150 Bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 5 - Năm học 2013-2014 - Trường Tiểu học Hợp Thanh B

Gi¸o ¸n båi d­ìng häc sinh giái - N¨m häc 2013 - 2014
Tr­êng TiÓu Häc Hîp Thanh B
Bài 1 : Ngày 8 tháng 3 năm 2004 là thứ ba. Hỏi sau 60 năm nữa thì ngày
8 tháng 3 là thứ mấy ?
Bài giải : Năm thường có 365 ngày (tháng hai có 28 ngày) ; năm nhuận có
366 ngày (tháng hai có 29 ngày). Kể từ 8 tháng 3 năm 2004 thì sau 60 năm là
8 tháng 3 năm 2064. Cứ 4 năm thì có một năm nhuận. Năm 2004 là năm
nhuận, năm 2064 cũng là năm nhuận. Trong 60 năm này có số năm nhuận là
60 : 4 + 1 = 16 (năm). Nhưng vì đã qua tháng hai của năm 2004 nên từ 8
tháng 3 năm 2004 đến 8 tháng 3 năm 2064 có 15 năm có 366 ngày và 45
năm có 365 ngày. Vì thế 60 năm có số ngày là : 366 x 15 + 365 x 45 = 21915
(ngày). Mỗi tuần lễ có 7 ngày nên ta có 21915 : 7 = 3130 (tuần) và dư 5
ngày. Vì 8 tháng 3 năm 2004 là thứ ba nên 8 tháng 3 năm 2064 là chủ nhật.
Bài 2 : Tí có một số bi không quá 80 viên, trong đó số bi đỏ gấp 5 lần số
bi xanh. Nếu Tí có thêm 3 viên bi xanh nữa thì số bi đỏ gấp 4 lần số bi
xanh. Hỏi lúc đầu Tí có mấy viên bi đỏ, mấy viên bi xanh ?
Bài giải : Bài này có nhiều cách giải khác nhau, xin nêu một cách giải như
sau
Ta thấy : Số bi xanh lúc đầu bằng 1/5 số bi đỏ.
Sau khi Tí có thêm 3 viên bi xanh nữa thì số bi xanh lúc đó bằng 1/4 số bi
đỏ.
Do đó 3 viên bi ứng với số phần của số bi đỏ là :
Vậy số bi đỏ của Tí lúc đầu là :
Số bi xanh của Tí lúc đầu là : 60 : 5 = 12 (viên)
Vậy lúc đầu Tí có 60 viên bi đỏ và 12 viên bi xanh.
Vì 60 + 12 = 72 nên kết quả này thỏa mãn giả thiết về số bi của Tí không có
quá 80 viên.
Bài 3 : Cho tổng : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 49 + 50.
Liệu có thể liên tục thay hai số bất kì bằng hiệu của chúng cho tới khi
được kết quả là 0 hay không ?
Bài giải : Ta đặt A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 49 + 50.
Dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 50 có 50 số, trong đó số các số lẻ bằng số
các số chẵn nên có 50 : 2 = 25 (số lẻ). Vậy A là một số lẻ. Gọi a và b là hai
Gi¸o ¸n båi d­ìng häc sinh giái - N¨m häc 2013 - 2014
Tr­êng TiÓu Häc Hîp Thanh B
số bất kì của A , khi thay tổng a + b bằng hiệu a - b thì A giảm đi : (a + b) - (a
- b) = 2 x b tức là giảm đi một số chẵn. Hiệu của một số lẻ và một số chẵn
luôn là một số lẻ nên sau mỗi lần thay, tổng mới vẫn là một số lẻ. Vì vậy
không bao giờ nhận được kết quả là 0.
Bài 4 : Bác Hà có hai tấm kính hình chữ nhật. Chiều rộng của mỗi tấm
kính bằng 1/2 chiều dài của nó và chiều dài của tấm kính nhỏ đúng bằng
chiều rộng của tấm kính to. Bác ghép hai tấm kính sát vào nhau và đặt
lên
bàn có diện tích 90 dm2 thì vừa khít. Hãy tính kích thước của mỗi tấm
kính đó.
