108 Bài tập Toán tổ hợp

Sigma - MATHS MÖC LÖC
Möc löc
1 Ki¸n thùc c«n b£n 2
2 C¡c b i to¡n ¸m. 4
3 Biºu ç Ven - Logic 6
4 Nguy¶n lþ Dirichlet 7
5 C¡c b i to¡n tr¶n b n cí 8
6 Tê hñp - H¼nh håc 10
7 Trá chìi  Games 11
8 Qui n¤p 12
9 Mini Combinatorics 13
ffi¢ sûa chûa v  bê sung nhúng léi ch½nh t£ b¤n åc gâp þ!
Ch¥n th nh c£m ìn c¡c b¤n!
1
Sigma - MATHS 1 KI˜N THÙC C‹N BƒN
1 Ki¸n thùc c«n b£n
1. ffiành ngh¾a: n ph¦n tû kh¡c nhau cõa mët tªp hñp ÷ñc x¸p th nh h ng ÷ñc gåi l 
ho¡n và khæng l°p ( ho¡n và) cõa n ph¦n tû.
ffiành lþ: Sè c¡c ho¡n và khæng l°p l¤i cõa n ph¦n tû kþ hi»u l  Pn.
Pn = 1.2.3. . . n= n! (quy ành 0!=1)
2. ffiành ngh¾a: N¸u mët tªp gçm n ph¦n tû sao cho giúa chóng câ k1, k2, . . . , kr(k1 +
k2 + . . .+ kr ≤ n) nhâm c¡c ph¦n tû b¬ng nhau. Khi â mët s­p x¸p n ph¦n tû n y v o
mët h ng ÷ñc gåi l  giao ho¡n l°p cõa bë n ph¦n tû n y.
ffiành lþ: N¸u mët tªp gçm n ph¦n tû sao cho giúa chóng câ k1, k2, . . . , kr(k1+k2+ . . .+
kr ≤ n) nhâm c¡c ph¦n tû b¬ng nhau. Kþ hi»u sè giao ho¡n l°p cõa nhâm n ph¦n tû n y
l  Pn(k1, k2, . . . , kr) . Khi â
Pn(k1, k2, . . . , kr) =
n!
k1!k2! . . . kr!
3. ffiành ngh¾a: N¸u cho tr÷îc n ph¦n tû kh¡c nhau, tø â chån ra k ph¦n tû, v  s­p x¸p
k ph¦n tû n y th nh h ng th¼ ta nhªn ÷ñc ch¿nh hñp khæng l°p bªc k cõa n ph¦n tû.
ffiành lþ: Kþ hi»u sè c¡c ch¿nh hñp khæng l°p bªc k cõa n ph¦n tû l  Vn
k
, khi â
Vn
k =
n!
(n− k)!
4. ffiành ngh¾a: N¸u cho tr÷îc n ph¦n tû, tø â chån ra k ph¦n tû sao cho méi ph¦n tû
câ thº chån nhi·u l¦n, v  s­p x¸p k ph¦n tû ÷ñc chån n y th nh h ng th¼ ta nhªn ÷ñc
â l  ch¿nh hñp l°p bªc k cõa n ph¦n tû.
ffiành lþ: Kþ hi»u sè c¡c ch¿nh hñp khæng l°p bªc k cõa n ph¦n tû l  Wn
k
khi â
Wn
k = nk
5. ffiành ngh¾a: N¸u cho tr÷îc n ph¦n tû kh¡c nhau, tø â chån ra k ph¦n tû sao cho
méi ph¦n tû ch¿ ÷ñc chån mët l¦n ( khæng quan t¥m ¸n x¸p h¤ng c¡c ph¦n tû), th¼ ta
nhªn ÷ñc tê hñp khæng l°p bªc k cõa n ph¦n tû.
ffiành lþ: Kþ hi»u sè c¡c tê hñp khæng l°p bªc k cõa n ph¦n tû l  Cn
k
, khi â
Cn
k =
n!
(n− k)!
2
Sigma - MATHS 1 KI˜N THÙC C‹N BƒN
6. ffiành ngh¾a: N¸u cho tr÷îc n ph¦n tû kh¡c nhau, tø â chån ra k ph¦n tû sao cho
méi ph¦n tû câ thº ÷ñc chån nhi·u l¦n ( khæng quan t¥m ¸n x¸p h¤ng c¡c ph¦n tû),
th¼ ta nhªn ÷ñc tê hñp l°p bªc k cõa n ph¦n tû.
ffiành lþ: Kþ hi»u sè c¡c tê hñp l°p bªc k cõa n ph¦n tû l  Dn
k
, khi â
Dn
k =
(n+ k − 1)!
k!(n− 1)! = C
k
n+k−1
C¡c nguy¶n lþ cì b£n.
