Tuyển tập đề thi vào lớp 10 môn Toán

Phũng GD & ĐT Đụng sơn 	 Đề thi học sinh giỏi lớp 9 (Bảng A)
 Mụn : Toỏn	(Thời gian làm bài: 150 phỳt.)
Bài 1: Cho biểu thức: A =:
a, Rỳt gọn biểu thức A.
b, Tớnh giỏ trị biểu thức A khi x = 3 + ; y = 3 - 
 (Đề sỏng tỏc)
Bài 2: Cho 3 số a, b, c 0 thỏa món: abc và a3+b3 +c3 = 3abc.
P = ; 	Q = 
Chứng minh rằng : P.Q = 9.
 (Tương tự bài 53-"23 chuyờn đề giải 1001 bài toỏn sơ cấp")
Bài 3: Giải phơng trỡnh : (4x – 1)= 2(x2+1) + 2x -1.
 (Bài 16 -trang 11-"Phương trỡnh và hệ phương trỡnh khụng mẫu mực")
Bài 4: Giải hệ phương trỡnh sau:
 (Đề sỏng tỏc)
Bài 5: Cho 3 số x,y,z thỏa món x + y + z = 3 và x4+y4+z4 =3xyz. Hóy tớnh giỏ trị của biểu thức M = x2006 + y2006 + z2006
 (Đề sỏng tỏc )
Bài 6: Cho Parabol (P) cú phương trỡnh y = x2 và điểm A(3;0) ; Điểm M thuộc (P) cú hoành độ a.
a) Xỏc định a để đoạn thẳng AM cú độ dài ngắn nhất .
b) Chứng minh rằng khi AM ngắn nhất thỡ đường thẳng AM vuụng gúc với tiếp tuyến của (P) tại điểm M.
 (Bài 579-"23 chuyờn đề giải 1001 bài toỏn sơ cấp")
Bài 7: Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh : x3 + x2 + x +1 = 2003y
 (Đề sỏng tỏc) 
Bài 8: Cho tam giỏc ABC vuụng ở A. I là trung điểm của cạnh BC, D là một điểm bất kỳ trờn cạnh BC. Đường trung trực của AD cắt cỏc đường trung trực của AB, AC theo thứ tự tại E và F.
a) Chứng minh rằng: 5 điểm A,E,I,D,F cựng thuộc một đường trũn.
b) Chứng minh rằng: AE.AC = AF.AB.
c) Cho AC = b; AB = c. Hóy tỡm giỏ trị nhỏ nhất của diện tớch tam giỏc AEF theo b, c 
 ( Đề sỏng tỏc)
Bài 9: Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Một điểm P di động trờn BC. Qua P vẽ PQ//AC
(QAB) và PR//AB (RAC). Tỡm quỹ tớch cỏc điểm D đối xứng với P qua QR.
 (Bài 1000 -"23 chuyờn đề giải 1001 bài toỏn sơ cấp")
 Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 9
Mụn : Toỏn
Bài
 Lời giải 
Biểu điểm
a) ĐKXĐ : x >0 ; y>0 ; x y
A = : 
= . 
= . 
