2 Bài toán của Xem Lôi - Đơ (Sam Loyd)

2 Bài toán của Xem Lôi-đơ (Sam Loyd)
Sam Loyd, Mĩ,
 (1841 - 1911).
Samuel Loyd là một trong những tác giả biên soạn câu đố nổi tiếng ở Mỹ. Câu đố/Bài toán của ông rất tinh tế, đòi hỏi người giải vận dụng khả năng tư duy nhạy bén.
Xin giới thiệu 2 bài toán hay và khó của ông để các bạn tham khảo
Bài 1:
Làng nọ có một thầy giáo tài năng nhưng lập dị. Ông mở một lớp học và định thu nhận học sinh thuộc nhiều độ tuổi khác nhau, đồng thời trao phần thưởng cho học sinh nam hoặc học sinh nữ vào mỗi ngày nếu tổng số tuổi của bên họ lớn hơn bên kia đúng 2 lần.
- Ngày đầu tiên, lớp chỉ có một nam sinh và một nữ sinh. Tuổi của cậu bé gấp đôi tuổi cô bé nên phần thưởng hôm đó thuộc về cậu bé.
- Ngày hôm sau, cô gái dẫn theo 1 bạn gái đến trường. Hôm ấy tổng tuổi của 2 bạn gái gấp đôi tuổi cậu bé. Hai cô bé nhận thưởng và chia nhau.
- Ngày tiếp theo, nam sinh lại dẫn theo một trong những anh em của mình đến trường. Số tuổi của hai cậu lại gấp đôi tổng tuổi của hai bạn gái. Phần thưởng thuộc về những cậu bé.
- Hôm sau nữa, chị gái của 1 trong hai nữ sinh đến trường. Tuổi của họ lại gấp đôi tuổi của hai anh em nam snh nên các cô gái giành được phần thưởng. 
Câu hỏi do Samuel Loyd đưa ra là: Cậu bé đầu tiên bao nhiêu tuổi, biết chị gái của hai nữ sinh tham gia lớp học vào ngày cô tròn 21 tuổi?
Giải
Cách 1:  (Đây là cách lập phương trình thường áp dụng củ HS phổ thông)
Gọi A là số tuổi của cô bé đầu tiên; B là số tuổi của cậu bé đầu tiên 
Gọi C là số tuổi của Nữ sinh thứ 2; D là số tuổi của Nam thứ 2 
Theo đề thì: Ngày 1: 2A = B [1] 
 Ngày 2 : A + C = 2B Kết hợp [1] à (A +C) = 4A à C = 3 A [2] 
 Ngày 3 : 2× ( A+C)= B+D Kết hợp [1] & [2] à B + D = 8 A [3] 
 Ngày 4 : A+ C + 21= 2 × (B+D) à 16 A = 4 A + 21
 à 12 A = 21 à A = 21/12 = 1,75 è Vậy có thể tính B = 3. 5
Cách 2: (Đây là 1 cách giải bất ngờ và thú vị)
Cậu bé ngày đầu tiên 2 tuổi 364 ngày, cô bé 1 tuổi 363 ngày ( 2=2x1). 
Hôm sau cậu bé 3 tuổi, cô bé dẫn theo bạn gái 5 tuổi ( tổng 6 tuổi, cậu bé 3 tuổi). Hôm thứ 3 cậu bé dẫn anh trai 11 tuổi (tổng 14 tuổi) cô bé tròn 2 tuổi ( tổng 7 tuổi). Hôm thứ tư 2 cô bé dẫn chị 21 tuổi ( tổng 28 tuổi), tổng tuổi 2 cậu bé 14 tuổi.
Tuy nhiên, 2 kết quả trên không thực tế với H S Việt Nam, vì bé gái chưa đầy 2 tuổi và bé trai 2 - 3,5 tuổi sao đi học được (!?).Ở Việt Nam cũng chẳng ai tính tuổi có số lẻ thập phân.
Không biết ai có cách giải nào hay hơn không ? 