Cho X l  mæt tªp húu h¤n. A, B l  c¡c tªp con cõa X.
Nguy¶n lþ bò trø : |X\A| = |X| − |A|
Nguy¶n lþ cëng: N¸u A v  B l  hai tªp khæng giao nhau (A ∩B = ) th¼
|A ∪B| = |A|+ |B|
Nguy¶n lþ nh¥n: |A.B| = |A|.|B|
Nguy¶n lþ Th¶m bît: |A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|
3
Sigma - MATHS 2 CC B€I TON ffi˜M.
2 C¡c b i to¡n ¸m.
1. Tø n«m chú sè 1, 2, 3, 4, 5 méi chú sè sû döng mët l¦n vi¸t t§t c£ c¡c sè câ 5 chú sè.
a) N¸u º c¡c sè theo thù tü t«ng d¦n, th¼ sè n o ùng thù 100 ?
b) Sè 42531 ùng thù tü bao nhi¶u?
c) T½nh têng t§t c£ c¡c sè n y .
2. Vi»c n o câ kh£ n«ng x£y ra lîn hìn giúa: Tung xóc x­c ÷ñc sè 6, hay tung hai l¦n
li¶n ti¸p ÷ñc còng mët sè ?
3. 10 håc sinh rót th«m º nhªn 4 quyºn s¡ch,méi håc sinh khæng ÷ñc nhi·u qu¡ 1
quyºn. Häi câ bao nhi¶u c¡ch câ thº x©y ra?
4. Câ bao nhi¶u sè câ 4 chú sè m  giúa c¡c chú sè câ chú sè 0?
5. Tæi ngh¾ mët sè nguy¶n x vîi 0 < x < 17. Häi c¦n ½t nh§t bao nhi¶u c¥u häi m  ch¿
÷ñc ph²p tr£ líi óng - sai º ng÷íi ta x¡c ành ÷ñc tæi ngh¾ ¸n sè n o?
6. Câ bao nhi¶u c¡ch i·n c¡c sè 1,2,. . . ,8 v o giúa c¡c d§u quan h»
. . . .. . . .>. . . .>. . . .>. . . . ?
7. Tæi ngh¾ hai sè giúa 1 v  10. Häi ph£i c¦n bao nhi¶u c¥u häi ( d¤ng óng sai) º b¤n
câ thº bi¸t hai sè tæi ngh¾ l  g¼?
8. Tr¶n b n cí 8x8 câ bao nhi¶u h¼nh chú nhªt?
9. Tr¶n gi¡ câ 10 quyºn s¡ch. Câ bao nhi¶u c¡ch º l§y xuèng 3 quyºn s¡ch khæng câ hai
quyºn n o ùng c¤nh nhau?
10. Câ bao nhi¶u sè câ ba chú sè sao cho chú sè ð giúa lîn hìn chú sè ùng ¦u v  ùng
cuèi?
11. Câ bao nhi¶u sè abc ( ba chú sè) sao cho b<a+c, c<b+a, a< b+c ?
12. Câ bao nhi¶u c¡ch i l¶n mët c¦u thang 8 bªc sao cho méi l¦n ch¿ ÷ñc b÷îc 1 ho°c
2 bªc ?
13. Câ bao nhi¶u c¡ch phõ b n cí 2x8 b¬ng c¡c qu¥n domino 1x2?
14 Câ bao nhi¶u sè câ 5 chú sè sao cho c¡c chú sè c¤ch nhau luæn l  c¡c sè li¶n ti¸p nhau?
15. Câ bao nhi¶u c¡ch º vi¸t sè 8 th nh têng cõa c¡c sè nguy¶n d÷ìng ( kº c£ 1 sè) n¸u
trªt tü cõa c¡c sè h¤ng l . . .
a) T½nh ¸n
b) Khæng t½nh ¸n
4
Sigma - MATHS 2 CC B€I TON ffi˜M.
16. Câ bao nhi¶u sè câ 3 chú sè v  têng c¡c chú sè b¬ng 8 ?
17. Câ bao nhi¶u c¡ch i tø A ¸n B trong c¡c h¼nh sau, bi¸t r¬ng ch¿ câ thº i tø tr¡i
sang ph£i v  i l¶n.
18. Câ bao nhi¶u và tr½ t÷ìng èi câ thº cõa 5 bong bâng x  pháng, bi¸t r¬ng mët bong
bâng câ thº chùa to n ph¦n 1 hay nhi·u bong bâng kh¡c. C¡c bong bâng khæng thº ph¥n
bi»t nhau, k½ch th÷îc co d¢n thay êi tòy th½ch, ch¿ chùa hay khæng chùa nhau, khæng
c­t nhau) mët v½ dö cho tr÷íng hñp 3 bong bâng th¼ câ 4 tr÷íng hñp.
