100 Bài Hình học ôn thi vào THPT

Hình học ơn thi vào thpt
Bài 1: 
Cho DABC cĩ các đường cao BD và CE. Đường thẳng DE cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác tại hai điểm M và N. 
Chứng minh:BEDC nội tiếp. 
Chứng minh:. 
Chứng minh: DE song song với tiếp tuyến tai A của đường trịn ngoại tiếp tam giác. 
Gọi O là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh: OA là phân giác của gĩc. 
Chứng tỏ: AM2=AE. AB.
Bài 2: 
 Cho(O) đường kính AC. trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường trịn tâm O’, đường kính BC. Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Từ M vẽ dây cung DE vuơng gĩc với AB;DC cắt đường trịn tâm O’ tại I. 
 1. Tứ giác ADBE là hình gì?
 2. C/m DMBI nội tiếp. 
 3. C/m B;I;E thẳng hàng và MI=MD. 
 4. C/m MC. DB=MI. DC
 5. C/m MI là tiếp tuyến của (O’)
Bài 3:
 Cho DABC cĩ =1v. Trên AC lấy điểm M sao cho AM < MC. Vẽ đường trịn tâm O đường kính CM cắt BC tại E;đường thẳng BM cắt (O) tại D;AD kéo dài cắt (O) tại S. 
C/m BADC nội tiếp. 
BC cắt (O) ở E. Cmr:MD là phân giác của . 
C/m CA là phân giác của gĩc BCS. 
Hình 3
Bài 4: 
 Cho DABC cĩ = 1v. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM > MC. Dựng đường trịn tâm O đường kính MC; đường trịn này cắt BC tại E. Đường thẳng BM cắt (O) tại D và đường thẳng AD cắt (O) tại S. 
C/m ADCB nội tiếp. 
C/m ME là phân giác của gĩc AED. 
C/m: =. 
Chứng tỏ ME là phân giác của gĩc AED. 
C/m ba đường thẳng BA;EM;CD đồng quy. 
Bài 5:
 Cho tam giác ABC cĩ 3 gĩc nhọn và AB < AC nội tiếp trong đường trịn tâm O. Kẻ đường cao AD và đường kính AA’. Gọi E:F theo thứ tự là chân đường vuơng gĩc kẻ từ B và C xuống đường kính AA’. 
C/m AEDB nội tiếp. 
C/m DB. A’A=AD. A’C
C/m:DE ^ AC. 
Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh MD = ME = MF. 
Bài 6: 
 Cho DABC cĩ ba gĩc nhọn nội tiếp trong đường trịn tâm O. Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC. Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuơng gĩc kẻ từ M đến BC và AC. P là trung điểm AB;Q là trung điểm FE. 
 1 . C/m MFEC nội tiếp. 
 2 . C/m BM. EF=BA. EM
 3. C/M DAMP DFMQ. 
 4 . C/m = 90o. 
Bài 7:
 Cho (O) đường kính BC,điểm A nằm trên cung BC. Trên tia AC lấy điểm D sao cho AB=AD. Dựng hình vuơng ABED;AE cắt (O) tại điểm thứ hai F;Tiếp tuyến tại B cắt đường thẳng DE tại G. 
C/m BGDC nội tiếp. Xác định tâm I của đường trịn này. 
C/m DBFC vuơng cân và F là tâm đường trịn ngoại tiếp DBCD. 
C/m GEFB nội tiếp. 
Chứng tỏ:C;F;G thẳng hàng và G cùng nằm trên đường trịn ngoại tiếp DBCD. Cĩ nhận xét gì về I và F
Bài 8:
	Cho DABC cĩ 3 gĩc nhọn nội tiếp trong (O). Tiếp tuyến tại B và C của đường trịn cắt nhau tại D. Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường này cắt đường trịn ở E và F,cắt AC ở I(E nằm trên cung nhỏ BC). 
C/m: BDCO nội tiếp. 
