Tuyển tập 50 bài toán điển hình về min - Max trong các đề thi thử THPT quốc gia 2015

 TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH 
MIN - MAX 
CẨM NANG CHO MÙA THI 
NGUYỄN HỮU BIỂN 
https://www.facebook.com/ng.huubien 
Email: ng.huubien@gmail.com 
(ÔN THI THPT QUỐC GIA) 
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 
Trang 1 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
Bài 1: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: 1x y z+ + = 
Tìm giá trị nhỏ nhất của: x y y z z xP
xy z yz x zx y
+ + +
= + +
+ + +
Hướng dẫn 
Ta có 1 1+ + = ⇒ + = −x y z x y z , ta có: 
1 1
1 (1 )(1 )
+ − −
= =
+ + − − − −
x y z z
xy z xy x y x y
1 1
1 (1 )(1 )
+ − −
= =
+ + − − − −
y z x x
yz x yz y z y z
1 1
1 (1 )(1 )
+ − −
= =
+ + − − − −
z x y y
zx y zx x z x z
Khi đó + + += + +
+ + +
x y y z z xP
xy z yz x zx y
=
1
(1 )(1 )
−
− −
z
x y
+
1
(1 )(1 )
−
− −
x
y z
+
1
(1 )(1 )
−
− −
y
x z
3
1 1 13 . . 3(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
− − −≥ =
− − − − − −
z x y
x y y z x z
. 
Vậy 3=MinP đạt được khi 1
3
= = =x y z 
Bài 2: Cho x, y, z là ba số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = 3. 
 Chứng minh rằng với 1a∀ ≥ ta luôn có : 1 1 1 .
x y z x y z
x y z
a a a a a a
+ + ≥ + +
Hướng dẫn 
* Với a = 1 ta thấy BĐT đúng . 
* Ta xét khi a > 1. 
Hàm số y = 1 1
t
t
y
a a
 
= =  
 
 nghịch biến với t R∀ ∈ , khi a > 1. 
Khi đó ta có 
Ta có : 1 1( )( ) 0,
x yx y a a
− − ≤ , .x y R∀ ∈ Suy ra 
x y y x
x y x y
a a a a
+ ≤ + (1) 
Chứng minh tương tự y z y z
y z z y
a a a a
+ ≤ + (2) 
z x z x
z x x z
a a a a
+ ≤ + (3) 
Cộng vế với vế (1) ,(2) và (3) ta được 2( )
x y z x y z
x y z y z z x x y
a a a a a a
+ + +
+ + ≤ + + (4) 
Cộng 2 vế của (4) với biểu thức 
x y z
x y z
a a a
+ + ta được 
1 1 13( ) ( )( )
x y z x y z x y z
x y z x y z x y z x y z
x y z
a a a a a a a a a
+ + + + + +
+ + ≤ + + = + + + + 
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 
Trang 2 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
Suy ra 1 1 1 .
x y z x y z
x y z
a a a a a a
+ + ≥ + + ( do x + y + z = 3 ) 
Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi x = y = z = 1. (đpcm) 
Bài 3: Cho , ,a b c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện 3.ab bc ca+ + = 
Chứng minh rằng: 2 2 2
1 1 1 1
.
1 ( ) 1 ( ) 1 ( )a b c b c a c a b abc+ + ≤+ + + + + + 
Hướng dẫn 
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có: 233 3 ( ) 1ab bc ca abc abc= + + ≥ ⇒ ≤ . 
Suy ra: 2 2 2
1 11 ( ) ( ) ( ) 3 (1).
1 ( ) 3a b c abc a b c a ab bc ca a a b c a+ + ≥ + + = + + = ⇒ ≤+ + 
Tương tự ta có: 2 2
1 1 1 1(2), (3).
1 ( ) 3 1 ( ) 3b c a b c a b c≤ ≤+ + + + 
Cộng (1), (2) và (3) theo vế với vế ta có: 
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1( )
1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 3 3
ab bc ca
a b c b c a c a b c b c abc abc
+ +
+ + ≤ + + = =
+ + + + + +
□ . 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1, 3 1, ( , , 0).abc ab bc ca a b c a b c= + + = ⇒ = = = > 
Bài 4: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn 0,0,221221 >>+−<<−− zyx và 
1−=++ zyx . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 222 )(8
1
)(
1
)(
1
zyzxyx
P
+−
+
+
+
+
= . 
Hướng dẫn 
Ta có 222222 )1(8
1
)1(
1
)1(
1
)1(8
1
)1(
1
)1(
1
xzyxyz
P
+−
+
+
+
+
=
−−−
+
−−
+
−−
= 
Ta sẽ chứng minh 
yzzy +
≥
+
+
+ 1
1
)1(
1
)1(
1
22 
Thật vậy: 22222 )]1)(1[(])1()1)[(1(1
1
)1(
1
)1(
1 yzyzyz
yzzy
++≥++++⇔
+
≥
+
+
+
. 
222 )1()222)(1( yzzyyzyzyz +++≥+++++⇔ 
22
2
)()1)((2)1(
)1(2))(1()1(2)1)((2
yzzyyzzy
yzzyzyzyyzzyyz
++++++≥
++−++++++⇔
04)()1(242))(1( 22222 ≥−−−+−+++−+⇔ yzzyyzzyyzzyzy 
0)1()( 22 ≥−+−⇔ yzzyyz (hiển nhiên đúng). 
Dấu “=” xảy ra khi 1== zy . 
Ta lại có yzzy ≥+
2
4
)1(
4
)1(
2
222 xxzyyz +=−−=




