3 Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán (Có lời giải)

ĐỀ SỐ 1
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
MÔN: TOÁN
Câu 1 (3 điểm) 1) Giải các phương trình sau: a) . b) .
2) Rút gọn biểu thức với và .
Câu 2 (2 điểm) 1) Cho hàm số bậc nhất . Xác định hệ số a, biết rằng đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng .
 2) Tìm các số nguyên m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện .
Câu 3 (1 điểm) Theo kế hoạch, một xưởng may phải may xong 280 bộ quần áo trong một thời gian quy định. Đến khi thực hiện, mỗi ngày xưởng đã may được nhiều hơn 5 bộ quần áo so với số bộ quần áo phải may trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế, xưởng đã hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may xong bao nhiêu bộ quần áo?
Câu 4 (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại E’ và F’(E’ khác B và F’ khác C).
Chứng minh tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp. 
Chứng minh EF song song với E’F’.
Kẻ OI vuông góc với BC (). Đường thẳng vuông góc với HI tại H cắt đường thẳng AB tại M và cắt đường thẳng AC tại N. Chứng minh tam giác cân.
Câu 5 (1 điểm) Cho a, b, c, d là các số dương thỏa mãn và . 
Chứng minh rằng .
ĐỀ SỐ 2
Bài 1 . Thực hiện phép tính a. A = b) B = 
Bài 2 . Giải các phương trình sau: a) x2 + 5x – 6 = 0 b) 3x2 - 8x – 3 = 0
Bài 3 . Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Hai địa điểm A và B cách nhau 32 km. Cùng một lúc xe máy khởi hành từ A đến B, một xe đạp khởi hành từ B về A sau 48 phút thì gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi xe, biết vận tốc của xe máy nhanh hơn vận tốc của xe đạp 16 km/giờ.
Bài 4 . Cho phương trình : x2 – 2(m+1) x + 4m = 0 (1) ( ẩn số x )
 a) Xác định các hệ số a, b’, c và tính ’
b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi m . 
c)Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm đối nhau và tìm hai nghiệm đó . 
Bài 5 . Cho tam giác ABC cân (AB = AC) nội tiếp trong đường tròn (O). Các đường cao AG, BE, CF của tam giác gặp nhau tại H.
Chứng minh tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó ? Chứng minh các tứ giác CEHG, BFEC cũng là các tứ giác nội tiếp.
Chứng minh AF.AC = AH. AG
Tính chu vi của đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC biết đường kính bằng 12 cm (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Cho bán kính đường tròn tâm (I) là 2 cm, . Tính độ dài cung FHE của 
đường tròn tâm (I) và diện tích hình quạt tròn IFHE (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Bài 6 . Giải phương trình : 
ĐỀ SỐ 3
Bài 1 . 1. Rút gọn biểu thức 
 2. Cho đường thẳng (d): y = ( m – 2 )x + m .Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) cắt đường thẳng y = 2x+1 tại một điểm trên trục tung.
Bài 2 . Cho phương trình 
	 a) Giải phương trình (*) với m = -1.
	 b) Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: .
Bài 3 . Tổng số công nhân của hai đội sản xuất là 125 người. Sau khi điều 13 người từ đội thứ nhất sang đội thứ hai thì số công nhân của đội thứ nhất bằng số công nhân của đội thứ hai. Tính số công nhân của mỗi đội lúc đầu.
Bài 4 . Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O)vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA; MB đến đường tròn(A, B là hai tiếp điểm; C nằm giữa M và D).
Chứng minh MA2 = MC. MD. 
Gọi I là trung điểm củaCD.Chứng minh 5 điểm A.,M, I, O,B cùng nằm trên đường tròn.
Gọi H là giao điểm của AB và MO.Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp đường tròn.Suy ra AB là đường phân giác của góc CHD.
d)Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C và D cắt nhau tai KChứng minh 3 điểm A;B ;K thẳng hàng. 
Bài 5 . Tìm x biết: 
ĐỀ SỐ 4
Câu 1 (2,0 điểm): Giải các phương trình sau: 1) 2) 
Câu 2 (2,0 điểm): 1) Rút gọn biểu thức với và .