19. Ta xu§t ph¡t tø iºm (1,4) tr¶n m°t ph¯ng tåa ë. Méi b÷îc ph£i t«ng mët sè n o
â th¶m ½t nh§t 1 ìn và. Sau mët sè b÷îc th¼ ta ¸n iºm (5,6). Câ bao nhi¶u c¡ch câ thº ?
20. Mët b i to¡n nhi·u c¡ch ph¡t biºu!
a) Câ 10 iºm b§t ký. Häi câ nhi·u nh§t bao nhi¶u ÷íng th¯ng i qua ½t nh§t 2 iºm
cõa tªp hñp n y?
b) M÷íi ng÷íi tham gia mët gi£i cí. Cù hai ng÷íi g°p nhau khæng qu¡ mët l¦n. Häi nhi·u
nh§t câ bao nhi¶u trªn §u?
c) Trong c¡c sè tø 1 ¸n 10. Câ bao nhi¶u c¡ch chån ra 2 sè kh¡c nhau?
5
Sigma - MATHS 3 BIšU ffiÇ VEN - LOGIC
3 Biºu ç Ven - Logic
21. a)Trong mët vi»n khoa håc câ 67 ng÷íi.Câ 35 ng÷íi bi¸t ti¸ng ffiùc, ti¸ng Anh câ 47
ng÷íi bi¸t, trong sè bi¸t ti¸ng Anh câ 23 ng÷íi bi¸t c£ ti¸ng ffiùc. Häi trong vi»n câ bao
nhi¶u ng÷íi khæng bi¸t c£ ti¸ng ffiùc l¨n ti¸ng Anh?
b) (Ti¸p töc c¥u a) Gi£ sû r¬ng câ 20 ng÷íi bi¸t ti¸ng Ph¡p, vøa Ph¡p v  Anh l  12
ng÷íi, vøa ffiùc v  Ph¡p l  11 ng÷íi, c£ ba thù ti¸ng câ 5 ng÷íi bi¸t. Vªy câ bao nhi·u
ng÷íi khæng bi¸t ngo¤i ngú n o n¶u tr¶n?
22. Tr¶n hán £o Hoa qu£ câ hai bë l¤c. Bë l¤c Quþt th¼ måi ng÷íi ·u th½ch quþt cán
bë l¤c kia 90% khæng th½ch quþt. Bi¸t r¬ng 46% têng to n bë d¥n sè th½ch quþt. Häi tr¶n
£o bë l¤c Quþt chi¸m bao nhi¶u % ?
23. Trong lîp iºm 10 v· to¡n câ 12 b¤n, v· v«n 16 b¤n, v  8 b¤n khæng câ iºm 10 n o
kº c£ hai mæn. Häi lîp câ bao nhi¶u håc sinh, n¸u sè b¤n ÷ñc 10 c£ v«n v  to¡n l  6
b¤n?
24. Trong mët lîp håc nh¤c , sè håc sinh håc violon g§p hai l¦n so vîi sè håc sinh håc
Piano. Câ 5 b¤n håc c£ hai nh¤c cö. C£ lîp câ 22 håc sinh, méi ng÷íi ½t nh§t håc mët
nh¤c cö. Häi câ bao nhi¶u ng÷íi håc Violon v  bao nhi¶u ng÷íi håc piano?
25. Mët lîp câ 38 håc sinh. Méi ng÷íi ·u chìi mët trong c¡c mæn thº thao n o â sau
¥y: ffii·n kinh, Bâng chuy·n v  bìi lëi. 19 ng÷íi tham gia i·n kinh, 21 ng÷íi chìi bâng
chuy·n, 12 ng÷íi bìi lëi. Câ 7 ng÷íi vøa tham gia i·n kinh vøa bìi lëi, 6 ng÷íi tham gia
c£ i·n kinh v  bâng chuy·n, ba ng÷íi chìi vøa bâng chuy·n vøa bìi. Häi câ bao nhi¶u
ng÷íi tham gia c£ ba mæn thº thao?
26. Mët hëi b¤n b± tê chùc 3 cuëc i du làch. Méi ñt câ 15 b¤n tham gia. Giúa nhúng
ng÷íi i du làch l¦n ¦u câ 7 ng÷íi tham gia l¦n hai v  8 ng÷íi ng÷íi tham gia l¦n ba.
Giúa nhúng ng÷íi tham gia ñt hai câ 5 ng÷íi i ti¸p ñt ba. Câ 4 ng÷íi tham gia c£ 3
ñt. Häi câ bao nhi¶u ng÷íi tham gia ½t nh§t mët l¦n i du làch?