Bài giải : Theo đầu bài, coi chiều rộng của tấm kính nhỏ là 1 đoạn thì chiều
dài của nó là 2 đoạn như vậy và chiều rộng của tấm kính to cũng là 2 đoạn,
khi đó chiều dài của tấm kính to là 4 đoạn như vậy. Nếu bác Hà ghép khít hai
tấm kính lại với nhau sẽ được hình chữ nhật ABCD (hình vẽ), trong đó
AMND là tấm kính nhỏ, MBCN là tấm kính to. Diện tích ABCD là 90 dm2.
Chia hình chữ nhật ABCD thành 10 hình vuông nhỏ, mỗi cạnh là chiều rộng
của tấm kính nhỏ thì diện tích của mỗi hình vuông nhỏ là 90 : 10 = 9 (dm2).
Ta có 9 = 3 x 3, do đó cạnh hình vuông là 3 dm. Tấm kính nhỏ có chiều rộng
3 dm, chiều dài là 3 x 2 = 6 (dm). Tấm kính to có chiều rộng là 6 dm, chiều
dài là 6 x 2 = 12 (dm).
Bài 5 : Cho 7 phân số :
Thăng chọn được hai phân số mà tổng có giá trị lớn nhất. Long chọn hai
phân số mà tổng có giá trị nhỏ nhất. Tính tổng 4 số mà Thăng và Long
đã chọn.
Bài giải :
Gi¸o ¸n båi d­ìng häc sinh giái - N¨m häc 2013 - 2014
Tr­êng TiÓu Häc Hîp Thanh B
Vậy ta sắp xếp được các phân số như sau :
Tổng hai phân số có giá trị lớn nhất là :
Tổng hai phân số có giá trị nhỏ nhất là :
Do đó tổng bốn phân số mà Thăng và Long đã chọn là :
Bài 6 : Tìm các chữ số a và b thỏa mãn :
Bài giải :
Vì 1/3 là phân số tối giản nên a chia hết cho 3 hoặc b chia hết cho 3.
Giả sử a chia hết cho 3, vì 1/a 3 mà a < 10 do đó a = 6 ; 9.
Vậy a = b = 6.
Bài 7 : Viết liên tiếp các số từ trái sang phải theo cách sau : Số đầu tiên
là 1, số thứ hai là 2, số thứ ba là chữ số tận cùng của tổng số thứ nhất và
số thứ hai, số thứ tư là chữ số tận cùng của tổng số thứ hai và số thứ ba.
Cứ tiếp tục như thế ta được dãy các số như sau : 123583 1459437......
Trong dãy trên có xuất hiện số 2005 hay không ?
Bài giải : Giả sử trong số tạo bởi cách viết như trên có xuất hiện nhóm chữ
2005 thì ta có : 2 + 0 là số có chữ số tận cùng là 0 (vô lí).
Vậy trong dãy trên không thể xuất hiện số 2005.
Gi¸o ¸n båi d­ìng häc sinh giái - N¨m häc 2013 - 2014
Tr­êng TiÓu Häc Hîp Thanh B
Bài 8 : Có 5 đội tham gia dự thi toán đồng đội. Tổng số điểm của cả 5 đội
là 144 điểm và thật thú vị là cả 5 đội đều đạt một trong ba giải : nhất (30
điểm) ; nhì (29 điểm) ; ba (28 điểm).
Chứng minh số đội đạt giải ba hơn số đội đạt giải nhất đúng một đội.
Bài giải : Ta thấy trung bình cộng điểm của một đội giải nhất và một đội giải
ba chính là số điểm của một đội giải nhì.
Nếu số đội đạt giải nhất bằng số đội đạt giải ba thì tổng số điểm của cả 5 đội
là : 29 x 5 = 145 (điểm) > 144 điểm, không thỏa mãn.
