200 Bài tập Tích phân

Trang 1 
TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ 
x
I dx
x x
2 2
2
1 7 12

 

Dạng 1: Tách phân thức
I dx
x x
2
1
16 9
1
4 3
 
   
  

Câu 1. 
 x x x
2
116ln 4 9ln 3    1 25ln2 16ln3 = = 
dx
I
x x
2
5 3
1



.
x
xx x x x3 2 3 2
1 1 1
( 1) 1
   
 
Câu 2. 
I x x
x
2
2
21 1 3 1 3
ln ln( 1) ln2 ln5
2 2 2 812
 
         
 
 Ta có: 
x
I dx
x x x
5 2
3 2
4
3 1
2 5 6


  


I
2 4 13 7 14
ln ln ln2
3 3 15 6 5
   Câu 3.
xdx
I
x
1
0 3( 1)




x x
x x
x x
2 3
3 3
1 1
( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
      
 
I x x dx
1 2 3
0
1
( 1) ( 1)
8
        
Câu 4. 
 Ta có: 
x
I dx
x
2
4
( 1)
(2 1)




Dạng 2: Đổi biến số 
x x
f x
x x
2
1 1 1
( ) . .
3 2 1 2 1
    
    
    
Câu 5. x
x
I C
x
3
1 1
9 2 1
 
  
 
 Ta có: 
 
 
x
I dx
x
991
101
0
7 1
2 1





 
x dx x x
I d
x x xx
99 991 1
2
0 0
7 1 1 7 1 7 1
2 1 9 2 1 2 12 1
       
      
       
 
Câu 6. 
x
x
100
1001 1 7 1 11 2 1
09 100 2 1 900
         
 
x
I dx
x
1
2 2
0
5
( 4)



 
 Câu 7. t x2 4  I
1
8
 Đặt 
x
I dx
x
1 7
2 5
0 (1 )



Trang 2
 t x dt xdx21 2   Câu 8. x
t
I dt
t
2 3
5 5
1
1 ( 1) 1 1
.
2 4 2

  Đặt 
I x x dx
1
5 3 6
0
(1 ) 

t
dt t t
t x dt x dx dx I t t dt
x
1 7 8
3 2 6
2
0
1 1 1
1 3 (1 )
3 3 7 8 1683
 
             
 

Câu 9. 
t 
 1
I dx
x x
4 3
4
1
1
( 1)



 Đặt 
 t x2Câu 10.
t
I dt
t t
3
2
1
1 1 1 3
ln
2 4 21
 
   
 
 Đặt 
dx
I
x x
2
10 2
1 .( 1)




x
x dx
I
x x
2 4
5 10 2
1
.
.( 1)


Câu 11. 
t x5
x x dt
I
t t
32
2 2
1
1
5 ( 1)


. Đặt 
t
x
I dx
x x
2 7
7
1
1
(1 )





d
x x
I dx
x x
2 7 6
7 7
1
(1 ).
.(1 )



Câu 12. 
1
t x7 
t
I dt
t t
128
1
1 1
7 (1 )



. Đặt 
dx
I
x x
3
6 2
1 (1 )




 1
x
t
1

Câu 13.
t
I dt t t dt
t t
3
163
4 2
2 2
1 3
3
1
1
1 1
 
      
  
  Đặt : 
117 41 3
135 12


t
 t t t 
x
I dx
x
2 2001
2 1002
1
.
(1 )



= 
x
I dx dx
x x
x
x
2 22004
3 2 1002 1002
1 1 3
2
1
. .
(1 ) 1
1
 
  
 
 
 
Câu 14. 
4
t dt dx
x x2 3
1 2
1     
. Đặt 
x xdx
I
x x
1 2000
2 2000 2 2
0
1 .2
2 (1 ) (1 )

 

. 
Cách 2: Ta có: t x dt xdx21 2   
t
I dt d
t tt t
10002 21000
1000 2 1001
1 1
1 ( 1) 1 1 1 1
1 1
2 2 2002.2
   
       
   