 +≤⇒ 
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 
Trang 3 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
Do đó 2222 )1(4
4
4
)1(1
1
1
1
)1(
1
)1(
1
xxyzzy ++
=
+
+
≥
+
≥
+
+
+
 22 )1(8
1
)1(4
4
+−
+
++
≥⇒
xx
P 
Do 221221 +−<<−− x nên )8;0[)1( 2 ∈+x . 
Đặt )8;0[)1( 2 ∈⇒+= txt và P
tt −
+
+
≥
8
1
4
4
Xét 
tt
tf
−
+
+
=
8
1
4
4)( với )8;0[∈t . 22
2
22 )8()4(
240723
)8(
1
)4(
4)('
tt
tt
tt
tf
−+
−+−
=
−
+
+
−= 
20;402407230)(' 2 ==⇔=−+−⇔= tttttf (loại) 
Bảng biến thiên 
t 
0 4 
8 
f’(t) - 0 + 
f(t) 
8
9
∞+ 
4
3
Do đó 
4
3)( ≥≥ tfP và 
4
3
=P khi 



==
−=
⇔





−=++
==
=+
1
3
1
1
4)1( 2
zy
x
zyx
zy
x
 Vậy 
4
3
min =P khi 1,3 ==−= zyx 
Bài 5: Cho x,y ∈ R và x, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của ( ) ( )3 3 2 2( 1)( 1)
x y x y
P
x y
+ − +
=
− −
Hướng dẫn 
Đặt t = x + y ; t > 2. Áp dụng BĐT 4xy ≤ (x + y)2 ta có 
2
4
t
xy ≤ 
3 2 (3 2)
1
t t xy tP
xy t
− − −
=
− +
. Do 3t - 2 > 0 và 
2
4
t
xy− ≥ − nên ta có 
2
3 2
2
2
(3 2)
4
21
4
t t
t t tP
t t
t
−
− −
≥ =
−
− +
Xét hàm số 
2 2
2
4( ) ; '( ) ;
2 ( 2)
t t tf t f t
t t
−
= =
− −
 f’(t) = 0 ⇔ t = 0 v t = 4. 
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 
Trang 4 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
t 2 4 +∞ 
f’(t) - 0 + 
f(t) 
 + ∞ +∞ 
8 
Do đó min P = 
(2; )
min ( )f t
+∞
 = f(4) = 8 đạt được khi 4 2
4 2
x y x
xy y
+ = = 
⇔ 
= = 
Bài 6 : Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1. 
Chứng minh rằng: 3a b b c c a
ab c bc a ca b
+ + +
+ + ≥
+ + +
Hướng dẫn 
* Biến đổi 1 1
1 (1 )(1 )
a b c c
ab c ab b a a b
+ − −
= =
+ + − − − −
* Từ đó 1 1 1
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
c b a
VT
a b c a c b
− − −
= + +
− − − − − −
Do a,b,c dương và a+b+c=1 nên a,b,c thuộc khoảng (0;1) => 1-a,1-b,1-c dương 
* Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta được 
3
1 1 13. . .
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
c b a
VT
a b c a c b
− − −≥
− − − − − −
=3 (đpcm) 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1
3
a b c= = = 
Bài 7: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: 1yz zx xy
x y z
+ + = . 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
1 1 1
1 1 1
A
x y z
= + +
− − −
. 
Hướng dẫn 
Đặt , ,
yz zx xy
a b c
x y z
= = = . Ta có a, b, c > 0 và 2 2 2 1a b c+ + = . Ta có: 
1 1 1 3
1 1 1 1 1 1
bc ca abA
bc ca ab bc ca ab
= + + = + + +
− − − − − −
. Dễ có: 
( ) ( )
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 14
1 2 21
2
b c
b cbc b c
bc b c b a c a b a c a
+
 +
≤ = ≤ + 
− + + + + + + 
−
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 
Trang 5 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
Tương tự có: 
2 2
2 2 2 2
1
1 2
ca c a
ca c b a b
 
