Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 11 thpt năm học: 2015-2016 môn: Toán

pdf 9 trang Người đăng minhphuc19 Ngày đăng 20/02/2019 Lượt xem 92Lượt tải 1 Download
Bạn đang xem tài liệu "Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 11 thpt năm học: 2015-2016 môn: Toán", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 11 thpt năm học: 2015-2016 môn: Toán
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
QUẢNG NGÃI 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 THPT 
Năm học: 2015-2016 
Môn: Toán 
Thời gian làm bài: 180 phút 
Tên : Trương Quang An 
 Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng 
 Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi 
 Điện thoại : 01208127776 
Câu 1(3,0 điểm). Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên  0;1007 
28sin .cos 3sinx cos
0.
7 3
sin 3 os
2 2
x x x
x c x
 
 

   
     
   
Câu 2 ( 6,0 điểm). 
1. Tìm hệ số của 4x trong khai triển 2 2(1 3 ) nx x  biết rằng n là số tự nhiên thỏa mãn 
1 2 2016
2 1 2 1 2 1... 2 1
n
n n nC C C       . 
2. Từ các chữ số 1, 3, 4, 8 lập các số tự nhiên có sáu chữ số, trong đó chữ số 3 có mặt 
đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần. Trong các số được tạo thành nói 
trên, chọn ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 4? 
Câu 3 (3,0 điểm). Cho dãy số  nu xác định như sau: 
 1 *
1 1 2
2016
(n )
1 u ...u n n
u
u u


 
Đặt 
1
1n
n
k k
S
u
 . Tìm l imS .n
n
Câu 4 ( 2,0 điểm). Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O,R), AD=R. Dựng các 
hình bình hành ABMD, ACND. Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác 
DMN. 
Câu 5 (6,0 điểm). Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a . Gọi I là tâm của 
hình vuông CD D’C’, K là trung điểm của cạnh CB. 
a. Dựng thiết diện của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cắt bởi mặt phẳng (AKI). 
Tính diện tích của thiết diện theo a . 
b. Tính góc tạo bởi hai đường thẳng A’D’ và AQ với Q là giao điểm của (AKI) và CC’. 
Hết 
Họ và tên thí sinh:Số báo danh:. 
Người coi thi số 1:....Người coi thi số 2: 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
QUẢNG NGÃI 
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ 
BIỂU ĐIỂM 
Đáp án có 05 trang 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 THPT 
Năm học: 2015-2016 
Môn: TOÁN 
Nội dung Điểm 
Câu 1(3,0 điểm). Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên  0;1008 
28sin .cos 3sinx cos
0.
7 3
sin 3 os
2 2
x x x
x c x
 
 

   
     
   
Điều kiện xác định 
7 3
sin 3 os 0 , .
2 2 6
x c x x k k
  

   
          
   
 0,5 
4sin 2 .sinx 3sinx cos 0 2(cos os3 ) 3sinx cos 0
1 3
os3 cos sinx os3 os
2 2 3
pt x x x c x x
c x x c x c x

        
 
      
 
 0,5 
3 2
3 6
, .
3 2
3 12 2
x x m x m
m
x x m x m
  
  

      
  
          
 0,5 
Kết hợp điều kiện xác định ta có nghiệm của phương trình đã cho là 
( ).
12 2
x m m
 
    
0,5 
Vì  0;1008 0 1008 1 2016, .
12 2
x m m m
 
           0,5 
Suy ra các nghiệm của phương trình đã cho trên đoạn  0;1008 gồm 2016 
nghiệm lập thành một cấp số cộng có công sai 1
5
, .
2 12
d x
 
  
Tổng các nghiệm là 
2016 5 3043154
2. (2016 1). .
2 12 2 3
S
   
    
 
