28 câu hỏi trắc nghiệm ôn tập Toán 12 (Có đáp án)

 213
CAÙC CAÂU HOÛI TRAÉC NGHIEÄM 
1. Cho caùc phöông trình sau: 
(I): x2 x 3= − + coù moät nghieäm 
(II): 
x1 2x 1
3
⎛ ⎞ = +⎜ ⎟⎝ ⎠ coù moät nghieäm 
(III): x3 x 2= + coù 2 nghieäm 
(IV): x4 x 2= − voâ nghieäm 
Phaùt bieåu naøo ñuùng? 
a. Chæ (I) b. Chæ (II) c. Chæ (III) vaø (IV) d. Chæ (IV) 
e. Caû (I),(II),(III),(IV) ñeàu ñuùng. 
2. So saùnh caùc soá a vaø b sau ñaây: 
(I): 300 200a 2 ,b 3 a b= = ⇒ > 
(II): 0,3a (0,4) ,b 1 a b−= = ⇒ > 
(III): 
2 3
a ,b a b
2 5
−π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⇒ <⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
a. Chæ I b. Chæ II c. Chæ III d. Chæ II,III e. Caû I, II, III. 
3. Phöông trình: 2x x2 8.2 12 0− + = coù moät nghieäm laø: 
a. lg31
lg2
+ b. lg3 c. lg2 d. lg31
lg2
− e. 22 lg
3
+ 
4. Cho xf(x) 3= thì f(x 1) f(x)+ − baèng. 
a. 2 b. 2 f(x) c. 3 f(x) d. f(x) e. 3 
 214
5. Xeùt tính ñôn dieäu caùc haøm soá sau ñaây: 
(I): 
x
y
3
π⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ ñoàng bieán (II): 
x2y
e
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ nghòch bieán 
(III): 
x
3y
3 2
⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠ nghòch bieán 
(IV): 
x
x 1y 3
3 2
− ⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ñoàng bieán. 
Haøm soá naøo phaùt bieåu ñuùng ? 
a. Chæ (I),(II) c. Caû (I),(II),(III),(IV) e. Chæ (IV) 
b. Chæ (II),(III) d. Chæ(III),(IV) 
6. Giaù trò cuûa bieåu thöùc : 5log 35 4 2A log 16.log 5.log 8.5= laø: 
a. 18 b. 16 c. 20 d. 15 
e. Moät keát quaû khaùc. 
7. Cho a a4 4 23−+ = . Tính a a2 2−+ 
a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 1 
8. Soá nghieäm cuûa phöông trình: 2 4 8log x log x log x 11+ + = 
a. 3 b. 4 c. 1 d. 2 e. 0 
9. Bieát 15C log 3= . Haõy tính 15log 3 theo C. 
a. 1
1 C− b. 
15
2 C+ c. 
2
1 C− d. 
1
2(1 C)− e. Moät soá khaùc. 
10. Cho caùc phöông trình: 
5 5 5 5log (x 2) log (x 3) 2 log 2 log 3 (1)− + − = + 
5 5 5log (x 2)(x 3) 2 log 2 log 3 (2)− − = + 
Nhaän xeùt veà soá nghieäm caùc phöông trình treân nhö sau: 
(I): Phöông trình (1) coù 2 nghieäm 
(II): Phöông trình (2) coù 1 nghieäm 
(III): Phöông trình (1) coù 1 nghieäm 
 215
 (IV): Phöông trình (2) coù 2 nghieäm . 
a. Chæ (I) ñuùng b. Chæ (I) vaø (II) ñuùng c. Chæ (III) ñuùng 
d. Chæ (IV) ñuùng e. Caû (III) vaø (IV) ñuùng 
11. Ruùt goïn bieåu thöùc: a blog b log aa b− 
a. 0 b. 2 c. 1 d. 4 
e. caû a, b, c, d ñeàu sai. 
12. Cho heä phöông trình: 3 3 3
log x log y 1 log 2
x y 5
+ = +⎧⎨ + =⎩
Neáu 0 0(x ,y ) laø nghieäm cuûa heä thì 
2 2
0 0x y+ baèng: 
a. 14 b. 13 c. 15 d. 11 e. 10. 