 
. Đặt 
)
x
I dx
x
2 2
4
1
1
1




 
 Câu 15. 
x x
x x
x
2 2
4
2
2
1
1
1
11



 
Trang 3 
t x dt dx
x x2
1 1
1
 
     
 
 Ta có: 
dt
I dt
t tt
3 3
2 2
2
1 1
1 1 1
2 2 2 22
 
   
   
 
t
t
3
1 2 1 2 1
.ln ln2
2 2 2 2 2 2 11
  
   
   
. Đặt 

x
I dx
x
2 2
4
1
1
1





dt
x x
x x
x
2 2
4
2
2
1
1
1
11



 
Câu 16. 
t x dt dx
x x2
1 1
1
 
     
 
 Ta có: 
dt
I
t
5
2
2
2 2
 

. Đặt 
 x

dt
du
t u dt
u2
2 tan 2
cos
  
. 
u
 u u u u1 2
5 5
tan 2 arctan2; tan arctan
2 2
     Đặt 
u
u
I d u u u
2
1
2 1
2 2 2 5
( ) arctan arctan2
2 2 2 2
 
     
 

; 
du u u
x
I dx
x x
2 2
3
1
1



 
xI dx
x
x
2 2
1
1
1
1



Câu 17. t x
x
1
  Ta có: . Đặt I
4
ln
5

x
I dx
x
1 4
6
0
1
1




 
x x x x x x x x
x x x x x x x x
4 4 2 2 4 2 2 2
6 6 2 4 2 6 2 6
1 ( 1) 1 1
1 1 ( 1)( 1) 1 1 1
     
    
       
Câu 18.
d x
I dx dx
x x
1 1 3
2 3 2
0 0
1 1 ( ) 1
.
3 4 3 4 31 ( ) 1
  
    
 
 
 Ta có: 
x
I dx
x
3
23
4
0 1




d x
x
I dx dx
x x x x
3 3
23 3
2 2 2 2
0 0
1 1 1 1
ln(2 3)
2 4 12( 1)( 1) 1 1
 
      
    
 
Câu 19. 
x 
xdx
I
x x
1
4 2
0 1

 


x
Câu 20. t x2
dt dt
I
t t
t
1 1
2 22
0 0
1 1
2 2 6 31 1 3
2 2

  
    
    
   
 .  Đặt 
t 
 
x
I dx
x x
1 5
22
4 2
1
1
1



 

Trang 4
x x
x x x
x
2 2
4 2
2
2
1
1
1
11 1



   
Câu 21. 
t x dt dx
x x2
1 1
1
 
     
 
 Ta có: 
dt
I
t
1
2
0 1



. Đặt 

du
t u dt
u2
tan
cos
  
dt
 I du
4
0
4


 . Đặt d  
TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ 
x
I dx
x x23 9 1

 

Dạng 1: Đổi biến số dạng 1
x
I dx x x x dx x dx x x dx
x x
2 2 2
2
(3 9 1) 3 9 1
3 9 1
      
 
   
Câu 22.
 x x x 
I x dx x C2 31 13  
 
 x I x x dx22 9 1  x d x x C
3
2 2 2 2
2
1 1
9 1 (9 1) (9 1)
18 27
     + ) 9
I x x C
3
2 32
1
(9 1)
27
   
+
 9
x x
I dx
x x
2
1




 
x x
dx
x x
2
1



x x
dx dx
x x x x
2
1 1
 
 
 
Câu 23.

 x 
d
 d
x
I dx
x x
2
1
1



. 
x x t x x21 1    x t3 2 2( 1)   x dx t t dt2 2
4
( 1)
3
  + 
t dt t t C2 3
4 4 4
( 1)
3 9 3
   
. Đặt t= 
  x x x x C
3
1
4 4
1 1
9 3
    
x
I d x
x x
2
1



= 
 dx
d x x
x x
2 (1 )
3 1


+ 
x x C2
4
1
3
 = 
 I x x C
3
4
1
9
  
= 
x
I dx
x
4
0
2 1
1 2 1


 

Vậy: 
 t x2 1 Câu 24. 
t
dt
t
3 2
1
2 ln2
1
 

 Đặt 
. I = . 
dx
I
x x
6
2 2 1 4 1

  