≤ + 
− + + 
 và 
2 2
2 2 2 2
1
1 2
ab a b
ab a c b c
 
≤ + 
− + + 
từ đó: A 
3 93
2 2
≤ + = . Dấu bằng xảy ra khi x = y = z =1/3 
Bài 8: Cho , ,a b c là các số thực dương và 3a b c+ + = . 
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ( )( )( )3
2
3 1 1 1
abcP
ab bc ca a b c
= +
+ + + + + +
Hướng dẫn 
Áp dụng Bất đẳng thức: 2( ) 3( )x y z xy yz zx+ + ≥ + + , , ,x y z∀ ∈ℜ ta có: 
2( ) 3 ( ) 9 0ab bc ca abc a b c abc+ + ≥ + + = > 3ab bc ca abc⇒ + + ≥ 
Ta có: 33(1 )(1 )(1 ) (1 ) , , , 0a b c abc a b c+ + + ≥ + ∀ > . Thật vậy: 
( ) ( ) ( ) 2 33 331 1 1 1 ( ) ( ) 1 3 3 ( ) (1 )a b c a b c ab bc ca abc abc abc abc abc+ + + = + + + + + + + ≥ + + + = + 
Khi đó: 
3
3
2
3(1 ) 1
abcP Q
abc abc
≤ + =
+ +
 (1). 
Đặt 6 abc t= ; vì a, b, c > 0 nên 
3
0 1
3
a b c
abc + + < ≤ = 
 
