Toán học - Nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – CHẤT LƯỢNG BÀI GIẢNG: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM 1 | THBTN 
ⓣⓗⓑⓣⓝ 
Khái niệm nguyên hàm và tính chất 
1. Khái niệm nguyên hàm 
— h h ( )f x h .K H ( )F x g i nguyên hàm h 
 ( )f x trên K ( ) ( ), .F x f x x K 
— N ( )F x g h ( )f x trên K h h nguyên hàm h ( )f x 
trên K 
( ) ( ) , .f x dx F x C const C 
2. Tính chất N ( ), ( )f x g x 2 h i ụ K và 0k thì ta luôn có: 
 ( ) ( ) .f x dx f x C ( ) ( ) .kf x dx k f x dx 
 ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx 
 ảng nguyên hàm c m t hàm thƣ ng g p v i C à h ng t y 
 
1
1
x
x dx C 
11 ( )
( )
1
n
n ax bax b dx C
a n
 
1
lndx x C
x
1 1
lndx ax b C
ax b a
 
2
1 1
dx C
xx
2
1 1 1
( )
dx C
a ax bax b
 sin cosx dx x C 1sin( ) cos( )ax b dx ax b C
a
 cos sinx dx x C 1cos( ) sin( )ax b dx ax b C
a
 
2
1
cot
sin
dx x C
x
2
1 1
cot( )
sin ( )
dx ax b C
aax b
 
2
1
tan
cos
dx x C
x
2
1 1
tan( )
cos ( )
dx ax b C
aax b
 x xe dx e C 1ax b ax be dx e C
a
 