C/m: DC2 = DE. DF. 
C/m: DOIC nội tiếp. 
Chứng tỏ I là trung điểm FE. 
Bài 9:
 Cho (O),dây cung AB. Từ điểm M bất kỳ trên cung AB(M¹A và M¹B),kẻ dây cung MN vuơng gĩc với AB tại H. Gọi MQ là đường cao của tam giác MAN. 
C/m 4 điểm A;M;H;Q cùng nằm trên một đường trịn. 
C/m:NQ. NA=NH. NM
C/m MN là phân giác của gĩc BMQ. 
Hạ đoạn thẳng MP vuơng gĩc với BN;xác định vị trí của M trên cung AB để MQ. AN+MP. BN cĩ giác trị lớn nhấ
Bài 10:
 Cho (O;R) và (I;r) tiếp xúc ngồi tại A (R> r) . Dựng tiếp tuyến chung ngồi BC (B nằm trên đường trịn tâm O và C nằm trên trên đường trịn tâm (I). Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến tại A của hai đường trịn ở E. 	
1 . Chứng minh tam giác ABC vuơng ở A. 	
2 . O E cắt AB ở N ; IE cắt AC tại F . Chứng minh N;E;F;A cùng nằm trên một đường trịn . 
3. Chứng tỏ : BC2= 4 Rr
4 . Tính tích tích tứ giác BCIO theo R;r 
Bài 11:
 Trên hai cạnh gĩc vuơng xOy lấy hai điểm A và B sao cho OA=OB. Một đường thẳng qua A cắt OB tại M (M nằm trên đoạn OB). Từ B hạ đường vuơng gĩc với AM tại H,cắt AO kéo dài tại I. 
C/m OMHI nội tiếp. 
Tính gĩc OMI. 
Từ O vẽ đường vuơng gĩc với BI tại K. C/m OK=KH
Tìm tập hợp các điểm K khi M thay đổi trên OB. 
Bài 12:
 Cho (O) đường kính AB và dây CD vuơng gĩc với AB tại F. Trên cung BC lấy điểm M. Nối A với M cắt CD tại E. 
C/m: MA là phân giác của gĩc CMD. 
C/m: EFBM nội tiếp. 
Chứng tỏ: AC2 = AE. AM
Gọi giao điểm CB với AM là N;MD với AB là I. C/m NI//CD
Chứng minh N là tâm đường trịn nội tiếp DCIM
Bài 13:
 Cho (O) và điểm A nằm ngồi đường trịn. Vẽ các tiếp tuyến AB;AC và cát tuyến ADE. Gọi H là trung điểm DE. 
C/m A;B;H;O;C cùng nằm trên 1 đường trịn. 
C/m HA là phân giác của gĩc BHC. 
Gọi I là giao điểm của BC và DE. C/m AB2=AI. AH. 
BH cắt (O) ở P. C/m AE//CP. 
Bài 14:
 Cho (O) đường kính AB = 2R; xy là tiếp tuyến với (O) tại B. CD là 1 đường kính bất kỳ. Gọi giao điểm của AC; AD với xy theo thứ tự là M;N. 
CMR: MCDN nội tiếp. 
Chứng tỏ: AC. AM = AD. AN
Gọi I là tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác MCDN và H là trung điểm MN. 
CMR: AOIH là hình bình hành. 
Khi đường kính CD quay xung quanh điểm O thì I di động trên đường nào?
Bài 15:
 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường trịn tâm O. Gọi D là 1 điểm trên cung nhỏ BC. Kẻ DE;DF;DG lần lượt vuơng gĩc với các cạnh AB;BC;AC. Gọi H là hình chiêu của D lên tiếp tuyến Ax của (O). 
C/m AHED nội tiếp
Gọi giao điểm của AB với HD và với (O) là P và Q; ED cắt (O) tại M
 C/m: HA. DP=PA. DE
C/m: QM = AB
C/m: DE. DG = DF. DH
C/m: E;F;G thẳng hàng. 