=. = 
b) Với x= 3 + Và y = 3 - ta cú : x >y do đú
 A = 
Mà A2 = 
Vậy : A = 
0,25
0,75
0,25
0,75
Ta cú : a3 + b3 + c3 = 3abc a3 + b3 + c3 -3abc = 0
 (a + b + c ) ( a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc ) = 0 (1)
Mà a2 + b2 + c2 - ab – ac –bc = [(a –b )2 + (b – c)2 +(c-a)2 ] 0
 ( Do a b c )
Do đú:(1) a +b +c = 0 a +b = - c ; a +c = -b ; b +c = -a (2)
 Mặt khỏc :
P = 
P = (3)
Hơn nữa :
Đặt Ta cú (do (2) )
Vỡ thế :
Q = 
 = - ( Biến đổi tương tự rỳt gọn P )
 = -
 = (4)
Từ (3) và (4) ta cú : P.Q=
Vậy P.Q = 9
0,5
0,5
0,75
0,25
 (4x – 1) 2(x2 +1) +2x -1 (5)
 Đặt = y ( y 1) Ta cú : 
(5) (4x -1).y = 2y2 + 2x – 1
 2y2 - 4xy +2x + y -1 = 0
 (2y2 – 4xy +2y ) – ( y -2x + 1) = 0
 2y (y -2x + 1) – ( y -2x + 1) = 0
 (y-2x + 1 ) (2y- 1) = 0 
 = 2x -1
 x2 + 1 = 4x2 – 4x + 1
 x(3x – 4) = 0 
0,25
1,0
0,75
 (I ) (ĐKXĐ : x 0; y 0 )
Ta cú :
( a) ()(=0 
x = y thế vào (b) ta đợc :
2x +18x = 4 20x - 7 -13 = 0 (6)
 Đặt = t (t 0 ) ta cú :
( 6) 20 t2 – 7t – 13 = 0 
 = 1 x = 1
Vậy hệ (I) cú nghiệm duy nhất (x,y) = (1, 1)
1,0
1,0
Theo BĐT Cụ si ta cú : 
 x4 + y4 +z4 x2y2 + y2z2 +x2z2 ( 7 )
Mặt khỏc : x2y2 + y2z2 +x2z2 xy2z + xyz2 +x2yz (C/M tương tự quỏ trỡnh trờn)
 x2y2 + y2z2 +x2z2 xyz (x +y +z)
 x2y2 + y2z2 +x2z2 3xyz (8) (do x +y z =3 )
Do đú : x4 +y4 + z4 3xyz (9) 
Dấu “ = “xảy ra
 x = y = z (10)
Hơn nữa x + y +z =3 (11)
Từ (10 ) và (11) 3x = 3 x = 1 y = z =1
 x2006 + y2006 + z2006 = 1 + 1 +1 = 3
Vậy : M = 3
0,75
0,75
0,5
a)Ta cú : A (3; 0) và M(a; a2 ) do đú :
AM2 = (a – 3)2 +(a2 – 0)2 = a4 + a2 – 6a +9
 = (a4 -2a2 +1 ) +3 ( a2 – 2a +1 ) +5
 = ( a2 -1)2 + 3(a-1)2 + 5 5
 AM 
Min AM = khi và chỉ khi a = 1
b) Theo cõu a : AM cú độ dài ngắn nhất a = 1 ,Khi đú M(1;1)
Do đú phương trỡnh đường thẳng AM là: y = - 
 (do A(3;0)) ( c )
Gọi phương trỡnh đường thẳng đi qua điểm M (1;1) và tiếp xỳc với ( P) tại điểm M là (d) : y = ax +b ta cú : a .1 + b = 1 (12)
(Do M(1;1) (d) )
và phương trỡnh : x2 = ax +b cú nghiệm kộp (13) (do (d) tiếp xỳc với (P) )
Mà : x2 = ax + b x2 – (ax + b ) = 0 (14) 
Phương trỡnh (14 ) cú = (-a)2 – 4.1.(-b) = a2 + 4b
Nờn : (13) a2 + 4b = 0 (15)
Từ (12) và (15 ) ta cú hệ phương trỡnh: 
Vỡ thế phương trỡnh đường thẳng đi qua điểm M(1;1) và tiếp xỳc với 
( P ) tại M là : y = 2x -1 (d)
Từ (c ) và ( d) (d) AM (do -. 2 = -1 )
Vậy : Khi AM ngắn nhất thỡ AM vuụng gúc với tiếp tuyến của (P) tạiM 
1.0
0,25
0,5
0,25
+)Nhận thấy (0;0) là nghiệm nguyờn của phương trỡnh :
 + x2 +x +1 = 2003 (16)
+) Với y< 0 ta cú : 2003y Z mà x3 +x2 +x +1 Z 
(Với x Z ) Phương trỡnh (16) khụng cú nghiệm nguyờn thỏa món y < 0
+) Với y >0 ta cú :
 (16) (x +1)(x2 +1) = 2003y (*)
Từ (*) x +1 >0 (do x2 +1 > 0 và 2003y > 0 )
Đặt ƯCLN ( x + 1; x2 +1 ) = d ta cú :
(x+1) d và (x2 + 1) d [ x2 +1 + (x +1) (1 - x)] d
 d =1 (**)
Mặt khỏc : 2003 là số nguyờn tố ,nờn cỏc ớc của 2003y chỉ cú thể là 1 hoặc 2003m (m N* ) (***)
Từ (*) , (**) và (***) x = 0 y = 0 (loại)
 phương trỡnh (16) cũng khụng cú nghiệm nguyờn thỏa mản y > 0 
Vậy : Phương trỡnh cú nghiệm nguyờn duy nhất ( 0; 0) 
0,5
0,25
1,0
0,25
F
A
a) Ta cú : E là giao điểm 
của 2 đường trung trực 
của 2 cạnh AD,AB
Nờn E là tõm đường trũn 
M
ngoại tiếp ABD.