27. Mët tr÷íng håc tê chùc ba ñt i du làch. ffiñt ¦u 320 håc sinh tham gia, ñt thù
hai 280 håc sinh tham gia , ñt thù ba 350 håc sinh tham gia. Câ 60 håc sinh tham gia
c£ ba l¦n, 130 håc sinh tham gia ½t nh§t hai l¦n. Häi câ bao nhi¶u håc sinh tham gia ½t
nh§t mët l¦n?
28. Mët cuëc thi chung k¸t gi£i to¡n câ 30 håc sinh tham gia. C¡c th½ sinh ph£i gi£i 3 b i
to¡n. B i thù nh§t câ 19 b¤n, b i thù 2 câ 15 b¤n, b i thù ba câ 18 b¤n gi£i ÷ñc. B i
thù nh§t v  thù hai câ 7 b¤n, b i thù nh§t v  thù ba câ 9 b¤n, b i thù hai v  thù ba câ 10
b¤n gi£i ÷ñc. C£ ba b i câ 3 b¤n gi£i ÷ñc. Häi câ bao nhi¶u b¤n khæng gi£i ÷ñc b i n o?
29. Lîp 12D câ 32 håc sinh. Lîp tr÷ðng ph£i l m thèng k¶ v· håc ngo¤i ngú cõa lîp.
Trong b£n thèng k¶ câ c¡c c¥u häi sau:
i. Lîp câ bao nhi¶u håc sinh?
6
Sigma - MATHS 4 NGUY–N LÞ DIRICHLET
ii. Bao nhi¶u håc sinh câ b¬ng B v· ti¸ng Anh?
iii. Bao nhi¶u håc sinh câ b¬ng B v· ti¸ng Ph¡p?
iv. Bao nhi¶u håc sinh câ b¬ng B v· ti¸ng ffiùc?
v. Bao nhi¶u håc sinh câ b¬ng B v· ½t nh§t mët trong ba ngo¤i ngú tr¶n?
vi. Bao nhi¶u håc sinh câ b¬ng B v· óng hai trong ba ngo¤i ngú tr¶n?
vii. Bao nhi¶u håc sinh câ b¬ng B v· óng mët trong ba ngo¤i ngú tr¶n?
viii. Bao nhi¶u håc sinh khæng câ b¬ng B tø mët trong ba ngo¤i ngú tr¶n?
Theo lîp tr÷ðng C¥u häi thù 8 l  khæng c¦n thi¸t.
a) H¢y x¡c ành c¡c gi¡ trà cõa c¡c c¥u häi cán l¤i n¶u bi¸t r¬ng c¡c c¥u tr£ líi l¦n l÷ñt
cho 6 c¥u häi ¦u l  : 32, 20, 15, 6, 2, 9 .
b) Ki hi»u c¥u tr£ líi thù y l  xi. H¢y biºu di¹n x7 v  x8 theo gi¡ trà cõa x1, x2, x3, x4,
x5, x6 .
30. Tø 1 ¸n 1200 câ bao nhi¶u sè nguy¶n d÷ìng bi¸t r¬ng c¡c sè â
a) Khæng chia h¸t cho 2
b) Khæng chia h¸t cho 3
c) Khæng chia h¸t cho c£ 2 v  3.
4 Nguy¶n lþ Dirichlet
31. Câ 70 vi¶n bi, trong â 20 ä, 20 xanh, 20 v ng v  trong m÷íi vi¶n cán l¤i câ v i
vi¶n en, sè cán l¤i l  m u tr­ng. Häi ph£i l§y ra ½t nh§t bao nhi¶u vi¶n bi º ch­c ch­n
trong sè l§y ra câ 10 vi¶n bi còng m u?
32. Câ 80 vi¶n bi, trong â 35 ä, 25 xanh, 15 v ng, 5 en. Ph£i l§y ra ½t nh§t bao nhi¶u
vi¶n bi º ch­c ch­n trong â câ
a) m u ä:
b) ä ho°c en
c) ä v  en
7
Sigma - MATHS 5 CC B€I TON TR–N B€N CÍ
d) hai m u kh¡c nhau
e) tø mët m u n o â câ ½t nh§t 3 vi¶n bi?
33. Câ G vi¶n bi, trong â câ: ffi vi¶n ä, X vi¶n xanh, V vi¶n v ng v  B vi¶n en.
a)Bi¸t r¬ng ph£i l§y ra ½t nh§t 5 vi¶n º ch­c ch­n giúa chóng câ m u ä. H¢y x¡c ành
gi¡ trà cõa B v  G n¸u bi¸t r¬ng X=1, V=2 v  ffi=3.
b) Bi¸t r¬ng ph£i l§y ra ½t nh§t 10 vi¶n º ch­c ch­n giúa chóng câ m u ä v  en. H¢y
x¡c ành gi¡ trà cõa V v  G n¸u bi¸t r¬ng ffi=2, B=3 v  X=4.
