Tuyển chọn các đề Toán ôn vào 10 - Hà Nội

PTC_1011QĐ_01
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHTN
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYấN
Năm học 2010- 2011
Mụn thi: TOÁN- Vũng I 
Cõu I
Giải hệ phương trỡnh
Giải phương trỡnh
Cõu II
Tỡm tất cả cỏc số nguyờn khụng õm (x, y) thoả món đẳng thức
Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyờn của số a là số nguyờn lớn nhất khụng vượt quỏ a và ký hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyờn dương ta luụn cú.
Cõu III
	Cho đường trũn (O) với đường kớnh AB = 2R. Trờn đường thẳng tiếp xỳc với đương trũn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho gúc . Gọi H là giao điểm thứ hai của đường thăng BC với đường trũn (O).
Tớnh độ dài đương thẳng AC, BC và khoảng cỏch từ A đến đương thẳng BC theo R.
Với mỗi điểm M trờn đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường trũn (O tại điểm N (khỏc B). Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trờn cựng một đường trũn và tõm đường trũn đú luụn chạy trờn một đường thẳng cố định khi M thay đổi trờn đoạn thẳng AC.
Cõu IV
	Với a,b là cỏc số thực thoả món đẳng thức , hóy tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức .
----------------------------------------------- Hết -------------------------------------------
HD giải đề MễN TOÁN (Vũng 1)
Thời gian làm bài: 120 phỳt (Khụng kể thời gian phỏt đề)
Cõu I
Giải hệ phương trỡnh
Giải phương trỡnh
Hướng dẫn
Cộng cả hai phương trình ta được (2x+3y)2=25
Ta có hai hệ
 Và 
Giai ra ta được PT có 4 nghiệm 1,-1; 
ĐKXĐ 
 Đặt 
Ta có (1-b)(a-3) =0 
b=1 thì ;a=3 thì 
Cõu II
Tỡm tất cả cỏc số nguyờn khụng õm (x, y) thoả món đẳng thức
Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyờn của số a là số nguyờn lớn nhất khụng vượt quỏ a và ký hiệu là [a]. Chứng minh rằng với mọi n nguyờn dương ta luụn cú.
Hướng dẫn
1)Phá ngoặc 
 vì x,y không âm nên (x+1)(y+1)=5 ta có (x;y)=(0;4);(4;0)
2) xét 
Thay k lần lượt từ 1 đến n ta có 
 (đpcm)
Cõu III
	Cho đường trũn (O) với đường kớnh AB = 2R. Trờn đường thẳng tiếp xỳc với đương trũn (O) tại A ta lấy điểm C sao cho gúc . Gọi H là giao điểm thứ hai của đường thăng BC với đường trũn (O).
Tớnh độ dài đương thẳng AC, BC và khoảng cỏch từ A đến đương thẳng BC theo R.
Với mỗi điểm M trờn đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường trũn (O tại điểm N (khỏc B). Chứng minh rằng bốn điểm C, M, N, H nằm trờn cựng một đường trũn và tõm đường trũn đú luụn chạy trờn một đường thẳng cố định khi M thay đổi trờn đoạn thẳng AC.
Hướng dẫn
1)BC=4R;AC=;AH=
2) Ta có nên nên tứ giác CMNH nội tiếp tâm đường tròn ngoại tiếp thuộc trung trực HC cố định 
Cõu IV
	Với a,b là cỏc số thực thoả món đẳng thức , hóy tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức .
Hướng dẫn
áp dụng BBĐT Bu nhi acópky cho 2 dãy 
 và 1; 4 ta có 
 và 1; 4 ta có 
Từ (1)&(2) ta có Mặt khác Từ GT ta có 
Lại áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho 2 ta có 
Thay Vào (*) ta có Vây 
PTC_1011QĐ_02
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHTN
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYấN
Năm học 2010- 2011
Mụn thi: TOÁN- Vũng II 
Cõu I
Giải phương trỡnh
Giải hệ phương trỡnh
Cõu II
Tỡm tất cả cỏc số nguyờn dương n để là số chớnh phương.
Giả sử x, y, z là những số thực dương thoả món điều kiện . Chứng minh rằng 
Cõu III
Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn và M là điểm nằm trong tam giỏc. Kớ hiệu H là hỡnh chiếu của M trờn cạnh BC và P, Q, E, F lần lượt là hỡnh chiếu của H trờn cỏc đường thẳng MB, MC, AB, AC. Giả sử bốn điểm P, Q, E, F thẳng hàng.
Chứng minh rằng M là trực tõm của tam giỏc ABC.
Chứng minh rằng BEFC là tứ giỏc nội tiếp.
Cõu IV
Trong dóy số gồm 2010 số thực khỏc 0 được sắp xếp theo thứ tự , ta đỏnh dấu tất cả cỏc số õm và tất cả cỏc số mà tổng của nú với một số liờn tiếp liền ngay sau nú là một số dương. (Vớ dụ với dóy số -8,-4,-1,2,-1,2,-3,...,-2005 thỡ cỏc số được đỏnh dấu là ). 
Chứng minh rằng nếu trong dóy số đó cho cú ớt nhất một số dương thỡ tổng của tất cả cỏc số được đỏnh dấu là một số dương.
