Đề thi khảo sát học sinh giỏi môn: Toán học khối 8

PHềNG GD&ĐT
Đề thi khảo sát hsg lớp 8
Môn : Toán 
Thời gian: . phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày:./
Bài 1: (8 điểm)
a) Phõn tớch đa thức thành nhõn tử:	
a1)	A = x2 – x – y2 – y 
	a2)	B = x2 – 5x + 6
b) Chứng minh rằng: Mọi số lẻ đều viết được dưới dạng hiệu của hai số chớnh phương.
c) Cho a = ; b = .
Chứng minh rằng: C = ab + 1 là một số chớnh phương.
Bài 2: (8 điểm)
a) Cho 	xy = a;	yz = b;	zx = c	(trong đú a, b, c khỏc 0)
Tớnh:	D = x2 + y2 + z2
b) Cho abc = 2. 
Tớnh giỏ trị của biểu thức sau: 
c) Cho a + b + c = 0 và a, b, c đều khỏc 0.
Rỳt gọn biểu thức: 
Bài 3: (4 điểm)
a) Cho tam giỏc ABC, kẻ trung tuyến AM. Chứng minh: SABM = SACM.
b) Cho tam giỏc ABC kẻ ba đường cao AA’, BB’, CC’ gặp nhau tại H.
Chứng minh rằng:	
Hết
HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ THANG ĐIỂM CHẤM
Bài 1 : (8 điểm)
a) Phõn tớch đa thức thành nhõn tử :
a1) A = (x2 – y2) – (x + y) 	0.50
= (x + y)(x – y) – (x + y)	0.75	
= (x + y)(x – y – 1)	0.75
a2) B = x2 – 2x – 3x + 6	0.50
= (x2 – 2x) – (3x – 6)	0.50
= x(x – 2) – 3(x – 2)	0.50
= (x – 2)(x – 3)	0.50
b) Chứng minh rằng: Mọi số lẻ đều viết được dưới dạng hiệu của hai số chớnh phương.
Gọi số lẻ cú dạng 2k + 1 (k ẻ N)	0.50
Ta cú : 2k + 1= k2 + 2k + 1 – k2	1.00
= (k + 1)2 – k2	0.50
c) Cho ; .
Chứng minh rằng : C = ab + 1 là một số chớnh phương.
Ta cú : 9a + 1 = 10n	0.50 
	0.25
= 10n + 5 = 9a + 6	0.25
C = ab + 1 = a(9a + 6) + 1	0.25
C = 9a2 + 6a + 1 = (3a + 1)2	0.50
C = 	0.25
Bài 2 : (8 điểm)
a) Cho 	xy = a ; yz = b ; zx = c Tớnh : D = x2 + y2 + z2
Ta cú : xy = a ; yz = b ; zx = c Suy ra : x2y2z2 = abc
x2y2 = a2 	0.25
y2z2 = b2	0.25
z2x2 = c2 	0.25
Do đú : x2b2 = abc	0.25
a2z2 = abc	0.25
y2c2 = abc	0.25
Hay : ; ; 	0.25
Vậy	0.25
b) Cho abc = 2. Tớnh giỏ trị của biểu thức sau: 
 	1.00
	1.00
	0.50
	0.50
c) Cho a + b + c = 0 và a, b, c đều khỏc 0.
Rỳt gọn biểu thức : 
	0.75
	0.50
Mà : a + b + c = 0
Suy ra : a3 + b3 + c3 = 3abc	1.00
	0.50
	0.25
Bài 3 : (4 điểm)
a) Cho tam giỏc ABC, kẻ trung tuyến AM. Chứng minh: SABM = SACM.
Kẻ AH ^ BC	0.25
Ta cú : 
	0.50
	0.50
Mà : BM = CM (AM là trung tuyến)
Vậy : SABM = SACM	0.25
b) Cho tam giỏc ABC kẻ ba đường cao AA’, BB’, CC’ gặp nhau tại H.
Chứng minh rằng : 
Ta cú : S	= SABC 
	0.25
	0.25
	0.25
S = SHBC + SHCA + SHAB	0.25
Mà : 
	0.25
	0.25
	0.25
Nờn : 
	0.25
	0.25
	0.25