34. Trong mët thòng câ 4 lo¤i t¡o. Sè t¡o méi lo¤i nh÷ nhau. Têng cëng câ 100 qu£. Häi
ph£i l§y ra ½t nh§t bao nhi¶u qu£ º trong â câ mët lo¤i n o â câ 10 qu£?
35. Trong mët c¡i hëp câ c¡c æi t§t còng cï. 5 æi m u tr­ng, 10 æi en v  15 æi m u
n¥u. Häi ph£i l§y ra ½t nh§t bao nhi¶u chi¸c t§t câ thº câ mët æi ( khæng ph¥n bi»t tr¡i
- ph£i)?
36. Câ óng l  n¸u trong mët lîp câ 37 håc sinh th¼ câ 4 håc sinh câ ng y sinh còng mët
th¡ng ?
37. Mët th nh phè c¦n câ bao nhi¶u d¥n sè º tçn t¤i hai ng÷íi câ h m r«ng gièng
nhau?(còng và tr½ cán hay m§t  méi ng÷íi câ thº câ khæng qu¡ 36 c¡i r«ng).
38. Têng cõa 50 sè nguy¶n d÷ìng æi mët kh¡c nhau b¬ng 2496. CMR giúa chóng câ ½t
nh§t 2 sè ch®n?
39. CMR giúa 7 sè ch½nh ph÷ìng luæn tçn t¤i hai sè câ hi»u chia h¸t cho 10.
40. Câ thº cho nhi·u nh§t bao nhi¶u sè nguy¶n d÷ìng sao cho têng ho°c hi»u cõa b§t k¼
hai sè n o trong chóng ·u khæng chia h¸t cho 7?
5 C¡c b i to¡n tr¶n b n cí
41. Câ bao nhi¶u c¡ch °t mët qu¥n cí l¶n b n cí?
42. Câ bao nhi¶u c¡ch °t 2 qu¥n xe l¶n b n cí sao cho chóng khæng «n l¨n nhau?
43. Câ thº °t nhi·u nh§t bao nhi¶u con xe l¶n b n cí sao cho chóng khæng «n l¨n nhau?
44. T¡m qu¥n xe câ bao nhi¶u c¡ch °t l¶n b n cí sao cho khæng câ hai qu¥n n o câ thº
«n l¨n nhau?
45. Nhi·u nh§t bao nhi¶u qu¥n
8
Sigma - MATHS 5 CC B€I TON TR–N B€N CÍ
a) M¢
b) T֖ng
c) Qu¥n hªu
Câ thº °t l¶n b n cí sao cho chóng khæng thº «n nhau ?
46. H¢y x¸p l¶n b n câ c ng ½t c ng tèt qu¥n. . .
a) Qu¥n vua
b) Qu¥n hªu
Sao cho n¸u ch¿ c¦n th¶m mët qu¥n th¼ s³ câ nhúng qu¥n «n nhau?
47. Tr¶n b n cí ð c¡c æ a1, b2, c3, d4 méi cæ câ mët qu¥n cí ang ùng. H¢y c­t b n cí
th nh bèn ph¦n tròng kh½t l¶n nhau sao cho méi h¼nh câ mët qu¥n cí.
48. a) ffi°t mët con c¡nh cam l¶n mët æ n o â cõa b n cí. Con c¡nh cam câ thº i b¬ng
c¡ch dàch chuyºn sang c¡c æ chung c¤nh vîi æ nâ ang ùng sao cho ð méi ¿nh i qua v 
i óng mët l¦n º cuèi còng quay l¤i æ xu§t ph¡t ¦u ti¶n ( duy nh§t æ câ m°t 2 l¦n).
b) Suy luªn b i to¡n vîi b n cí k½ch th÷îc kxn?
c) Suy luªn b i to¡n trong khæng gian vîi h¼nh hëp chú nhªt ÷ñc gh²p tø nhúng h¼nh
lªp ph÷ìng câ c¤nh ìn và. (Hai h¼nh lªp ph÷ìng gåi l  c¤nh nhau n¸u câ m°t chung).
49. Mët con m¢ xu§t ph¡t tø æ b2. Ph£i c¦n ½t nh§t bao nhi¶u b÷îc º nâ ¸n ÷ñc æ e8 ?
50. Mët con m¢ xu§t ph¡t tø æ b2. Nâ câ thº ¸n æ cuèi còng l  e7 khæng n¸u ph£i i
qua t§t c£ c¡c æ?
9
Sigma - MATHS 6 TÊ HÑP - HœNH HÅC
6 Tê hñp - H¼nh håc
51. Tr¶n m°t ph¯ng n iºm câ th¸ x¡c ành nhi·u nh§t bao nhi¶u ÷íng th¯ng nèi c¡c
¿nh vîi nhau? L m vîi c¡c tr÷íng hñp n = 5, 6, 10, k.
