4 cách Chứng minh tam giác cân với 2 phân giác bằng nhau - Bài toán ngắn mà cực khó

4 cách CM tam giác cân với 2 phân giác bằng nhau
Bài toán ngắn mà cực khó
Trong các đề toán hay, “đề càng ngắn càng khó”, đó là nhận xét của thời mình còn học phổ thông. Đây là 1 đề như vậy:
 Chứng minh, tam giác có 2 phân giác bằng nhau thì đó là tam giác cân
Đề này chỉ trong chương trình lớp 6 – 7 nhưng có đến 90% HS lớp 10 – 12 phải “cắn bút”. Nhân có 1 số cháu HS hỏi, mình soạn lại mấy cách giải đề này để tham khảo.
1/- Bài chứng minh thứ nhất
Giả thiết ∆ABC có DB là phân giác ÐB, CD là phân giác ÐC [1] và DB = CE.
Cách 1: Dựng đường tròn (O) ngoại tiếp ∆DBC; ta chứng minh được rằng: 
- Đường tròn này phải cắt phân giác của góc C tại E để có CE = BD (như gt). Khi ấy,
 ÐABC = ÐACB vì chắn 2 dây cung bằng nhau.
- Giả sử đường tròn O không cắt phân giác ở E thì xảy ra 2 trường hợp:
+ Cắt ở M mà CM < CE thì ÐMBD < ÐEBD nghĩa là DB không còn là phân giác của ÐABC điềù này trái với giả thiết. 
+ Cắt ở N mà CN > CE, tương tự sẽ có
 Ð NBD > ÐEBD cũng trái với Giả thiết [1].
è Vậy đường tròn chỉ có thể cắt phân giác của góc C 
 ở E là đúng è ABC là tam giác cân.
Cách 2: Dựng đường tròn (O) ngoại tiếp ∆DBC; 
Qua C kẻ dây cung CM có độ dài bằng BD. Ta chứng minh được rằng CM trùng CE vì nếu M rơi vào điểm M' thì CM' không phải là phân giác của ÐC.
Tương tự, nếu M rơi vào N’ thì CN’ cũng không còn là phân giác của Ð C
Vậy ta có tứ giác DEBC nội tiếp đường tròn O với 2 góc chắn 2 dây cung bằng nhau nên
 ÐDCB = ÐEBD Þ ∆ABC cân
2/- Bài chứng minh thứ 2 (Phản chứng gián tiếp)
Ta chứng minh trước 1 bài toán coi như Bổ đề cho bài CM chính
Bổ đề: “Hai tam giác cân trên cùng 1 cạnh đáy, tam giác nào có cặp cạnh bên lớn hơn thì sẽ có cặp góc ở đáy lớn hơn”
Giả sử có ABC và A’BC với AB chung; Đương cao AH và A’H cùng trên trung trực của AB
Nếu A’B > AB thì
SA’BH > S ABH à ÐA’BH > ÐABH . 
 Tương tự có Ð A’CH > ÐACH 
Giải bài chính
*Trong tam giác CAB có 2 phân giác AN=BP. 
Qua N kẻ MN//AB; Qua P kẻ PQ//AB. Giả sử MN không trùng PQ thì vẫn có các cặp góc so le bằng nhau tai các cặp đường song song :
 ÐMAN = ÐMNA & Ð PBQ = ÐQPB 
 Þ Có 2 tam giác cân ∆AMN và ∆PQB Þ AM = MN, & PQ = QB
*Xét 2 tam giác cân AMN và PQB có cặp cạnh đáy bằng nhau AN=BP (gt)
 Giả sử MN>PQ Þ MN >BQ  & AM > BQ Thì theo Bổ đề trên có:
 ÞÐMAN >ÐPBQ Þ2.ÐMAN > 2.ÐPBQ
 ÞÐMAB> ÐNBA (Phân giác chia đôi 2 góc)
*Trong hình thang MNBA, cạnh bên đối diện góc lớn hơn thì lớn hơn cạnh bên kia 
 ÞAM<BN [1]
Mà ta lại có AM = MN > PQ = QB >BN 
 Þ AM > BN đối chiéu [1] thì vô lý
 Þ Điều giả sử ban đầu là vô lí !