13. Soá nghieäm nguyeân cuûa baát phöông trình: 4 2log (x 7) log (x 1)+ > + 
a. 1 b. 4 c. 2 d. 3 e. 0 
14. Taäp hôïp nghieäm cuûa baát phöông trình: 2xlog (3 2x) 1− > laø: 
a. ( 3, )− +∞ b. (-2, -1) c. (-1, 4) d. (-3, -1) 
e. Moät taäp hôïp khaùc. 
15. Cho caùc baát ñaúng thöùc: 
(I) 2 2
1log a log a
2
> (II) alg lga
2
< 
(III) lga lgb a blg
2 2
+ +≤ 
Baát ñaúng thöùc naøo laø ñuùng vôùi moïi a > b, b > 0 
a. Chæ (II) vaø (II) b. Chæ (I) 
c. Chæ (II) d. Chæ (III) e. Chæ (I),(II),(III) 
16. Ñònh a ñeå phöông trình sau ñaây coù nghieäm: 
x x4 2 a 0 (1)+ + = 
a. a 0 d. a > 3 e. 0 < a < 1 
 216
17. Cho haøm soá 
x
x
4f(x)
4 2
= + 
Neáu a + b = 1 thì f(a) + f(b) 
a. 2 b. 4 c. - 1 d. 3 e. 1 
18. Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå phöông trình: 
2x xm.2 (2m 1)2 m 4 0− −− + + + = 
coù 2 nghieäm phaân bieät thoûa ñieàu kieän: 1 2x 1 x 2< < < 
a. -14 < m < 0 b. 20m
3
< − c. 2014 m
3
− < < − 
d. 1 < m < 5 e. 0 < m < 5. 
19. Cho heä phöông trình:
2x y
y
x 2
3 2 77
3 2 7
⎧ − =⎪⎨⎪ − =⎩
Goïi 0 0(x ,y ) laø nghieäm cuûa heä thì 
2 2
0 0x y+ baèng: 
a. 19 b. 25 c. 12 
d. 20 e. moät soá khaùc. 
20. Nghieäm baát phöông trình: x x x25.2 10 5 25− + > laø: 
a. -1 < x < 1 b. -2 < x < 0 c. 4 < x < 8 
d. x > 9 e. 0 < x < 2. 
21. Ñònh m ñeå baát phöông trình: x 1 x4 m(2 1) 0− − + > thoûa x R∀ ∈ . 
a. m 0≤ b. m > 0 c. 0 < m < -1 d. 0 m 5≤ ≤ 
e. moät keát quaû khaùc 
22. Soá nghieäm cuûa phöông trình: x x 2 x4 4 2sin
2
−+ = laø: 
a. 4 b. 0 c. 1 d. 2 
e. caû a, b, c, d ñeàu sai. 
 217
23. Ñònh a ñeå baát phöông trình sau thoûa taïi x = 1 vaø x = 4. 
2a 1 alog (2x 1) log (x 3) 0 (1)+ − + + > 
a. a 1 d. a > 4 e. 2 < a < 3. 
24. Ñònh m ñeå moïi x ( 1,0)∈ − ñeàu laø nghieäm cuûa baát phöông trình: 
22x (m 2)x 2 3m 0+ + + − < 
a. 1m
2
≤ b. 2m
3
 4 d. 2m
3
≥ 
e. moät keát quaû khaùc. 
25. Giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc : 2 2A 4xy 2x 4y 4x 2= − − + + laø: 
a. 5 b. 4 c. 8 d. 7 e. 6 
26. Cho x0 laø nghieäm cuûa phöông trình: x2 + ax + b = 0. Xeùt caùc baát 
ñaúng thöùc: 
(I): 2 2 20x 1 a b< + + (II): 2 2 202x 3 a 3b< + + 
(III): 2 2 20x 2 4a b+ + + 
a. Chæ (I) b. Chæ (II) c. Chæ (II) vaø (III) 
d. Chæ (III) e. Chæ (I) vaø (II). 