Thao tôi phải tăng số tuổi nhân vật lên cho hợp lí. Chẳng hạn cho nhân vật thứ năm = 35 tuổi thì xin mạn phép ông Lyod sửa đoạn cuối của Đề toán này như sau: 
“Một lớp học thu nhận học sinh thuộc nhiều độ tuổi khác nhau, và định trao phần thưởng cho học sinh nam hoặc học sinh nữ vào mỗi ngày nếu tổng số tuổi của bên nọ lớn hơn bên kia đúng 2 lần.
- Ngày đầu tiên, lớp chỉ có một nam sinh và một nữ sinh. Tuổi của cậu bé gấp đôi tuổi cô bé nên phần thưởng hôm đó thuộc về cậu bé.
- Ngày hôm sau, cô gái dẫn theo 1 bạn gái đến trường. Hôm ấy tổng tuổi của 2 bạn gái gấp đôi tuổi cậu bé. Hai cô bé nhận thưởng và chia nhau.
- Ngày tiếp theo, nam sinh lại dẫn theo một trong những anh em của mình đến trường. Số tuổi của hai cậu lại gấp đôi tổng tuổi của hai bạn gái. Phần thưởng thuộc về những cậu bé.
Hôm thứ tư, mẹ của 1 trong 2 cô gái đến trườngbiét rằng bà mẹ 35 tuổi, Hỏi cậu bé hôm đầu tiên bao nhiêu tuổi ?” 
Theo cách giải thứ hai (t ín ) ta có bài giải :
H S Nam
H S nữ
So sánh
Ngày thứ 1
B (6T+363 ng ày)
A (3T+364 ngày)
 B=2 A
Ngày thứ 2 
B (6 T + 364 ngày)
A(4T)+C(8T+363 ngày)
 A + C = 2B
Ngày thứ 3
B(7) T + D (17T)
A(4T)+C(8T+364 ngày)
B = 2(A +C)
Ngày thứ 4
B + D (cộng 24 T)
A(4T)+C(9T) + E(35)
2B= A+C+35
Bài thứ hai
Một điều chủ muốn cắt từ một mảnh đất hình chữ nhật một dải đất có chiều rộng không đổi dọc theo bốn bờ của mảnh đất (phần xanh trên hình bên) sao cho diện tích phần cắt ra bằng diện tích phần còn lại.
Trong cuốn sách của mình, Xem Lôi-đơ đưa ra cách làm của người điền chủ (nhưng không chứng minh): Lấy nửa chu vi hình chữ nhật ban đầu trừ đi đường chéo của nó, rồi chia cho 4, đó chính là chiều rộng của dải đất được cắt ra.
Hãy chứng tỏ rằng cách làm trên là đúng.
Giải
* Chứng minh theo phương pháp đại số
Gọi a & b  là các kích thước của hình chữ nhật, x là chiều rộng của dải đất cân chia.
Theo đề ta có PT  1/2 ab = (a – 2x)(b – 2x)
 Û 8x2 – 4( a + b) x + ab =0
Giải PT bậc 2 với ∆’ = 4( a2 + b2) --> nhận được 1 nghiệm
Thay ta có (ĐPCM)
* Chứng minh bằng hình học
a/ Hình ban đầu là hình vuông Diện tích S1 = a2
Hình còn lại S2 = ½ S1 = ½ a2 à Cạnh hình vuông S1 
à Cạnh hình vuông S2 là è
Nếu thay vào công thức Loyd ta có
 x = ¼(2a – ) è (ĐPCM) Xem hình dưới
b/ Hình chữ nhật
Với a, b, d có số đo là “Bộ số Pytagor” ta có thể chứng minh bằng hình dưới
 Chẳng hạn a = 8 m ; b= 6 m ; d = 10 m .
Thay b = 3/4a vào công thức Loyd ta có x = ½( a – b) è x = 1
* Trường hơp tổng quát vẫn CM bằng PT đại số như trên
PHH sưu tầm tư liệu & biên soạn bà giải 12/ 2015