Xét hàm số ( ]
2
3 2
2
, 0;1
3(1 ) 1
tQ t
t t
= + ∈
+ +
( ) ( )
( ) ( ) ( ]
5
2 23 2
2 1 1( ) 0, 0;1
1 1
t t tQ t t
t t
− −
′⇒ = ≥ ∀ ∈
+ +
. 
Do đó hàm số đồng biến trên ( ]0;1 ( ) ( ) 11
6
Q Q t Q⇒ = ≤ = (2). Từ (1) và (2): 1
6
P ≤ . 
Vậy maxP = 1
6
, đạt được khi và và chi khi : 1a b c= = = . 
Bài 9: Cho , ,a b c là các số dương và 3a b c+ + = . 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
3 3 3
bc ca ab
a bc b ca c ab
P + +
+ + +
= 
Hướng dẫn 
Vì a + b + c = 3 ta có 
3 ( ) ( )( )
bc bc bc
a bc a a b c bc a b a c
= =
+ + + + + +
1 1
2
bc
a b a c
 ≤ + + + 
Vì theo BĐT Cô-Si: 1 1 2( )( )a b a c a b a c
+ ≥
+ + + +
, dấu đẳng thức xảy ra ⇔ b = c 
Tương tự 1 1
23
ca ca
b a b cb ca
 ≤ + + ++  
 và 1 1
23
ab ab
c a c bc ab
 ≤ + + ++  
Suy ra P 3
2( ) 2( ) 2( ) 2 2
bc ca ab bc ab ca a b c
a b c a b c
+ + + + +≤ + + = =
+ + +
, 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Vậy max P = 3
2
 khi a = b = c = 1. 
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 
Trang 6 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
Bài 10: Cho a, b, c là các số dương và 3a b c+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
3 3 3
bc ca abP
a bc b ca c ab
= + +
+ + +
 . 
Hướng dẫn 
Vì a + b + c = 3 ta có 
3 ( ) ( )( )
bc bc bc
a bc a a b c bc a b a c
= =
+ + + + + +
1 1
2
bc
a b a c
 ≤ + + + 
Vì theo BĐT Cô-Si: 1 1 2
( )( )a b a c a b a c
+ ≥
+ + + +
, dấu đẳng thức xảy ra ⇔ b = c 
Tương tự 1 1
23
ca ca
b a b cb ca
 ≤ + + ++  
 và 1 1
23
ab ab
c a c bc ab
 ≤ + + ++  
Suy ra P 3
2( ) 2( ) 2( ) 2 2
bc ca ab bc ab ca a b c
a b c a b c
+ + + + +≤ + + = =
+ + +
, 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Vậy max P = 3
2
 khi a = b = c = 1. 
Bài 11: Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a2009 + b2009 + c2009 = 3. 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = a4 + b4 + c4. 
Hướng dẫn 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2005 số 1 và 4 số a2009 ta có: 
20092009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 4
2005
1 1 ... 1 2009. . . . 2009. (1)+ + + + + + + ≥ = a a a a a a a a a 
Tương tự: 20092009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 4
2005
1 1 ... 1 2009. . . . 2009. (2)+ + + + + + + ≥ = b b b b b b b b b 
20092009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 4
2005
1 1 ... 1 2009. . . . 2009. (3)+ + + + + + + ≥ = c c c c c c c c c 
Từ (1), (2), (3) ta được: 2009 2009 2009 4 4 46015 4( ) 2009( )+ + + ≥ + +a b c a b c 
⇔ 4 4 46027 2009( )≥ + +a b c . Từ đó suy ra 4 4 4 3= + + ≤P a b c 
 Mặt khác tại a = b = c = 1 thì P = 3 nên giá trị lớn nhất của P = 3. 
Bài 12: Cho x, y, z 0≥ thoả mãn x + y + z > 0. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( )
3 3 3
3
16x y zP
x y z
+ +
=
+ +
Hướng dẫn 
Trước hết ta có: ( )
3
3 3
4
x y
x y
+
+ ≥ (biến đổi tương đương) ( ) ( )2... 0x y x y⇔ ⇔ − + ≥ 
Đặt x + y + z = a. Khi đó ( ) ( ) ( )
3 33 3
3 3
3 3
64 64
4 1 64
x y z a z z
P t t
a a
+ + − +
≥ = = − + 
(với t = z
a
, 0 1t≤ ≤ ) 
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 
Trang 7 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
 Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t [ ]0;1∈ . Có 
( ) [ ]22 1'( ) 3 64 1 , '( ) 0 0;1
9
f t t t f t t = − − = ⇔ = ∈
 
Lập bảng biến thiên 
( )
[ ]0;1
64inf
81t
M t
∈
⇒ = ⇒ GTNN của P là 16
81
 đạt được khi x = y = 4z > 0 
Bài 13: Cho ba số dương x,y,z thỏa x + y + z = 4 và xyz = 2. 
Tìm GTNN của biểu thức: P = x4 + y4 + z4 
Hướng dẫn 
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
22 2 2 2 2 2 2 2 2
22 2
2
2( )
 = 2 2 2
 = 16 2 2 16
P x y z x y y z z x
x y z xy yz zx xy yz zx xyz x y z
xy yz zx xy yz zx
= + + − + +
   + + − + + − + + − + +
   