Bài 16:
 Cho tam giác ABC cĩ =1v; AB < AC. Gọi I là trung điểm BC;qua I kẻ IK^BC (K nằm trên AC). Trên tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho MA = AK. 
Chứng minh:ABIK nội tiếp được trong đường trịn tâm O. 
C/m: 
Chứng tỏ: BC2= 2. AC. KC
AI kéo dài cắt đường thẳng BM tại N. Chứng minh AC = BN
C/m: NMIC nội tiếp. 
Hình 16
Bài 17:
 Cho (O) đường kính AB cố định, điểm C di động trên nửa đường trịn. Tia phân giác của gĩc ACB cắt (O) tai M. Gọi H;K là hình chiêu của M lên AC và CB. 
C/m: MOBK nội tiếp. 
Tứ giác CKMH là hình vuơng. 
C/m: H;O;K thẳng hàng. 
Gọi giao điểm HK và CM là I. Khi C di động trên nửa đường trịn thì I chạy trên đường nào?
Bài 18:
Cho hình chữ nhật ABCD cĩ chiều dài AB = 2a, chiều rộng BC = a. Kẻ tia phân giác của gĩc ACD, từ A hạ AH vuơng gĩc với đường phân giác nĩi trên. 
1. Chứng minh: AHDC nội tiếp trong đường trịn tâm O mà ta phải định rõ tâm và bán kính theo a. 
	2 . HB cắt AD tại I và cắt AC tại M;HC cắt DB tại N. Chứng tỏ HB = HC
	Và AB. AC = BH. BI
	3. Chứng tỏ MN song song với tiếp tuyến tại H của (O)
	4 . Từ D kẻ đường thẳng song song với BH;đường này cắt HC ở K và cắt (O) ở J. Chứng minh HOKD nội tiếp. 
Bài 19:
 Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB,bán kính OC ^ AB. Gọi M là 1 điểm trên cung BC. Kẻ đường cao CH của tam giác ACM. 
Chứng minh AOHC nội tiếp. 
Chứng tỏ DCHM vuơng cân và OH là phân giác của gĩc COM. 
Gọi giao điểm của OH với BC là I. MI cắt (O) tại D. 
 Cmr: CDBM là hình thang cân. 
BM cắt OH tại N. Chứng minh DBNI và DAMC đồng dạng,từ đĩ suy ra:
 BN. MC=IN. MA. 
H×nh 20
J
K
I
F
E
D
N
O
A
B
C
M
Bài 20:
 Cho D đều ABC nội tiếp trong (O;R). Trên cạnh AB và AC lấy hai điểm M;N sao cho BM=AN. 
Chứng tỏ DOMN cân. 
C/m :OMAN nội tiếp. 
BO kéo dài cắt AC tại D và cắt (O) ở E. C/m BC2+DC2=3R2. 
Đường thẳng CE và AB cắt nhau ở F. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt FC tại I;AO kéo dài cắt BC tại J. C/m BI đi qua trung điểm của AJ. 
Bài 21:
 Cho DABC (=1v) nội tiếp trong đường trịn tâm (O). Gọi M là trung điểm cạnh AC. Đường trịn tâm I đường kính MC cắt cạnh BC ở N và cắt (O) tại D. 
C/m ABNM nội tiếp và CN. AB=AC. MN. 
Chứng tỏ B,M,D thẳng hàng và OM là tiếp tuyến của (I). 
Tia IO cắt đường thẳng AB tại E. C/m BMOE là hình bình hành. 
C/m NM là phân giác của gĩc AND. 
Bài 22:
 Cho hình vuơng ABCD cĩ cạnh bằng a. Gọi I là điểm bất kỳ trên đường chéo AC. Qua I kẻ các đường thẳng song song với AB;BC,các đường này cắt AB;BC;CD;DA lần lượt ở P;Q;N;M. 
C/m INCQ là hình vuơng. 