27. Vôùi baát ñaúng thöùc: a b a b ,+ ≥ + daáu "=" xaûy ra khi naøo ? 
a. Khi vaø chæ khi ab > 0 c. khi vaø chæ khi ab < 0 
b. Khi vaø chæ khi ab ≥ 0 d. khi vaø chæ khi a 0 
e. Khi vaø chæ khi a > 0 vaø b > 0. 
28. Giaù trò nhoû nhaát cuûa x 5f(x)
1 x x
= +− (0 < x < 1) laø: 
a. 5 2 5− b. 5 2 c. 5 2 5+ d. 4 2 3+ e. 3 2 5+ 
 218
29. Cho x, y, z > 0 thoûa: 1 1 1 2
1 x 1 y 1 z
+ + ≥+ + + 
Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa p = xyz 
a. 1
6
 b. 1
2
 c. 1
7
 d. 1
8
 e. Moät soá khaùc. 
30. Cho 2 2x y 2(x 0,y 0)+ = > > 
Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa 1 1
x y
+ 
a. 3 b. 2 c. 4 d. 1 
e. caû 4 caâu a, b, c, d ñeàu sai. 
 219
ÑAÙP AÙN 
1e 2d 3a 4b 5c 6a 7b 8c 9d 10e 
11a 12b 13c 14d 15a 16b 17e 18c 19d 20e 
21a 22b 23c 24d 25e 26a 27b 28c 29d 30b 
HÖÔÙNG DAÃN VAØ GIAÛI 
1e. 
(I), veá traùi laø haøm soá taêng, veá phaûi laø haøm soá giaûm ⇒ x = 1 laø nghieäm 
duy nhaát ⇒ (1) ñuùng. 
(II): veá traùi laø haøm soá giaûm, veá phaûi laø haøm soá taêng ⇒ x = 0 laø nghieäm 
duy nhaát ⇒ (II) ñuùng. 
(III): Ñoà thò hai haøm soá xy 3= vaø y = x + 2 caét nhau taïi 2 ñieåm ⇒ 
phöông trình x3 x 2= + coù 2 nghieäm ⇒ (III) ñuùng. 
(IV): Ñoà thò hai haøm soá xy 4= vaø y = x - 2 khoâng coù ñieåm chung ⇒ 
phöông trình x4 x 2= − voâ nghieäm ⇒ (IV) ñuùng. 
Vaäy e ñuùng. 
2d. (I): 
300 3 100 100a 2 (2 ) 8 ,= = = 200 2 100 100b 3 (3 ) 9 ,8 9 a b= = = < ⇒ < 
⇒ (I) sai. 
(II): Ta coù: 0,3 0
0,3 0
(0,4) (0,4) 1 a b
0 0,4 1
−− = ⇒ > ⇒⎬< < ⎭
 (II) ñuùng. 
(III): 
33 1 35b
5 5
− −⎡ ⎤π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟π⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
maø 
2 3515 521,57, 1,59
2 2
2 3
π⎧ < <π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ π= = ⇒ ⇒ <⎨ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟π π⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ <⎩
a b (III)⇔ < ⇒ ñuùng ⇒ d ñuùng. 
 220
3a. Ñaët xt 2= (t > 0). Phöông trình thaønh: 
2t 8t 12 0− + = t 2 t 6⇔ = ∨ = 
. xt 2 : 2 2 x 1,= = ⇔ = . x 2t 6 : 2 6 x log 6= = ⇔ = 
2 2 2 2
lg3x log (2.3) log 2 log 3 1 log 3 1
lg2
= = + = + = + 
4b. Ta coù: x 1 x x x xf(x 1) f(x) 3 3 3.3 3 2.3 2f(x)++ − = − = − = = 
5c. Ta coù: 
x
(I) : y
3
π⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ ñoàng bieán vì cô soá a 13
π= > 
x2(II) : y
e
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ nghòch bieán vì cô soá 
2a
e
= thoûa 20 a 1
e
< = < 
x
3(III) : y
3 2
⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠ nghòch bieán vì 
30 a 1
3 2
< = <+ 
x xx
x
x
3 1 3 2 3 2(IV) : y 3
3 2 33 2 3
− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ + += = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ñoàng bieán 
vì cô soá 
3 2a 1
3
+= > . 