0,5 
Câu 2 (6,0 điểm). 
1 (3,0 điểm). Tìm hệ số của 4x trong khai triển 2 2(1 3 ) nx x  biết rằng n là số 
tự nhiên thỏa mãn 1 2 20162 1 2 1 2 1... 2 1
n
n n nC C C       
0 2 1
2 1 2 1
1 2
2 1 2 1
1
2 1 2 1
0 1 0 2 1 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
...
1
... ( .... ) 2
2
n
n n
n
n n
n n
n n
n n n
n n n n n
C C
C C
C C
C C C C C

 
 

 

    



       
0,5 
Từ giả thiết suy ra n=1008 0,5 
Xét khai triển 
 
2016
2016
2 2 2016
2016
0
2016
2 2016
2016
0 0
2016
2016 4032 2
2016
0 0
1 3 (1 ) ( 3 )
( ) ( 3 )
( 1) ( 3)
k k k
k
k
k i i k
k
k i
k
k i i k k i
k
k i
x x C x x
C C x x
C C x



 
  
 
    
  
  

 
 
 1,0 
Ta tìm i, k là các số tự nhiên thỏa mãn 
2016
4
4032 2 4
2015
0 2016
2
0
2014
0
k
i
k i
k
k
i
i k
k
i
 


    
   
   

 
 0,5 
Vậy hệ số của x4 trong khai triển là 4 2 2015 20142016 2015 2016 20163 9C C C C  0,5 
 2.(3,0 điểm). Từ các chữ số 1, 3, 4, 8 lập các số tự nhiên có sáu chữ số, trong 
đó chữ số 3 có mặt đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần. 
Trong các số được tạo thành nói trên, chọn ngẫu nhiên một số. Tính xác suất 
để số được chọn chia hết cho 4? 
Gọi số cần tìm là abcdef với  , , , , , 1,3,4,8a b c d e f  
Sắp xếp chữ số 3 vào 3 trong 6 vị trí, có 36C cách. Sắp xếp 3 chữ số 1;4;8 vào 
3 vị trí còn lại có 3! Cách. Vậy có tất cả 36 .3! 120C  số. 
1,0 
Một số chia hết cho 4 khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng tạo thành 1số chia 
hết cho 4. 
Trong các số trên, số lấy chia hết cho 4 có tận cùng là 48, 84. Trong mỗi 
trường hợp có 34 4C  cách sắp xếp chữ số 3và 1 vào 4 vị trí còn lại, suy ra có 8 
số chia hết cho 4. 
0,5 
Gọi A là biến cố: “ Số lấy ra chia hết cho 4” 
Vậy số các kết quả thuận lợi cho A là 8A  
0,5 
Số phần tử của không gian mẫu là 120  0,5 
Xác suất của biến cố A là 
8 1
120 15
A
AP

  

 0,5 
Câu 2 (3,0 điểm). Cho dãy số  nu xác định như sau: 
 1
1 1 2
2016
1 u ...u ( 1)n n
u
u u n


  
Đặt 
1
1n
n
k k
S
u
 . Tìm l imS .n
n
1 1 2
1
1 1
1 ... 1
1 ( 1)
1 1, 1 1
i i
i i i
i i
u u u u i
u u u
u i u u i



   
   
       
 1,0 
1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1i i i i i iu u u u u u 
    
   
 0,5 
1
1 2 3 1 1 1
1 1
...
1 1 1 1 1 2 1
...
1 1 1 1 1
n
n
n n n
S
u u
u u u u u u u 
  
       
    
 0,5 
1 1
1 1 2 1 1
1
1
1
1
1
1 ... (1 ) 2016.2017
1 1
0
1 2016.2017
1 1
lim 0 lim
2016.2017 1
2 1
lim .
1008
n n
n n
n
n
nn n
n
n
n
u u u u u u
u
u
s
u
 



 


    
 

 

 
 1,0 
Câu 4 ( 2,0 điểm). Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O,R), AD=R. 
Dựng các hình bình hành ABMD, ACND. Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại 
tiếp của tam giác DMN. 
O
A
D
C
B
M
N
I
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN. 
ABMD, ACND là hình bình hành suy ra , .AD BM BM CN  
1,0 
Xét phép tịnh tiến theo vectơ AD 1,0 
:
AD
T A D
B M
C N



