Đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn: Toán học

PHềNG GD&ĐT
Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán
Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (1,5 điểm): 
Cho x,y,z là 3 số nguyên dương, nguyên tố cùng nhau và . Chứng minh rằng: x+y là số chính phương.
Bài 2: (2,5điểm):
a/ Cho 3 số a,b,c thoả mãn điều kiện a2+b2+c2 =1
chứng minh rằng: a+b+c+ab+bc+ca 1+
b/ Cho biểu thức:
A=x – 2+3y -2 +1
Tìm giá trị nhỏ nhất của A có thể đạt được.
Bài 3: (2 điểm): 
Giải hệ phương trình:
Bài 4: (2,5 điểm): 
	Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn đường cao HE trên đoạn HE lấy điểm B sao cho tia CB vuông góc với AH. Hai trung tuyến AM và BK của tam giác ABC cắt nhau tại I. Hai trung trực của các đoạn thẳng AC và BC cắt nhau tại O
a, Chứng minh tam giác ABH đồng dạng với tam giác MKO
b, Chứng minh 
Bài 5: (1,5 điểm): 
	Tìm nghiệm nguyên dương cảu phương trình: 
Hướng dẫn chấm
Bài 1 (1,5 điểm)
Từ 
Nếu d là ước nguyên dương của x-z và y-z thì z2 d2 
 và y-z d nên x,y,z đều là bội của d
 d=1 vì (x,y,z) =1
Vậy x-z và y-z đều là số chính phương.
đắt x-z =k2 ; y-z = m2 với k,m N
 z2= (x-z)(y-z) =K2m2 z=km
Do đó x+y = (x-z) +(y-z)+2z =k2 +m2+2km=(k+m)2 
Vậy x=y là số chính phương.
Bài 2 (2,5 điểm) 
a, Ta có (a-b)2 +(b-c)2 +(c-a)2 0
nên ab+bc+ca a2+b2+c2 = 1 (1)
Do đó (a+b+c)2 = 2(ab+ba+ca)+(a2 +b2+c2) (a+b+c)2 =3
a+b+c (2)
Từ (1) và (2) a+b+c+ab+bc+ca 1+ (đpcm)
b, Điều kiện : x 0 và y0
A= x-2 +y +2y =2 +1
A= (-)2 +1 -2(-) -2+2y
A= (--1)2 - 2+2y + -.
A= (--1)2 +(2-1)2 -
A vậy A đạt giá trị nhỏ nhất. Khi 2-1 = 0 Và (--1)=0
Do đó Min A= - y= , x=
Bài 3 Giải hệ PT (2,0 điểm)(1)
(2)
Từ (1) 2xy =4 +6 -2(x+y) Từ (2) (x+y)2 -2y = 6
(x+y+1)2 =(3+)2 Do đó x+y+1 = 3+ hoặc x+y+1 =-3- 
Hay x+y = 2+ xy =2 (3)
Hoặc (x+y) = -4 - xy = 6 +4 (4)
Từ (4) (x-y)2 = (x+y)2 – 4xy = (4+)2- 4(6+4) = - 6-8 <0 vô lý
x+y = 2+
Từ (3) 
xy =2
x2= 
y2 =2
Vậy nghiệm của hệ là 
x1= 2
y1 =
 Và 
Bài 4 (2,5 điểm)
K
I
B
M
H
C
O
E
A
a, MO // HA (Cùng vuông góc với BC)
OK // BH (cùng vuông góc với AC)
 Góc KOM = Góc BHA (góc có cạnh tương ứng //)
MK//AB Góc HAB = góc KMO ABH đồng dạng với MKO (*)
b, Từ (*) suy ra 
Tam giác AIH và tam giác MIO có (do I là trọng tâm của ABC)
 Góc OMI = góc HAI (góc so le trong) AIH đồng dạng với MIO 
 do đó 
Vậy 
Bài 5 (1,5 điểm)
2x+1 = y2 (y-1)(y+1) = 2x 
y-1 = 2m
y+1=2n
 { Với n<m và m+n = x) m,n N
 2 = 2n -2m =2m (2n-m – 1)
2m=1
2n-m -1 =2
2m=2 
2n-m -1 =1
{ hoặc {
m=1
n =2
m=0
2n= 3 
{ hoặc { 
Không có n N thoả mãn đẳng thức Do đó x=3, y=3.
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