6a. Ta coù: 3 24 2 4A log 16.log 2 .3 log 4 .(3.3) 2.9 18= = = = 
7b. Ñaët 
a a 2 a 2 a 2 a a a aA 2 2 A (2 ) (2 ) 2(2 .2 ) 4 4 2 25− − − −= + ⇒ = + + = + + = 
⇒ A = 5. 
8c. 2 4 8log x log x log x 11+ + = 
Ñieàu kieän: x > 0 
Ta coù: 2 32 4 8 2 2 2log x log x log x 11 log x log x log x 11+ + = ⇔ + + = 
 221
2 2 2 2
6
2
1 1 11log x log x log x 11 log x 11
2 3 6
log x 6 x 2 64
⇔ + + = ⇔ =
⇔ = ⇔ = =
Vaäy phöông trình cho coù 1 nghieäm x = 64. 
9d. Ta coù: 
25 2
15 1515 15
1 1 1 1log 15
15log 25 2 log 5log 5 2 log
3
= = = =
( )15 15
1 1
2 log 15 log 3 2(1 C)
= =− − 
10e. 5 5 5 5log (x 2) log (x 3) 2 log 2 log 3 (1)− + − = + 
Ñieàu kieän 
x 2 0
x 3
x 3 0
− >⎧ ⇔ >⎨ − >⎩
5 5(1) log (x 2)(x 3) log 4.3 (x 2)(x 3) 12⇔ − − = ⇔ − − = 
2
1x 5x 6 0 x 1,⇔ − − = ⇔ = − 2x 6= chæ coù 2x 6= thoûa ñieàu kieän x > 3 
neân nhaän x = 6 ⇒ (1) coù 1 nghieäm x = 6. 
5 5 5log (x 2)(x 3) 2 log 2 log 3 (2)− − = + 
Ñieàu kieän: (x - 2)(x - 3) > 0 ⇒ x 3 
neân nhaän 2 nghieäm x = - 1, x = 6 
Vaäy phöông trình (2) coù 2 nghieäm . 
11a. Ñaët a blog b log aD a b= − Ñaët at log b 0= > 
22 t
at log b b a= ⇔ = 
2tb a b2 2a
1 1 1log a log a log a log a
tt t
⇒ = = = ⇔ = 
2
1
t t tD a (a ) 0⇒ = − = 
 222
12b. Ñieàu kieän x > 0, y > 0, 
3 3 3 31 log 2 log 3 log 2 log 6+ = + = 
Heä 3 3
log xy log 6 xy 6 x 2 x 3
x y 5 y 3 y 2x y 5
= = = =⎧ ⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇔ ⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨ ⎨+ = = =+ = ⎩ ⎩ ⎩⎩
13c. 4 2log (x 7) log (x 1)+ > + 
Ñieàu kieän 
x 7 0
x 1
x 1 0
+ >⎧ ⇔ > −⎨ + >⎩
24 22
1log (x 7) log (x 7) log (x 7)
2
+ = + = + 
Baát phöông trình cho 2 2
1 log (x 7) log (x 1)
2
⇔ + > + 
2
2 2 2 2log (x 7) 2 log (x 1) log (x 7) log (x 1) (*)⇔ + > + ⇔ + > + 
vì cô soá 2 > 1, (*) 2 2x 7 (x 1) x 2x 1⇔ + > + = + + 
2x x 6 0 3 x 2⇔ + − < ⇔ − < < 
So vôùi ñieàu kieän x > - 1 ⇒ -1 < x < 2 
⇒ coù 2 nghieäm nguyeân laø: x = 0, x = 1 
14d. 2xlog (3 2x) 1 (*)− > 
Ñieàu kieän: 
x 1x 1
 (1)33 2x 0 x
2
≠⎧≠⎧ ⎪⇔⎨ ⎨− > <⎩ ⎪⎩
2 2
2 2 2
x x(*) log (3 2x) log x (x 1)(x 2x 3) 0⇔ − > ⇔ − + − < 
BBT: 
⇒ -3 < x < -1 
 223
15a. (I): Ta coù: 
1
2
2 2 2 2
1log a log a log a log a
2
> ⇔ > ñuùng khi a > 1. 