Suy ra :
AD
T O I , suy ra OI = AD = R. Vậy quĩ tích của điểm I là đường tròn 
tâm (O,R). 
Câu 5 (6,0 điểm). Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh a . Gọi I là 
tâm của hình vuông CDC’D’, K là trung điểm của CB. 
a. Dựng thiết diện của hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cắt bởi mặt phẳng 
(AKI). Tính diện tích của thiết diện theo a . 
b.Tính góc tạo bởi hai đường thẳng A’D’ và AQ với Q là giao điểm của 
(AKI) và CC’. 
C'
B' A'
D'
C D
AB
K
I
J
N
Q
a. (4, 0 điểm). Gọi J là giao điểm của AK và CD. 
Q là giao điểm của JI và CC’; N là giao điểm của IJ và DD’. 
Thiết diện là tứ giác AKQN. 
Chứng minh được AKQN là hình thang có 2 đáy là KQ, AN. 
1,0 
Chứng minh được C là trung điểm của JD, K là trung điểm JA, Q là trung 
điểm của JN. 
1 1 1
. . 3 .
2 2 4
JKQ
AKQN JAN JKQ JKQ
JAN
S JK JQ
S S S S
S JA JN

  

       
1,0 
1 1 1
'
2 ' 3 3
CQ
CQ ND QC CQ a
CC
      
Tính được 
13 5 10
; ;
6 2 3
a a a
KQ JK JQ   
1,0 
2 2 2
2
2
2
6
osKJQ=
2 . 50
7
sin 1 os
5
1 14
. .sin
2 12
14
3 .
4
JKQ
AKQN JKQ
JQ JQ KQ
c
JK JQ
KJQ c KJQ
a
S JK JQ KJQ
a
S S


 

  
 
 
 1,0 
B (2,0 điểm). 
Vì A’D’//AD nên góc tạo bởi A’D’, AQ bằng góc tạo bởi AQ, AD 
0,5 
' ' ' 3.AC AB AD AA AC a     
Tính được 
19 10
; ; .
3 3
a a
AQ AD a QD   
1,0 
2 2 2 3
cos .
2 . 19
AQ AD QD
QAD
AQ AD
 