Nếu số đội giải nhất nhiều hơn số đội giải ba thì tổng điểm 5 đội lớn hơn
145, cũng không thỏa mãn.
Do đó số đội giải nhất phải ít hơn số đội giải ba. Khi đó ta xếp một đội giải
nhất và một đội giải ba làm thành một cặp thì cặp này sẽ có tổng số điểm
bằng hai đội giải nhì. Số đội giải ba thừa ra (không được xếp cặp với một đội
giải nhất) chính là số điểm mà tổng điểm của 5 đội nhỏ hơn 145. Vì vậy số
đội giải ba nhiều hơn số đội giải nhất bao nhiêu thì tổng điểm của 5 đội sẽ
nhỏ hơn 145 bấy nhiêu.
Vì tổng số điểm của cả 5 đội là 144 điểm nên số đội giải ba nhiều hơn số đội
giải nhất là 145 - 144 = 1.
Bài 9 : Cho (1), (2), (3), (4) là các hình thang vuông có kích thước bằng
nhau. Biết rằng PQ = 4 cm. Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.
Bài giải : Vì các hình thang vuông PQMA, QMBC, QPNC, PNDA bằng
nhau nên : MQ = NP = QP = 4 cm và CN = AD.
Mặt khác AD = NP + QM = 4 + 4 = 8 (cm)
Do đó : CN = AD = 8 cm.
Diện tích hình thang vuông PQCN là : (CN + PQ) x NP : 2 = (8 + 4) x 4 : 2 =
24 (cm2)
Gi¸o ¸n båi d­ìng häc sinh giái - N¨m häc 2013 - 2014
Tr­êng TiÓu Häc Hîp Thanh B
Suy ra : Diện tích hình chữ nhật ABCD là : 24 x 4 = 96 (cm 2)
Bài 10 : Tích sau đây có tận cùng bằng chữ số nào ?
Bài giải : Tích của bốn thừa số 2 là 2 x 2 x 2 x 2 = 16 và 2003 : 4 = 500 (dư
3) nên ta có thể viết tích của 2003 thừa số 2 dưới dạng tích của 500 nhóm
(mỗi nhóm là tích của bốn thừa số 2) và tíc h của ba thừa số 2 còn lại.
Vì tích của các thừa số có tận cùng là 6 cũng là số có tận cùng bằng 6 nên
tích của 500 nhóm trên có tận cùng là 6.
Do 2 x 2 x 2 = 8 nên khi nhân số có tận cùng bằng 6 với 8 thì ta được số có
tận cùng bằng 8 (vì 6 x 8 = 48). Vậy tích của 2003 thừa số 2 sẽ là số có tận
cùng bằng 8.
Bài 11 : Một người mang cam đi đổi lấy táo và lê. Cứ 9 quả cam thì đổi
được 2 quả táo và 1 quả lê, 5 quả táo thì đổi được 2 quả lê. Nếu người đó
đổi hết số cam mang đi thì được 17 quả táo và 13 quả lê. Hỏi người đó
mang đi bao nhiêu quả cam ?
Bài giải : 9 quả cam đổi được 2 quả táo và 1 quả lê nên 18 quả cam đổi được
4 quả táo và 2 quả lê. Vì 5 quả táo đổi được 2 quả lê nên 18 quả cam đổi
được : 4 + 5 = 9 (quả táo). Do đó 2 quả cam đổi được 1 quả t áo. Cứ 5 quả táo
đổi
được 2 quả lê nên 10 quả cam đổi được 2 quả lê. Vậy 5 quả cam đổi được 1
quả lê. Số cam người đó mang đi để đổi được 17 quả táo và 13 quả lê là : 2 x
17 + 5 x 13 = 99 (quả).
Bài 12 : Tìm một số tự nhiên sao cho khi lấy 1/3 số đó chia cho 1/17 số đó
thì có dư là 100.