Chứng tỏ NQ//DB. 
BI kéo dài cắt MN tại E;MP cắt AC tại F. C/m MFIN nội tiếp được trong đường trịn. Xác định tâm. 
Chứng tỏ MPQN nội tiếp. Tính diện tích theo a. 
C/m MFIE nội tiếp. 
Bài 23:
 Cho hình vuơng ABCD,N là trung điểm DC;BN cắt AC tại F,Vẽ đường trịn tâm O đường kính BN. (O) cắt AC tại E. BE kéo dài cắt AD ở M;MN cắt (O) tại I. 
C/m MDNE nội tiếp. 
Chứng tỏ DBEN vuơng cân. 
C/m MF đi qua trực tâm H của DBMN. 
C/m BI=BC và DIE F vuơng. 
5 . C/m: BM là đường trung trực của QH (H là giao điểm của BE và AB) và MQBN là thang cân
Bài 24:
 Cho DABC cĩ 3 gĩc nhọn (AB < AC). Vẽ đường cao AH. Từ H kẻ HK;HM lần lượt vuơng gĩc với AB;AC. Gọi J là giao điểm của AH và MK. 
C/m AMHK nội tiếp. 
C/m JA. JH=JK. JM
Từ C kẻ tia Cx ^với AC và Cx cắt AH kéo dài ở D. Vẽ HI;HN lần lượt vuơng gĩc với DB và DC. Cmr : 
C/m M;N;I;K cùng nằm trên một đường trịn. 
Bài 25:
 Cho DABC (=1v),đường cao AH. Đường trịn tâm H, bán kính HA cắt đường thẳng AB tại D và cắt AC tại E;Trung tuyến AM của DABC cắt DE tại I. 
Chứng minh D;H;E thẳng hàng. 
C/m BDCE nội tiếp. Xác định tâm O của đường trịn này. 
C/m: AM^DE. 
C/m AHOM là hình bình hành. 
Bài 26:
 Cho DABC cĩ 2 gĩc nhọn,đường cao AH. Gọi K là điểm đối xứng của H qua AB;I là điểm đối xứng của H qua AC. E;F là giao điểm của KI với AB và AC. 
Chứng minh AICH nội tiếp. 
C/m AI = AK
C/m các điểm: A;E;H;C;I cùng nằm trên một đường trịn. 
C/m CE;BF là các đường cao của DABC. 
Chứng tỏ giao điểm 3 đường phân giác của DHFE chính là trực tâm của DABC. 
Bài 27:
 Cho DABC (AB = AC) nội tiếp trong (O). Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC. Trên tia BM lấy điểm K sao cho MK = MC và trên tia BA lấy điểm D sao cho AD=AC. 
C/m: 
C/m BCKD nội tiếp. Xác định tâm của đường trịn này. 
Gọi giao điểm của DC với (O) là I. C/m: B;O;I thẳng hàng. 
C/m DI = BI 
Bài 28:
 Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong(O). Gọi I là điểm chính giữa cung AB (Cung AB khơng chứa điểm C;D). ID và IC cắt AB ở M;N. 
C/m D;M;N;C cùng nằm trên một đường trịn. 
C/m NA. NB=NI. NC
DI kéo dài cắt đường thẳng BC ở F;đường thẳng IC cắt đường thẳng AD ở E. C/m:EF//AB. 
C/m :IA2=IM. ID. 

Bài 29:
 Cho hình vuơng ABCD, trên cạnh BC lấy điểm E. Dựng tia Ax vuơng gĩc với AE, Ax cắt cạnh CD kéo dài tại F. Kẻ trung tuyến AI của DAEF, AI kéo dài cắt CD tại K. Qua E dựng đường thẳng song song với AB, cắt AI tại G. 
C/m AECF nội tiếp. 
C/m: AF2=KF. CF
C/m:EGFK là hình thoi. 