  0,5 
Hết. 
Lưu ý +) Các cách giải khác mà đúng cho điểm tương ứng với biểu điểm. 
 +) Điểm tổng toàn bài không làm tròn. 
Tên : Trương Quang An 
 Ngày sinh :20-5-1987 
Tốt nghiệp cao đẳng sư phạm toán quảng Ngãi năm 2009 
 Ra trường đi xin việc khắp mọi nơi vào cuối năm 2011 mới xin hợp đồng 
làm việc giảng dạy toán cho 1 trường cấp 2 
Nhà hiện nay ở Thành Phố Quảng Ngãi 
Thành tích lúc đi học : 
Lớp 8 : Học sinh đạt giải nhì học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi 
Lớp 9 : Học sinh đạt giải ba học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi 
Lên cấp 3 học Trường Cấp 3 Chuyên Lê Khiết 
Năm 2005 thi đại học sư phạm Quy Nhơn đạt 24 điểm , tôi phải xa giảng 
đường đại học vì mẹ tôi đau quá nặng ,gánh nặng cơm áo gạo tiền mà tôi phai 
chia tay đại học .Sau đó tôi về quê nhà học cao đẳng sư phạm Quảng Ngãi 
3 năm học tại đây tôi là sinh viên giỏi nhất khoa về Toán học .Các Thành 
tích : 
- Giải nhất toán lý sơ cấp 3 năm học 2006,2007,2008 
-Ba năm giải nhất môn giải tích trong kỳ thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN 
cấp trường Cao Đẳng Sư Phạm Quảng Ngãi năm học 2006 ,2007,2008 
 -Trong 3 lần đại diện cho trường thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN Toàn 
quốc thì 1 lần đạt giải ba ,1 lần giải khuyến khích . 
-Ba năm liền đạt giải nhất trong kỳ thi sinh viên giải toán trên máy tính 
casio cấp trường . 
-Sinh viên đầu tiên của trường cao đẳng sư phạm được đăng đề trong mục 
đề ra kỳ này của tạp chí toán học tuổi trẻ 
-Sinh viên đầu tiên của trường cao đẳng sư phạm được đăng bài trong mục 
chuyên đề của đặc san tạp chí toán học tuổi trẻ 
-Giáo viên đầu tiên của tỉnh Quảng Ngãi được đăng bài trên đặc san tạp chí 
toán học và tuổi trẻ 
 -Hiện nay sáng dạy ở trường vì đồng lương quá thấp nên đi dạy kém 
khắp nơi đề kiếm thêm tiền để trang trải cuộc sống hằng ngày và phụ giúp cha mẹ 
nghèo ở quê Quảng Ngãi 
-Bản thân là người rất đam mê môn toán từ khi tôi còn là học sinh lớp 7 , 
hiện nay tôi thường giải các bài tập khó và dạy kèm cho các học sinh có nhu cầu 
vào chuyên toán 
-Ra trường 8 năm mà không có được biên chế ,lương hợp đồng 1500.000đ 
,không đủ sống .Hiện nay tôi thấy xã hội không cần các giáo viên trình độ toán 
năng lực cao ,xin việc khắp nơi mà không có chỗ dạy .Bản thân tôi hoàn cảnh 
khó khăn ,không được như giáo sư Ngô Bảo Châu ,tôi phải ra đường đời quá sớm 
,không được học chuyên về toán học .Tôi chỉ tự nghiên cứu ,tìm các phương pháp 
học toán .Tôi ước gì có một trường nhận tôi vào để được giảng dạy toán ,bồi 
đưỡng đội tuyển toán thi các cấp về toán ,toán thi trên mạng .Xã hội cần các sinh 
viên sư phạm đạt loại giỏi mà sinh viên sư phạm trình độ cao đẳng giỏi như tôi 
không trường nhận vào dạy ,dạy hợp đồng không có tiền nhiều ,gia đình quá khổ 
,không có chế độ tốt cho gióa viên hợp đồng .Tôi thấy sinh viên hệ Cao Đẳng Sư 
Phạm giỏi như tôi mà xã hội đối xử quá bất công .Trong khi các bạn bè tôi học 
đại học sư phạm ,nói thiệt trình độ chuyên môn toán tụi nó không bằng tôi ,thua 
rất xa .Chẳng lẽ học đại học sư phạm có giá trị hơn cao đẳng sư phạm phải không 