E
C
Tương tự ta cú: F là tõm
đường trũn ngoại tiếp ACD
B
H
I
D
Do đú :
 +ABD = AED AED = 2 B 
+ACD = AFD AFD = 2 C	
 AED + AFD = 2 (B +C) =1800 AEDF Nội tiếp (17)
Lại cú : AI = BC = BI ABC cõn tại I
 BAI = B AID = 2 B AID + AFD = 1800 
 Tứ Giỏc AIDF nội tiếp (18)
Từ (17 ) ; (18 ) 5 điểm A , E , I , D , F cựng thuộc đường trũn
 b)Ta cú EF là đường trung trực của AD nờn : AE = ED ; FA =FD
 AEF = DEF ( c. c.c )
 + )AEF = DEF = AED = . 2 B = B	
 + ) Tương tự AEF = C
Suy ra AEF ABC (g.g) 
 AE.AC = AE. AB
c) Theo cõu b) Ta ccú : AEF ABC
 ( k là tỉ số đồng dạng)
 AE =kc ; AF = kb .
Ta cú : AEF vuụng tại A (do ABC vuụng tại A 
và AEF ABC )
Nờn diện tớch AEF là S = AE.AF 2S = k2 bc (19)
 Mặt khỏc S = AM.EF 2S = AM . EF 4S2 = AM2 .EF2
4S2 = ( . (k2b2 + k2c2 ) (20)
 Từ (19) và (20) 2S = S = (21)
Do đú : S nhỏ nhất AD nhỏ nhất 
Mà AD AH ( AH BC , H BC )
 Lại cú AH = (22)
Từ (21) ; (22) S 
Vậy Min S = ( Khi D H )
0,5
0,5
0,5
0,5
a) Phần thuận 
 Giả sử D là điểm đối xứng với P qua QR ta cú :
* QP = QB = QD P, B , D thuộc đường trũn (Q)
 BDP = BQP = BAC (23)
A
R
Q
D
* Tương tự : CDP = BAC (24)
 Từ (23) ;(24) BDC = BAC 
B
C
P
 điểm D thuộc cung BAC 
(Của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC )
b) Phần đảo 
Lấy điểm D” thuộc cung BAC ( D’ B, C) , Gọi Q’ là giao điểm của AB với đường trung trực của D’B ; qua Q’ kẻ Q’P’ // AC qua P’ kẻ P’R’ // AB ta cú Q’R’ là đường trung trực của D’P’
Vậy qũy tớch cỏc điểm D là cung BAC của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC (trừ 2 điểm B,C )
1,0
1,0
PHềNG GD-ĐT CAM LỘ
Kè THI HỌC SINH GIỎI VĂN HểA NĂM HỌC 2008-2009
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI MễN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phỳt
Cõu 1:(1 điểm)
 Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử : +2009+2008+2009
Cõu 2:(1 điểm)
 Giải phương trỡnh sau:
 +=+
Cõu 3: (2 điểm)
 a/ Chứng minh rằng 
 b/ Cho hai số dương a,b và a=5-b.