2) Tìm m để đồ thị các hàm số và cắt nhau tại điểm nằm trong góc phần tư thứ II.
Câu 3 (2,0 điểm):1) Hai giá sách trong một thư viện có tất cả 357 cuốn sách. Sau khi chuyển 28 cuốn sách từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số cuốn sách ở giá thứ nhất bằng số cuốn sách của giá thứ hai. Tìm số cuốn sách ban đầu của mỗi giá sách.
 2) Gọi là hai nghiệm của phương trình . Tính giá trị của biểu thức: Q = .
Câu 4 (3,0 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ AH vuông góc với BC tại H. Trên cạnh BC lấy điểm M (M khác B, C và H). Kẻ ME vuông góc với AB tại E; MF vuông góc với AC tại F.
Chứng minh các điểm A, E, F, H cùng nằm trên một đường tròn.
Chứng minh BE.CF = ME.MF. 3) Giả sử . Chứng minh .
Câu 5 (1,0 điểm): Cho hai số dương x, y thay đổi thoả mãn xy = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
1
a
Giải phương trình 
1,00
 (hoặc )
0,25
0,25
0,5
b
Giải phương trình 
1,00
Đặt ta được 
 (loại)
0,25
0,25
0,25
0,25
c
Rút gọn với và 
1,00
0,25
0,25
0,5
2
a
Xác định hệ số a
1,00
Ra được phương trình 
Vậy 
0,25
0,25
0,25
0,25
b
Tìm các số nguyên m để nghiệm thỏa mãn 
1,00
Tìm được , 
 hoặc 
Do m nguyên nên 
0,25
0,25
0,25
0,25
3
Tính số bộ quần áo may trong một ngày theo kế hoạch
1,00
Gọi số bộ quần áo may trong một ngày theo kế hoạch là bộ (x nguyên dương).
Số ngày hoàn thành công việc theo kế hoạch là 
Số bộ quần áo may trong một ngày khi thực hiện là 
Số ngày hoàn thành công việc khi thực hiện là 
Theo giả thiết ta có phương trình 
Giải pt ta được (loại)
Số bộ quần áo may trong một ngày theo kế hoạch là 35 bộ
0,25
0,25
0,25
0,25
4
a
Chứng minh tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp
1,00
 Hình 2 Hình 1
Vẽ được hình 1
Theo giả thiết 
 BCEF là tứ giác nội tiếp
0,5
0,25
0,25
b
Chứng minh EF song song với E’F’
1,00
BCEF là tứ giác nội tiếp suy ra 
 (cùng chắn cung )
Suy ra 
Suy ra 
0,25
0,25
0,25
0,25
c
Chứng minh tam giác cân
1,00
TH 1. M thuộc tia BA.
H là trực tâm của tam giác ABC suy ra 
 (cùng phụ với góc )
 (vì đối đỉnh) 
 đồng dạng với (1)
Tương tự đồng dạng với (2)
Từ (1) và (2) và suy ra 
Mà tại H suy ra cân tại I.
TH 2. M thuộc tia đối của tia BA.
 (cùng phụ với góc )
 (góc ngoài )
 (vì đối đỉnh) đồng dạng với . Đến đây làm tương tự như TH 1.
* Chú ý. Thí sinh chỉ cần làm 1 trong 2 TH đều cho điểm tối đa.
