Xây dựng bài toán từ một số hằng đẳng thức quen thuộc

Xây dựng bài toán từ một số hằng đẳng thức quen thuộc
Hạ Vũ Anh – THPT Chuyên Vĩnh Phúc
Đối với học sinh phổ thông, kỹ năng làm toán thường thể hiện ở khả năng lựa chọn một phương pháp giải thích hợp cho mỗi bài toán cụ thể.
Việc lựa chọn được một cách giải hợp lý , ngắn gọn và rõ ràng, trong sáng, không chỉ dựa vào việc nắm vững kiến thức đã học, mà cần phải hiểu sâu sắc mối liên hệ chặt chẽ giữa các phân môn khác nhau của toán học trong chương trình học, biết áp dụng nó vào việc tìm tòi lời giải cho mỗi bài toán đặt ra. Trong việc học toán và làm toán, việc áp dụng phương pháp cũng như công cụ của lĩnh vực này, của phân môn này, để giải quyết vấn đề cho lĩnh vực khác hay phân môn khác đôi khi khá hiệu quả. Hơn nữa, việc làm này giúp cho người học hiểu rõ được vai trò và ý nghĩa của mỗi phân môn một cách sâu sắc và cụ thể. 
Trong bài viết này, chúng tôi xin được bàn đến một vấn đề xưa như trái đất: Hằng đẳng thức, và việc vận dụng chúng vào giải toán như thế nào?
Trước hết, xin bắt đầu từ một số bài toán cơ bản
Bài toán 1. Cho ba số thực thỏa mãn điều kiện . Xét các số thực xác định như sau 	(1) Chứng minh rằng 	(2)
Lời giải. Ta có 
Suy ra điều phải chứng minh. 
Vấn đề đặt ra, với bất kỳ ba số thực thỏa mãn (2), có hay không các số thực thỏa mãn (1)?
Câu trả lời ở đây là không, chẳng hạn thỏa mãn (2), nhưng không có nào thỏa mãn (1). Và vì vậy, cần thêm điều kiện đối với 
Bài toán 1’. Cho thỏa mãn (2). Chứng minh rằng tồn tại các số thực thỏa mãn (1). 
Lời giải.
Không mất tính tổng quát, coi . Khi đó, tồn tại sao cho . Viết lại (2) về dạng . Coi đây là phương trình bậc hai của biến Vì phương trình luôn có nghiệm nên suy ra . Do đó, tồn tại sao cho 
Và khi đó, phương trình có nghiệm hoặc hoặc 
Vậy, nếu , thì chọn , nếu thì chọn . Bài toán được giải quyết.
Bài toán 2. Cho thỏa mãn . Chứng minh rằng tồn tại các số thực dương sao cho 
Lời giải. Viết lại điều kiện về dạng 
Đặt , ta thấy và .
Hơn nữa, từ cách xác định suy ra 
Tương tự, cũng có (ĐPCM)
Bài toán 2’. Cho thỏa mãn . Chứng minh rằng tồn tại các số thực dương sao cho 
Bài toán 3. Cho 	(3)
Chứng minh rằng tồn tại một tam giác nhọn sao cho 
Lời giải. Từ giả thiết suy ra . Từ đó, để ý rằng hàm số là hàm số chẵn, suy ra tồn tại các góc nhọn sao cho . Khi đó (3) trở thành
Từ đó, do nhọn, nên thu được và do đó . Bài toán được giải quyết.
Từ bài toán này, ta thu được kết quả “Các số thực thỏa mãn (3) khi và chỉ khi tồn tại tam giác nhọn sao cho ”
Và sau đây chúng ta sẽ xem xét đến ứng dụng của kết quả các bài toán này như thế nào?
Bài toán 4. Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng 
Lời giải. Để ý rằng 
suy ra tồn tại tam giác nhọn sao cho . Giải hệ, thu được 
Và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
Từ đó, do bất đẳng thức suy ra điều phải chứng minh.
Bài toán 5. Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng 
Lời giải.
Đặt , ta được 
Khi đó, tồn tại các số dương sao cho 
Suy ra (Do bất đẳng thức Nesbit)
Mặt khác, điều kiện của bài toán có thể được viết lại dưới dạng
Theo kết quả của bài toán 3, thì tồn tại tam giác nhọn sao cho . Khi đó
Bài toán 6. Cho . Tìm tất cả các bộ ba số thực dương thỏa mãn 
Lời giải. Giả sử hệ có nghiệm. Phương trình thứ hai của hệ được viết lại thành
Do đó, tồn tại tam giác nhọn sao cho 
 và 	(*) 
Khi đó, phương trình thứ nhất trở thành 
Coi đây là phương trình bậc hai ẩn . Phương trình này có biệt thức . Nhưng do phương trình luôn có nghiệm, nên . Từ đó, đạt được . Từ đó và (*), thu được 
Trên đây, chúng tôi đã trình bày một số hằng đẳng thức đặc biệt và vài ứng dụng của nó. Tuy nhiên, do khuôn khổ của bài báo, chắc hẳn chúng ta vẫn chưa thể thấy hết cái hay của nó được. Sau đây là một số câu hỏi và bài tập tương tự, để các thầy, cô đồng nghiệp và các em học sinh tham khảo.
Câu hỏi 1. Tam giác nhọn tìm được ở bài toán 3 có duy nhất không? Chứng minh.
Câu hỏi 2. Từ hằng đẳng thức chúng ta xây dựng được bài toán 3, vậy với các hằng đẳng thức khác trong tam giác thì sao?
Bài tập 1. Tìm tất cả các bộ ba số dương thỏa mãn 
Bài tập 2. Ký hiệu là tập hợp các số thực dương. Tìm tất cả các bộ thỏa mãn 
Bài tập 3. Cho thỏa mãn . Chứng minh rằng 
Bài tập 4. Cho thỏa mãn . Chứng minh rằng 
Bài tập 5. Cho thỏa mãn . Chứng minh rằng
Bài tập 6. Chứng minh rằng, với mọi tam giác nhọn đều có