho tam giỏc ABC cú gúc nhọn 300, cạnh nhỏ nhất bằng 1, vẽ đường cao CD từ đỉnh gúc vuụng C. Gọi M, N lần lượt là giao điểm cỏc phõn giỏc trong của tam giỏc ACD, BCD. Tớnh khoảng cỏch MN.
ĐỀ HSG HUYỆN LỘC HÀ NĂM HỌC 2013 – 2014
Mụn: Toỏn 9.
Thời gian làm bài 150 phỳt
Bài 1: (4đ)
Cho . Tớnh P = (x3 – 4x + 1)2013.
Tỡm giỏ trị của biểu thức Q = a2013 + b2013 + c2013. Trong đú a, b, c là cỏc số thực khỏc 0 thỏa món: 
Bài 2: (6đ)
Tỡm tất cả cỏc số cú 5 chữ số sao cho 
Giải phương trỡnh: 
Tỡm nghiệm nguyờn dương của phương trỡnh: 
Bài 3: (3đ)
Cho 3 số dương x, y, z thỏa món hệ thức: 
 	Xột biểu thức P = x + y2 + z3 
Chứng minh rằng: P x + 2y + 3z – 3 
Tỡm GTNN của P.
Bài 4: (4đ)
	Cho hỡnh vuụng ABCD. Lấy điểm M trờn cạng BC. Đường thẳng AM cắt đường thẳng CD tại P. Đường thẳng EF vuụng gúc với AM và trong đú E, F tương ứng nằm trờn AB và CD. Đường phõn giỏc gúc DAM cắt CD tại K. Chứng minh rằng:
EF = BM + DK
.
Bài 5: (3đ)
	Cho tam giỏc ABC, gọi O là một điểm bất kỳ nằm trong tam giỏc. Cỏc đường thẳng AO, BO, CO lần lượt cắt cỏc cạnh BC. CA, AB tại D, E, F.
Chứng minh rằng: 
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P = ./.
ĐỀ THI HSG HUYỆN LỘC HÀ
Mụn: Toỏn 9
Thời gian làm bài: 150 phỳt
Cõu 1: Cho biểu thức: . 
Tớnh M khi x = .
Cõu 2: Giải cỏc phương trỡnh:
a) 
b) .
Cõu 3: Cho 
Tỡm điều kiện của x để y cú nghĩa.
Tỡm x khi .
Cõu 4: Chứng minh rằng: Trong một tam giỏc, cỏc đường phõn giỏc trong tỉ lệ nghich với hỡnh chiếu của cạnh đối diện trờn đường phõn giỏc ngoài tương ứng.
Cõu 5: Tớnh độ dài cỏc cạnh của tam giỏc ABC cú đường cao AH = 6 cm, biết rằng đường cao AH chia gúc A theo tỉ số 1:2 và chia cạnh BC thành 2 đoạn mà đoạn nhỏ bằng 3 cm.