20 cách giải cho một bài toán đơn giản

 20 CÁCH GIẢI CHO MỘT BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN 
 Nguyễn Xuân Thành, ĐHBKHN
 Ở cấp THCS ta đã được làm quen với một định lí rất quen thuộc là tam giác ABC cân nếu có AM vừa là trung tuyến vừa là đường phân giác.Bài toán này vốn dĩ chứng minh không khó tuy nhiên một câu hỏi đặt ra là có bao nhiêu cách để chứng minh bài toán này.Chắc hẵn sẽ có rất nhiều cách chứng minh bài toán này.Khi còn học lớp 12 mình đã mày mò, lục lọi, để tìm ra 20 cách giải cho bài toán trên, tất nhiên các cách giải là khác nhau mặc dù có một số cách đều dựa vào một định lí hoặc một kiến thức nào đó. 
PHẦN 1:GIẢI THEO KIẾN THỨC TRUNG HỌC CƠ SỞ
Cách 1:
Vì AM là phân giác nên MBMC=ABAC 
 Mặt khác AM cũng là trung tuyến nên MB=MC
Suy ra AB=AC,nghĩa là tam giác ABC cân. 
Cách 2:
B
Kẻ ME⊥ AB và MF⊥AC.Vì AM là phân giác nên theo tính chất đường phân giác ta có ME=MF.Từ đó suy ra ∆MEB=∆MFC (cạnh huyền-cạnh góc vuông)⇒MBE=MCF⇒B=C.Vậy ∆ABC cân. 
Cách 3 
M
A
N
C
Lấy điểm N thoả mãn M là trung điểm của AN⇒∆AMC=∆NMB (c.g.c)⇒AC=BN (1)
Và MAC=MNB mà AM là phân giác nên MAC=MAB⇒MAB=MNB⇒∆BAN cân tại B nên AB=BN (2)
Từ (1) và (2) ta có AB=AC.Vậy ∆ABC cân.
I
C
M
B
A
Cách 4:
Kẻ MI ⃦AB, Áp dụng định lí Talet ta có MIAB=ICAC=CMCB=12 ⇒AB=2MI và AC=2AI.(1)
Do MI ⃦AB⇒IMA=MAB=MAI (do AM là phân giác) ⇒∆IAM cân⇒AI=IM (2)
Từ (1) và (2) ⇒AB=AC.Do đó ∆ABC cân.
Cách 5
M
E
I
 A 	
J
C
B
Kẻ phân giác BE và EJ ⃦BC. Gọi I là giao điểm của AM và BE.
Theo định lí Talet và từ giả thiết:
AEAC=JEMC=JEMB=IEIB=AEAB ⇒AB=AC. Vì vậy ∆ABC là tam giác cân.
A
Cách 6:
 Kẻ trung tuyến BN và gọi G là trọng tâm ∆ABC
N
 Thế thì AC=2AN và GB=2GN.
G
	 Do AG là phân giác nên GBGN=ABAN=2 ⇒AB=2AN.
M
C
B
	 Do đó AB=AC=2AN. Vậy là ∆ABC cân.
C
Cách 7:
A
E
B
M
Giả sử AB>AC⇒tồn tại điểm E trên cạnh AB sao cho AE=AC.Dễ dàng nhận thấy ∆AEM=∆ACM (c.g.c)⇒ME=MC.Mà theo giả thiết MB=MC ⇒ME=MB⇒∆MBE cân tại M.
Nên B=MEB=180°-MEA=180°-MCA=180°-C⇒B+C=180° ⇒Vô lí.
Vậy AB≤AC.Lập luận tương tự xét với trường hợp AB<AC ta cũng dẫn đến điều vô lí.
Cuối cùng bắt buộc AB=AC hay tam giác ABC là tam giác cân.
A
B
C
D
I
Cách 8:
M
Lấy điểm D thoả mãn AD ⃦MC và AD=MC.(D và B khác phía nhau qua AM).
Vì MC=MB nên AD ⃦MB và AD=MB.
Khi đó ADCM và ADMB đều là hình bình hành nên AB ⃦MD và AM ⃦DC.Từ đó ta có:
BAM=AMD=MDC và CAM=ICD vì AM là phân giác nên CAM=BAM⇒MDC=ICD
Do đó ∆ICD cân tại I ⇒ID=IC.Mặt khác: AB=MD=2ID và AC=2IC nên AB=AC.
Vậy tam giác ABC cân.
K
Cách 9:
C
M
B
A
Từ C kẻ CK ⃦AM (K∈AB).Khi đó ta được:
BAM=AKC ,MAC=ACK,do AM là phân giác⇒BAM=CAM⇒AKC=ACK
Do đó ∆AKC cân tại A ⇒AK=AC (1)
Hơn nữa theo định lí Talet BAAK=BMMC mà MB=MC nên BA=AK (2)
Từ (1) và (2) ta có AB=AC,vậy là ∆ABC cân.