? Thật là buồn gê !Tôi là trường hợp ngoại lệ ,vì niềm đam mê toán học mà tôi 
luôn luôn học hỏi và trao dồi kiến thức toán học cổ điển và hiện đại .Hiện nay tôi 
có thể giải tốt các bài toán trong chương trình đại học ,hoặc các môn toán luyện 
thi đại học ,các chuyên ngành toán ở các lớp cao học .Tôi học toán theo niềm 
đam mê và bản thân luôn luôn hướng tới sự hoàn thiện về toán học của bản thân 
.Dù thời gian tối quá bận rộn ,sáng dạy hợp đồng .chiều chạy bàn cho các nhà 
hàng ,tối chạy bàn cho các quán cà pê ,có hôm đi dạy kèm ,có bữa chạy xe ôm 
kiếm sống .Dù ở đâu tôi cũng đem theo sách toán để ngồi đọc khi rảnh .Hiện nay 
tôi có thể giải thành thạo các đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn toán ,cấp tỉnh 
môn toán với số điểm gần tuyệt đối .Về môn giải toán trên máy tính cầm tay thì 
tôi là cao thủ ,mọi thủ thuật trong casio thì tôi đều đã nắm được rất tốt ,bồi dường 
đội tuyển năm nào cũng có thành tích cao ,nhưng tiền bồi dưỡng quá ít 15000/1 
tiết ,không đủ để đổ xăng khi đến trường để dạy và lo cho gia đình tôi .Các đề thi 
vào hệ chuyên năm nào tôi cũng xin đề về giải thử ,cơ bản tôi giải được 99% 
.Bạn bè tôi thì tụi nó chỉ giải được một bài mà thôi ,có đứa đọc đề xong rồi lắc 
đầu không giải nổi .Một số đứa dạy trường chuyên mà trình độ toán học chưa 
chắc gì bằng tôi .Hiện nay tôi đã gởi hồ sơ xin việc toàn Việt Nam để mong một 
trường nào đó nhận tôi vào làm để có tiên nuôi vợ con và cha mẹ . 
-Hiện nay tôi có đào tạo các em học sinh nghèo gần xóm miễn phí với 
mong muốn truyền vào các em niềm đam mê toán học và từng bước các em đến 
với tạp chí toán học tuổi trẻ hay tạp chí toán tuổi thơ . 
-Hiện nay bản thân muốn học lên đại học nhưng có lẻ ước mơ đó của tôi 
không thành hiện thức vì chuyện tiền bạc va gia đình hoàn cảnh 
-Những giáo viên yêu toán nếu có nhu cầu giải các bài toán khó và giao 
lưu học hỏi 
-Xóm tôi bình thường lắm ,bọn nhỏ ngây thơ ,ngộ nghĩnh đáng yêu .Hằng 
ngày bọn trẻ xóm tôi thường nhờ tôi giúp các bài toán khó .Tôi đến với tạp chí 
toán học tuổi trẻ khi tôi còn là một học sinh lớp 7 .Mười sáu năm qua tôi đã coi 
tạp chí như một người bạn quen thuộc mà tôi mong đợi vào ngày 15 hằng tháng 
.Ban đầu tôi thích thú tò mò tìm thêm tài liệu ,sau nay cố gắng giải các bài tập 
trong chuyên mục đề ra kỳ này .Trong 16 năm qua tạp chí đã cho tôi được tiếp 
xúc với các bài toán rất hay ,chuyên đề hay .Ba năm học cao đẳng là thời gian 
đẹp nhất cuộc đời tôi .Tôi bước vào sư phạm toán với nền tảng kiến thức vô cùng 
tốt .Ngay tôi được tạp chí đăng 1 bài trên chuyên mục đề ra kỳ này tôi rất vui 
sướng ,không tả nỗi .Đó là thời điểm năm 2008 ,khi đó tôi chỉ là 1 sinh viên 
nghèo của trường ,điều kiện học tập không có ,sinh viên cao đẳng như tôi viết bài 
cho 1 tạp chí toán học là điều viễn vông ,đó là sư thật .Nhưng tôi không nản lòng 
và cuối cùng tôi cũng đạt được ước mơ của tôi .Những ngày đó thật khó khăn ,tôi 
chỉ ghi bài giải trên giấy A4 rồi đem thư ra bưu điện gởi .Cách đây 1 năm thì có 
chị họ làm quán PHÔ T Ô COPPY bán lại một chiếc máy tính đề bàn cũ ,tôi mua 
với giá 500 ngàn ,vui lắm các bạn ,thế là từ nay có thể đánh vi tinh các bài toán 
