10 Đề thi học sinh giỏi lớp 6 môn Toán

Đề thi học sinh giỏi lớp 6 – số 1 
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1 : (2 điểm) Cho biểu thức 
	a, Rút gọn biểu thức
	b, Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a, là một phân số tối giản.
Câu 2: (2 điểm) 
 Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số sao cho và 
Câu 3: (2 điểm)
	a. Chứng tỏ n2 + 2006 khụng phải là một số chính phương với mọi n
	b. Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n2 + 2006 là số nguyên tố hay là hợp số.
Câu 4: (3 điểm) 
	a. Cho a, b, n ẻ N* Hãy so sánh và 
	b. Cho A = ; B = . So sánh A và B.
Câu 5: (1 điểm) 
 Cho 2006 đường thẳng trong đó bất kì 2 đườngthẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng nào đồng qui. Tính số giao điểm của chúng.
-------------------------Hết ----------------------------
đề thi học sinh giỏi Toán 6 .2 
Thời gian làm bài: 120’
Bài 1 : (2đ)
 Cho p là một số nguyên tố lớn hơn 3; p+8 cũng là một số nguyên tố. Hỏi p+10 là số nguyên tố hay hợp số?
Bài 2 : (2đ)
 Chứng minh rằng một số tự nhiên khác không có số ước là một số lẻ thì số tự nhiên đó là một số chính phương.
Bài 3 : (2đ)
 Người ta viết các số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 đến 2006 liền nhau thành một số tự nhiên L . Hỏi số tự nhiên L có bao nhiêu chữ số.
Bài 4 : (2đ) 
 Có bao nhiêu chữ số gồm 3 chữ số trong đó có chữ số 4?
Bài 5: (2đ) 
 Cho 20 điểm, trong đó có a điểm thẳng hàng. Cứ 2 điểm, ta vẽ một đường thẳng. Tìm a , biết vẽ được tất cả 170 đường thẳng. 
đề thi học sinh giỏi Toán 6 .3 
Thời gian làm bài: 120’
Bài 1:(2đ)
 Một số tự nhiên chia cho 7 dư 5; chia cho 13 dư 4. Nếu đem chia số đó cho 91 thì dư bao nhiêu?
Bài 2:(2đ)
 Tìm x, biết:
	a) 5x = 125; 	b) 32x = 81 ; 	 c) 52x-3 – 2.52 = 52.3
Bài 3 :(2đ)
 Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng:
Bài 4: (1đ)
 Cho a là một số nguyên. Chứng minh rằng:
a) Nếu a dương thì số liền sau a cũng dương.
b) Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm.
c) Có thể kết luận gì về số liền trước của một số nguyên dương và số liền sau của một số nguyên âm? Minh họa trên trục số.
Bài 5: (3đ) 
 Cho 4 đường thẳng đôi một cắt nhau. Hỏi số giao điểm có thể là bao nhiêu? Vẽ hình minh họa lời giải.
-------------------------------------Hết đề thi ------------------------------------
đề thi học sinh giỏi Toán 6 .4 
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1: (2đ)
Tính xem:
a. Số abab gấp mấy lần ab ?
b. Số abcabc gấp mấy lần abc ?
c. Số A=anan-1...a0anan-1a0...a0 gấp mấy lần số B= anan-1a0...a0 ?
áp dụng: tính 456 . 789789 – 789 . 456456
Câu 2: (2đ)
Thực hiện các phép tính sau
a. 
b. 
Câu 3: (2đ)
Chứng tỏ rằng:
Câu 4: (2đ) 
	a. Tìm hai chữ số tận cùng của các số sau: 2100; 71991 
 	b.Tìm bốn chữ số tận cùng của số sau: 51992
Câu 5: (2đ)
 	a. Vẽ tam giác ABC biết BC = 5 cm; AB = 3cm ;AC = 4cm.
	b. Lấy điểm 0 ở trong tam giác ABC nói trên.Vẽ tia A0 cắt BC tại H, tia B0 cắt AC tại I, tia C0 cắt AB tại K. Trong hình đó có có bao nhiêu tam giác?
đề thi học sinh giỏi Toán 6 .5 
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (2 điểm)
 Cho dãy số lẻ 1, 3, 5, 7,...chứng minh rằng tổng của số lẻ đầu tiên là một số chính phương.
Bài 2 (2 điểm) 
Chứng minh rằng A chia hết cho 5
A = 9999931999 - 5555571997. 
Bài 3 (2 điểm)
Chứng tỏ rằng:
 + + + + + > 
Bài 4: (2điểm).
 Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: 
1+ 2+ 3+ .+ n = 
Bài 5 ; (2 điểm) 
	a, Cho 6 tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trong hình vẽ ? Vì sao.
	b, Vậy với n tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trong hình vẽ.