ln
x
x aa dx C
a
2 2
1
ln
2
dx x a
C
a x ax a
♦ Nhận xét. Khi thay x g ( )ax b h g h h h 
1
a
PHẦN 1: NGUYÊN HÀM VÀ PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 BÀI GIẢNG: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 
2 | THBT – CA GIÁO VIÊN CẦN FILE WORD LIÊN HỆ THẦY TÀI: 0977.413.341 
M t ƣu 
1. ầ ắ vữ g g g h . 
2. Ng h h h g hi h h g 
 h h g g h hữ g h h h hầ . 
3. M g h h h i h 
 hữ g h g h v g g 
h . 
Dạng toán 1. TÍNH NGUYÊN HÀM ẰNG ẢNG NGUYÊN HÀM 
ⓣⓗⓑⓣⓝ 
BÀI TẬP VẬN DỤNG 
a) 2( ) 3
2
a
f a a ĐS: 
2
3( ) .
4
a
F a a C 
b) 3( ) 2 5 7.f b b b ĐS: 
4 25
( ) 7 .
2 2
b b
F b b C 
1. T h hứ h ặ ũ hừ h i iể . 
2. T h h ũ h i iể he ô g hứ ũ. 
3. hứ ă h ể v ũ hừ . 
4. T h g gi ậ i v i h i iể he ô g hứ h h h 
 ổ g. 
5. Bậc chẵn c a sin và cosin Hạ bậc. 
Phƣơng Pháp 
Tìm nguyên hàm c a các hàm s gi ử i iệ h 
P ươ p áp: Dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số và vận dụng các tính chất 
nguyên hàm. 
Bài 1 
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – CHẤT LƯỢNG BÀI GIẢNG: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM 3 | THBTN 
c) 5 3 2( ) 6 12 8.f c c c c ĐS: 
3
6 4( ) 3 8 .
3
c
F x c c c C 
d) 2( ) ( 3 ) ( 1)f x x x x ĐS: 
4 3 22 3
( ) .
4 3 2
x x x
F x C 
e) 3( ) (3 ) .f x x ĐS: 
4(3 )
( ) .
4
x
F x C 
f) 2
2
1 1
( )
3
f x x
x
 ĐS: 
31
( ) .
3 3
x x
F x C
x
g) 2( ) 10 .xf x ĐS: 
210
( ) .
2 ln10
x
F x C 
h) 3
3
( ) 4f x x x
x
 ĐS: 
4
2( ) 2 3.ln .
4
x
F x x x C 
i) 
42 2
( )
t
f t
t
 ĐS: 3
2 2
( ) .
3
F t t C
t
j) 
2
1
( )
x
f x
x
 ĐS: 
1
( ) ln .F x x C
x
k) 2( ) 2 sin
2
x
f x ĐS: ( ) sin .F x x x C 
l) 2( ) cos .f x x ĐS: 
1 1
( ) sin2 .
2 4
F x x x C 
m) 2( ) tan .f x x ĐS: ( ) tan .F x x x C 
n) 
2 2
1
( )
sin .cos
f x
x x
 ĐS: ( ) 2cot2 .F x x C 
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 BÀI GIẢNG: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 
4 | THBT – CA GIÁO VIÊN CẦN FILE WORD LIÊN HỆ THẦY TÀI: 0977.413.341 
o) ( ) 2sin3 cos2 .f x x x ĐS: 
1
( ) cos5 cos .
5
F x x x C 
p) ( ) .( 1).x xf x e e ĐS: 2
1
( ) .
2
x xF x e e C 
q) 
2
( ) 2
cos
x
x ef x e
x
 ĐS: ( ) 2 tan .xF x e x C 
r) 3( ) .I x x dx ĐS: 
2
3
3
.
2
I x C 
s) 2
3 2
1
2I x dx
x
 ĐS: 33
2
3 .
3
I x x C 
t) 
3 5
1 3 5
2
I dx
x x x
 ĐS: 3 52 4
9 25
( ) .
2 4
F x x x x C 
u) 24 sin .I x dx ĐS: 2 sin2 .I x x C 
v) 
1 cos4
.
2
x
I dx ĐS: 
sin4
.
2 8
x x
I C 
w) 1(3cos 3 )xI x dx ĐS: 
13
3sin .
ln3
x
I x C 
x) 2(tan 2cot ) . .I x x dx ĐS: tan 4cot 9 .I x x x C 
y) 3 .( 4). .I u u du ĐS: 3 37 4
3
3 .
7
I u u C 
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – CHẤT LƯỢNG BÀI GIẢNG: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM 5 | THBTN 
a) 3 2( ) 5 4 7 120F x x x x và
2( ) 15 8 7.f x x x
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
b) 2( ) ln( 3)F x x x và
2
1
( ) .
3
f x
x
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
c) ( ) (4 5) xF x x e
và
( ) (4 1) .xf x x e
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
d) 4( ) tan 3 5F x x x
và
5 3( ) 4 tan 4 tan 3.f x x x
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
e) 
2
2
4
( ) ln
3
x
F x
x
và
2 2
2
( ) .
( 4) ( 3)
x
f x
x x
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
f) 
2
2
2 1
( ) ln
2 1
x x
F x
x x
 và
2
4
2 2( 1)
( ) .
1
x
f x
x
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
Chứng minh là m t nguyên hàm c a hàm s g ờng h p sau: 
P ươ p áp: Để là một nguyên hàm của hàm số ta cần chứng minh: 
Bài 2 
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 BÀI GIẢNG: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 
6 | THBT – CA GIÁO VIÊN CẦN FILE WORD LIÊN HỆ THẦY TÀI: 0977.413.341 
a) 3( ) 4 5, (1) 3.f x x x F ĐS: 
4
2 5( ) 5
4 4
x
F x x x 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
b) ( ) 3 5cos , ( ) 2.f x x F ĐS: ( ) 3 5sin 2 3 .F x x x 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
c) 
23 5
( ) , ( ) 1.
x
f x F e
x
 ĐS: 
2 25 5
( ) 3 ln 2.
2 2
x e
F x x 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
d) 
2 1 3
( ) , (1)
2
x
f x F
x
 ĐS: 
2
( ) ln 1.
2
x
F x x 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
e) 
1
( ) , (1) 2.f x x x F
x
 ĐS: 5
2 22
( ) 2
5 5
F x x x 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
f) sin2 .cos . ,I x x dx i 0.
3
F ĐS: 
1 1 1
( ) cos3 cos
6 2 12
F x x x 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
Tìm nguyên hàm c a các hàm s thỏ ã i u kiệ h ớ g ờng h p 
sau: 
P ươ p áp: Tìm nguyên hàm của hàm số tức đi tính 
 Rồi sau đó thế để tìm hằng số 
Bài 3 
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – CHẤT LƯỢNG BÀI GIẢNG: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM 7 | THBTN 
g) 
4 3
2
3 2 5
,
x x
I dx
x
 i (1) 2.F ĐS: 3 2
5
( ) 7.F x x x
x
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
h) 
3 2
2
3 3 7
,
( 1)
x x x
I dx
x
 i (0) 8.F ĐS: 
2 8
( )
2 1
x
F x x
x
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
i) 2sin ,
2
x
I dx i 
2 4
F ĐS: 
sin 1
( )
2 2 2
x x
F x 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
j) 
1
,I x x dx
x
 i 
7
(1)
2
F ĐS: 
3 13
( ) .
3 6
x
F x x 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
k) 
2
2
2cos 1
,
cos
x
I dx
x
 i 
4 2
F ĐS: ( ) 2 tan 1.F x x x 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
a) 
3 2
2
( ) (3 2) 4 3
( ) 3 10 4
F x mx m x x
f x x x
 ĐS: 1.m 
 ............................................................................................................................................................. 
T i u kiện c a tham s m hoặc a, b, c ể là m t nguyên hàm c a hàm s 
P ươ p áp: Để là một nguyên hàm của hàm số Từ 
đó, ta sử dụng đồng nhất thức để tìm ra tham số cần tìm. 
Bài 3 
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 BÀI GIẢNG: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 
8 | THBT – CA GIÁO VIÊN CẦN FILE WORD LIÊN HỆ THẦY TÀI: 0977.413.341 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
b) 
2
2
( ) ln 5
2 3
( )
3 5
F x x mx
x
f x
x x
 ĐS: 3.m 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
c) 
2( ) ( )
( ) ( 3)
x
x
F x ax bx c e
f x x e
 ĐS: 0, 1, 4.a b c 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
d) 
2 2
2 2
( ) ( )
( ) (2 8 7)
x
x
F x ax bx c e
f x x x e
 ĐS: 1, 3, 2.a b c 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
e) 
2
2
( ) ( )
( ) ( 3 2)
x
x
F x ax bx c e
f x x x e
 ĐS: 1, 1, 1.a b c 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
f) 
( ) ( 1)sin sin2 sin 3
2 3
( ) cos
b c
F x a x x x
f x x
 ĐS: 0.a b c 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – CHẤT LƯỢNG BÀI GIẢNG: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 
ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM 9 | THBTN 
g) 
2
2
( ) ( ) 2 3
20 30 7
( )
2 3
F x ax bx c x
x x
f x
x
 ĐS: 4, 2, 1.a b c 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
h) 
2
( ) 3 , ( 3)
( ) ( ) 3
f x x x x
F x ax bx c x
 ĐS: 
2 2 12
; ; 
5 5 5
a b c 
 ............................................................................................................................................................. 
 ............................................................................................................................................................. 
 ........................................................................