Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 năm học 2008 - 2009

Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9
Năm học 2008 - 2009
Thời gian: 120 phút
Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau
	P = 
	Q = 
Bài 2: Biết . Chứng minh rằng: 
Bài 3: Chứng minh rằng với a < 450, ta có sin2a = 2sina. cosa.
Bài 4: Cho tam giác ABC có (a, c là hai độ dài cho trước). Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC được gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC.
	a/ Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất. 
	 Tính diện tích lớn nhất đó.
	b/ Dựng hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC bằng thước kẻ và com-pa. 
 Tính diện tích của hình vuông đó
Bài 5: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 
---------------------- Hết -----------------
Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9
Năm học 2008 - 2009
Thời gian: 120 phút
Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau
	P = 
	Q = 
Bài 2: Biết . Chứng minh rằng: 
Bài 3: Chứng minh rằng với a < 450, ta có sin2a = 2sina. cosa.
Bài 4: Cho tam giác ABC có (a, c là hai độ dài cho trước). Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC được gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC.
	a/ Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất. 
	 Tính diện tích lớn nhất đó.
	b/ Dựng hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC bằng thước kẻ và com-pa. 
 Tính diện tích của hình vuông đó
Bài 5: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 
---------------------- Hết -----------------
Hướng dẫn chấm
Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau 
	P = = = 2
	Q = . Đặt x = 2008, khi đó
	Q = = = x + 1 = 2009
Bài 2: Ta có 10a2 - 3b2 + ab = 0 Û 3(4a2 - b2) - a(2a - b) = 0
	Û (2a - b)(5a + 3b) = 0 Û 
	Với b = 2a ị 
Bài 3: Xét DABC có 900; = . Kẻ trung tuyến AM, đường cao AH ị 
Đặt BC = a; AC = b; AB = c; AH = h; MA = MB = MC = m = .
Ta có sina = ; cosa = ; sin2a = 
Do đó 2sina. cosa = = sin2a
Bài 4: 
	a/ Đặt .
	Ta có: 
	.
	Suy ra diện tích của MNPQ là:
	+ Ta có bất đẳng thức: 
	áp dụng, ta có: . Dấu đẳng thức xảy ra khi: .
	Suy ra: . Vậy: khi hay M là trung điểm của cạnh AB
	b/ Giả sử đã dựng được hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC. Nối BF, trên đoạn BF lấy điểm F’. Dựng hình chữ nhật E'F'G'H' 
	Ta có: E'F'// EF và F'G'// FG, nên: 
. Do đó E'F'G'H' là hình vuông
	+ Cách dựng và chứng minh: Trên cạnh AB lấy điểm E' tuỳ ý, dựng hình vuông E'F'G'H' (G', H' thuộc cạnh BC). Dựng tia BF' cắt AC tại F. Dựng hình chữ nhật EFGH nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh tương tự trên, ta có EF = FG, suy ra EFGH là hình vuông
	+ Ta có: ; 
.
	Suy ra: Tia BF' cố định khi E' di động trên AB, 
cắt AC tại một điểm F duy nhất.
	Vậy bài toán có một nghiệm hình duy nhất
	+ Đặt . Ta có ; 
	EFGH là hình vuông, nên 
	Suy ra diện tích hình vuông EFGH là: 
Bài 5: Ta có a2 + b2 - ab ≥ ab
	Tương tự với a, b, c > 0 thì: 
	Từ đó ta có BĐT cần chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
------------------- Hết ------------------