đề thi học sinh giỏi Toán 6 .6 
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề)
Bài 1(2 điểm).
Một dãy số cộng có 45 số hạng. Biết số hạng ở chính giữa là 50. Hãy xác định dãy số cộng.
Bài 2:(2 điểm). 
Cho S = 5 + 52 + 53 + + 52006
a. Tính S
b. Chứng minh S 126
Bài 3:(2 điểm). 
a.Chứng minh rằng : nếu thì : .
b.Cho A = Chứng minh : A 3 ; 7 ; 15.
Bài 4(2 điểm).
 Chứng minh : 
 < 1.
Bài 5 (2 điểm).
 a.Cho đoạn thẳng AB = 8cm. Điểm C thuộc đường thẳng AB sao cho BC = 4cm. Tính độ dài đoạn thẳng AC.
b. Hai đoạn thẳng AB và CD không cùng nằm trên một đường thẳng. Chúng có thể có mấy điểm chung? Vì sao?
đề thi học sinh giỏi Toán 6 .7 
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề)
Bài 1(2 điểm).
Tìm giá trị của số tự nhiên a để biểu thức M = 1000 – 400: (25 – a) có giá trị nhỏ nhất. Giá nhỏ nhất đó là bao nhiêu?
Bài 2:(2 điểm). 	
Chứng minh : Với kN* ta luôn có :
áp dụng tính tổng :
S = .
Bài 3:(2 điểm). 
Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho số đó chia cho 3 dư 1; chia cho 4 dư 2 ; chia cho 5 dư 3; chia cho 6 dư 4 và chia hết cho 11.
Bài 4(2 điểm).
Tìm các giá trị nguyên của n để phân số A = có giá trị là số nguyên.
Bài 5 (2 điểm).
 Trên tia 0x cho 4 điểm A, B, C, D. biết rằng A nằm giữa B và C; B nằm giữa C và D ; OA = 5cm; OD = 2 cm ; BC = 4 cm và độ dài AC gấp đôi độ dài BD. Tìm độ dài các đoạn BD; AC.
đề thi học sinh giỏi Toán 6 .8 
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (1 điểm)
Điền dấu thích hợp vào ô trống:
 Nếu ab và b10 a 10
Viết tập hợp M các số chẵn a thỏa mãn a 10
Có bao nhiêu số chẵn nhỏ hơn n (nN)
Bài 2: (2 điểm)
Cho A = 3 + 32 + 33 + 34 + 3100 chứng minh A chia hết cho 120.
Bài 3: (2 điểm)
Cho các số 0; 1; 3; 5; 7; 9. Hỏi có thể thiết lập được bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 5 từ sáu chữ số đã cho.
Bài 4: (2 điểm)
Tổng số trang của 8 quyển vở loại 1 ; 9 quyển vở loại 2 và 5 quyển vở loại 3 là 1980 trang. Số trang của một quyển vở loại 2 chỉ bằng số trang của 1 quyển vở loại 1. Số trang của 4 quyển vở loại 3 bằng số trang của 3 quyển vở loại 2. Tính số trang của mỗi quyển vở mỗi loại.
Bài 5: (1,5 điểm)
Cho có số đo bằng 1250. Vẽ tia oz sao cho = 350. Tính trong từng trường hợp.
Bài 6: (1,5 điểm)
Cho ba điểm A, B, C nằm ngoài đường thẳng a. Biết rằng cả hai đoạn thẳng BA, BC đều cắt đường thẳng a. Hỏi đường thẳng a có cắt đoạn thẳng AC không? Vì sao?
đề thi học sinh giỏi Toán 6 .9 
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (1,5đ) 
Cho a và b là hai số nguyên tố cùng nhau và a>b. Chứng minh rằng: 
(a, a+b)=1
(b, a-b) =1
Bài 2: (2.5đ) 
Với q, p là số nguyên tố lớn hơn 5 chứng minh rằng:
A=P4–q4 240
Bài 3: (2đ) 
Tìm các nguyên tố x, y thỏa mãn : (x-2)2 .(y-3) = - 4
Bài 4: (2đ) 
Tính tổng: B = 
Bài 5: (2đ) 
Cho hai tia 0x và 0y không đối nhau, tia 0z nằm giữa hai tia 0x, 0y; tia 0t nằm giữa hai tia 0x và 0z. Chứng tỏ rằng tia 0t nằm giữa hai tia 0x, 0y và tia 0z nằm giữa hai tia 0t và 0y.
đề thi học sinh giỏi Toán 6 .10 
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2đ) 
Tìm hai số tự nhiên biết rằng ƯSCLN của là 15 và phép chia liên tiếp của thuật toán Ơclit các thương lần lượt là 2; 15; 9 . 