Trang 5 
t x4 1 Câu 25.  Đặt I
3 1
ln
2 12
 
I x x dx
1
3 2
0
1 
. 
d t x21 Câu 26. x x  I t t dt
1
2 4
0
2
15
   Đặt:  
x
I dx
x
1
0
1
1




.
t x
Câu 27.
dx t dt2 . Đặt .
t t
dt
t
1 3
0
2
1


 t t dt
t
1
2
0
2
2 2
1
 
   
 
. I = 
 11
4ln2
3
= = 
x
I dx
x x
3
0
3
3 1 3


  

.
t x tdu dx1 2   
Câu 28. 
t t
I dt t dt dt
tt t
2 2 23
2
1 1 1
2 8 1
(2 6) 6
13 2

   
 
  
3
3 6ln
2
   Đặt 
I x x dx
0
3
1
. 1

 
 
t
t t
t x t x dx t dt I t dt
1
1 7 4
3 2 33
00
9
1 1 3 3( 1) 3
7 4 28
 
              
 

Câu 29. 
x
I dx
x x
5 2
1
1
3 1




 Đặt d
tdt
t x dx
2
3 1
3
   
Câu 30.
t
tdt
I
t
t
2
2
4
2
2
1
1
3 2
.
31
.
3
 
 
 
 


dt
t dt
t
4 4
2
2
2 2
2
( 1) 2
9 1
  

 
t
t t
t
3
4 4
2 1 1 100 9
ln ln .
9 3 1 27 52 2
  
     
 
 Đặt 
x x
I dx
x
3 2
0
2 1
1
 



 
x t x t21 1    
Câu 31. 
dx tdt2 Đặt 
t t t
I tdt t t dt t
t
2
2 22 2 2 5
4 2 3
11 1
2( 1) ( 1) 1 4 54
2 2 (2 3 ) 2
5 5
    
      
 
 

(
2
t t 
 t 
x dx
I
x x
1 2
0
2
( 1) 1

 

Trang 6
t x t x tdt dx21 1 2      
t t
I tdt t dt t
t tt
222 22 2 3
3
11 1
( 1) 1 1 16 11 2
.2 2 2 2
3 3
   
         
   
 
Câu 32.
 
x
I dx
x
4
2
0
1
1 1 2


 

 Đặt 
dx
t x dt dx t dt
x
1 1 2 ( 1)
1 2
       

Câu 33. 
t t
x
2 2
2

 Đặt 
t t t t t t
dt dt t dt
tt t t
4 4 42 3 2
2 2 2
2 2 2
1 ( 2 2)( 1) 1 3 4 2 1 4 2
3
2 2 2
      
     
 
  
và 
t 
t
t t
t
21 2
3 4ln
2 2
 
   
 
 
Ta có: I = 
= 
1
2ln2
4

x
I dx
x
8
2
3
1
1




= 
x
I dx
x x
8
2 2
3
1
1 1
 
   
  

Câu 34. 
 x x x
8
2 2
3
1 ln 1
 
    
x
    1 ln 3 2 ln 8 3   = 
I x x x dx
1
3 2
0
( 1) 2  
= 
I x x x dx x x x x x dx
1 1
3 2 2 2
0 0
( 1) 2 ( 2 1) 2 ( 1)        
Câu 35.
 ) ) t x x22  I
2
15
 . Đặt  
x x x
I dx
x x
2 3 2
2
0
2 3
1
 

 

. 
x x x
I dx
x x
2 2
2
0
( )(2 1)
1
 

 

Câu 36.
2
t x x2 1   I t dt
3
2
1
4
2 ( 1)
3
   
 d ). Đặt 
x dx
I
x
2 3
3 2
0 4



. 
t x x t xdx t dt
3 2 2 3 24 4 2 3      
Câu 37. 
 I t t dt
3
2
4 3
4
3 3 8
( 4 ) 4 2
2 2 5
 
     
 
 Đặt 
dx
I
x x
1
2
11 1

  