 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của tổng P= 
Cõu 4:(2 điểm)
a/ Cho a và b là hai số thực dương thừa món điều kiện : 
 Hóy tớnh tổng: S= 
 b/ Chứng minh rằng :A= là số nguyờn
Cõu 5: (1 điểm) Tỡm cỏc số nguyờn dương x,y thừa món phương trỡnh sau:
 xy-2x-3y+1=0
Cõu 6: (3điểm) 
Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú cạnh AC>AB ,đường cao AH (H thuộc BC).Trờn tia HC lấy điểm D sao cho HD=HA.Đường vuụng gúc với với BC tại D cắt AC tại E.
 a)Chứng minh hai tam giỏc BEC và ADC đồng dạng
 b)Chứng minh tam giỏc ABE cõn.
 c)Gọi M là trung điểm của BE và vẽ tia AM cắt BC tại G. Chứng minh rằng: 
PHềNG GD-ĐT CAM LỘ
Kè THI HỌC SINH GIỎI VĂN HểA NĂM HỌC 2008-2009
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM MễN: TOÁN
Cõu 1: (1 điểm)
 +2009+2008+2009
 = (++1)+2008(++1) 0,25 đ
 = (++1)( -+1)+ 2008(++1) 0.5 đ
 = (++1)( -+2009) 0,25 đ
Cõu 2: ( 1 điểm)
 +=+
 (+1)+(-1)=(+1)+(-1) 0,25đ
 =+ 0,25đ
 0,25 đ
 x=-15 0,25 đ
Cõu 3: (2 điểm)
 a/ (1 điểm)
 	0,25 đ
 0,25 đ
 0,25 đ
 0,25 đ
 b/ (1 điểm)
 P=== 0,25 đ
 P== 0,5 đ
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của P là khi a=b= 0,25 đ
Cõu 4 (2 điểm)
a/ (1 điểm)
 Ta cú: ( 0,25 đ
 1= 0,25 đ
 0,25 đ
Vậy S=1+1=2 0,25 đ
b/ (1 điểm)
A=
A= 0,25 đ
 = 0,25 đ
 == 0,25 đ 
 =1 Z 0,25 đ
Cõu 5 (1 điểm)
 xy-2x-3y+1=0
xy-3y=2x-1
y(x-3)=2x-1 0,25 đ
Ta thấy x=3 khụng thừa món,với x3 thỡ
 y=2+ 0,25 đ
Để y nguyờn thỡ x-3 phải là ước của 5 0,25 đ
Suy ra: (x,y) là (4,7) ;(8,3) 0,25 đ
Cõu 6 (3 điểm)
(1đ điểm)
Tam giỏc ADC và tam giỏc BEC:
( vỡ hai tam giỏc CDE và CAB đồng dạng) 
 Gúc C: chung 0,75 đ
Suy ra: Tam giỏc ADC đồng dạng với tam giỏc BEC (c-g-c) 0,25 đ 
b)(1 điểm) Theo cõu ta suy ra: 
 cú: 
 Suy ra: 0,5 đ
 Suy ra: 0,25 đ
Do đú: Tam giỏc ABE cõn( tam giỏc vuụng cú một gúc bằng 45) 0,25 đ
c)(1 điểm)
Tam giỏc ABE cõn tại E nờn AM cũn là phõn giỏc của gúc BAC
Suy ra: , mà 0,5 đ
Do đú: 0,5 đ
PHềNG GD&ĐT THANH OAI
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2013 - 2014
ĐỀ CHÍNH THỨC
Mụn: Toỏn
Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm cú: 01 trang
Cõu 1: (6 điểm)
a) Cho 
1. Rỳt gọn M
2. Tỡm giỏ trị nguyờn của x để biểu thức M nhận giỏ trị là số nguyờn 
b) Tớnh giỏ trị của biểu thức P 
 với 
Cõu 2: (4 điểm) Giải phương trỡnh
( 
|| = 
Cõu 3: (4 điểm)
a/ Cho hai số dương x, y thoả món x + y = 1.
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 
b/ Cho x, y, z là cỏc số dương thoả món .
Chứng minh rằng: .
Cõu 4: (5 điểm)
Cho đường trũn (O; R) và hai đường kớnh AB và CD sao cho tiếp tuyến tại A của đường trũn (O; R) cắt cỏc đường thẳng BC và BD tại hai điểm tương ứng là E và F. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của cỏc đoạn thẳng AE và AF.
1. Chứng minh rằng trực tõm H của tam giỏc BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA.
2. Gọi α là số đo của gúc BFE. Hai đường kớnh AB và CD thoả món điều kiện gỡ thỡ biểu thức . Đạt giỏ trị nhỏ nhất? tỡm giỏ trị nhỏ nhất đú.