Cmr:khi E di động trên BC thì EK=BE+DK và chu vi DCKE cĩ giá trị khơng đổi. 
Gọi giao điểm của EF với AD là J. C/m:GJ ^ JK. 
Bài 30:
 Cho DABC. Gọi H là trực tâm của tam giác. Dựng hình bình hành BHCD. Gọi I là giao điểm của HD và BC. 
C/m:ABDC nội tiếp trong đường trịn tâm O;nêu cách dựng tâm O. 
So sánh và. 
CH cắt OD tại E. C/m AB. AE=AH. AC
4. Gọi giao điểm của AI và OH là G. C/m G là trọng tâm của DABC. 
Bài 31:
 Cho (O) và sđ= 90o. C là một điểm tuỳ ý trên cung lớn AB. Các đường cao AI;BK;CJ của DABC cắt nhau ở H. BK cắt (O) ở N; AH cắt (O) tại M. BM và AN gặp nhau ở D. 
C/m:B;K;C;J cùng nằm trên một đường trịn. 
C/m: BI. KC=HI. KB
C/m:MN là đường kính của (O)
C/m ACBD là hình bình hành. 
C/m:OC // DH. 
Bài 32:
 Cho hình vuơng ABCD. Gọi N là một điểm bất kỳ trên CD sao cho CN < ND;Vẽ đường trịn tâm O đường kính BN. (O) cắt AC tại F;BF cắt AD tại M;BN cắt AC tại E. 
C/m BFN vuơng cân. 
C/m:MEBA nội tiếp 
Gọi giao điểm của ME và NF là Q. MN cắt (O) ở P. C/m B;Q;P thẳng hàng. 
Chứng tỏ ME//PC và BP=BC. 
C/m DFPE là tam giác vuơng
Bài 33:
 Trên đường trịn tâm O lần lượt lấy bốn điểm A;B;C;D sao cho AB=DB; AB và CD cắt nhau ở E. BC cắt tiếp tuyến tại A của đường trịn(O) ở Q;DB cắt AC tại K. 
Cm: CB là phân giác của gĩc ACE. 
C/m: AQEC nội tiếp. 
C/m: KA. KC=KB. KD
C/m: QE//AD. 
Bài 34:
 Cho (O) và tiếp tuyến Ax. Trên Ax lấy hai điểm B và C sao cho AB=BC. Kẻ cát tuyến BEF với đường trịn. CE và CF cắt (O) lần lượt ở M và N. Dựng hình bình hành AECD. 
C/m:D nằm trên đường thẳng BF. 
C/m ADCF nội tiếp. 
C/m: CF. CN=CE. CM
C/m:MN//AC. 
Gọi giao điểm của AF với MN là I. Cmr:DF đi qua trung điểm của NI. 
Bài 35:
 Cho (O;R) và đường kính AB;CD vuơng gĩc với nhau. Gọi M là một điểm trên cung nhỏ CB. 
C/m:ACBD là hình vuơng. 
AM cắt CD ;CB lần lượt ở P và I. Gọi J là giao điểm của DM và AB. C/m IB. IC=IA. IM
Chứng tỏ IJ//PD và IJ là phân giác của gĩc CJM. 
Tính tích tích DAID theo R. 
Bài 36:
 Cho DABC (=1v). Kẻ AH^BC. Gọi O và O’ là tâm đường trịn nội tiếp các tam giác AHB và AHC. Đường thẳng O O’ cắt cạnh AB;AC tại M;N. 
C/m: D OHO’ là tam giác vuơng. 
C/m:HB. HO’=HA. HO
C/m: DHOO’ DHBA. 
C/m:Các tứ giác BMHO;HO’NC nội tiếp. 
C/m DAMN vuơng cân. 
Bài 37:
 Cho nửa đường trịn O,đường kính AB=2R,gọi I là trung điểm AO. Qua I dựng đường thẳng vuơng gĩc với AB,đường này cắt nửa đường trịn ở K. Trên IK lấy điểm C,AC cắt (O) tại M;MB cắt đường thẳng IK tại D. Gọi giao điểm của IK với tiếp tuyến tại M là N. 