Bài giải : Vì 17 x 3 = 51 nên để dễ lí luận, ta giả sử số tự nhiên cần tìm được
chia ra thành 51 phần bằng nhau. Khi ấy 1/3 số đó là 51 : 3 = 17 (phần) ;
1/17 số đó là 51 : 17 = 3 (phần).
Vì 17 : 3 = 5 (dư 2) nên 2 phần của số đó có giá trị là 100 suy ra số đó là :
100 : 2 x 51 = 2550.
Bài 13 : Tuổi của con hiện nay bằng 1/2 hiệu tuổi của bố và tuổi con. Bốn
năm trước, tuổi con bằng 1/3 hiệu tuổi của bố và tuổi con. Hỏi khi tuổi
Gi¸o ¸n båi d­ìng häc sinh giái - N¨m häc 2013 - 2014
Tr­êng TiÓu Häc Hîp Thanh B
con bằng 1/4 hiệu tuổi của bố và tuổ i của con thì tuổi của mỗi người là
bao nhiêu ?
Bài giải : Hiệu số tuổi của bố và con không đổi. Trước đây 4 năm tuổi con
bằng 1/3 hiệu này, do đó 4 năm chính là : 1/2 - 1/3 = 1/6 (hiệu số tuổi của bố
và con).
Số tuổi bố hơn con là : 4 : 1/6 = 24 (tuổi) .
Khi tuổi con bằng 1/4 hiệu số tuổi của bố và con thì tuổi con là : 24 x 1/4 = 6
(tuổi).
Lúc đó tuổi bố là : 6 + 24 = 30 (tuổi).
Bài 14 : Hoa có một sợi dây dài 16 mét. Bây giờ Hoa cần cắt đoạn dây đó
để có đoạn dây dài 10 mét mà trong tay Hoa chỉ có một cái kéo. Các bạn
có biết Hoa cắt thế nào không ?
Bài giải : Xin nêu 2 cách cắt như sau :
Cách 1 : Gập đôi sợi dây liên tiếp 3 lần, khi đó sợi dây sẽ được chia thành 8
phần bằng nhau.
Độ dài mỗi phần chia là : 16 : 8 = 2 (m)
Cắt đi 3 phần bằng nhau thì còn lại 5 phần.
Khi đó độ dài đoạn dây còn lại là : 2 x 5 = 10 (m)
Cách 2 : Gập đôi sợi dây liên tiếp 2 lần, khi đó sợi dây sẽ được chia thành 4
phần bằng nhau.
Độ dài mỗi phần chia là : 16 : 4 = 4 (m)
Đánh dấu một phần chia ở một đầu dây, phần đoạn dây còn lại được gập đôi
lại, cắt đi một phần ở đầu bên kia thì độ dài đoạn dây cắt đi là : (16 - 4) : 2 =
6 (m)
Do đó độ dài đoạn dây còn lại là : 16 - 6 = 10 (m)
Bài 15 : Một thửa ruộng hình chữ nhật được chia thành 2 mảnh, một
mảnh nhỏ trồng rau và mảnh còn lại trồng ngô (hình vẽ). Diện tích của
mảnh trồng ngô gấp 6 lần diện tích của mảnh trồng rau. Chu vi mảnh
trồng ngô gấp 4 lần chu vi mảnh trồng rau. Tính diện tích thửa ruộng
ban đầu, biết chiều rộng của nó là 5 mét.
Gi¸o ¸n båi d­ìng häc sinh giái - N¨m häc 2013 - 2014
Tr­êng TiÓu Häc Hîp Thanh B
Bài giải : Diện tích mảnh trồng ngô gấp 6 lần diện tích mảnh trồng rau mà
hai mảnh có chung một cạnh nên cạnh còn lại của mảnh trồng ngô gấp 6 lần
cạnh còn lại của mảnh trồng rau. Gọi cạnh còn lại của mảnh trồng rau là a thì
cạnh còn lại của mảnh trồng ngô là a x 6. Vì chu vi mảnh trồng ngô (P 1) gấp
4 lần chu vi mảnh trồng rau (P2) nên nửa chu vi mảnh trồng ngô gấp 4 lần
nửa chu vi mảnh trồng rau.