− + + − + + −      
i
i Đặt t = xy + yz + zx = x(y + z) + yz 
 + Từ gt 24 ,y z x yz
x
⇒ + = − = ( ) 22 24 4t x x x x
x x
⇒ = − + = − + + 
 + Ta có: ( )22 3 28( ) 4 4 8 16 8 0y z yz x x x x
x
+ ≥ ⇒ − ≥ ⇔ − + − ≥ 
 ( )( )22 6 4 0x x x⇔ − − + ≥ (*) 
 Giải BĐT (*) giao với điều kiện 0 < x < 4 ta đươc: 3 5 2x− ≤ ≤ 
 + Khảo sát hàm số t theo biến x với 3 5 2x− ≤ ≤ ta tìm được: 5 5 15
2
t
−≤ ≤ 
i ( )2 2 216 2 2( 16) 2 64 288P t t t t= − − − = − + 
 Khảo sát hàm số : f(t) = 2t2 – 64t + 288 với 5 5 15
2
t
−≤ ≤ ta được: 
5 5 1M inf( ) 383 165 5 khi , ( ) 18 khi 5
2
t t Maxf t t−= − = = = 
 Suy ra: min 383 165 5P = − đạt được chẳng hạn 
1 53 5,
2
x y z += − = = 
 max 18P = đạt được chẳng hạn khi x = 2, y = z = 1 
Bài 14: Cho các số thực ;x y thay đổi. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 22 1 2 1 2P x y x x y x y= + + + + + − + + − . 
Hướng dẫn 
2 2 2 22 1 2 1 2P x y x x y x y= + + + + + − + + − 
Xét các điểm M(x−1; −y) , N(x+1; y). Ta có OM + ON ≥ MN 
⇔ 2 2 2 2 2( 1) ( 1) 4 4x y x y y− + + + + ≥ + 
⇒ 22 1 2 ( )P y y f y≥ + + − = 
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 
Trang 8 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
TH1: y ≤ 2: 2( ) 2 1 2f y y y= + + − ⇒ 
2
2
'( ) 1
1
yf y
y
= −
+
2
2
0 3
'( ) 0 2 1
33 1
yf y y y y
y
≥
= ⇔ = + ⇔ ⇔ =
=
Lập bảng biến thiên f(y) ⇒ 
( .2]
3
min ( ) 2 3
3x
f y f
∈ −∞
 
= = + 
 
 TH2: y ≥ 2: 2( ) 2 1 2f y y y= + + − ≥ 2 5 2 3> + 
Vậy 2 3 ;P x y≥ + ∀ . 
Do đó 2 3MinP = + khi x = 0 ; y = 3
3
Bài 15: Cho các số thực dương a,b,c thỏa a + b + c =3. Tính góc giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức 
2 2 2a bc b ca c abP
b ca c ab a bc
+ + +
= + +
+ + +
Hướng dẫn 
Xét 
2 2 21 a bc b ca c abP
3 3b 3ca 3c 3ab 3a 3bc
+ + +
= + +
+ + +
Ta có 3b 3ca b(a b c) 3ca b(a b c) ca 2ca+ = + + + = + + + + mà 2 2a c 2ac+ ≥ 
nên 2 2 23b 3ca ab b bc ca a c+ ≤ + + + + + 
Chứng minh tương tự ta có: 2 2 23c 3ab ac c bc ab a b+ ≤ + + + + + 
2 2 23a 3bc a ab ac bc c b+ ≤ + + + + + 
Khi đó 
2 2 2
2 2 2
1 a bc b ca c abP 1 P 3
3 ab b bc ca a c
+ + + + +≥ = ⇔ ≥
+ + + + +
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1. 
Vậy MinP 3= khi a = b = c = 1. 
Bài 16: Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 3xyz. 
Chứng minh rằng : 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2
3
4
xy yz zx
x y x z y z y z y x z x z x z y x y
+ + ≤
+ + + + + + + + +
Hướng dẫn 
Ta có : xy + yz + zx = 3xyz 1 1 1 3⇔ + + =
x y z
Với x >0; y > 0; z > 0 ta có x3 + y3 ≥ xy(x + y) ; 1 1 1 1( )
4
≤ +
+x y x y
 ;x2 + y2 ≥ 2xy 
3 3 2 2 2 2 2 2
1 1
4
xy xy xy
xy(x y)x y x z y z xy(x y) (x y )z (x y )z
 