3. Chứng minh cỏc hệ thức sau: CE.DF.EF = CD3 và .
Cõu 5: (1 điểm)
Tỡm nN*sao cho: n4 +n3+1 là số chớnh phương.
- Hết -
Lưu ý: Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm!
PHềNG GD&ĐT THANH OAI
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
NĂM HỌC 2013 - 2014
Mụn: Toỏn
Cõu 1: (6 điểm)
(4,5đ)
ĐKXĐ: (*) 
1)Rỳt gọn M : Với (0,5đ)
Vậy (với ) (*) (2,5đ)
2) (0,75đ)
Biểu thức M cú giỏ trị nguyờn khi và chỉ khi: 
Ư(3) Vỡ 
Nờn Xảy ra cỏc trường hợp sau: (0,5đ)
. (TMĐK (*) )
. (khụng TMĐK (*) loại ) (0,25đ)
Vậy x = 0 thỡ M nhận giỏ trị nguyờn. 
b_ 
Cú (0,5đ)
 (0,25đ)
 (0,75đ)
Với x = 1.Ta cú 
Vậy với x = 1 thỡ P = 2014
Cõu 2: (4 điểm)
 a. ( 
 ú (1)
 Đặt 
 (1) ú ( y + 1)(y – 1 ) – 24 = 0
 ú y2 – 25 = 0
 ú 
 ú 
 Chứng tỏ 
 Vậy nghiệm của phương trỡnh : 
 b. Ta cú 
 pt trở thành : 
 ú 
0,25 đ
 0,25 đ
 0,5 đ
 0,5 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
Cõu 3: (4 điểm)
a
 Cho hai số dương thỏa món: x + y =1.
Tỡm GTNN của biểu thức: M = 
 M = = 
Ta cú: 
 * Ta cú: (1) * (2)
Từ (1) và (2) 
Vậy M = 
Dấu “=” xảy ra (Vỡ x, y > 0)
Vậy min M = tại x = y = 
2đ
0,5
0, 5
0,5
0,25
0,25
0,5
b
Cho x, y là cỏc số dương thỏa món: 
 Chứng minh rằng: 
2đ
Áp dụng BĐT (với a, b > 0)
Ta cú: 
Tương tự: 
cộng vế theo vế, ta cú: 
0.5
0,5
0,5
0,5
0,5
Caai 4: (5 điểm)
BA là đường cao của tam giỏc BPQ suy ra H thuộc BA
Nối OE, BEF vuụng tại B; BA EF nờn AB2 = AE. AF
VậyAEO ABQ(c.g.c). Suy ra mà (gúc cú cỏc cạnh tương ứng vuụng gúc) nờn , mà hai gúc đồng vị => PH // OE.
Trong AEO cú PE = PA (giả thiết); PH// OE suy ra H là trung điểm của OA.
2. Ta có:
Ta có:
Suy ra: 
Do đó: khi và chỉ khi: (vì là góc nhọn) 
 Khi đú CD vuụng gúc với AB
3. Ta cú ACB và ADB nội tiếp đường trũn (O) cú AB là đường kớnh nờn => ADBC là hỡnh chữ nhật.
Ta cú: CD2 = AB2 = AE. AF => CD4 = AB4 = AE2. AF2
= (EC.EB)(DF.BF)=(EC.DF)(EB.BF)= EC.DF.AB.EF
AB3 = CE.DF.EF. Vậy CD3 = CE.DF.EF
Ta cú: 
0,25
.
0,75đ.
0,75đ.
0,25đ
.
0,75đ.
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Cõu 5: Giả sử n4 +n3 + 1 là số chớnh phương vỡ n4 +n3 + 1> n4 = (n2)2
Mà hoặc
Nếu 
Thử lại ( thỏa món)
Khi K
 mõu thuẫn với điều kiện (1đ) 
Vậy n = 2
PHÒNG GD&ĐT 
------------ả------------
KÌ THI HỌC SINH GIỎI 
Mụn: TOÁN
Thời gian: 150 phút (khụng kờ̉ thời gian giao đờ̀)
Đấ̀ RA
Cõu 1 (2.0 điờ̉m). Cho biểu thức: 
.
a) Rỳt gọn P.
b) Tớnh giá trị của P tại .