52. 7 iºm tr¶n m°t ph¯ng c¦n ph£i s­p x¸p th¸ n o º chóng t¤o ÷ñc 9 ÷íng th¯ng?
53. H¢y l§y 7 iºm tr¶n m°t ph¯ng sao cho khi nèi chóng æi mët vîi nhau ta ÷ñc 14
÷íng th¯ng ph¥n bi»t.
54. 4 ÷íng trán v  3 ÷íng th¯ng c­t nhau nhi·u nh§t t¤i bao nhi¶u iºm?
55. Cho tr÷îc mët v i iºm tr¶n m°t ph¯ng. Nèi b§t k¼ 2 iºm vîi nhau b¬ng c¡c ÷íng
th¯ng, ta nhªn ÷ñc 153 ÷íng th¯ng kh¡c nhau. Häi ½t nh§t ph£i c¦n bao nhi¶u iºm?
56. Mët n-gi¡c lçi câ bao nhi¶u ÷íng ch²o?
57. Mët a gi¡c lçi câ 189 ÷íng ch²o. ffia gi¡c â câ bao nhi¶u ¿nh?
58. Cho 5 iºm tr¶n m°t ph¯ng. Qua ba iºm b§t k¼ ta v³ mët váng trán, häi s³ nhªn
÷ñc bao nhi¶u váng trán kh¡c nhau? Cho t§t c£ c¡c tr÷íng hñp câ thº?
59. H¢y x¸p c ng nhi·u iºm tr¶n m°t ph¯ng sao cho b§t cù 3 iºm n o giúa chóng ·u
l  ¿nh cõa mët tam gi¡c c¥n!
60. Chu vi cõa hai h¼nh löc gi¡c c­t nhau nhi·u nh§t t¤i bao nhi¶u iºm?
10
Sigma - MATHS 7 TRÁ CHÌI  GAMES
7 Trá chìi  Games
61. Tr¶n l÷îi æ vuæng m x n câ hai ng÷íi chìi. Méi l¦n méi ng÷íi câ thº g¤ch mët æ
trèng, ho°c g¤ch hai æ c¤nh nhau cán trèng. Ng÷íi n o g¤ch æ cuèi còng ng÷íi â th­ng.
Ng÷íi n o câ thº câ chi¸n l÷ñc º luæn chi¸n th­ng? Ng÷íi b÷îc ¦u ti¶n hay ng÷íi b÷îc
sau?
H¢y gi£ b i to¡n trong c¡c tr÷íng hñp:
a) L÷îi æ vuæng 1 x 9
b) L÷îi æ vuæng 1 x 10
c) L÷îi æ vuæng 5 x 5
62. Ng÷íi ta °t l¶n b n cí (8x8) mët con t÷îng æng. Hai ng÷íi thay nhau i. Méi ng÷íi
mët l¦n i câ thº b÷îc ch¿ v· ph½a tr¡i, b÷îc xuèng ho°c b÷îc theo ÷íng ch²o v· ph½a
tr¡i v  i xuèng. Ng÷íi th­ng l  ng÷íi i ¸n gâc d÷îi còng b¶n tr¡i ¦u ti¶n. Ai câ chi¸n
l÷ñc luæn luæn th­ng? N¶n chìi th¸ n o ?
63. Hai ng÷íi chìi. Ng÷íi thù nh§t nâi sè 1, ng÷íi thù 2 nèi sè 2, sau â hai ng÷íi thay
êi nhau nâi mët sè lîn hìn sè vøa ÷ñc nâi tr÷îc â ½t nh§t 1 ìn và nh÷ng khæng v÷ñt
qu¡ 2 l¦n sè â. Ng÷íi th­ng l  ng÷íi nâi sè 100 tr÷îc nh§t. Câ chi¸n l÷ñc º ai â luæn
th­ng trªn khæng?
64. Câ ba n­m säi nhä, trong chóng câ 1, 2, 3 vi¶n säi. Hai ng÷íi thay nhau bèc säi,
nh÷ng méi l¦n ch¿ ÷ñc bèc tø mët n­m. Ng÷íi bèc vi¶n säi cuèi còng l  ng÷íi th­ng
trªn. Câ chi¸n l÷ñc º ai â luæn th­ng trªn khæng?
65. Câ 10 çng ti·n kim lo¤i ÷ñc x¸p th nh váng trán v  m°t sè quay l¶n tr¶n. Hai
ng÷íi chìi lªt m°t c¡c çng ti·n tø sè chuyºn sang chú. Méi l¦n i ng÷íi ¸n l÷ñt ÷ñc
lªt mët ho°c hai çng ùng c¤nh nhau. Ng÷íi th­ng l  ng÷íi lªt cuèi còng. Ai l  ng÷íi
câ chi¸n thuªt th­ng trªn? V  n¶n chìi nh÷ th¸ n o?
