Đề thi học sinh giỏi cấp huyện lớp 9 Năm học 2010-2011 Môn: Toán - Trường THCS Đoàn Thượng

Trường THCS Đoàn Thượng
 ĐỀ 1 Đề thi học sinh giỏi cấp huyện lớp 9 
 Năm học 2010-2011 Môn : Toán 
Họ và tên học sinh :Lớp..
Trường THCS: ....
Giáo viên coi thi số 1
.
Giáo viên coi thi số 2
.
Số phách
Điểm bằng số
Điểm bằng chữ
Giáo viên chấm
 ..
Số phách
Họ và tên học sinh :Lớp..
Trường THCS: ....
Giáo viên coi thi số 1
.
Giáo viên coi thi số 2
.
Số phách
Điểm bằng số
Điểm bằng chữ
Giáo viên chấm
 ..
Số phách
Họ và tên học sinh :Lớp..
Trường THCS: ....
Giáo viên coi thi số 1
.
Giáo viên coi thi số 2
.
Số phách
Điểm bằng số
Điểm bằng chữ
Giáo viên chấm
 ..
Số phách
Họ và tên học sinh :Lớp..
Trường THCS: ....
Giáo viên coi thi số 1
.
Giáo viên coi thi số 2
.
Số phách
Điểm bằng số
Điểm bằng chữ
Giáo viên chấm
 ..
Số phách
Họ và tên học sinh :Lớp..
Trường THCS: ....
Giáo viên coi thi số 1
.
Giáo viên coi thi số 2
.
Số phách
Điểm bằng số
Điểm bằng chữ
Giáo viên chấm
 ..
Số phách
Họ và tên học sinh :Lớp..
Trường THCS: ....
Giáo viên coi thi số 1
.
Giáo viên coi thi số 2
.
Số phách
Điểm bằng số
Điểm bằng chữ
Giáo viên chấm
 ..
Số phách
Họ và tên học sinh :Lớp..
Trường THCS: ....
Giáo viên coi thi số 1
.
Giáo viên coi thi số 2
.
Số phách
Điểm bằng số
Điểm bằng chữ
Giáo viên chấm
 ..
Số phách
Họ và tên học sinh :Lớp..
Trường THCS: ....
Giáo viên coi thi số 1
.
Giáo viên coi thi số 2
.
Số phách
Điểm bằng số
Điểm bằng chữ
Giáo viên chấm
 ..
Số phách
Họ và tên học sinh :Lớp..
Trường THCS: ....
Giáo viên coi thi số 1
.
Giáo viên coi thi số 2
.
Số phách
Điểm bằng số
Điểm bằng chữ
Giáo viên chấm
 ..
Số phách
Họ và tên học sinh :Lớp..
Trường THCS: ....
Giáo viên coi thi số 1
.
Giáo viên coi thi số 2
.
Số phách
Điểm bằng số
Điểm bằng chữ
Giáo viên chấm
 ..
Số phách
Họ và tên học sinh :Lớp..
Trường THCS: ....
Giáo viên coi thi số 1
.
Giáo viên coi thi số 2
.
Số phách
Điểm bằng số
Điểm bằng chữ
Giáo viên chấm
 ..
Số phách
Họ và tên học sinh :Lớp..
Trường THCS: ....
Giáo viên coi thi số 1
.
Giáo viên coi thi số 2
.
Số phách
Điểm bằng số
Điểm bằng chữ
Giáo viên chấm
 ..
Số phách
Họ và tên học sinh :Lớp..
Trường THCS: ....
Giáo viên coi thi số 1
.
Giáo viên coi thi số 2
.
Số phách
Điểm bằng số
Điểm bằng chữ
Giáo viên chấm
 ..
Số phách
Họ và tên học sinh :Lớp..
Trường THCS: ....
Giáo viên coi thi số 1
.
Giáo viên coi thi số 2
.
Số phách
Điểm bằng số
Điểm bằng chữ
Giáo viên chấm
 ..
Số phách
Họ và tên học sinh :Lớp..
Trường THCS: ....
Giáo viên coi thi số 1
.
Giáo viên coi thi số 2
.
Số phách
Điểm bằng số
Điểm bằng chữ
Giáo viên chấm
 ..
Số phách
Họ và tên học sinh :Lớp..
Trường THCS: ....
Giáo viên coi thi số 1
.
Giáo viên coi thi số 2
.
Số phách
Điểm bằng số
Điểm bằng chữ
Giáo viên chấm
 ..
Số phách
Họ và tên học sinh :Lớp..
Trường THCS: ....
Giáo viên coi thi số 1
.
Giáo viên coi thi số 2
.