Cõu 2 (1.5 điờ̉m).Giải phương trình: 
Cõu 3 (2.5 điờ̉m). Cho x, y là các sụ́ dương.
Chứng minh: .
Tìm giá trị nhỏ nhṍt của biờ̉u thức: .
Cõu 4 (3.0 điờ̉m). Cho điờ̉m M nằm trờn nửa đường tròn tõm O đường kính AB = 2R (M khụng trùng với A và B). Trong nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tiờ́p tuyờ́n Ax. Đường thẳng BM cắt Ax tại I; tia phõn giác của cắt nửa đường tròn O tại E, cắt IB tại F; đường thẳng BE cắt AI tại H, cắt AM tại K.
Chứng minh 4 điờ̉m F, E, K, M cùng nằm trờn mụ̣t đường tròn.
Chứng minh .
Xác định vị trí của M trờn nửa đường tròn O đờ̉ chu vi đạt giá trị lớn nhṍt và tìm giá trị đó theo R?
Cõu 5 (1.0 điờ̉m). Tìm các sụ́ tự nhiờn x, y biờ́t rằng:
.
--------------------- Hờ́t ---------------------
*Ghi chú: Thí sinh khụng được sử dụng tài liợ̀u.
PHÒNG GD&ĐT 
KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Mụn: TOÁN
ĐÁP ÁN, 
CÂU
Nệ̃I DUNG
ĐIấ̉M
1
a
Điờ̀u kiợ̀n 
0.25
0.25
0.25
Vọ̃y 
0.25
b
0.25
0.25
. 
0.25
Vọ̃y do đó 
0.25
2
Điờ̀u kiợ̀n 
0.25
 (1)
0.5
Khi : Ta có
. Phương trình vụ nghiợ̀m
0.25
Khi : Ta có
0.25
Vọ̃y là nghiợ̀m của phương trình đã cho.
0.25
3
a
Vì x > 0, y > 0 nờn và 
0.25
Áp dụng bṍt đẳng thức dṍu "=" xảy ra 
ta có 
0.25
0.25
Vọ̃y .
0.25
Dṍu "=" xảy ra (vì x > 0, y > 0)
0.25
b
Đặt , ta có 
0.25
Vì nờn ; 
0.25
Ta có 
0.25
Do đó ; 
0.25
Vọ̃y giá trị nhỏ nhṍt của M bằng khi và chỉ khi .
0.25
Hình vẽ
 x
 I
 F 
 M 
 H E 
 K 
 A O B
a
Ta có M, E nằm trờn nửa đường tròn đường kính AB nờn và .
0.5
Vọ̃y 4 điờ̉m F, E, K, M cùng nằm trờn đường tròn đường kính FK
0.25
b
Ta có cõn tại A nờn AH = AK (1)
0.25
K là trực tõm của nờn ta có suy ra FK // AH (2)
0.25
Do đó mà (gt) cho nờn 
0.25
Suy ra AK = KF, kờ́t hợp với (1) ta được AH = KF (3)
0.25
Từ (2) và (3) ta có AKFH là hình bình hành nờn HF // AK. Mà suy ra .
0.25
c
Chu vi của lớn nhṍt khi chỉ khi MA + MB lớn nhṍt (vì AB khụng đụ̉i).
0.25
Áp dụng bṍt đẳng thức dṍu "=" xảy ra , ta có 
0.25
Nờn MA + MB đạt giá trị lớn nhṍt bằng khi và chỉ khi 
MA = MB hay M nằm chính giữa cung AB.
0.25
Vọ̃y khi M nằm chính giữa cung AB thì đạt giá trị lớn nhṍt.
Khi đó
0.25
5
Đặt , ta có là tích của 5 sụ́ tự nhiờn liờn tiờ́p nờn chia hờ́t cho 5. Nhưng khụng chia hờ́t cho 5, do đó A chia hờ́t cho 5.
0.25
Nờ́u , ta có chia hờ́t cho 5 mà 11879 khụng chia hờ́t cho 5 nờn khụng thỏa mãn, suy ra y = 0.
0.25
Khi đó , ta có 
0.25
.
Vọ̃y là hai giá trị cõ̀n tìm.