C/m:AIMD nội tiếp. 
C?m CM. CA=CI. CD. 
C/m ND=NC. 
Cb cắt AD tại E. C/m E nằm trên đường trịn (O) và C là tâm đường trịn nội tiếp DEIM. 
Giả sử C là trung điểm IK. Tính CD theo R. 
Bài 38:
 Cho DABC. Gọi P là một điểm nằm trong tam giác sao cho. Gọi H và K lần lượt là chân các đường vuơng gĩc hạ từ P xuống AB;AC. 
C/m AHPK nội tiếp. 
C/m HB. KP=HP. KC. 
Gọi D;E;F lần lượt là trung điểm của PB;PC;BC. Cmr:HD=EF; DF=EK
C/m:đường trung trực của HK đi qua F. 
Bài 39:
 Cho hình bình hành ABCD ( > 90o). Từ C kẻ CE;CF;CG lần lượt vuơng gĩc với AD;DB;AB. 
C/m DEFC nội tiếp. 
C/m:CF2 = EF. GF. 
Gọi O là giao điểm AC và DB. Kẻ OI^CD. Cmr: OI đi qua trung điểm của AG
Chứng tỏ EOFG nội tiếp. 
Bài 40:
 Cho hai đường trịn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B. Các đường thẳng AO cắt (O); (O') lần lượt ở C và E;đường thẳng AO’ cắt (O) và (O’) lần lượt ở D và F. 
C/m:C;B;F thẳng hàng. 
C/m CDEF nội tiếp. 
Chứng tỏ DA. FE=DC. EA
C/m A là tâm đường trịn nội tiếp DBDE. 
Bài 41:
 Cho (O;R). Một cát tuyến xy cắt (O) ở E và F. Trên xy lấy điểm A nằm ngồi đoạn EF,vẽ 2 tiếp tuyến AB và AC với (O). Gọi H là trung điểm EF. 
Chứng tỏ 5 điểm:A;B;C;O;H cùng nằm trên một đường trịn. 
Đường thẳng BC cắt OA ở I và cắt đường thẳng OH ở K. C/m: OI. OA=OH. OK=R2. 
Khi A di động trên xy thì I di động trên đường nào?
C/m KE và KF là hai tiếp tyuến của (O)
Bài 42:
 Cho DABC (AB<AC) cĩ hai đường phân giác CM,BN cắt nhau ở D. Qua A kẻ AE và AF lần lượt vuơng gĩc với BN và CM. Các đường thẳng AE và AF cắt BC ở I;K. 
C/m AFDE nội tiếp. 
C/m: AB. NC = AN. BC
C/m: FE//BC
Chứng tỏ ADIC nội tiếp. 
Bài 43:
 Cho DABC(A=1v);AB=15;AC=20(cùng đơn vị đo độ dài). Dựng đường trịn tâm O đường kính AB và (O’) đường kính AC. Hai đường trịn (O) và (O’) cắt nhau tại điểm thứ hai D. 
Chứng tỏ D nằm trên BC. 
Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ DC. AM cắt DC ở E và cắt (O) ở N. C/m DE. AC=AE. MC
C/m AN=NE và O;N;O’ thẳng hàng. 
Gọi I là trung điểm MN. C/m gĩc OIO’=90o. 
Tính tích tích tam giác AMC. 
Bài 44:
 Trên (O;R),ta lần lượt đặt theo một chiều, kể từ điểm A một cung AB=60o, rồi cung BC = 90o và cung CD = 120o. 
C/m ABCD là hình thang cân. 
Chứng tỏ AC^DB. 
Tính các cạnh và các đường chéo của ABCD. 
Gọi M;N là trung điểm các cạnh DC và AB. Trên DA kéo dài về phía A lấy điểm P;PN cắt DB tại Q. C/m MN là phân giác của gĩc PMQ. 