mà minh suy nghĩ và sưu tầm ,sau khi hoàn thiện tôi chạy ra quán PHÔ T Ô 
COPPY để gởi vì nhà không có mạng INTERNET .Có lẽ tôi sẽ gục ngã trước 
cuộc sống nghèo khổ và thiếu tiền bạc nếu như tôi không có niềm đam mê toán 
học .Tôi nhớ mãi năm 2008 khi cầm trên tay tờ báo có đăng bài của minh tôi đã 
vui run luôn ,tôi ra bưu điện mua báo toán ,trên kệ báo còn đúng 1 tờ ,đọc và thấy 
tên mình và tôi đã lên xe đạp cà tàng của sinh viên đạp nhanh nhanh về nhà ,thật 
nhanh ,tôi không biết tôi đã qua mấy ngã tư nữa ,chỉ biết đạp thật nhanh .Mấy 
tháng sau có thư nhận tiên nhuận bút 120.000 ,đối với 1 đứa sinh viên nghèo như 
tôi đó là số tiền 1 tháng đề ăn sáng đi học ,vui lắm các bạn ak .Sinh viên qua 
nhanh ,ra trương vì hoàn cảnh cha mẹ đau và không có tiền,không nơi nào nhận 
mình vào dạy học ,mình đã đi chạy bàn cà phê,chạy bàn đám cưới cho nhà hàng 
,mình đi dạy kèm khắp nơi ,có khi phải đi chạy xe ôm nhưng khi rảnh mình 
thường lấy tạp chí toán học ra xem .Tạp chí như một phần trong cơ thể mình ,rồi 
sau 4 năm chạy việc khắp nơi tôi cũng xin được hợp đồng cho 1 trường cấp 2 để 
dạy toán . Nhà tôi hiện nay sách toán rất nhiều ,16 năm qua tôi đã có trong tay 
khoảng 451 số báo toán học ,mua có ,tôi mượn báo để phô tô cũng có .Hồi xưa 
khi tới ngày 15 hằng tháng tôi thường ra bưu điện đề mua ,từ nhà đạp xe đạp ra 
,tới nơi mệt nhưng khi mua được báo là tôi vui lắm .Vào năm 2014 thì đi làm 
cuộc sống cũng đỡ khó khăn thì tôi mạnh dạn dành tiên lên bưu điện đặt báo để 
nhân viên giao tận nhà luôn .Qua thời gian tôi cung mua được chiếc xe máy cũ đề 
đi làm .Qua nhũng tâm sự này tôi muốn các bạn yêu toán mà có điều kiện hơn tôi 
hãy cố gắng lên nhé ,hãy đặt mua tạp chí toán học ,hãy viết bài cho tạp chí .Tiền 
trong cuộc sống không là gì ,nếu chúng ta cố gắng và có ý chí thì chúng ta sẽ 
thành công .Tôi hiện nay có 2 ước mơ ,thứ nhất được ra thăm toán chí toán học 
tuổi trẻ 1 lần cho biết ,năm ngoái được tạp chí toán học tuổi thơ mời ra dự buổi 
hội thảo toán học ở Đà Nẵng nhưng do công việc và cha mẹ đau nặng tôi đã 
không ra .Thứ 2 mong được học lên đại học hệ chính quy .Mặc dù ở quê tôi có 
dạy hệ tại chức ,nhưng tôi thích học chính quy hơn ,ước mơ đó có thể với mọi 
người rất đơn giản nhung với mình khó vì gia đình ,cha mẹ ,tiền bạc phải mưu 
sinh vì cuộc sống hằng ngày . Trên toàn quốc ,nếu trường nào cần giáo viên như 
tôi thì liên hệ số điện thoại 01208127776 ,hiện nay tôi không có việc làm ,không 
tiền ,cha mẹ bệnh nặng mà không có tiền lo .Trên bóng đá có Bầu Đức của 
Hoàng Anh Gia Lai ,ông này đầu tư cho bóng đá và giúp cho nhiều cầu thủ nghèo 
. Mà trên giáo dục không có ai được như Bầu Đức thật là bùn .Trên Việt Nam 
chỗ nào ,nơi nào cần tuyển giáo viên chất lượng cao hay liên hệ với tôi nhé 
.Không biết tạp chí toán học có tuyển một cộng tác viên trình độ cao đẳng như tôi 
không .Lương hợp đồng 15.000đ/tiết quá thấp ,tôi không sống được bằng nghề sư 
phạm , 
 Một người đam mê Toán và tạp chí toán học và tuổi trẻ 
 Đến từ miền quê nghèo khổ ,khốn khó 
 Nghĩa Thắng ,Tư Nghĩa ,Quảng Ngãi 
 Trương Quang An 

Tài liệu đính kèm:

  • pdfHOC_SINH_GIOI_TOAN_12_CAP_TINH.pdf