0,25
0,25
0,25
0,25
5
Chứng minh rằng 
1,00
 và 
 hay . Do đó
. Vậy 
0,25
0,25
0,25
0,25
ĐỀ 2
Bài 1 . 3,0 đ) : 
1. Tính đúng mỗi biểu thức 0,5 đ
a)A=(
 =14-14+7+14 0,25 đ
 = 21 0,25đ
b) B = 
 = 6 - 3 + 4 + + 2 0,25đ
 = 10 0,25đ 
Bài 2 . Giải mỗi PT đúng 1 đ 
a) x2 + 5x – 6 = 0
Ta có a + b + c = 1 + 5 + ( - 6 ) = 0 PT có hai nghiệm x1 = 1 ; x2 = - 6 
3x2 - 8x – 3 = 0
Ta có = 25 
PT có hai nghiệm phân biệt x1 = 3 ; x2 = - 1/3 
Bài 3 . (2,0 đ )
1) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình ( 1,0 đ )	
Gọi vận tốc của xe máy là x (km/h) 0,25 đ
Gọi vận tốc của xe đạp là y (km/h) x, y > 0 
Mà vận tốc xe máy nhanh hơn vận tốc xe đạp là 16 km , ta có PT : x – y = 16 (1)
Hai xe khởi hành cùng một lúc , ngược chiều nhau , gặp nhau sau 48 phút = 4/5 giờ , ta 
Có PT : 
 (2) 0,25đ
Từ (1) , (2) ta có Hệ pt: 	 0,25đ
Giải hệ tìm được nghiệm (x;y)=(28;12) 0,25 đ 
KL: Vận tốc của xe máy là 28 km/h
 Vận tốc của xe đạp là 12 km/h 
Bài 4 . 	
a) a = 1; b’ = - ( m + 1 ) ; c = 4m 0,5 đ
 = 
 b) Chứng minh phương trình (1) luôn luôn có nghiệm:
Ta có: với mọi m 	 
Vậy phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi m 	 0,5 đ	
c)Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm đối nhau và tìm hai nghiệm đó 
 Vì phương trình (1) luôn có nghiệm, theo hệ thức Viet ta có : 
	x1 + x2 = 2 ( m + 1 ) 0,25 đ 	
Do 2 nghiệm đối nhau nên: x1 + x2 = 0 
 ó 2 ( m + 1 ) = 0 	 	m = - 1 	 
Với m = -1 pt (1) trở thành : 	x2 – 4 = 0 	 0,25đ	 
Bài 5 . (3,0đ) - Hình vẽ đúng đến câu a: 0,25 đ 
a/ - Chứng minh tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp: 
 Có Hay 
 Hay 
 Suy ra : + + 0,25 đ 
 Vậy tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp: 0,25 đ
Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF là trung điểm của AH: 0,25 đ
Chứng minh được mỗi tứ giác CEHF, BFEC nội tiếp: (0,25 điểm) 0,5đ
b/ Chứng minh AF.AC = AH. AG: 
Chứng minh được (g.g): (0,5 điểm) 
Kết luận AF.AC = AH. AG : (0,25 điểm )
c/ Chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: C = 37,68 (cm) ( 0,25 điểm )
d/ 4,19 (cm) ( 0,25 điểm) 
 = 4,19 (cm2) ( 0,25 điểm )
Bài 6 . (1,0đ) 
Giải PT : 
 0,25 đ
Phương trình (1) có nghiệm x = 0,25 đ
Phương trình (2) vô nghiệm 0,25 đ
Vậy Phương trình đã cho có nghiệm x = 0,25 đ
ĐỀ SỐ 3
Bài 6 
Đáp án
điểm
1
0,5
0,5
2
2. ( 1.0 điểm )
 Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục tung 
Vậy m = 1thì hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
0,25
0,25
0.25
0.25
3
4
a) 
Với m = -1 Phương trình (*) 
Vậy với m = -1 thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt:
b) 0,5 điểm
Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt 
Áp dụng định lý Vi-et và theo đề bài thì:
 (thỏa mãn điều kiện).
0,5
0,5
0,5
0,5
 Gọi số công nhân của đội thứ nhất là x (người). ĐK: x nguyên, 125 > x > 13.
Số công nhân của đội thứ hai là 125 – x (người).
Sau khi điều 13 người sang đội thứ hai thì số công nhân của đội thứ nhất còn lại là x – 13 (người)
Đội thứ hai khi đó có số công nhân là 125 – x + 13 = 138 – x (người).
Theo bài ra ta có phương trình : x – 13 = (138 – x)
 3x – 39 = 276 – 2x 5x = 315 x = 63 (thoả mãn).
Vậy đội thứ nhất có 63 người.
Đội thứ hai có 125 – 63 = 62 (người).