Nửa chu vi mảnh trồng ngô hơn nửa chu vi mảnh trồng rau là : a x 6 + 5 - (a
+ 5) = 5 x a.
Ta có sơ đồ :
Độ dài cạnh còn lại của mảnh trồng rau là : 5 x 3 : (5 x a - 3 x a) = 7,5 (m)
Độ dài cạnh còn lại của mảnh trồng ngô là : 7,5 x 6 = 45 (m)
Diện tích thửa ruộng ban đầu là : (7,5 + 4,5) x 5 = 262,5 (m2)
Bài 16 : Tôi đi bộ từ trường về nhà với vận tốc 5 km/giờ. Về đến nhà lập
tức tôi đạp xe đến bưu điện với vận tốc 15 km/giờ. Biết rằng quãng
đường từ nhà tới trường ngắn hơn quãng đường từ nhà đến bưu điện 3
km. Tổng thời gian tôi đi từ trường về nhà và từ nhà đến bưu điện là 1
giờ 32 phút. Bạn hãy tính quãng đường từ nhà tôi đến trường.
Bài giải : Thời gian để đi 3 km bằng xe đạp là : 3 : 15 = 0,2 (giờ)
Đổi : 0,2 giờ = 12 phút.
Nếu bớt 3 km quãng đường từ nhà đến bưu điện thì thời gian đi cả hai quãng
đường từ nhà đến trường và từ nhà đến bưu điện (đã bớt 3 km) là :
1 giờ 32 phút - 12 phút = 1 giờ 20 phút = 80 phút.
Vận tốc đi xe đạp gấp vận tốc đi bộ là : 15 : 5 = 3 (lần)
Gi¸o ¸n båi d­ìng häc sinh giái - N¨m häc 2013 - 2014
Tr­êng TiÓu Häc Hîp Thanh B
Khi quãng đường không đổi, vận tốc tỉ lệ nghịch với thời gian nên thời gian
đi từ nhà đến trường gấp 3 lần thời gian đi từ nhà đến thư viện (khi đã bớt đi
3 km). Vậy :
Thời gian đi từ nhà đến trườn g là : 80 : (1 + 3) x 3 = 60 (phút) ;
60 phút = 1 giờ
Quãng đường từ nhà đến trường là : 1 x 5 = 5 (km)
Bài 17 : Cho phân số :
a) Có thể xóa đi trong tử số và mẫu số những số nào mà giá trị của phân
số vẫn không thay đổi không ?
b) Nếu ta thêm số 2004 vào mẫu số thì phải thêm số tự nhiên nào vào tử
số để phân số không đổi ?
Bài giải :
= 45 / 270 = 1/6.
a) Để giá trị của phân số không đổi thì ta phải xóa những số ở mẫu mà tổng
của nó gấp 6 lần tổng của những số xóa đi ở tử. Khi đó tổng các số còn lại ở
mẫu cũng gấp 6 lần tổng các số còn lại ở tử. Vì vậy đổi vai trò các số bị xóa
với các số còn lại ở tử và mẫu thì ta sẽ có thêm phương án xóa. Có nhiều
cách xóa, xin giới thiệu một số cách (số các số bị xóa ở mẫu tăng dần và tổng
chia hết cho 6) : mẫu xóa 12 thì tử xóa 2 ; mẫu xóa 18 thì tử xóa 3 hoặc xóa
1, 2 ; mẫu xóa 24 hoặc xóa 11, 13 thì tử xóa 4 hoặc xóa 1, 3 ; mẫu xóa 12, 18
hoặc 13, 17 hoặc 14, 16 thì tử xóa 5 hoặc 2, 3 hoặc 1, 4 ; mẫu xóa 12, 24
hoặc 11, 25 hoặc 13, 23 hoặc 14, 22 hoặc 15, 21 hoặc 16, 20 hoặc 17, 19 thì
tử xóa 6 hoặc 1, 5 hoặc 2, 4 hoặc 1, 2, 3 ; mẫu xóa 18, 24 hoặc 17, 25 hoặc
19, 23 hoặc 20, 22 hoặc 11, 13, 18 hoặc 12, 13, 17 hoặc 11, 14, 17 hoặc 11,
15, 16 hoặc 12, 14, 16 hoặc 13, 14, 15 thì tử xóa 7 hoặc 1, 6 hoặc 2, 5 hoặc 3,
4 hoặc 1, 2, 4 ; ...
