20 bài toán bồi dưỡng HSG lớp 9

20 bài toán bồi dưỡng HSG lớp 9 (P1)
I.- Số học (số vô tỷ và phép khai căn)
µBài 1. Chứng minh là số vô tỉ.
HD giải
 Giả sử là số hữu tỉ thì có thể đặt (tối giản). Þ (1). Đẳng thức này chứng tỏ m 2 chia hết cho 7 mà 7 là số nguyên tố nên m 7. 
Đặt m = 7k (k Î Z), Þta có m2 = 49k2 (2). 
Từ (1) và (2) suy ra 7n2 = 49k2 Þ n2 = 7k2 (3). 
Từ (3) ta lại có n2 7 và vì 7 là số nguyên tố nên n 7. m và n cùng chia hết cho 7 nên phân số không tối giản, trái giả thiết. 
èVậy không phải là số hữu tỉ; è do đó là số vô tỉ. (ĐPCM)
* Tổng quát: Căn bậc 2 của các số nguyên tố đều là số vô tỉ
µBài 2: 
 So sánh các số thực sau (không dùng máy tính) :
	a) 	b) 
	c) 	d) 
HD giải: Đưa về căn của các số chính phương > hơn hoặc < hơn rồi so sánh
. a) . Vậy < 7
 b) .
 c) .
µBài 3 . Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn nhưng nhỏ hơn 
HD giải
Các số đó có thể là 1,42 và 
µBà 4 : . Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ.
HD giải : Chứng minh bằng phản chứng.
 Giả sử tổng của số hữu tỉ a với số vô tỉ b là số hữu tỉ c. Ta có : b = c – a. Ta thấy, hiệu của hai số hữu tỉ c và a là số hữu tỉ, nên b là số hữu tỉ, trái với giả thiết.
è Vậy c phải là số vô tỉ.
µBà 5 : 
Chứng minh rằng : Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì là số vô tỉ.
HD giải: Chứng minh như bài 1.
µBài 6 . Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ : 
a) 	
b) với m, n là các số hữu tỉ, n ≠ 0.
HD giải
a) Giả sử = m (m : số hữu tỉ) Þ = m2 – 1 Þ là số hữu tỉ (vô lí)
b) Giả sử m + = a (a : số hữu tỉ) Þ = a – m Þ = n(a – m) 
 Þ là số hữu tỉ, vô lí.
µBà 7. Có hai số vô tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ không ?
HD giải: Có, chẳng hạn 
µBà 8:. Xét xem các số a và b có thể là số vô tỉ không nếu : 
a) ab và là số vô tỉ.	
b) a + b và là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)
c) a + b, a2 và b2 là số hữu tỉ (a + b ≠ 0)
Trả lời: a) Có thể. b & c) Không thể.
µBài 9 . Tìm 20 chữ số thập phân đầu tiên của số : (20 chữ số 9)
Giải:
Đặt 0,9999 = a. Cần chứng minh 20 chữ số thập phân đầu tiên của là các chữ số 9. 
Muốn vậy chỉ cần chứng minh a < < 1. Thật vậy ta có : 0 < a < 1 Þ a(a – 1) < 0 
Þ a2 – a < 0 Þ a2 < a. Từ a2 < a < 1 suy ra a < < 1.
Vậy = 0, 9999..9.. .( 20 chữ số 9 đầu tiên sau dấu phẩy)
 20 chữ số 9 
µBài 10:. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa :
HD giải: Đặt các biểu thức trong căn > 0; Giải ra tim x
µBài 11. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa :
HD giải: Đặt các biểu thức trong căn > 0; Giải ra tim x
µBài 12. So sánh : a) b) 
	c) (n là số nguyên dương)
HD giải
a) Xét a2 và b2. Từ đó suy ra a = b.
b) . Vậy hai số này bằng nhau.
c) Ta có : .
Mà .
II. Đại Số học (bất đẳng thức Cauchy)
µBài 13 . Cho a + b + c = 0; a, b, c ≠ 0. Chứng minh đẳng thức: 
HD giải: Biến đổi BT trong căn
. =
= . Suy ra điều phải chứng minh.
µBài 14: So sánh : 
 a) b) 
	c) (n là số nguyên dương)
HD giải. a) Xét a2 và b2. Từ đó suy ra a = b.
b) . Vậy hai số này bằng nhau.
c) Ta có : .
Mà .
µBài 15. Giải phương trình : .
HD giải Viết lại phương trình dưới dạng : .
Vế trái của phương trình không nhỏ hơn 6, còn vế phải không lớn hơn 6. Vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi cả hai vế đều bằng 6, suy ra x = -1.
µBài 16. Cho .
 Hãy so sánh S và .
HD giải. Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy viết lại dưới dạng : . 
 Thay vào ta có S > .
µBài 17 a) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : 
 b) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.
HD giải a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dương
 , ta lần lượt có:
 ; 
 cộng từng vế ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
b) Với các số dương 3a và 5b , theo bất đẳng thức Cauchy ta có : .
Û (3a + 5b)2 ≥ 4.15P (vì P = a.b) Û 122 ≥ 60P Û P ≤ Þ max P = .
Dấu bằng xảy ra khi 3a = 5b = 12 : 2 Û a = 2 ; b = 6/5. 
µBài 18:
 Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0; x + y + z = 1.
HD giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm : 
1 = x + y + z ≥ 3. (1)
2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3. (2)
Nhân từng vế của (1) với (2) (do hai vế đều không âm) : 2 ≥ 9. Þ A ≤ 
max A = khi và chỉ khi x = y = z = .
µBài 19: 
Cho hai số thực x và y thỏa mãn các điều kiện : xy = 1 và x > y. CMR: .
55. Cách 1 : Xét;
.
Cách 2 :
 Biến đổi tương đương Û (x2 + y2)2 – 8(x – y)2 ≥ 0
 Û (x2 + y2)2 – 8(x2 + y2 – 2) ≥ 0 Û (x2 + y2)2 – 8(x2 + y2) + 16 ≥ 0 Û (x2 + y2 – 4)2 ≥ 0.
Cách 3 : Sử dụng bất đẳng thức Cauchy : 
(x > y).
Dấu đẳng thức xảy ra khi:
 hoặc 
µBà 20 : Tìm giá trị nhỏ nhất của : với x, y, z > 0.
HD giải: giả sử x ≥ y ≥ z.
Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương x, y, z :
Do đó 
Cách 2 : Ta có : . Ta đã có (do x, y > 0) nên để chứng minh ta chỉ cần chứng minh : (1)
(1) Û xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz)
Û xy + z2 – yz – xz ≥ 0 Û y(x – z) – z(x – z) ≥ 0 Û (x – z)(y – z) ≥ 0 (2)
(2) đúng với giả thiết rằng z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z, do đó (1) đúng. Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của .
PHH sưu tầm & soạn lại HD giải 9 - 2015