 
Câu 38. 
x x x x
I dx dx
xx x
1 12 2
2 2
1 1
1 1 1 1
2(1 ) (1 ) 
     
 
  
 
x
dx dx
x x
1 1 2
1 1
1 1 1
1
2 2
 
  
   
 
 
I dx x x
x
1
1
1 1
1
1 1 1
1 ln | 1
2 2 

 
        
 

x
I dx
x
1 2
2
1
1
2


 
Trang 7
 x x
 2 2
 t x t x tdt xdx2 2 21 1 2 2      
 Ta có: d d
 d
t dt
t
2 2
2
2
0
2( 1)



+ n
 dx 
I 1
+ . Đặt 
t 
t x x2 1  
 I2= 
t 
Vậy: 
 x
 x x
I dx
x
1
3 31
4
1
3

 
.
I dx
x x
1
1
3
2 3
1
3
1 1
1 .
 
  
 

Cách 2: Đặt 
4
 t
x2
1
1 
.
 x
I 6Câu 39.
 2
 Ta có: 
x
x
I dx
x
2 2
1
4
 
. Đặt 
x
I xdx
x
2 2
2
1
4
 

x
 x t x tdt xdx2 2 24 4      
.
t tdt t t
dt dt t
tt t t
00 0 02
2 2 2
33 3 3
( ) 4 2
(1 ) ln
24 4 4
  
     
    
  
Câu 40.
 x x
2 3
3 ln
2 3
 
  
  
 Ta có: 
x
I dx
x x
2 5
2 2
2 ( 1) 5

 

. Đặt t = 
 tdt t t
 t t
1 n
t x2 5 
 I = 
d 
dt
I
t
5
2
3
1 15
ln
4 74
 


= 
 xCâu 41. 
 x
x
I dx
x x
27
3 2
1
2



 Đặt 

t 1 5
7
t x6
t t
I dt dt
tt t t t
3 33
2 2 2
1 1
2 2 2 1
5 5 1
( 1) 1 1
 
     
   
 
2 5
5 3 1 ln
3 12
 
    
 
.
 )
I dx
x x
1
2
0
1
1

 

Câu 42.
 d
t x x x2 1   
 Đặt 
 t 
x x x  
dt
I t
t
1 3
1 3
1
1
2 3 2 3
ln(2 1) ln
2 1 3

 
   



 dx
x
I dx
x x
3 2
2 2
0 (1 1 ) (2 1 )

   

Câu 43. 
 x
  Đặt 
 1
2 )
1
x t2 1   I t dt
t t
4
2
3
42 36 4
2 16 12 42ln
3
 
       
 

 
 x
Câu 44. 
  Đặt 
2
x
I dx
x x x x
3 2
02( 1) 2 1 1

    

Trang 8
t x 1 
Câu 45. 
t t dt
I t dt
t t
2 22 2
2
2
1 1
2 ( 1)
2 ( 1)
( 1)

  

  t
2
3
1
2 2
( 1)
3 3
   Đặt 
)
x x x
I d x
x
32 2 3
4
1
2011 
 

t t t
 x x
 dx
xI dx dx M N
x x
3
2 2 2 22
3 3
1 1
1
1
2011

    
xM dx
x
3
2 2 2
3
1
1
1
 
Câu 46.
 t
x
3
2
1
1 
 Ta có: 
 M t dt
3 7
32
3
0
3 21 7
2 128

   
N dx x dx
x x
2 22 2 2 2
3
3 2
1 1 1
2011 2011 14077
2011
162
       
 
 
. Đặt 
I
314077 21 7
16 128
 
 

dx
I
x x
1
33 3
0 (1 ). 1

 

. 
x
t x
3 31 
Câu 47. 
t dt
I dt
t t t t
3 32 22
2 2
1 14 3 2 33 3.( 1) .( 1)
 
 
 
dt dt t
dt
t
tt t
tt
3 3 3
2
3
2 2 2 3
2 2 4
1 1 1
3 342 3
33
1
1
11
1. 1

 
 
   
    
    
   