Các bạn hãy kể tiếp thử xem được bao nhiêu cách nữa ?
b) Để giá trị phân số không đổi, ta thêm một số nào đó vào tử bằng 1/6 số
thêm vào mẫu. Vậy nếu thêm 2004 vào mẫu thì số phải thêm vào tử là :
2004 : 6 = 334.
Gi¸o ¸n båi d­ìng häc sinh giái - N¨m häc 2013 - 2014
Tr­êng TiÓu Häc Hîp Thanh B
Bài 18 : Người ta lấy tích các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 30 để chia cho
1000000. Bạn hãy cho biết :
1) Phép chia có dư không ?
2) Thương là một số tự nhiên có chữ số tận cùng là bao nhiêu ?
Bài giải :
Xét tích A = 1 x 2 x 3 x ... x 29 x 30, trong đó các thừa số chia hết cho 5 là 5,
10, 15, 20, 25, 30 ; mà 25 = 5 x 5 do đó có thể coi là có 7 thừa số chia hết
cho 5. Mỗi thừa số này nhân với một số chẵn cho ta một số có tận cùng là số
0. Trong tích A có các thừa số là số chẵn và không chia hết cho 5 là : 2, 4, 6,
8, 12, . . . , 26, 28 (có 12 số). Như vật trong tích A có ít nhất 7 cặp số có tích
tận cùng là 0, do đó tích A có tận cùng là 7 chữ số 0.
Số 1 000 000 có tận cùng là 6 chữ số 0 nên A chia hết cho 1 000 000 và
thương là số tự nhiên có tận cùng là chữ số 0.
Bài 19 : Ba bạn Toán, Tuổi và Thơ có một số vở. Nếu lấy 40% số vở của
Toán chia đều cho Tuổi và Thơ thì số vở của ba bạn bằng nhau. Nhưng
nếu Toán bớt đi 5 quyển thì số vở của Toán bằng tổng số vở của Tuổi và
Thơ. Hỏi mỗi bạn có bao nhiêu quyển vở ?
Bài giải : Đổi 40% = 2/5.
Nếu lấy 2/5 số vở của Toán chia đều cho Tuổi và Thơ thì mỗi bạn Tuổi hay
Thơ đều được thêm 2/5 : 2 = 1/5 (số vở của Toán)
Số vở còn lại của Toán sau khi cho là :
1 - 2/5 = 3/5 (số vở của Toán)
Do đó lúc đầu Tuổi hay Thơ có số vở là :
3/5 - 1/5 = 2/5 (số vở của Toán)
Tổng số vở của Tuổi và Thơ lúc đầu là :
2/5 x 2 = 4/5 (số vở của Toán)
Mặt khác theo đề bài nếu Toán bớt đi 5 quyển thì số vở của Toán bằng tổng
số vở của Tuổi và Thơ, do đó 5 quyển ứng với : 1 - 4/5 = 1/5 (số vở của
Toán)
Số vở của Toán là : 5 : 1/5 = 25 (quyển)
Số vở của Tuổi hay Thơ là : 25 x 2/5 = 10 (quyển)
Bài 20 : Hai số tự nhiên A và B, biết A < B và hai số có chung những đặc
điểm sau :
- Là số có 2 chữ số.
Gi¸o ¸n båi d­ìng häc sinh giái - N¨m häc 2013 - 2014
Tr­êng TiÓu Häc Hîp Thanh B
- Hai chữ số trong mỗi số giống nhau.
