Tuyển tập Đề thi học sinh giỏi Toán 9

ĐỀ THI HSG LỚP 9 ( 2011 – 2012) – 120p
Bài 1: (2,0 đ) Cho 3 số , , nguyên. Chứng minh rằng nếu chia hết cho 4 thì :
 chia hết cho 4.
Bài 2: (4,0 đ) Cho biểu thức :
 với ; 
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P tại 
c) Tìm giá trị của để .
Bài 3: (3,0 đ) Cho hàm số: (d). Tìm sao cho:
Đường thẳng (d) đi qua điểm . Tính khoảng cách từ gố tọa độ đến đường thẳng (d).
Đường thẳng (d) cắt đường thẳng tại điểm có hoành độ là 3.
Bài 4: (3,5 đ)
Giải phương trình: 
Cho , là 2 số dương. Chứng minh rằng: 
Bài 5: (7,0 đ)
Câu 1: Cho đường tròn tâm O, bán kính R không đổi, 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Lấy điểm I thuộc đoạn OC ( I khác O và C ). Vẽ đường tròn tâm I bán kính IA, đường tròn này cắt tia AD và tia AC lần lượt tại M và N ( khác điểm A).
Xác định vị trí của 2 đường tròn tâm O và tâm I.
Chứng minh 3 điểm I, M, N thẳng hàng.
Từ M kẻ MK song song với AC ( K thuộc CD). Chứng minh:
 và 
Chứng minh tổng có giá trị không phụ thuộc vào vị trí điểm I.
Câu 2: Cho tan. Tính giá trị của biểu thức: 
ĐỀ THI HSG LỚP 9 ( 2012 – 2013) – 120p
Bài 1: (2,0 đ) Tìm số bị chia nhỏ nhất khi chia cho 3 dư 1, chia cho 4 dư 2, chia cho 5 dư 3, chia cho 6 dư 4 và chia hết cho 11.
Bài 2: (3,5 đ) Cho biểu thức :
 với ; 
a) Rút gọn .
b) Chứng minh rằng 
c) Tìm giá trị của thỏa mãn: 
Bài 3: (5,0 đ) 
Tìm , thỏa mãn: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
Cho . Chứng minh bất đẳng thức: 
Bài 4: (2,5 đ) Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm , , .
Xác định dạng của ABC.
Viết phương trình trục đối xứng của ABC.
Bài 5: (7,0 đ)
Câu 1: Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng xy không giao nhau. Từ một điểm M tùy ý trên đường thẳng xy kẻ tiếp tuyến MP và MQ với (O) ( với P, Q là các tiếp điểm). Dây cung PQ cắt OM tại K.
Chứng minh 4 điểm M, P, O, Q cùng thuộc một đường tròn.
C/minh tích OK.OM không phụ thuộc vị trí của điểm M trên đường thẳng xy.
Chứng minh đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi M chạy trên xy.
Tìm vị trí của điểm M sao cho diện tích MPOQ nhỏ nhất.
Đường thẳng MO cắt (O) tại E, F (). Kẻ cát tuyến MIJ với (O) ( I nằm giữa M và J), kẻ EA và FB vuông góc với MIJ (A, B nằm trên MIJ). 
 Chứng minh: 
Câu 2: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Qua H dựng đường thẳng a cắt cạnh AB và đường thẳng AC lần lượt tại E và G. Vẽ đường thẳng b vuông góc với đường thẳng a tại H, b cắt cạnh AC và đường thẳng AB lần lượt tại F và D.
Chứng minh EF vuông góc với DG.
Tìm điều kiện của hai đường thẳng a và b thỏa mãn đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b tại H để EF ngắn nhất.
ĐỀ THI HSG LỚP 9 ( 2013 – 2014) – 120p
Bài 1: (2,0 đ) 
Cho biểu thức : và 
CMR: với mọi giá trị nguyên n thì thương của phép chia A cho B là bội của 6.
Tìm giá trị n nguyên để A chia hết cho B.
Bài 2: (4,0 đ) 
Cho biểu thức : ( với , là số dương )
a) Rút gọn biểu thức A và chứng minh A không âm.
b) Tính giá trị của A khi và 
Bài 3: (4,0 đ) 
Giải phương trình: 
Tìm các giá trị nguyên dương , sao cho: .
Bài 4: (3,0 đ) 
Cho 2 điểm và điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
OAB là tam giác gì? Vì sao?
Tính khoảng cách từ gốc O tới AB.
2. Cho . Tìm GTLN của biểu thức 
Bài 5: (7,0 đ)
Câu 1: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của B qua C. Kẻ BH vuông góc với AE tại điểm H, gọi I là trung điểm của HE.
Chứng minh .
Gọi K là trực tâm của ABI. Chứng minh K là trung điểm của BH.
Chứng minh KC đi qua trung điểm của BI.
Chứng minh đường thẳng AC, BD và đường trung trực của IC đồng quy.
Câu 2: Cho đường tròn tâm O bán kính R, dây CD có trung điểm H. Trên tia đối của tia DC lấy điểm S, qua S kẻ các tiếp tuyến SA, SB với đường tròn. Đường thẳng AB cắt SO, OH lần lượt tại E, F. Chứng minh:
Tích không đổi.
Bốn điểm S, E, H, F nằm trên một đường tròn.
Khi S chuyển động trên tia đối của tia DC thì đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.