0.25
Đề 1
Bài 1: (3điểm): 	Cho A = 
Rỳt gọn A.	b) Tỡm để A nhận giỏ trị nhỏ nhất.
Bài 2 : (2điểm): 	Giải hệ phương trỡnh:
Bài 3 : (3điểm): 	Giải phương trỡnh:	
Bài 4 : (3điểm): 	Cho và 
	Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của A = .
Bài 5: (3 điểm) Cho hỡnh chữ nhật ABCD. Kẻ BM vuụng gúc với AC, gọi N là trung điểm của AM, P là trung điểm của CD. Chứng minh: .
Bài 6: (3 điểm) Cho ( AB = AC). Đường cao AH, kẻ HE vuụng gúc với AC, gọi O là trung điểm của EH. Chứng minh: AO BE
Bài 7: (3 điểm) 	Cho Cú AB = c, AC = b, BC = a.
	Chứng minh rằng: 
*********************** Hết ************************
PGD KRễNG PẮC	 ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN – NĂM HỌC 2007 – 2008
TRƯỜNG THCS EA YễNG	Mụn : Toỏn- Lớp 9
	 Thời gian làm bài : 150 phỳt
Bài 1: a) Đ/K: 	0.5 điểm
	A = 	0.5 điểm
	 = 	0.5 điểm
	b) A = 	0.5 điểm
	MinA = 2 (TMĐK)	1.0 điểm
Bài 2: 
ĐK: 	0.5 điểm
 	0.5 điểm
 	0.5 điểm
Do đú hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất 	0.5 điểm
Bài 3: 
	ĐK: 	0.5 điểm
	Áp dụng Bunnhiacopski
VT: (1)	0.5 điểm
VP: 	 (2)	0.5 điểm
 Phương trỡnh: cú nghiệm Dấu “=” xảy ở (1) và (2) đồng thời xảy ra.
 	1.5 điểm
Bài 4: ,b R+ thỡ dấu “=”a = b
	 Dấu “=” xảy ra a = b.	0.5 điểm
	A = 
	= 2007	1.0 điểm
	 A Do đú MinA = 2007 	0.5 điểm
Bài 5: 
Gọi I là trung điểm của BM.
NI cắt BC tại E.
Ta cú NI là đường trung bỡnh của .
 NI // AB và NI = AB.	0.5 điểm
AB BC NI BC tại E 	0.5 điểm
 I là trực tõm của CIBN (1) 	0.5 điểm
Ta cú:
 mà AB = CD IN = CP CINM là hỡnh bỡnh hành CI // NP (2)	 0.5 điểm
 	0.5 điểm
	Từ (1) và (2) NP BN tại N 	0.5 điểm
Bài 6: 
	Kẻ BD AC ( cựng phụ với )
 (gg) 	0.5 điểm
 cú BH = HC ( cõn tại A) DE = EC = 	0.5 điểm
HE // BD (cựng AC)
 	0.5 điểm
 và cú ( )
 (c.g.c)
 	0.5 điểm
Gọi K là giao điểm của AH và BE.
Ta cú: 
 (Vỡ )	0.5 điểm
	 AO BE.	0.5 điểm
Bài 7: 
Kẻ phõn giỏc AD của 
kẻ BE AD; CF AD
BED vuụng tại E BE BD
CFD vuụng tại F CF CD
 BE + CF BD + CD = a	0.5 điểm
ABE (= 1v) BE = AB. SinA1 = c. sin	0.5 điểm
ACF (= 1V) CF = AC. SinA2 = b. sin	0.5 điểm
 BE + CF = (b + c) sin a sin 	0.5 điểm
b>0; c>0 ỏp dụng bất đẳng thức Cụsi: b + c Sin 0.5 điểm
 Tương tự ta cũng cú: Sin ; Sin 
 Sin. Sin. Sin . . = 	0.5 điểm
************************************
PHềNG GD-ĐT NGHĨA HÀNH 	 ĐỀ THI HỌC SINH GIỔI LỚP 9 CẤP HUYỆN
TRƯỜNG THCS HÀNH MINH Mụn: Toỏn – Năm học: 2013- 2014
 Thời gian: 150 phỳt (khụng kể giao đề)
ĐỀ:
Bài 1: (6,0 điểm)
 a) Với n là số nguyờn dương. Hóy tỡm ƯCLN(21n+4 , 14n+3)
 b) Cho a, b, c là cỏc số nguyờn sao cho 2a + b; 2b + c; 2c + a là cỏc số chớnh phương, biết rằng trong ba số chớnh phương núi trờn cú một số chia hết cho 3. 