  
 Đặt 
dt
u du
t t3 4
1 3
1   

t 
u u
I du u du u
1
11 12 1 2
2 1 22 23 3
3 3
3
0 0
0
0
1 1 1
13 3 3 2
3


 
 
     
  
 
 Đặt 
 3 4
 u 
x
I dx
x x
x
2 2 4
23
1
1

 
  
 

 d 
Câu 48.
t x2 1  Đặt 
t
I dt
t
3 2 2
2
2
( 1)
2




t t
dt t dt dt
t t
3 3 34 2
2
2 2
2 2 2
2 1 1 19 2 4 2
ln
3 4 4 22 2
   
     
    
  
Trang 9
 2 2
9
 
x
I x x dx
x
1
0
1
2 ln 1
1
    
  

 t 
t t t t
x
H dx
x
1
0
1
1




= 
 x t tcos ; 0;
2
 
  
 
Dạng 2: Đổi biến số dạng 2
H 2
2

 
Câu 49. 
 x x x n
 dx t; ; 
K x x dx
1
0
2 ln(1 ) 
 Tính 0
u x
dv xdx
ln(1 )
2
  


. Đặt 
K
1
2


n(1
u x
I x x x dx
2
5 2 2
2
( ) 4

  
 Tính 
d
d
v
 x
1
2
x x xdx2 2)4 
x x x dx
2
5 2 2
2
( ) 4

 
. Đặt 
x x x dx
2
5 2
2
4



 x dx2 2) 4 x x dx
2
2 2
2
4


Câu 50. 
 dx x dx I = dx
x x dx
2
5 2
2
4


= 
 t x 
+ = A + B.
x x dx
2
2 2
2
4


+ Tính A = 
 x d x x t2sin
. Đặt 
 in
. Tính được: A = 0.
 2+ Tính B = 
I 2
. Đặt s
. Tính được: B = 
 x dx
I
x
2 2
4
1
3 4
2
 
 
.
x
I dx dx
x x
2 2 2
4 4
1 1
3 4
2 2

  
Vậy: .
I1
Câu 51. 
 4 4
dx
x
2
4
1
3
2

 Ta có: 
x x dx
2
4
1
3 7
2 16
 
.
 + Tính 
x
I d x
x
2 2
2 4
1
4
2

 
= 
 dx x t dx tdt2sin 2cos  
= 
6
 d 
.
 + Tính c. Đặt . 
tdt
I t dt t d t
t t
22 2 2
2 2
2 4 2
6 6 6
1 cos 1 1 1 3
cot cot . (cot )
8 8 8 8sin sin
  
  
 
     
 
  
 I 1 7 2 3
16
 
Trang 10
 n
6
x dx
I
x
1 2
6
0 4




t
t x dt x dx3 23  
Vậy: 
1
7 2 3
t x
dt
I
t
1
2
0
1
3 4



.
 dx
Câu 52. 
t u u dt udu2sin , 0; 2cos
2
 
    
 
 Đặt 
2
 I dt
6
0
1
3 18


 

dt
.
si n ;
x
I dx
x
2
0
2
2




Đặt 
x t dx tdt2cos 2sin   

 s
t
I dt
2
2
0
4 sin 2
2

  
.
 Câu 53. x s
x dx
I
x x
1 2
2
0 3 2

 

 Đặt 
x dx
I
x
1 2
2 2
0 2 ( 1)

 


t
 tn
 x2
x t1 2cos 
.
Câu 54.
 o
t t
I dt
t
22
2
2
3
(1 2cos ) 2sin
4 (2cos )



 


 Ta có: 
)
c
s
 t t dt
2
3
2
3 4cos 2cos2


 
. Đặt 
 dt 
3 3
4
2 2

 
.
1
2cos
  
x x dx
1
2
2
0
1 2 1 
  
 x tsin
= s

4
 I t t tdt
6
0
3 1
(cos sin )cos
12 8 8


    
=
 Câu 55. s
2
I x dx
3
2
2
1 
 Đặt 
 c i
Dạng 3: Tích phân từng phần
Câu 56. 
x
du dxu x
xdv dx
v x
2
21 1

        
x
I x x x dx x dx
x x
3 3
2 2
2 2
2 2
3 1
1 . 5 2 1
2 1 1
 
        
   
 
dx
x dx
x
3 3
2
2
2 2
5 2 1
1
   

  I x x
2 3
2
5 2 ln 1    
Trang 11
 I 5 2 1ln 2 1 ln2
2 4
   
 Đặt 
x
t
1
cos


 2;3 1;1   Chú ý: Không được dùng phép đổi biến ;3 1;vì 
Trang 12 
TP3: TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 
x x
I dx
x x
28cos sin2 3
sin cos
 