≤ ≤ + 
++ + + + + + + 
3 3 2 2 2 2
1 1 1 1 1
4 4 2
xy xy
(x y) (x y) zx y x z y z (x y )z
   
⇒ ≤ + ≤ +   + ++ + + +   
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 
Trang 9 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
1 1 1 1 1 1 1 1 1
4 4 2 16 8x y z x y z
    
≤ + + = + +    
    
 (1) 
Chứng minh tương tự : 
3 3 2 2
1 1 1 1
16 8
yz
y z xy z y x z x
 
≤ + + 
+ + +  
 (2) 
3 3 2 2
1 1 1 1
16 8
zx
z x yz x z y x y
 ≤ + + 
+ + +  
 (3) 
Công (1) ; (2); (3) theo vế ta được đpcm 
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 
Bài 17: Cho các số thực dương , ,x y z thỏa mãn 2 2 25( ) 9( 2 )x y z xy yz zx+ + = + + . 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
2 2 3
1
( )
x
P
y z x y z
= −
+ + +
. 
Hướng dẫn 
Theo giả thiết ta có 
+ + = + + ⇔ + + = + + + + +2 2 2 25( ) 9( 2 ) 5( ) 9( 2 ) 10( )x y z xy yz zx x y z xy yz zx xy yz zx
⇔ + + = + + ≤ + + +2 25( ) 19 ( ) 28 19 ( ) 7( )x y z x y z yz x y z y z 
 
⇔ + ≤ + ⇔ ≤ ⇔ ≤ + 
+ + + 
19
5 1 7 2 2( )
x x x
x y z
y z y z y z
Mặt khác ta có + ≤ + ⇔ + ≥ +2 2 2 2 2 21( ) 2( ) ( )
2
y z y z y z y z 
Vì vậy ( )
+≤ − = −
+ ++ + ++
3 3
2
2( ) 1 4 1
1 27( )2( )( )
2
y z
P
y z y zy z y zy z
Đặt 
− +
= + > ⇒ ≤ − = − + ≤
2
3 3
4 1 (6 1) (2 1)
0 16 16
27 27
t t
t y z P
t t t
Vậy =min 16P ; dấu bằng đạt tại 

 = +
= 
= ⇔ 
  = =
 + =

12( )
3
1
1
12
6
x y z x
y z
y z
y z
Bài 18: Cho các số thực dương ,x y thỏa mãn 13 ln 9 3 3 .
3
x y
xy x y
xy
+ +
+ = − − 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2
3 3 1 1 1
( 1) ( 1)
x yM
y x x y x y x y
= + + − − ⋅
+ + +
Hướng dẫn 
Từ giả thiết ta suy ra ln( 1) 3( 1) ln(3 ) 3.3x y x y xy xy+ + + + + = + . 
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 
Trang 10 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
Xét hàm số ( ) ln 3g t t t= + trên (0; )+∞ , ta có 1'( ) 3 0g t
t
= + > với 0t∀ > , suy ra ( )g t 
đồng biến trên (0; )+∞ , từ đó ( 1) (3 ) 1 3g x y g xy x y xy+ + = ⇔ + + = (*) 
Theo (*) ta có 3 1 2xy x y xy− = + ≥ . Đặt 3 2 1 0 1.t xy t t t= ⇒ − − ≥ ⇒ ≥ 
2 2 2
2
3 3 3 ( 1) 3 ( 1) 36 27 3
.( 1) ( 1) ( 1) 4
x y x y y x t t
y x x y xy xy x y t
+ + + − +
+ = =
+ + + + +
 (2) 
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 (3 1) 2 36 32 4
4
x y t t t t
x y x y t t
+ − − − + −
− − = − = − = (3) 
Theo Cô si 1 1 1
22x y xy
≤ ≤
+
 (4). Từ (2), (3), (4) ta có 2
5 1 1
4 2
tM
t
−≤ + . 
Xét hàm số 2
5 1( )
4
tf t
t
−
= trên [1;+ )∞ , ta có 
2
4 3
5.4 (5 1)8 2 5
'( ) 0 1
16 4
t t t tf t t
t t
− − −
= = < ∀ ≥ , suy ra ( )f t nghịch biến trên [1;+ )∞ , bởi vậy 
max [1; )
3
max ( ) (1) 1 1.
2
M f t f t x y
+∞
= = = ⇔ = ⇔ = = 
Bài 19: Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn: ( ) 1z z x y x y− − = + + . 
Chứng minh rằng :
4 4 6
3 9
3
( ).( ).( ) 4
x y
x yz y zx z xy
≤
+ + +
. 
Hướng dẫn 
Vì ( ) 1z z x y x y− − = + + ⇒ (z + 1)( x + y) = z2 - 1 và do z > 0 nên ta có: zyx =++ 1 . 
Khi đó T = [ ]3
44
)1)(1().1).().(1).(( ++++++ yxxyxyyx
yx
 = [ ]42
44
)1)(1(.)( +++ yxyx
yx
Áp dụng BĐT Côsi cho các số dương x, y ta có : 
( )
27
.4
27
41
333
1
3
4
4
4
34
4 xxxxx
x =