Bài 2: (2đ) 
Chứng minh rằng với n N thì:
(34n + 4) 5
(anan-1...a3a2a1a0) - a2a1a0) 2; 4; 5; 25; 125.
Bài 3: (1,5đ) 
Tìm giá trị của số tự nhiên a để biểu thức M = 1000- 400:(25-a) có giá trị nhỏ nhất. Gía trị nhỏ nhất đó bằng bao nhiêu?
Bài 4: (2,5đ) 
Người ta viết liền nhau dãy số tự nhiên bắt đầu từ 1:
1 2 3 4 5 ... Hỏi số chữ số thứ 629 là chữ số nào ?
Bài 5: (2đ) 
Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia 0A xác định lần lượt các tia 0B, 0C sao cho = 300 , = 750
Tính ;
Gọi tia 0D là tia đối của tia 0B . Tính số đo góc kề bù với góc B0C.
Đáp án đề số 1
Câu 1 (2đ): Tỏch số hạng, nhúm, đặt thừa số chung và rỳt gọn ta được:
 = 
Điều kiện đúng a ≠ -1 ( 0,25 điểm).
Rút gọn đúng cho (0,75 điểm).
b.Gọi d là ước chung lớn nhất của a2 + a – 1 và a2+a +1 ( 0,25 điểm).
Vì a2 + a – 1 = a(a+1) – 1 là số lẻ, nên d là số lẻ
Mặt khác, 2 = [ a2+a +1 – (a2 + a – 1) ] d
Nên d = 1 tức là a2 + a + 1 và a2 + a – 1 nguyên tố cùng nhau.(0, 5 điểm)
Vậy biểu thức A là phân số tối giản. ( 0,25 điểm)
Câu 2: (2đ) 
	= 100a + 10 b + c = n2-1	(1)
 = 100c + 10 b + c = n2 – 4n + 4	(2) (0,5 điểm)
Từ (1) và (2) ị 99(a-c) = 4 n – 5 ị 4n – 5 99 (3) (0,5 điểm)
Mặt khác: 100 [ n2-1 [ 999 Û 101 [ n2 [ 1000 Û 11 [n[31 Û 39 [4n – 5 [ 119 (4) (0,5 điẻm)
 Từ (3) và (4) ị 4n – 5 = 99 ị n = 26
Vậy: = 675 (0, 5 điểm)
Câu 3: (2 đ)
Giả sử n2 + 2006 là số chính phương.
Khi đó ta đặt n2 + 2006 = a2 ( aẻ Z) Û a2 – n2 = 2006Û (a-n) (a+n) = 2006 (*) (0,5 điểm).
+ Thấy : Nếu a, n khác tính chất (a chẵn, n lẻ hoặc ngược lại) thì vế trái của (*) là số lẻ nên không thỏa mãn (*) (0,5 điểm).
+ Nếu a, n cùng tính chẵn hoặc lẻ thì (a-n)2 và (a+n) 2 nên vế trái chia hết cho 4 và vế phải không chia hết cho 4 nên không thỏa mãn (*) 
 (0,25 điểm).
Vậy không tồn tại n để n2 + 2006 là số chính phương. (0,5 điểm).
b) n là số nguyên tố > 3 nên không chia hết cho 3. Vậy n2 chia hết cho 3 dư 1 do đó n2 + 2006 = 3m + 1 + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hết cho 3.
Vậy n2 + 2006 là hợp số. (0,5 điểm).
Cõu 4: (3đ) 
a. (2đ)
Ta xét 3 trường hợp ;	 và	 (0,5 điểm).
TH1: 	 Û a=b thì a+n = b+n thì = =1. (0,5 điểm).
TH1: 	 Û a>b Û a+m > b+n. 
mà < nên < (0,5 điểm).
TH3: <1 Û a<b Û a+n < b+n.
=
Mà nờn (vế trỏi là 1 trừ số nhỏ, vế phải là 1 trừ số lớn) (0,5 điểm).
 b. (1đ)
 A = ; rõ ràng A< 1 ta đặt A= = <1 (0,5 điểm)
Ta lại thấy: B==
hay B = 
 Theo phần trờn thỡ
Vây A<B. (0,5 điểm)
Câu 5 (1đ): 
Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng còn lại tạo nên 2005 giao điểm.
 ( 0,25 điểm)
Mà có 2006 đường thẳng ị có : 2005x 2006 giao điểm. ( 0,25 điểm)
Nhưng mỗi giao điểm được tính 2 lần ị số giao điểm thực tế là:
(2005x 2006):2 = 1003x 2005 = 2011015 giao điểm. ( 0,5 điểm)