66. Ng÷íi ta °t mæt con xe l¶n b n cí 5x7. Hai ng÷íi chìi. Hå câ thº di chuyºn qu¥n
xe sang tr¡i ho°c i xuèng ( sè æ tòy th½ch). Ng÷íi th­ng trªn l  ng÷íi dçn ÷ñc con xe
v o gâc tr¡i ph½a d÷îi. Ai câ chi¸n thuªt th­ng trªn? N¶n chìi th¸ n o?
67. Ng÷íi ta °t mët con t÷îng b n l¶n b n cí 5x7. Hai ng÷íi chìi. Hå câ thº di chuyºn
qu¥n xe sang tr¡i ho°c i xuèng ho°c i theo ÷íng ch²o ( sè æ tòy th½ch). Ng÷íi th­ng
trªn l  ng÷íi dçn ÷ñc con xe v o gèc tr¡i ph½a d÷îi. Ai câ chi¸n thu¥t th­ng trªn? N¶n
chìi th¸ n o?
68. Tr¶n b n câ 40 que di¶m.hai ng÷íi chìi méi l¦n câ thº l§y tø 2,3,4, 5 que. Ng÷íi l§y
cuèi còng th­ng cuëc. Ai câ chi¸n thuªt th­ng trªn? N¶n chìi th¸ n o?
69. Hai ng÷íi chìi thay êi nhau méi ng÷íi nâi mët sè nguy¶n. Ng÷íi b­t ¦u nâi sè 1,
ng÷íi ti¸p theo sau â ph£i nâi sè lîn hìn sè vøa ÷ñc nâi tr÷îc â ½t nh§t 1 ìn và nh÷ng
11
Sigma - MATHS 8 QUI N„P
khæng ÷ñc lîn hìn têng cõa sè vøa nâi v  têng c¡c chú sè cõa sè n y. Ng÷íi th­ng trªn
l  ng÷íi nâi sè 100. Ai câ chi¸n l÷ñc º chi¸n th­ng?
70. Hai ng÷íi chìi x¸p çng ti·n 1 USD l¶n mët c¡i b n h¼nh chú nhªt. C¡c çng ti·n
khæng ÷ñc ± l¶n nhau. Ng÷íi x¸p cuèi còng l  ng÷íi th­ng trªn. Câ n¶n nhªn vai trá
b­t ¦u khæng? B¤n s³ chìi th¸ n o?
8 Qui n¤p
71. Ð trung t¥m Tinh T÷îng trong buêi têng k¸t ni¶n håc ng÷íi ta nhªn th§y r¬ng
thæng th÷íng buêi håc ¦u n«m ch÷a thº d¤y ÷ñc, v¼ th¸ nhi·u ng÷íi · nghà bä buêi
håc ¦u n«m cho ti¸t ki»m. Häi vi»c g¼ s³ x£y ra?
72. Ch¥u ch§u -Nh  væ àch  hçi t÷ðng l¤i nhúng ngay ¦u khði nghi»p: Trong buêi
luy»n tªp ¦u ti¶n tæi ¢ nh£y qua 10cm. Tæi nghi»m th§y r¬ng, n¸u ¢ nh£y qua ÷ñc
x cm, th¼ vîi sü tªp trung tèt hìn, tªp trung sùc cao hìn tæi công nh£y qua ÷ñc ë cao
(x+1) cm. Tr¶n cì sð n y b¤n suy ra i·u g¼ ?
73. a) Câ thº c­t mët h¼nh vuæng th nh 10 h¼nh vuæng nhä? C¡c h¼nh vuæng câ thº câ
k½ch th÷îc kh¡c nhau.
b) Câ thº c­t mët h¼nh vuæng th nh 1234567 h¼nh vuæng nhä ?
74. Câ thº c­t mët h¼nh tam gi¡c th nh n (n>5) h¼nh tam gi¡c con çng d¤ng vîi h¼nh
tam gi¡c ban ¦u?
75. Nhúng gi¡ trà lôy thøa n o cõa 10 câ thº ph¥n t½ch ÷ñc th nh têng cõa hai sè ch½nh
ph֓ng?
76. C¡c ÷íng th¯ng chia m°t ph¯ng th nh c¡c mi·n kh¡c nhau. Câ thº dòng hai m u
sìn c¡c mi·n n y sao cho cù hai mi·n câ trung c¤nh (bi¶n giîi) th¼ câ m¦u kh¡c nhau?