- Không chia hết cho 2 ; 3 và 5.
a) Tìm 2 số đó.
b) Tổng của 2 số đó chia hết cho số tự nhiên nào ?
Bài giải : Vì A và B đều không chia hết cho 2 và 5 nên A và B chỉ có thể có
tận cùng là 1 ; 3 ; 7 ; 9. Vì 3 + 3 = 6 và 9 + 9 = 18 là 2 số chia hết cho 3 nên
loại trừ số 33 và 99. A < B nên A = 11 và B = 77.
b) Tổng của hai số đó là : 11 + 77 = 88.
Ta có :
88 = 1 x 88 = 2 x 44 = 4 x 22 = 8 x 11.
Vậy tổng 2 số chia hết cho các số : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 11 ; 22 ; 44 ; 88.
Bài 21 : Cho mảnh bìa hình vuông ABCD. Hãy cắt từ mảnh bìa đó một
hình vuông sao cho diện tích còn lại bằng diện tích của mảnh bìa đã cho.
Bài giải : Theo đầu bài thì hình vuông ABCD được ghép bởi 2 hình vuông
nhỏ và 4 tam giác (trong đó có 2 tam giác to, 2 tam giác con). Ta thấy có thể
ghép 4 tam giác con để được tam giác to đồng thời cũng ghép 4 tam giác con
để được 1 hình vuông nhỏ. Vậy diện tích của hình vuông ABCD chính là
diện tích của 2 + 2 x 4 + 2 x 4 = 18 (tam giác con). Do đó diện tích của hình
vuông ABCD là :
18 x (10 x 10) / 2 = 900 (cm2)
Bài 22 : Hai bạn Xuân và Hạ cùng một lúc rời nhà của mình đi đến nhà
bạn. Họ gặp nhau tại một điểm cách nhà Xuân 50 m. Biết rằng Xuân đi
từ nhà mình đến nhà Hạ mất 12 phút còn Hạ đi đến nhà Xuân chỉ mất
10 phút. Hãy tính quãng đường giữa nhà hai bạn.
Gi¸o ¸n båi d­ìng häc sinh giái - N¨m häc 2013 - 2014
Tr­êng TiÓu Häc Hîp Thanh B
Bài giải : Trên cùng một quãng đường thì tỉ số thời gian đi của Xuân và Hạ
là : 12 : 10 = 6/5.
Thời gian tỉ lệ nghịch với vận tốc nên tỉ số vận tốc của Xuân và Hạ là 5/6.
Như vậy Xuân và Hạ cùng xuất phát thì đến khi gặp nhau thì quãng đường
Xuân đi được bằng 5/6 quãng đường Hạ đi được.
Do đó quãng đường Hạ đi được là :
50 : 5/6 = 60 (m).
Quãng đường giữa nhà Xuân và Hạ là : 50 + 60 = 110 (m).
Bài 23 : A là số tự nhiên có 2004 chữ số. A là số chia hết cho 9 ; B là tổng
các chữ số của A ; C là tổng các chữ số của B ; D là tổng các chữ số của
C. Tìm D.
Bài giải : Vì A là số chia hết cho 9 mà B là tổng các chữ số của A nên B chia
hết cho 9. Tương tự ta có C, D cũng chia hết cho 9 và đương nhiên khác 0.
Vì A gồm 2004 chữ số mà mỗi chữ số không vượt quá 9 nên B không vượt
quá 9
x 2004 = 18036. Do đó B có không quá 5 chữ số và C < 9 x 5 = 45. Nhưng C
là số chia hết cho 9 và khác 0 nên C chỉ có thể là 9 ; 18 ; 27 ; 36. Dù trường
hợp nào xảy ra thì ta cũng có D = 9.
Bài 24 : Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 120 m. Người ta mở rộng
khu vườn như hình vẽ để được một vườn hình chữ nhật lớn hơn. Tính
diện tích phần mới mở thêm.