Dạng 1: Biến đổi lượng giác
s
 
x x x
I dx x x x x dx
x x
2(sin cos ) 4cos2
sin cos 4(sin cos
sin cos
 
      
 
x x C3cos 5sin  
Câu 57. d
in cos ) 4co2
sin cos sin s

 d
x x x
I dx
x
cot tan 2tan2
sin4
 
 
.
x x x x
I dx dx dx C
x x xx2
2cot2 2tan2 2cot 4 cos4 1
2
sin4 sin4 2sin4sin 4

       
Câu 58. 
x
I dx
x x
2cos
8
sin2 cos2 2
 
 
 
 

 Ta có: 
 x x C
x
I dx
x
1 cos 2
1 4
2 2
1 sin 2
4


 
  
 
 
  
 

x
dx
dx
x x x
2
cos 2
1 4
2 2
1 sin 2 sin cos4 8 8

  
 
                               
 
x
dx
dx
x x2
cos 2
1 14
2 32 2
1 sin 2 sin
4 8

 
  
   
   
    
           
 
x x C
1 3
ln 1 sin 2 cot
4 84 2
     
             
Câu 59. 
dx
I
x x
3
2 3sin cos



 

 Ta có: 
 
dx
I
x
3
1
2
1 cos
3

 

 
  
 

Câu 60. 

dx
I
x2
3
1
4
2sin
2 6

 

 
 
 

dx x

1
4 3
= 
x
=
I dx
x
6
0
1
2sin 3




. 
Câu 61. 
I dx dx
x x
6 6
0 0
1
1 1 2
2
sin sin sin sin
3 3
 
 
 
 
 
x x
dx dx
x x
x
6 6
0 0
coscos 2 6 2 63
sin sin 2cos .sin
3 2 6 2 6
   
  
    
      
     
   
     
   
 
x x
dx dx
x x
6 6
0 0
cos sin
2 6 2 61 1
2 2
sin cos
2 6 2 6
  
 
   
    
    
   
    
   
 
x x
6 6
0 0
ln sin ln cos .....
2 6 2 6
 
    
       
   
Trang 13
I 
dx 
dx
x 
x
6
6
0
0
1 1
1
22
sin
sin
sin
sin 3
3









x 
x
dx 
dx
x 
x
x
6
6
0
0
cos cos
2 6
2 6
3 sin
sin
2cos
.sin 3
2 6
2 6 









 
 
 


 
 
 
 



 
 



 
 
 
 

x 
x
dx 
dx
x 
x
6
6
0
0
cos
sin 2 6
2 6
1
1
2
2
sin
cos 2
6
2 6 





 
 


 
 
 
 


 
 


 
 
 
 


x 
x
6
6
0
0
ln sin
ln cos
.
 2 6
2 6 



 
 





 
 
 
 
I x x x x dx
2
4 4 6 6
0
(sin cos )(sin cos )

  
 Ta có: 
I dx dx
x x 6 6 0
0 1 1 1
2 sin
sin sin
sin 3 3
   
  
 x x
dx dx x
x x 6 6
0 0 cos
cos 2
6 2
6 3
sin sin
2cos
.sin 3 2
6 2
6  
   
    
  
 
 
 
  
  
  
 
 
 
 
 
 
 
 
x x
dx
dx x
x 6
6 0
0 cos
sin 2 6
2 6
1 1 2 2
sin cos
2 6 2
6  
   
    
    
    
    
   
    
  x x
6 6 0 0
ln sin
ln cos .
 2 6
2 6
    
   
  