≥





+++=+ ; 
( )
27
.4
27
41
333
1
3
4
4
4
34
4 yyyyyy =








≥





+++=+ ; ( ) xyyx 42 ≥+ .
Do đó [ ]42 )1)(1(.)( +++ yxyx 446
9
6
33
8
..
3
4
3
.
.4.4 yxyxxy =≥ suy ra 9
6
4
3≤T ( * )
Dấu “=” ở ( * ) xảy ra 7,3,3
1
1
33 ===⇔




++=
==
⇔ zyx
yxz
yx
. 
 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. 
Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu học tập khác
TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VỀ MIN - MAX TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015 
Trang 11 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
Bài 20: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn điều kiện 24)( 3 ≥++ xyyx . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức 2015)43()(2)(3 2222 +−−+−+= xyxyyxyxP . 
Hướng dẫn 
Với mọi số thực x, y ta luôn có 2(x y) 4xy+ ≥ , nên từ điều kiện suy ra 
3 2 3 3 2( ) ( ) ( ) 4 2 ( ) ( ) 2 0 1+ + + ≥ + + ≥ ⇒ + + + − ≥ ⇒ + ≥x y x y x y xy x y x y x y 
Ta biến đổi P như sau 2 2 2 2 2 2 2 23 3P (x y ) (x y ) 2(x y 2xy) xy(3xy 4) 2015
2 2
= + + + − + + − − + 
2 2 2 4 4 2 23 3(x y ) (x y ) 2(x y ) 2015
2 2
= + + + − + + (3) 
Do 
2 2 2
4 4 (x y )
x y
2
+
+ ≥ nên từ (3) suy ra 2 2 2 2 29P (x y ) 2(x y ) 2015
4
≥ + − + + 
Đặt 2 2x y t+ = thì 1t
2
≥ (do x y 1)+ ≥ . 
Xét hàm số 29f (t) t 2t 2015
4
= − + với 1t
2
≥ , có 9f '(t) t 2 0
2
= − > , với 1t
2
≥ nên hàm số 
f(t) đồng biến trên 1 ;
2
 
+∞  
. Suy ra 
1
t ;
2
1 32233
min f (t) f
2 16 ∈ +∞ 
 
 
= = 
 
 . 
Do đó GTNN của P bằng 
16
32233
, đạt được khi và chỉ khi 
2
1
== yx 
Bài 21: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. 
Chứng minh rằng: 2 2.
3 3 2 3 3
a a a b c
a b a c a b c a c a b
+ + + + <
+ + + + + +
Hướng dẫn 
+) Vì a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên ta có: ; ;a b c b c a c a b+ > + > + > . 
Từ (1),(2) và (3) ta có 2 2 2 2x y z x y z
y z z x x y x