Bài giải : Nếu ta “dịch chuyển” khu vườn cũ ABCD vào một góc của khu
vườn mới EFHD ta được hình vẽ bên. Kéo dài EF về phía F lấy M sao cho
FM = BC thì diện tích hình chữ nhật BKHC đúng bằng diện tích hình chữ
Gi¸o ¸n båi d­ìng häc sinh giái - N¨m häc 2013 - 2014
Tr­êng TiÓu Häc Hîp Thanh B
nhật FMNK. Do đó phần diện tích mới mở thêm chính là diện tích hình chữ
nhật EMNA.
Ta có AN = AB + KN + BK vì AB + KN = 120 : 2 = 60 (m) ; BK = 10 m
nên AN = 70 m. Vậy diện tích phần mới mở thêm là : 70 x 10 = 700 (m2)
Bài 25 : Bao nhiêu giờ ?
Khi đi gặp nước ngước dòng
Khó khăn đến bến mất tong tám giờ
Khi về từ lúc xuống đò
Đến khi cập bến bốn giờ nhẹ veo
Hỏi rằng riêng một khóm bèo
Bao nhiêu giờ để trôi theo ta về ?
Bài giải :
Cách 1 : Vì đò đi ngược dòng đến bến mất 8 giờ nên trong 1 giờ đò đi được
1/8 quãng sông đó. Đò đi xuôi dòng trở về mất 4 giờ nên trong 1 giờ đò đi
được 1/4 quãng sông đó. Vận tốc đò xuôi dòng hơn vận tốc đò ngược dòng là
: 1/4 - 1/8 = 1/8 (quãng sông đó).
Vì hiệu vận tốc đò xuôi dòng và vận tốc đò ngược dòng chính là 2 lần vận
tốc dòng nước nên một giờ khóm bèo trôi được là : 1/8 : 2 = 1/16 (quãng
sông đó).
Thời gian để khóm bèo trôi theo đò về là : 1 : 1/16 = 16 (giờ).
Cách 2 : Tỉ số giữa thời gian đò xuôi dòng và thời gian đò ngược dòng là :4 :
8 = 1/2 Trên cùng một quãng đường thì vận tốc và thời gian của một chuyển
động tỉ lệ nghịch với nhau nên tỉ số vận tốc đò xuôi dòng và vận tốc đò
ngược dòng là 2. Vận tốc đò xuôi dòng hơn vận tốc đò ngược dòng chính là
2 lần vận tốc dòng nước. Ta có sơ đồ :
Theo sơ đồ ta có vận tốc ngược dòng gấp 2 lần vận tốc dòng nước nên thời
gian để cụm bèo trôi theo đò về gấp 2 lần thời gian ngược dòng. Vậy thời
gian cụm bèo trôi theo đò về là : 8 x 2 = 16 (giờ).
Bài 26 : Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 4 lần chiều rộng. Nếu tăng
chiều rộng thêm 45 m thì được hình chữ nhật mới có chiều dài vẫn gấp 4
lần chiều rộng. Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu.
Gi¸o ¸n båi d­ìng häc sinh giái - N¨m häc 2013 - 2014
Tr­êng TiÓu Häc Hîp Thanh B
Bài giải : Khi tăng chiều rộng thêm 45 m thì khi đó chiều rộng sẽ trở thành
chiều dài của hình chữ nhật mới, còn chiều dài ban đầu sẽ trở thành chiều
rộng của hình chữ nhật mới. Theo đề bài ta có sơ đồ :
Do đó 45 m ứng với số phần là :
16 - 1 = 15 (phần)
Chiều rộng ban đầu là :
45 : 15 = 3 (m)
Chiều dài ban đầu là : 3 x 4 = 12 (m)
Diện tích hình chữ nhật ban đầu là :
3 x 12 = 36 (m2)
Bài 27: Bạn An đã có một số bài kiểm tra, bạn đó tính rằng : Nếu được