    
  I 
x 
x 
x 
x dx 
2
4
4
6
6
0 (sin
cos )
(sin
cos )
 



Câu 62. 
x x x x4 4 6 6(sin cos )(sin cos )  x x
33 7 3
cos4 cos8
64 16 64
  
.
 I
33
128
 Ta có:  
I x x x dx
2
4 4
0
cos2 (sin cos )

 
.
I x x d x x d x
2 2
2 2
0 0
1 1 1
cos2 1 sin 2 1 sin 2 (sin2 ) 0
2 2 2
 
   
       
   
 
Câu 63. 
x 
I x x dx
2
3 2
0
(cos 1)cos .

 
 x x dx d 
 x d x x d x
2 2 2
5 2
0 0
cos 1 sin (sin )
 
  
Câu 64. 
dx x d xi
8
15
 A = 
xdx x dx
2 2
2
0 0
1
cos . (1 cos2 ).
2
 
  
= 
4

B = 
8
15
= 
4

Vậy I = – 
2
2
0
I cos cos 2x xdx

 
.
I x xdx x xdx x x dx
2 2 2
2
0 0 0
1 1
cos cos2 (1 cos2 )cos2 (1 2cos2 cos4 )
2 4
  
       
Câu 65. s s 2 x
 x 2 2 1 2 
x x x
2
0
1 1
( sin2 sin4 )
4 4 8


   
x
I dx
x
3
2
0
4sin
1 cos




Trang 14
x x x
x x x x x
x x
3 3
2
4sin 4sin (1 cos )
4sin 4sin cos 4sin 2sin2
1 cos sin

    

I x x dx2
0
(4sin 2sin2 ) 2

   
Câu 66. 
I xdx
2
0
1 sin

 
 

1 sin
x x x x
I dx dx
22 2
0 0
sin cos sin cos
2 2 2 2
  
    
 
 
x
dx
2
0
2 sin
2 4
  
  
 

x x
dx dx
3
22
30
2
2 sin sin
2 4 2 4



 
 
    
       
    
  
  4 2
Câu 67.
 x 
dx
I
x
4
6
0 cos

 

x x x x
 d x
I x x d x
4
2 4
0
28
(1 2tan tan ) (tan )
15

   Câu 68.  Ta có: . 
xdx
I
x x
sin2
3 4sin cos2

 

Dạng 2: Đổi biến số dạng 1
x x
I dx
x x2
2sin cos
2sin 4sin 2

 

Câu 69. 
in c s
t xsin Ta có: d in I x C
x
1
ln sin 1
sin 1
   

. Đặt 
dx
I
x x3 5sin .cos
 

  xx
dx
xxx
dx
I
23233 cos.2sin
8
cos.cos.sin
Câu 70. 
t xtan
  
I t t t dt x x x C
t x
3 3 4 2
2
3 1 3 1
3 tan tan 3ln tan
4 2 2tan
          
 
Đặt t 
t
x
t2
2
sin2
1


. 
in2Chú ý: . 
dx
I
x x3sin .cos
 
Trang 15
dx dx
I
x x x x x2 2
2
sin .cos .cos sin2 .cos
  
Câu 71.
x 
t xtan
dx t
dt x
x t2 2
2
; sin2
cos 1
  

dt t
I dt
t t
t
2
2
1
2
2
1

  

 
t x
t dt t C x C
t
2 21 tan
( ) ln ln tan
2 2
       

d d 
x x
I xdx
x
2011 2011 2009
5
sin sin
cot
sin

 
. Đặt 
2 x t2
in in
c t
xxI xdx xdx
x x
2011 2011 22
4 4
1
1
cotsin cot cot
sin sin


  
Câu 72. x
1
i
t xcot
 Ta có: x
I t tdt t t C
2 4024 8046
22011 2011 2011
2011 2011
t (1 )
4024 8046
    Đặt 
x x C
4024 8046
2011 2011
2011 2011
cot cot
4024 8046
 
 
x x
I dx
x
2
0
sin2 .cos
1 cos




= 
x x
I dx
x
22
0
sin .co