Số phách
Điểm bằng số
Điểm bằng chữ
Giáo viên chấm
 ..
Số phách
Họ và tên học sinh :Lớp..
Trường THCS: ....
Giáo viên coi thi số 1
.
Giáo viên coi thi số 2
.
Số phách
Điểm bằng số
Điểm bằng chữ
Giáo viên chấm
 ..
Số phách
Họ và tên học sinh :Lớp..
Trường THCS: ....
Giáo viên coi thi số 1
.
Giáo viên coi thi số 2
.
Số phách
Điểm bằng số
Điểm bằng chữ
Giáo viên chấm
 ..
Số phách
Câu 1:(1,5 điểm) 
 Cho aZ , chứng minh rằng a5- a chia hết cho 30.
Câu 2 : (2 điểm) Cho P = 
a. Rút gọn P 
b.Tìm giá trị lớn nhất của P.
c. Tìm x để biểu thức Q = nhận giá trị là số nguyên 
Câu 3:(2 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có các cạnh là a , b , c .Kẻ đường cao AD . Kẻ DE , DF tương ứng vuông góc với AB và AC .Đặt BE = m; CF = n ; AD = h. Chứng minh rằng :
 a) b) 3h2 + m2 + n2 = a2
Câu 4(3 điểm): Giải các phương trình :
a. b. 
c.
Câu 5(2 điểm) Tìm các cặp số nguyên (x,y) thoả mãn một trong các đẳng thức sau : 
a. = 0 b.
Câu 6:(1,5 điểm) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác 
Chứng minh rằng : 
Câu 7 (1,5 điểm) Cho 3 đường thẳng 
(d1): y = với 
(d2): y = 
(d3): y = 
a. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì d1 luôn đi qua một điểm cố định .
b. Chứng minh rằng (d1) // (d3) thì (d1) (d2)
c. Xác định m để 3 đường thẳng (d1), (d2), (d3) đồng quy.
Câu 8(3 điểm) Cho hai đường tròn (O) (O,) tiếp xúc ngoài tại A . Gọi AB là đường kính của đường tròn (O), AC là đường kính của đường tròn (O,) , DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn D thuộc (O), E thuộc (O,), K là giao điểm của BD và CE 
 a) Tứ giác ADKE là hình gì ? vì sao ?
 b) CMR: AK là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O,).
 c) Gọi M là trung điểm của BC 
 CMR: MK DE
Câu 9 (2 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 
Câu 11 (1,5 điểm) Cho đường tròn tâm I bán kính r nội tiếp tam giác ABC . CMR: IA+IB+IC 6r
.............................................................** *.....................................................
Đáp án đề 1
Câu 1: (1,5 điểm)
a5-a = a(a4-1) = a(a2-1)(a2+1) = a(a-1)(a+1)(a2-4+5) 
 = a(a-1)(a+1)= a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)+5a(a-1)(a+1) (0.5đ)
 Hạng tử thứ nhất chia hết cho 5 vì là tích của năm số nguyên liên tiếp . Hạng tử thứ hai cũng chia hết cho 5 do đó : a5-a 5 (0.25đ)
Ta thấy: a5-a = a(a-1)(a+1)(a2+1)
Do (a-1)a(a+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên nó chia hết cho 2 và 3 , tức là chia hết cho 6 vì (2,3) = 1 (0.5đ) 
a5-a vừa chia hết cho 5 , vừa chia hết cho 6 mà (5,6) =1 nên a5-a 30 (0.25đ)
 Câu 2 (2 điểm) Câu a ,c mỗi câu 0,75 điểm, câu b 0,5 điểm
a) Điều kiện để P có nghĩa là x > 0, x 1 (0,25đ)
P = (0,25đ)
 = (0,25đ)
b) P = x- +1= 
 P đạt GTNN là khi x= (0,5đ)
c)Q = (0,25đ)
Với x > 0 và x 1 .áp dụng bất đẳng thức CôSi cho hai số dương
 M = (0,25đ)
Tìm được Q nguyên khi và chỉ khi Q = 1 (0,25đ)