Vaäy baát ñaúng thöùc khoâng ñuùng vôùi a 0,∀ > chæ ñuùng khi a > 1 
(II): alg lga lg2 lga
2
= − 
(III): Vì a, b > 0 ⇔ baát ñaúng thöùc cauchy ñoái vôùi a, b > 0 laø: 
a b a b 1 1ab lg lg ab lg(ab) (lga lg b)
2 2 2 2
+ +⎛ ⎞≥ ⇔ ≥ = = +⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Vaäy baát ñaúng thöùc luoân luoân ñuùng a,b 0∀ > 
16b. (1) ⇔ 2 x x x 2 x(2 ) 2 a 0 (2 ) 2 a 0 (2)+ + = ⇔ + + = 
Ñaët xt 2 (t 0)= > 
2(2) t t a 0 (3)⇔ + + = 
(1) coù nghieäm x (3)⇔ coù nghieäm 1 2t , t sao cho: 
1 2
1 2
p 0 a 0
t 0 t 0 1 4a 0
p 0 a 00 t t
s 0 1 0
 > − >⎢ ⎢⎩ ⎩⎣ ⎣
 voâ lyù. 
a 0⇔ < 
17e. 
x
x
4f(x)
4 2
= + 
a
a
4f(a)
4 2
= + 
b 1 a a
b 1 a
a
4
4 4 4a b 1 b 1 a f(b)
44 2 4 2 2
4
−
−+ = ⇔ = − ⇒ = = =+ + +
a a
4 2f(b)
4 24 2 4
= =+ + 
 224
a a
a a a
4 2 4 2f(a) f(b) 1
4 2 4 2 4 2
+⇒ + = + = =+ + + 
18c. 2x xm2 (2m 1)2 m 4 0− −− + + + = (*) 
Ñaët xt 2 0−= > 
Töø 1 2x x1 21 2 1 2x 1 x 2 x 1 x 2 2 2 2 2
− −− − − > − > − ⇒ > > > 
1 2
1 1t t
2 4
⇔ > > > 
(*) 2f(t) mt (2m 1)t m 4 0⇔ = − + + + = coù 2 nghieäm t1, t2 thoûa: 
2 1
1mf 0
21 1 20t t 14 m
4 2 31mf 0
4
⎧ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩
19d. Ta coù: 2x y x y x y3 2 (3 2 (3 2 )− = − + 
y
x x y23 2 3 2− = − 
Heä 
xx y x 2
y 4yx y
3 93 2 11 3 3 x 2
y 42 22 43 2 7
⎧ ⎧ ⎧=+ = = =⎧⎪ ⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨ =⎩=⎪⎪ ⎪ =− = ⎩⎩⎩
2 2
0 0x y 4 16 20⇒ + = + = 
20e. x x x25.2 10 5 25− + > 
x x x25(2 1) 5 (2 1) 0⇔ − − − > 
x x
x x
x x
2 1 0 2 1 0
(2 1)(25 5 ) 0 1 x 2
25 5 0 25 5 0
⎧ ⎧− > − ⇔ ∨ ⇔ − <⎪ ⎪⎩ ⎩
 225
21a. x 1 x4 m(2 1) 0− − + > (1) 
Ñaët xt 2 0,= > 2(1) f(t) t 4mt 4m 0⇔ = − − > (1) t 0∀ > 
2
1 2
' 0
(1) ' 4m 4m 0
t t 0
∆ >⎧⇔ ∆ = + ≤ ∨ ⎨ < ≤⎩
' 0
1 m 0 1.f(0) 0 m 0
s 2m 0
2
⎧⎪∆ >⎪⇔ − ≤ ≤ ∨ ≥ ⇔ ≤⎨⎪⎪ = <⎩
22b. AÙp duïng baát ñaúng thöùc cauchy cho 2 soá döông x x4 ,4− . 
x x x x4 4 2 4 .4 2− −+ ≥ = 
Daáu "=" xyûa ra ⇔ x = 0 maø 2 x2sin 2
2
≤ daáu "=" xaûy ra khi 2 xsin 1
2
= 
Phöông trình 2
x 0
xsin 1
2
=⎧⎪⇔ ⎨ =⎪⎩
 voâ nghieäm . 