A
B
C
K
Cách 10:
M
H
Kẻ BK⊥AM,CH⊥AM.Giả sử H,K cùng phía với nhau qua BC.Xét 2 trường hợp:
TH1:H,K,A cùng phía với nhau qua BC.Khi đó A+B+C>BAK+ABK+CAK+ACH>90°+90° =180° (vì 2 tam giác BKA và ACH là các tam giác vuông).⇒Vô lí vì tổng 3 góc trong tam giác bằng 180°⇒LOẠI.
TH2:H,K và A khác phía nhau qua BC.Lúc này ta lại có A+B+C<BẠK+ABK+HAC+ACH=90°+90°=180°⇒Vô lí⇒LOẠI.
Vậy H,K khác phía nhau qua BC như hình vẽ.
Lúc này ∆BKM=∆CHM (hai tam giác vuông có cạnh huyền bằng nhau và có một cặp góc nhọn bằng nhau)⇒BK=CH.Mặt khác ∆AKB~∆AHC (g.g.g)⇒ABAC=KBCH=AKAH=1⇒AB=AC và AK=AH⇒∆ABC cân và K≡H.Vậy tam giác ABC cân.
Tiếp theo ta chứng minh một công thức mà ta sẽ đặt cho nó là công thức T:
 (công thức in đậm)
Nếu lấy D trên tia đối của tia MA thoả mãn MCD=A2 thì AM.MD=BC24(=MB.MC)
Thật vậy khi đó ta có BAM=MCD 
A
⇒∆AMB~∆CMD(g.g.g)
⇒MAMC=MBMD
⇒MA.MD=MB.MC=BC24
M
B
C
Như vậy công thức T đã được chứng minh.
 Công thức này sẽ được sử dụng trong một số cách sau này.
EType equation here.
D
Cách 11:
Lấy D là điểm nằm trên tia đối tia MA thoả mãn MCD=A2
Thế thì theo công thức T ⇒MA.MD=MB.MC (1)
Mặt khác gọi E là điểm nằm trên tia đối tia MA thoả mãn MBE=A2
Tương tự như cách chứng minh công thức T ta cũng có được MA.ME=MB.MC (2)
Từ (1) và (2) suy ra D≡E
Lúc này ta có được MCD=MBD⇒∆DBC cân⇒MDB=MDC
⇒∆ABD=∆ACD(g.c.g)
⇒AB=AC.
Vậy tam giác ABC cân.
A
Cách 12:
D
I
M
C
Kẻ CD⊥AC (D∈AM) và DB’⊥AB (B’∈AB).
B’
Do AD là phân giác nên DB’=DC (1)
B
⇒∆AB’D=∆ACD(cạnh huyền -cạnh góc vuông).
⇒AB’=AC (2)
Từ (1) và (2)⇒AD là đường trung trực của tam giác B’C
Gọi I là giao điểm của AD và CB’.Suy ra IB’=IC.Mặt khác MB=MC nên theo định lí Talet đảo thì IM ⃦ BB’.Và điều này chỉ xảy ra khi mà I≡M và B≡B'.Thế nên kết hợp với (2) ta có ngay AB=AC suy ra tam giác ABC cân.
Cách 13: 
A
Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Gọi D là điểm chính giữa cung nhỏ BC.
⇒ cung nhỏ DB=cung nhỏ DC
⇒AD là phân giác của góc BAC
M
C
D
B
Nghĩa là AD≡AM.
Mặt khác DM⊥BC⇒AM⊥BC
⇒∆AMB=∆AMC (c.g.c)
⇒AB=AC
Vậy tam giác ABC cân tại A.
PHẦN II:GIẢI THEO KIẾN THỨC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
A
Cách 14:
Đặt BAM=CAM=α
B
C
M
Áp dụng định lí cosin:
MB2=AB2+AM2-2.AB.AM.cosα
MC2=AC2+AM2-2AC.AMcosα
Trừ vế theo vế 2 đẳng thức trên với chú ý rằng MB=MC
⇒AB2-AC2+2AC.AMcosα-2AB.AMcosα=0
⇒(AB-AC)(AB+AC-2AM.cosα)=0 (1)
Mà ta luôn có AM.cosα 0
Do đó (1) xảy ra khi và chỉ khi AB-AC=0 hay AB=AC.Nghĩa là tam giác ABC cân.
Cách 15: 
Đặt BAM=CAM=∂
Áp dụng định lí sin:
MBsin∂=MAsinB
MCsin∂=MAsinC
Thế mà MB=MC nên từ 2 đẳng thức trên suy ra sinB=sinC
⇒B=C (1) hoặc B=180°-C (2)
Tuy nhiên do A+B+C=180° nên (2) bị loại.Vậy nên (1) đúng tức là tam giác ABC cân.