 0,5
0,55
0,25
0,25
5
Vẽ hình đúng câu a 
0, 25
 0, 5
 (gg)
0,25
0,25
Chứng minh được 
 L¹i cã 
Suy ra 5 điểm M, A, I, O, B cùng nằm trên đường tròn đk MO
0,25
0,25
0,25
0,25
+ Có 
Lại có chung 
Suy ra (cgc)
-> Tứ giác CHOD nội tiếp 
 + Chøng minh được 
Suy ra AB là đường phân giác của góc CHD.
0,25
0,25
0,25
0,25
6
 Đặt 
Phương trình (1) trở thành:
+) 
+) 
0,25 
0,25 
0.25
0,25 
Đề 4
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
1
1
 (1)
1,00
Có (1) 
0,25
0,25
0,25
0,25
2
 (2)
1,00
Có (2) 
0,25
0,25
0,25
0,25
2
1
Rút gọn biểu thức với a >0 và 
1,00
Có 
Có 
Do đó 
 P = 1
0,25
0,25
0,25
0,25
2
Tìm m để đồ thị các hàm số y = 2x + 2 và y = x + m – 7 cắt nhau tại điểm nằm trong góc phần tư thứ II
1,00
Vì hệ số góc 2 đường thẳng khác nhau(21)( Hoặc nêu hệ sau có nghiệm duy nhất) nên 2 đường thẳng đã cho cắt nhau. Toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = 2x + 2 và y = x + m – 7 là nghiệm của hệ phương trình: 
Giải hệ trên có 
Vì toạ độ giao điểm nằm trong góc phần tư thứ II nên 
0,25
0,25
0,25
0,25
3
1
Hai giá sách trong một thư viện có tất cả 357 cuốn sách. Sau khi chuyển 28 cuốn sách từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số cuốn sách ở giá thứ nhất bằng số cuốn sách của giá thứ hai. Tìm số cuốn sách ban đầu của mỗi giá sách.
1,00
Gọi số sách ở giá thứ nhất là x cuốn (x nguyên dương)
Số sách ở giá thứ hai là y cuốn (y nguyên dương)
Theo bài ra ta có phương trình x + y = 357 (1)
Sau khi chuyển thì số sách của giá thứ nhất là x – 28 (cuốn); số sách của giá thứ hai là y + 28 (cuốn)
Theo bài ra ta có phương trình (2)
Từ (1) và (2) tìm được số sách ban đầu của giá thứ nhất là 147 cuốn 
 Và số sách của giá thứ hai là 210 cuốn.
0,25
0,25
0,25
 0,25
2
Gọi là hai nghiệm của phương trình . (*)
Tính giá trị của biểu thức:Q = 
1,00
Phương trình (*) có ac = -3 < 0 nên (*) luôn có hai nghiệm phân biệt 
Theo Vi - et có 
Có 
=> 
0,25
0,25
0,25
0,25
4
1
Chứng minh các điểm A, E, F, H cùng nằm trên một đường tròn.
1,00
Từ giả thiết có => E nằm trên đường tròn đường kính AM
 => F nằm trên đường tròn đường kính AM
Theo gt có => H nằm trên đường tròn đường kính AM
Suy ra các điểm A, E, F, H cùng thuộc đường tròn (đường kính AM).
0,25
0,25
0,25
0,25
2
Chứng minh BE.CF = ME.MF
1,00
Từ giả thiết suy ra ME // AC => 
=> hai tam giác vuông BEM và MFC đồng dạng
=> BE.CF = ME.MF
0,25
0.25
0,25
0,25
3
Giả sử . Chứng minh 
1,00
Từ giả thiết ta có tứ giác AEMF là hình chữ nhật
Mà nên tứ giác AEMF là hình vuông => ME = MF
Ta có AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC (1)
Có hai tam giác vuông BEM và BAC đồng dạng nên (2)
Có hai tam giác vuông BAC và MFC đồng dạng nên (3)
Từ (2), (3) có (vì ME = MF) (4)
Từ (1), (4) có 
0,25
0,25
0,25
0,25
5
Cho hai số dương x, y thay đổi thoả mãn xy = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
1,00
Có . Dấu “=” xảy ra khi 
Có . Dấu “=” xảy ra khi 2x = y và xy = 2
Do đó . Dấu “=” xảy ra khi x = 1 và y = 2.
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là khi x = 1 và y = 2
0,25
0,25
0,25
0,25