èVây chỉ có thể là MN≡PQ & AM = BN [2 ]
*Đến đây dễ dàng có ∆AMB = ∆BNA ( c.c.c) 
 Þ Ð MAB = ÐNBA hay ∆CAB cân ở C
3/- Bài chứng minh thứ 3
Đề: Cho tam giác ABC có 2 đường phân giác BD và CE bằng nhau. Chứng minh tam giác ABC cân tại A
Giải
Cách 1: 
Kẻ đường Ex // BD và Dy // BE; giao điểm của Ex và Dy là F  ta có hình bình hành BDFE 
 Þ ÐDFE = ÐDBE = 1/2ÐABC ; BD=EF và DF=BE
Giả sử ÐABC >ÐACB  (1) Þ trong ∆ABC 2 cạnh đối diện tương ứng AC > AB và AC+BC > AB+BC 
Chia 2 vế của 2 BĐT cùng dấu cho nhau ta có: 
Theo giả thiêt : BD/BC=AD/AC =AB/(AC+BC)
 và CE/BC=AE/AB=AC/(BC+AB)
Þ CE/BC≥BD/BC=>CE≥BD  CE≥EF => ÐEFC ≥ ÐECF
Xét tam giác DFC cân tại D (DF=DC) Þ ÐDFC=ÐDCF
Û ÐDFE+ÐEFC=ÐDCE+ÐECF Þ ÐDFE≤ÐDCE
 Û1/2ÐABC≤1/2ÐACB  Þ ÐABC≤ÐACB (2)
Từ (1) và (2) suy ra ÐABC=ÐACB =Þ ∆ABC cân tại A (đpcm)
4/- Bài chứng minh thứ 4
Giải: (Cách CM phản chứng qua công thức lượng giác)
 Xét ∆ ABC có BD và CE là hai phân giác, BD = CE 
Đặt BC = a ; CA = b ; AB = c, các công thức phân giác: 
BD² = 2ac.cos(B/2) /(a+c) 
CE² = 2ab.cos(C/2) /(a+b) [♥] 
ta cũng chú ý rằng (B/2) và (C/2) là hai góc nhọn nên 
cos(B/2) C/2 (nghịch biến) 
Theo giả thiết: BD = CE Þ 2ac.cos(B/2) /(a+c) = 2ab.cos(C/2) /(a+b) 
Û c(a+b) /b(a+c) = cos(C/2) /cos(B/2) (*) 
* giả sử ÐB > ÐC Þ ÐB/2 > ÐC/2 Þ cos(B/2) < cos(C/2) 
Þ cos(C/2) /cos(B/2) > 1 
Từ (*) Þ c(a+b) /b(a+c) > 1 Þ ac + bc > ab + bc 
Þ ac > ab Þ c > b ÞÐ C > ÐB trái giả thiết ÐB > ÐC 
b/ Trường hợp ngược lại ÐB < ÐC tương tự Þ vô lí 
Vậy phải có ÐB = ÐC  Þ ∆ ABC cân tại A 
chứng minh (♥) 
sử dụng hai công thức: sin2a = 2sina.cosa (.) 
và: dt(ABC) = (1/2)ab.sinC (.)(.) 
hai công thức này có thể cm bằng hình học cấp 2 (nếu lớp10 thi có sẳn công thức), bạn có thể tự làm, những cái này mà cm hết thì dài và không cần thiết 
- - - 
dt(BCD) + dt(ABD) = dt(ABC) 
=> (1/2)BC.BD.sin(B/2) + (1/2)BA.BD.sin(B/2) = (1/2)BA.BCsinB > 
=> a.BD.sin(B/2) + c.BD.sin(B/2) = ac.sinB 
=> BD.(a+c).sin(B/2) = 2ac.sin(B/2).cos(B/2) > 
=> BD = 2ac.cos(B/2) /(a+c) (♥) đã cm xong