77. Sau gi£i bâng b n §u váng trán, ng÷íi ta muèn s­p s¸p c¡c tuyºn thõ th nh h ng
dåc theo qui t­c: Ng÷íi ùng sau luæn thua ng÷íi ùng trüc ti¸p tr÷îc hå, t§t nhi¶n ngo¤i
trø ng÷íi ùng ¦u ti¶n. Häi câ thº luæn luæn thüc hi»n ÷ñc vi»c n y?
78. C¡c sè 1,2,3,. . . ,n ÷ñc x­p x¸p theo mët thù tü n o â. Hai sè trong d¢y câ t¼nh
tr¤ng ng÷ñc nhau n¸u sè lîn ùng tr÷îc sè b².
a) CMR vîi n=7 tçn t¤i mët s­p x¸p cõa c¡c sè m  méi sè câ t¼nh tr¤ng ng÷ñc vîi 2 sè
kh¡c.
b) Vîi n b¬ng bao nhi¶u th¼ tçn t¤i mët s­p x¸p cõa c¡c sè m  méi sè câ t¼nh tr¤ng ng÷ñc
vîi 3 sè kh¡c.
79. Mët tªp hñp n ph¦n tû. Häi câ bao nhi¶u tªp con?
12
Sigma - MATHS 9 MINI COMBINATORICS
80. CMR vîi måi n mët tªp câ n ph¦n tû th¼ sè tªp con câ sè ch®n ph¦n tû b¬ng sè sè
tªp con câ sè l´ ph¦n tû.
9 Mini Combinatorics
81. Câ bao nhi¶u sè câ 2 chú sè m  chú sè thù 2 ( h ng ìn và ) l  sè l´?
82. Câ bao nhi¶u sè câ 2 chú sè, m  trong c¡c chú sè cõa nâ câ ½t nh§t mët sè l´?
83. Câ bao nhi¶u sè câ 3 chú sè m  trong c¡c chú sè cõa nâ câ sè 0?
84. Câ bao nhi¶u sè câ 4 chú sè m  giúa c¡c chú sè cõa nâ câ chú sè tròng l°p ( v½ dö:
2231, 1244, 3559)
85. Giúa c¡c sè câ 3 chú sè c¡c sè m  c¡c chú sè cõa nâ ·u l´ nhi·u hìn hay ½t hìn c¡c
sè m  c¡c chú sè ·u ch®n? T¤i sao?
86. Câ bao nhi¶u sè câ ba chú sè m  sè c¡c chú sè l´ cõa chóng l  sè l´?
87. Câ bao nhiºu sè câ 5 chú sè m  åc ng÷ñc ( tø ph£i sang tr¡i) ta ÷ñc ch½nh sè â (
èi xùng)?
88. Câ bao nhi¶u sè câ ba chú sè m  têng c¡c chú sè b¬ng 6?
89. Câ bao nhi¶u sè câ 3 chú sè, m  têng c¡c chú sè cõa nâ nhä hìn 4?
90. Câ bao nhi¶u sè nhä hìn 2016, chia h¸t cho 3 v  c¡c sè khæng chùa c¡c chú sè cõa sè
2016?
91. Câ bao nhi¶u c¡ch chån ra 3 sè kh¡c nhau nhä hìn 30 v  têng cõa chóng l  sè ch®n ?
92. Mët h¼nh vuæng méi c¤nh ÷ñc chia th nh 7 ph¦n b¬ng nhau. Câ bao nhi¶u tam gi¡c
m  c¡c ¿nh l  c¡c iºm chia c¡c c¤nh nâi tr¶n (khæng t½nh c¡c ¿nh cõa h¼nh vuæng)?
93. Cho 6 iºm tr¶n m°t ph¯ng, khæng câ 3 iºm n o th¯ng h ng. Tø c¡c iºm n y câ
bao nhi¶u tù gi¡c câ thº chån?
94. Mët con ch¥u ch§u nh£y nhât tr¶n ÷íng th¯ng sè. Méi b÷îc nh£y cõa nâ câ chi·u
d i mët ìn và. Nâ muèn nh©y tø iºm 0 ¸n iºm 5 b¬ng 9 b÷îc. Häi câ bao nhi¶u c¡ch?
95. 5 b¤n nú v  3 b¤n nam chia th nh 2 ëi chìi bâng rê. Häi câ bao nhi¶u c¡ch n¸u ëi
13
Sigma - MATHS 9 MINI COMBINATORICS
n o công câ ½t nh§t mët b¤n nam?
96. Tø 7 ng÷íi  n æng v  4 ng÷íi  n b  ph£i chån ra mët ëi 6 ng÷íi trong â câ ½t
nh§t 2 ng÷íi  n b . Häi câ bao nhi¶u c¡ch?
97. Câ bao nhi¶u bë sè {a, b, c} sao cho a.b.c=2310 ?
98. Trong phong câ 10 ngån ±n. Méi c¡i ·u câ thº t­t s¡ng ëc lªp. Häi câ bao nh