Chứng minh rằng: (a - b)(b - c)(c - a) chia hết cho 27.
 c) Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: x2 + y2 = xy + x + y.
Bài 2: (3,0 điểm)
 a)Tớnh giỏ trị của biểu thức P=
 b) Giải phương trỡnh: 
Bài 3: (4,0 điểm)
 a) Cho x > 0, y > 0 và x + y 1. Chứng minh bất đẳng thức .
 b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức , với .
Bài 4: (5,0 điểm)
Cho tam giỏc đều ABC cú độ dài cạnh bằng a. Gọi M là một điểm nằm ở miềm trong của tam giỏc. MI MP, MQ theo thứ tự là khoảng cỏch từ M đến cỏc cạnh BC, AB, AC. Gọi O là trung điểm của cạnh BC. Cỏc điểm D và E thứ tự chuyển động trờn cỏc cạnh AB và AC sao cho .
 a) Chứng minh MI + MP + MQ khụng đổi
 b) Chứng minh rằng đường thẳng DE luụn tiếp xỳc với một đường trũn cố định.
 c) Xỏc định vị trớ của cỏc điểm D và E để diện tớch tam giỏc DOE đạt giỏ trị nhỏ nhất và tớnh giỏ trị nhỏ nhất đú theo a.
 Bài 5: (2,0 điểm)
 Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH. Biết rằng AB = CH.
Chứng minh rằng: .
..Hết..
(Giỏm thị coi thi khụng giải thớch gỡ thờm)
Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo sanh:.
Giỏm thị 1:.. Giỏm thị 2: ...
ẹAÙP AÙN ẹEÀ THI HOẽC SINH GIOÛI CAÁP HUYỆN
Bài
Cõu
Đỏp ỏn
Điểm
Bài 1:
(6,0đ)
a)
(2,0đ)
Đặt d = ƯCLN(21n+4 , 14n+3) , với nẻ N*). Ta cú :
(21n + 4) + d và (14n + 3) + d
ị 2(21n + 4) + d và 3(14n + 3) + d
ị [3(14n + 3) - 2(21n + 4)] + d
ị (42n + 9 - 42n - 9) + d ị 1 + d ị d = 1
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b) (2,0đ)
Vỡ 2a + b; 2b + c; 2c + a là cỏc số chớnh phương nờn ta cú thể đặt 
2a + b = m2; 2b + c = n2; 2c + a = p2 với m, n, p là cỏc số tự nhiờn.
Vỡ trong cỏc số m2; n2; p2 cú một số chia hết cho 3 nờn khụng mất tớnh tổng quỏt cú thể giả sử m2 chia hết cho 3 (1).
Ta lại cú m2 + n2 + p2 = 3a + 3b + 3c chia hết cho 3 (2) 
Từ (1) và (2) suy ra n2 + p2 chia hết cho 3. Dễ thấy n và p đều chia hết cho 3.
Do đú 2a + b; 2b + c; 2c + a đều chia hết cho 3.
Từ đú suy ra a, b, c đều chia hết cho 3.
Vậy (a - b)(b - c)(c - a) chia hết cho 27.
0,5
c) (2,0đ)
x2 + y2 = xy + x + y Û (x - y)2 + (x - 1)2 + (y - 1)2 = 2.
Vỡ x, yẻ Z nờn :
x+y
0
0
0
0
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
x-1
1
-1
1
-1
0
0
1
-1
0
0
1
-1
y-1
1
1
-1
-1
1
-1
0
0
1
-1
0
0
(x;y)
(2;2)
(0;0)
(1;0)
(2;1)
(1;2)
(0;1)
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Bài 2:
(3,0đ)
a) (1,0đ)
P= 
Vậy P = 2014
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b) (2.0đ)
 Điều kiện 
x2 - 16x + 66 = (x-8)2 + 2 (1)
 (2)
 (1) và (2)= 2
Khi (thoả món điều