Cách 16:
A
Đặt MAB=MAC=∂
Do MB=MC nên diện tích(dt) ∆ABM=dt∆AMC (1)
Mà dt∆ABM=12.AB.AM.sin∂ (2)
Và dt∆ACM=12.AC.AM.sin∂ (3)
C
M
B
Từ (1) (2) (3) suy ra AB=AC.Vậy ∆ABC cân.
Cáchy
x
M
C
B
A
 17:
Trong cách này sẽ dùng phương pháp gắn 
trục toạ độ.
Gắn A làm gốc toạ độ
AM làm trục hoành
Trục tung Ay ⊥AM.
Vì AM là phân giác nên AB và AC đối xứng qua AM
⇒Phương trình AB: y=kx
⇒Phương trình AC: y=-kx
Gọi B(b,kb) và C(c,-kc).Vì M là trung điểm của BC nên tung độ của M là y=(kb-kc)/2.
Mà M thuộc trục hoành nên tung độ =0 ⇒(kb-kc)/2=0 ⇒ b=c ⇒ AB=AC.
Vậy là tam giác ABC cân.
Cách 18:
A
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.
H
M
D
C
B
Trên tia đối của tia MA lấy D thoả mãn MCD=A2
Đặt BC=2a, áp dụng công thức T ta có 
AM.MD=MB.MC=a2 
⇒MA.MD=-a2 (1)
Ta có MH=12(BH+CH)
Và MA=12(BA+CA)
Có được điều trên là do M là trung điểm của BC
Nhân vế theo vế hai đẳng thức trên ta được và để ý rằng 
H là trực tâm của tam giác ABC ta có được:MH.MA=
=14.BH+CH.BA+CA
=14AB.HB+AC.HC
=14{ABHC+CB+AC(HB+BC)}
=14BCAC-AB
=14BC2=a2 (2)
Cộng hai vế (1) và (2) suy ra MA.MD+MA.MH=0
⇒MA.(MD+MH)=0
⇒MD+MH=0
⇒M là trung điểm của DH suy ra A,H,M,D thẳng hàng
⇒AM là đường cao của tam giác ABC
Nên ∆AMB=∆AMC(g.c.g)⇒AB=AC.Do đó ∆ABC cân.
Cách 19:
A
Lấy D trên tia đối của tia MA thoả mãn MCD=A2
Theo công thức T ta có AM.MD=MB.MC (1)
Xét 2 tam giác AMB và CMD có MAB=MCD,AMB=CMD
Nên suy ra ABM=ADC ⇒∆AMB~∆ACD(g.g.g)
⇒ABAD=AMAC⇒ AM.AD=AB.AC (2)
M
Lấy (2)-(1) vế theo vế được :
C
B
AB.AC-MB.MC=AM.AD-AM.MD=AM2
D
Đặt AB=c,AC=b,BC=a thì ta có :bc - 14a2=AM2
Nhưng mà theo công thức đường trung tuyến thì:
AM2=12b2+c2-14a2
Thế nên: bc-14a2=12b2+c2-14a2
 ⇒(b-c)2=0⇒b=c
 ⇒AB=AC.
Vậy tam giác ABC cân.
Cách 20:
 Cách cuối cùng này sẽ xét từ bài toán tổng quát để suy ra bài toán trên chỉ là một trường hợp riêng của nó.Xét một tam giác ABC bất kì có trung tuyến AM và phân giác trong AD.Thế thì bài toán ban đầu sẽ là trường hợp riêng khi mà AM≡ AD.
A
Đặt AB=c,AC=b,BC=a,BD=x,CD=y.⇒x+y=a (1)
Hoàn toàn tương tự như cách 19 ta luôn có :
AD2=AB.AC-BD.DC=bc-xy.(3)
Từ tính chất phân giác nên:BDDC=ABAC⇒xy=cb (2)
Từ (1) và (2) suy ra x=ac(b+c) và y=ab(b+c) (5)
D
M
C
B
Thay vào (3) được AD2=bc - a2bc(b+c)2
AM là trung tuyến nên 
AM2=12b2+c2-14a2
Xét hiệu AM2-AD2 = 14(b-c)2[2b+c2-a2](b+c)2
Như vậy AM vừa là trung tuyến vừa là phân giác là khi AM≡ADó AM2-AD2=0.(4)
Để ý rằng a,b,c là 3 cạnh của tam giác nên 2b2+c2>a2 luôn đúng.Nghĩa là (4) xảy ra chỉ khi (b-c)2=0 hay b=c .Vậy là tam giác ABC cân.
Ta có thể làm ngắn gọn hơn bằng cách sau:
Khi mà AM vừa là trung tuyến vừa là phân giác thì AM≡AD⇒DB=DC=BC2
⇒x=y=a2 (6) .Từ (5) (6) giải ra ta cũng đưa về kết quả b=c.Tức là ∆ABC cân.
Lời kết: hết rồi !!!!