Bài 45:
 Cho D đều ABC cĩ cạnh bằng a. Gọi D là giao điểm hai đường phân giác gĩc A và gĩc B của tam giác BC. Từ D dựng tia Dx vuơng gĩc với DB. Trên Dx lấy điểm E sao cho ED = DB (D và E nằm hai phía của đường thẳng AB). Từ E kẻ EF^BC. Gọi O là trung điểm EB. 
C/m AEBC và EDFB nội tiếp,xác định tâm và bán kính của các đường trịn ngoại tiếp các tứ giác trên theo a. 
Kéo dài FE về phía F,cắt (D) tại M. EC cắt (O) ở N. C/m EBMC là thang cân. Tính tích tích. 
c/m EC là phân giác của gĩc DAC. 
C/m FD là đường trung trực của MB. 
Chứng tỏ A;D;N thẳng hàng. 
Tính tích tích phần mặt trăng được tạio bởi cung nhỏ EB của hai đường trịn. 
Bài 46:
 Cho nửa đường trịn (O) đường kính BC. Gọi a là một điểm bất kỳ trên nửa đường trịn;BA kéo dài cắt tiếp tuyến Cy ở F. Gọi D là điểm chính giữa cung AC;DB kéo dài cắt tiếp tuyến Cy tại E. 
C/m BD là phân giác của gĩc ABC và OD//AB. 
C/m ADEF nội tiếp. 
Gọi I là giao điểm BD và AC. Chứng tỏ CI=CE và IA. IC = ID. IB. 
C/m gĩc 
Bài 47:
 Cho nửa đường trịn (O); Đường kính AD. Trên nửa đường trịn lấy hai điểm B và C sao cho cung AB < AC; AC cắt BD ở E. Kẻ EF^AD tại F. 
C/m: ABEF nội tiếp. 
Chứng tỏ: DE. DB=DF. DA. 
C/m:E là tâm đường trịn nội tiếp DCBF. 
Gọi I là giao điểm BD với CF. C/m BI2 = BF. BC - IF. IC
Bài 48:
 Cho (O) đường kính AB;P là một điểm di động trên cung AB sao cho PA<PB. Dựng hình vuơng APQR vào phía trong đường trịn. Tia PR cắt (O) tại C. 
C/m DACB vuơng cân. 
Vẽ phân giác AI của gĩc PAB(I nằm trên(O);AI cắt PC tại J. C/m 4 điểm J;A;Q;B cùng nằm trên một đường trịn. 
Chứng tỏ: CI. QJ=CJ. QP. 
CMR: Ba điểm P; Q; B thẳng hàng
Bài 49:
 Cho nửa (O) đường kính AB=2R. Trên nửa đường trịn lấy điểm M sao cho cung AM<MB. Tiếp tuyến với nửa đường trịn tại M cắt tia tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở D và C. 
Chứng tỏ ADMO nội tiếp. 
Chứng tỏ AD. BC = R2. 
Đường thẳng DC cắt đường thẳng AB tại N;MO cắt Ax ở F;MB cắt Ax ở E. Chứng minh: AMFN là hình thang cân. 
Xác định vị trí của M trên nửa đường trịn để DE = EF
Bài 50:
 Cho hình vuơng ABCD,E là một điểm thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng vuơng gĩc với DE ,đường này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K. 
Chứng minh:BHCD nội tiếp. 
Tính gĩc CHK. 
C/m KC. KD=KH. KB. 
Khi E di động trên BC thì H di động trên đường nào?
Bài 51:
Cho (O), từ một điểm A nằm ngồi đường trịn (O), vẽ hai tia tiếp tuyến AB và AC với đường trịn. Kẻ dây CD//AB. Nối AD cắt đường trịn (O) tại E. 
C/m ABOC nội tiếp. 
Chứng tỏ AB2=AE. AD. 