23c. Thay x = 1 vaøo (1): 
2a 1 a alog 1 log 4 0 log 4 0 a 1+ + > ⇔ > ⇔ > 
. Thay x = 4 vaøo (1): 
2a 1 alog 7 log 7 0+ + > thoûa khi a > 1 ⇒ a > 1 
24d. Ñaët 2f(x) 2x (m 2)x 2 3m= + + + − 
Ta coù: f(x) 0, x ( 1,0)< ∀ ∈ − 
1mf( 1) 0 2 m 2 2 3m 0 22 m
f(0) 0 2 3m 0 2 3m
3
⎧ ≥⎪− ≤ − − + − ≤⎧ ⎧ ⎪⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≥⎨ ⎨ ⎨≤ − ≤⎩ ⎩ ⎪ ≥⎪⎩
 226
25e. 2 2A 4xy 2x 4y 4x 2= − − + + 
2 2 2
2 2 2
2 2
(4xy 4y x ) x 4x 4 6
(x 4xy 4y ) (x 4x 4) 6
(x 2y) (x 2) 6 6
= − − − + − +
= − − + − − + +
= − − − − + ≤
x 2y 0 x 2
Max A 6
x 2 0 y 1
− = =⎧ ⎧⇒ = ⇔ ⇔⎨ ⎨− = =⎩ ⎩
26a. 2x ax b 0+ + = 
Goïi x0 laø nghieäm cuûa phöông trình: 20 0 0x ax b (ax b)= − − = − + 
4 2 2 2 2
0 0 0x (ax b) (a b )(x 1)⇔ = + ≤ + + (BCS). 
4 4 2 2
2 2 20 0 0 0
02 2 2
0 0 0
x x 1 (x 1)(x 1)a b x 1
x 1 x 1 x 1
− + −⇒ + ≥ > = = −+ + + 
2 2 2
0x 1 a b⇔ < + + 
27b. 2 2 2 2a b a b a b 2ab a b 2 ab+ = + ⇔ + + = + + 
ab ab ab 0⇔ = ⇔ ≥ 
28c. x 5f(x) (0 x 1)
1 x x
= + < <− 
Ta coù: x 5 5x x 5(1 x)f(x) 5 5 2 . 5 2 5
1 x x 1 x x
− −= + + ≥ + ≥ +− − 
(cauchy) 
min f(x) 5 2 5⇒ = + khi x 5 5x 5 5x
1 x x 4
− −= ⇔ =− 
29d. 1 1 1 2(x,y,z 0)
1 x 1 y 1 z
+ + ≥ >+ + + 
1 2xyz xy yz zx (1)⇔ ≥ + + + 
Theo baát ñaúng thöùc cauchy ta coù: 3 3 342xyz xy yz zx 4 2x y z+ + + ≥ (2) 
(1) vaø (2) ta ñöôïc: 4 31 4 .2(xyz) 1 8xyz≥ ⇒ ≥ 
 227
1p xyz ,
8
⇒ = ≤ 1 1max p x y z
8 2
⇒ = ⇔ = = = 
30b. Ta coù: 2 2 232 1 1 1 1x x 3 . .x 3
x x x x x
+ = + + ≥ = 
2 2 23
2 1 1 1 1y y 3 . .y 3
y y y y y
+ = + + ≥ = 
2 2 1 1 1 1x y 2 6 2
x y x y
⎛ ⎞⇒ + + + ≥ ⇒ + ≥⎜ ⎟⎝ ⎠
1 1min 2
x y
⎛ ⎞⇒ + =⎜ ⎟⎝ ⎠
 khi x = y = 1