Đề thi học sinh giỏi cấp trường năm học: 2015-2016 môn thi: Toán 11

TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN
TỔ: TOÁN TIN
Số báo danh
..
........................
 ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Năm học: 2015-2016
Môn thi: TOÁN 11
Ngày thi: 10/03/2016
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi này có 06 câu, gồm 01 trang
Câu 1: (6,0 điểm)
 a) Giải phương trình lượng giác: 
 b) Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu thỏa mãn:
 c) Giải phương trình: 
 Câu 2: (4,0 điểm)
 a) Chọn ngẫu nhiên một số có 5 chữ số có dạng tính xác suất để chọn được một số thỏa mãn 
 b) Tìm hệ số của trong khai triển biểu thức: .
 Biết n là số nguyên dương thỏa mãn: 
Câu 3: (2,0 điểm) 
 Cho dãy số : ;
 a) Chứng minh rằng dãy (): là một cấp số nhân lùi vô hạn.
 b) Tính 
Câu 4: (4,0 điểm) 
 Cho hình vuông cạnh a, tâm O. Gọi S là một điểm ở ngoài mặt phẳng (ABCD) sao cho SB = SD. Gọi M là điểm tùy ý trên AO với AM = x. mặt phẳng (a) qua M song song với SA và BD cắt SO, SB, AB tại N, P, Q.
 a) Tứ giác MNPQ là hình gì ?
 b) Cho SA = a . Tính diện tích MNPQ theo a và x. Tính x để diện tích MNPQ lớn nhất 
Câu 5: (2,0 điểm) 
 Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD ,biết điểm A có tung độ dương, đường thẳng AB có phương trình: , điểm thuộc cạnh BC,đường thẳng AM cắt đường thẳng CD tại N thỏa mãn BM.DN = 25.Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD.
Câu 6: (2,0 điểm) 
 Cho a, b, c là các số thực dương và thỏa mãn: a + b + c = 3.
 Chứng minh rằng: + + 
 (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
 ......................HẾT.............................
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG KHỒI 11 MÔN TOÁN CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2015-2016
Câu
Ý
 Hướng dẫn-Đáp án
Điểm
1
a
0,5 
0,5
0,5
0,5
b
gt 
 cos(A-B)=1.do 0 < A,B < 
 suy ra A = B cân đỉnh C
0,5
0,5
0,5
0,5
c
Điều kiện : với điều kiện trên phương trình
( vì ) 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
0,5
0,5
0,5
0,5
2
a
Gọi B là biến cố cần tính xác suất
Không gian mẫu (do )
vì mà a mà số bé nhất nên b,c,d,e cũng khác không.vậy a, b,c,d,e là 5 số được chọn trong 9 số từ 1 đến 9 xếp thứ tự duy nhất.có các trường hợp xảy ra sau:
+Trường hợp 1:Chọn mỗi số là một cách xếp duy nhất thứ tự 5 phần tử trên được chọn trong 9 phần tử nên có số tạo thành
+Trường hợp 2: Chọn do có 2 số bằng nhau nên chỉ cần chọn 4 số trong 9 số xếp thứ tự duy nhất vậy có số
+Trường hợp 3: do có 2 cặp số bằng nhau (a = b;c = d)nên chỉ cần chọn 3 số khác nhau trong 9 số xếp thứ tự duy nhất . vậy có số
Vậy có tất cả =++
(++)/() = 
0,5
0,5
0,5
0,5
b
Từ gt suy ra : 
Theo khai triển nhị thức newton ta có
 ==
Xét phương trình 
Suy ra hệ số của là = 4422
0,5
0,5
0,5
0,5
3
a
Ta có :
và 
suy ra là một cấp số nhân lùi vô hạn công bội 
0,5
0,5
b
Ta có suy ra 
suy ra 
0,5
0,5
4
a
Tứ giác MNPQ là hình gì ?:
Ta có : SB = SD Þ	D SBC = D SDC (c-c-c)
Gọi I là trung điểm SC Þ	D IBC = D IDC
Þ 	IB = ID
Þ	D IBD cân tại I
Þ	IO ^ BD 
Mà OI // SA 	Þ	SA ^ BD 	(*)
Ta có : 
Tương tự :	
Từ (1) và (2) , suy ra 	(3)
Mặt khác : 	
Tương tự :	
	Từ (4) và (5) , suy ra 	(6)	
	Từ (3) , (6) và (*), suy ra MNPQ là hình chữ nhật 
	Vậy : MNPQ là hình chữ nhật 
0,5
0,5
b. 	Tính diện tích MNPQ theo a và x:
	Ta có : 
	Tính MQ :
	Xét tam giác AQM :
	Ta có : cân tại M 	ÞMQ = AM = x
	Tính MQ :
	Xét tam giác SAO : 
Ta có :	MN//SAÞ 
	Þ	 
	Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương và 
	£ £
	Þ	
	Đẳng thức xảy ra khi 	 Û	M là trung điểm AO	Vậy : thì đạt giá trị lớn nhất
0,25
0,25
0,25
0,25
5
A
B
M
N
C
D
Ta có đòng dạng với 
suy ra 
AB.DA=BM.ND=25
Phương trình đường thẳng BM:
 hay 4x - 3y - 24 = 0
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ : suy ra B(6;0)
vì A;AB=5 suy ra 
Ta có mà BC = 5 =Suy ra C(3 ;-1)
=suy ra D(-1 ;2)
6
BĐT a - + b - + c - ++
Sử dụng BĐT cô si ta có 
++ .(Do ab +bc + ac ) đpcm .
Dấu bằng xảy ra 
0,5
0,5
0,5
0,5
 Lưu ý : Học sinh làm khác đáp án đúng vẫn cho điểm tối đa