C/m gĩc và DBDC cân. 
CE kéo dài cắt AB ở I. C/m IA=IB. 
Hình 51
Bài 52:
 Cho DABC (AB=AC); BC=6; Đường cao AH=4(cùng đơn vị độ dài), nội tiếp trong (O) đường kính AA’. 
Tính bán kính của (O). 
Kẻ đường kính CC’. Tứ giác ACA’C’ là hình gì?
Kẻ AK^CC’. C/m AKHC là hình thang cân. 
Quay DABC một vòng quanh trục AH. Tính tích tích xung quanh của hình được tạio ra. 
Bài 53:
Cho(O) và hai đường kính AB; CD vuơng gĩc với nhau. Gọi I là trung điểm OA. Qua I vẽ dây MQ^OA (MỴ cung AC ; QỴ AD). Đường thẳng vuơng gĩc với MQ tại M cắt (O) tại P. 
C/m: a/ PMIO là thang vuơng. 
 b/ P; Q; O thẳng hàng. 
Gọi S là Giao điểm của AP với CQ. Tính Gĩc CSP. 
Gọi H là giao điểm của AP với MQ. Cmr: 
 a/ MH. MQ= MP2. 
 b/ MP là tiếp tuyến của đường trịn ngoại tiếp DQHP. 
Bài 54:
 Cho (O;R) và một cát tuyến d khơng đi qua tâm O. Từ một điểm M trên d và ở ngồi (O) ta kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với trênờmg trịn; BO kéo dài cắt (O) tại điểm thứ hai là C. Gọi H là chân đường vuơng gĩc hạ từ O xuống d. Đường thẳng vuơng gĩc với BC tại O cắt AM tại D. 
C/m A; O; H; M; B cùng nằm trên 1 đường trịn. 
C/m AC//MO và MD=OD. 
Đường thẳng OM cắt (O) tại E và F. Chứng tỏ MA2=ME. MF
Xác định vị trí của điểm M trên d để DMAB là tam giác đều. Tính tích tích phần tạio bởi hai tia tiếp tuyến với đường trịn trong trưđường hợp này. 
Bài 55:
 Cho nửa (O) đường kính AB, vẽ các tiếp tuyến Ax và By cùng phía với nửa đường trịn. Gọi M là điểm chính giữa cung AB và N là một điểm bất kỳ trên đoạn AO. Đường thẳng vuơng gĩc với MN tại M lần lượt cắt Ax và By ở D và C. 
C/m: . 
C/m: DANM = DBMC. 
DN cắt AM tại E và CN cắt MB ở F. C/m FE^Ax. 
Chứng tỏ M củng là trung điểm DC. 
Bài 56: 
 Từ một điểm M nằm ngồi (O) kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường trịn. Trên cung nhỏ AB lấy điểm C và kẻ CD^AB; CE^MA; CF^MB. Gọi I và K là giao điểm của AC với DE và của BC với DF. 
C/m AECD nội tiếp. 
C/m: CD2 = CE. CF
Cmr: Tia đối của tia CD là phân giác của gĩc FCE. 
C/m: IK//AB. 
Bài 57:
 Cho (O; R) đường kính AB, Kẻ tiếp tuyến Ax và trên Ax lấy điểm P sao cho P > R. Từ P kẻ tiếp tuyến PM với đường trịn. 
C/m BM/ / OP. 
Đường vuơng gĩc với AB tại O cắt tia BM tại N. C/m OBPN là hình bình hành. 
AN cắt OP tại K; PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau ở J. C/m I; J; K thẳng hàng. 
Bài 58:
Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB; đường thẳng vuơng gĩc với AB tại O cắt nửa đường trịn tại C. Kẻ tiếp tuyến Bt với đường trịn. AC cắt tiếp tuyến Bt tại I. 
C/m DABI vuơng cân
Lấy D là 1 điểm trên cung BC, gọi J là giao điểm của AD với Bt. C/m AC. AI=