B
A
F
C
D
E
m
n
h
Câu 3 (2 điểm) Mỗi câu 1 điểm 
a)
b) a2 = (BD + DC)2 = BD2 + 2 BD.DC + DC2 = m.c +2h2 + n.b 
 = m(EA + m) + n(AF + n) +2h2 = m2 + n2 +2h2 + m.EA +n.AF 
 = m2 + n2 + 2h2 + ED2 + FD2 = 	m2 + n2 +2h2 + AF2 + FD2
 = m2 + n2 + 2h2 + h2 = m2 + n2 + 3h2 (đpcm)
Câu 4 (3 điểm) mỗi câu 1 điểm
a) Đặt (1) Xét 4 trường hợp :
 x > 0 : (1) x = 
 -1 x 0: (1) x = 4 Loại (0,25đ)
-2 x < -1: (1) x=-6 Loại (0,25đ)
 x < - 2: (1) x= (0,25đ)
Vậy nghiệm của phương trình là : x = ; x= (0,25đ)
b) Điều kiện 5 x 7 (0,25đ)
áp dụng BĐT CôSi cho hai số không âm ta có
Đẳng thức xảy ra x= 6 (0,25đ)
Mặt khác : x2 -12x +38 = .Đẳng thức xảy ra x= 6 (0,25đ)
Vậy phương trình có nghiệm x= 6 (0,25đ) 
c) 
 + = 1 (1) (0,25đ)
Nếu 1 x < 5 thì x = 5 loại (0,25đ) 
5 x 10 từ (1) 0x=0 phương trình vô số nghiệm 
 x >10 từ (1) x = 10 loại (0,25đ) 
Vậy phương trình có nghiệm 5 x 10 (0,25đ)
Câu 5 (2 điểm) mỗi câu 1 điểm
a) xy+3x-2y-7= 0 (x-2)(y+3)= 1 (0,25đ) 
 hoặc (0,25đ) 
Do đó : hoặc (0.25đ)
Hai cặp số cần tìm là : (1;-4) và (3;-2) (0,25đ)
b) 2y2x +x+y+1 = x2+2y2+xy (1)
2y2(x-1) - x(x-1) - y(x-1) +1=0 (0,25đ) 
Vì x= 1 không phải là nghiệm nên chia cả hai vế cho x-1 ta có 
 2y2 - x-y+ = 0 (2) (0,25đ) 
Để (1) nguyên thì phải nguyên . Nên x-1 = 1 (0,25đ) 
Thay x = 2 và x= 0 vào (2) ta có y nguyên khi y= 1 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên (2;1) và (0;1) (0,25đ) 
Câu 6 (1,5 điểm) Đặt 
 (0,5đ) 
Vì a ,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên (0,75đ)
Vậy M < 1 (đpcm) (0,25đ)
Câu 7 (1,5 điểm) Mỗi câu 0.5 điểm
a) y= (m2-1)x+(m2-5) = m2(x+1)-x-5 (0,25đ) 
Với mọi m khi x=-1 thì y = -4 
Vậy (d1) luôn đi qua điểm cố định là (-1;-4) (0,25đ) 
b) Vì (d1) // (d3) m = 0 (d1): y = -x+5 (0,25đ) 
Hai đường thẳng (d1) và (d2) có (-1).1 = -1 nên (d1) (d2) (0,25đ) 
c) Hai đường thẳng (d2),(d3) có hệ số góc khác nhau nên chúng cắt nhau tại M . Tìm toạ độ M : x+1 = -x +3 x = 1 . Vậy M(1;2) (0,25đ) 
C
K
D
O
A
M
O’
E
O
A
’
1
2
1
1
1
2
1
1
Để (d1),(d2),(d3) đồng quy tại M thì d1 phải đi qua M m = 2 (0,25đ) 
Câu 8(2,5 điểm) mỗi câu 0.5 điểm
a)Theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có 
01 = 2B
= 2C
Mà 01 + = 180o B +C = 90o 
B
 K = 90o Trong BDA có OD = AB 
 BDA vuông D = 90o
Tương tự : E = 90o 
Tứ giác ADKE có K = D = E = 90o ADKE là hình chữ nhật 
b) Có A1 +A2 =D1+D2 = 90o AK BC
Vậy AK là tiếp tuyến chung của hai đường tròn
c) MKC cân tại M K1 = C
 EKD = KEA E1 = EKA 
 Mà C + EKA = 90oTừ đó : K1 + E 1= 90o MK DE 
Câu 9(2 điểm ) mỗi câu 1 điểm
a) = 4 (0,25đ) 
 (0,5đ) 
Vậy GTNN là 4 (0,25đ) 
C
A
M
B’
C’
I
r
b) P= (0,5đ) 
GTLN của P là khi x = (0,5đ) 
Câu 11(1,5 điểm)
Học sinh không vẽ hình không chấm điểm
Đặt BC = a , AC = b, AB = c
Kẻ BB’ ,CC’ vuông góc với AI 
B
Ta có : IMA BB’A
 c.r = IA.BB’
Tương tự b.r = IA.CC’
Nên: (b+c)r = IA(BB’ + CC’) IA . a 
 IA+IB+IC 6r