----------------------------------------------- Hết -------------------------------------------
HD giải đề thi MễN TOÁN (Vũng 2)
Thời gian làm bài: 150 phỳt (Khụng kể thời gian phỏt đề)
Cõu I
Giải phương trỡnh
Giải hệ phương trỡnh
Hướng dẫn
x=1 xét x1 VT>4 
Cộng (1) và (2) ta có PT 
Với thay vào PT(1) vô nghiệm
Với thay vào PT(1) ta được y=1 hoặc y=-3 
Vậy hệ có 2 nghiệm (x;y)=(2;1);(2-3)
Cõu II
Tỡm tất cả cỏc số nguyờn dương n để là số chớnh phương.
Giả sử x, y, z là những số thực dương thoả món điều kiện . Chứng minh rằng 
Hướng dẫn
1)ta có là số chính phương nên 
 mà 391=-1.391=1.(-391)=-17.23=17.(-23)
 Ta có n-k<n+k nên 
n-k
-391
-1
-23
-17
n+k
1
391
17
23
n
-195( loại)
195
-3(loai)
3
Vậy n =3 hoặc n=195
2)
áp dngj BĐT Bunhiacopsky cho 2 dãy x ; y và 1; 1 ta có 
Nên ta phải chứng minh 
Dờu “=” xảy ra khi 
Cõu III
Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn và M là điểm nằm trong tam giỏc. Kớ hiệu H là hỡnh chiếu của M trờn cạnh BC và P, Q, E, F lần lượt là hỡnh chiếu của H trờn cỏc đường thẳng MB, MC, AB, AC. Giả sử bốn điểm P, Q, E, F thẳng hàng.
Chứng minh rằng M là trực tõm của tam giỏc ABC.
Chứng minh rằng BEFC là tứ giỏc nội tiếp.
Hướng dẫn
1)Vì tứ giác BEPH nội tiếp nên (1) vì E;P;Q thẳng hàng nên (2). Vì tứ giác MQHP nội tiếp nên (3) Ta có vuông tại H có suy ra (4) từ (1); (2) ; (3) ;(4) ta có ở vị trí đồng vị nên HE//CM mà 
Tương tự 
từ (*) và (**) ta có M là trực Tâm tam giác ABC
2)Vì M là trực tâm tam giác ABC nên A,M,H thẳng hàng ta có nên tứ giác AEHF nội tiếp đường kính AH nên 
( nội tiếp chắn cung AE) mà ( cùng phụ )
Vậy mà 
Nên tứ giác BEFC nội tiếp 
Cõu IV
Trong dóy số gồm 2010 số thực khỏc 0 được sắp xếp theo thứ tự , ta đỏnh dấu tất cả cỏc số õm và tất cả cỏc số mà tổng của nú với một số số liờn tiếp liền ngay sau nú là một số dương. (Vớ dụ với dóy số -8,-4,4,-1,2,-1,2,-3,...,-2005 thỡ cỏc số được đỏnh dấu là ). 
Chứng minh rằng nếu trong dóy số đó cho cú ớt nhất một số dương thỡ tổng của tất cả cỏc số được đỏnh dấu là một số dương.
Hướng dẫn
Xét các số được đánh dấu a1;a2;a3............ an (n
-Nếu dãy có tất cả các số dương thì ta có đpcm
-Nếu có số âm được đánh dấu thi các liền sau số âm phải là số dương ( Giá trị tuyệt đối số số tổng các dương lớn hơn GTTĐ số âm) vì số âm cộng với số liền sau nó ra kết quả là số dương suy ra số liền sau số âm đó cũng được đánh dấu suy ra tổng luôn là só dương 
PTC_1011QĐ_03
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYấN
Năm học 2010- 2011
Mụn thi: TOÁN- Vũng I 
Cõu 1:
1. Rỳt gọn biểu thức A
2. Tỡm tất cỏc giỏ trị nguyờn của x để biểu thức A cú giỏ trị nguyờn
Cõu 2: 
Cho hai đường thẳng 
(d1 ): y = (2m2 + 1 )x + 2m – 1
(d2): y = m2x + m – 2 Với m là tham số
1. Tỡm toạ độ giao điểm I của d1 và d2 theo m
2. Khi m thay đổi, hóy chứng minh điểm I luụn thuộc đường thẳng cố định.
Cõu 3 : 
Giả sử cho bộ ba số thực (x;y;z) thoả món hệ 
1. Chứng minh x2 + y2 = -z2 + 12z – 19
2. Tỡm tất cả bộ số x,y,z sao cho x2 + y2 = 17
Cõu 4 : 
Cho hỡnh vuụng ABCD cú độ dài bằng cạnh a. Trong hỡnh vuụng đo lấy điểm K sao cho tam giỏc ABK đều. Cỏc đường thẳng BK và AD cắt nhau ở P.
1. Tớnh độ dài KC theo a
2. Trờn AD lấy I sao cho CI cắt BP ở H. 
Chứng minh CHDP là nội tiếp.
3. Gọi M và L lần lượt là trung điểm CP và KD. Chứng minh LM = 
Cõu 5: 
Giải phương trỡnh : (x2 -5x + 1)(x2 - 4) = 6(x-1)2
----------------------------------------------- Hết -------------------------------------------
Giải đề thi tuyển sinh
Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010
Môn thi: Toán học
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường chuyên)
Câu 1:
1. Rút gọn biểu thức A
2. Tìm tất các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên
Hướng dẫn 
1. 
2. 
Xét 
x+3
-15
-5
-3
-1
1
3
5
15
x
-18
-8
-6
-4
-2
0
2
12
2A
4
6
8
18
-12
-2
0
2
A
2
3
4
9
-6
-1
0
1
Vậy thì A nguyên
Câu 2: 
Cho hai đường thẳng 
(d1 ): y = (2m2 + 1 )x + 2m – 1
(d2): y = m2x + m - 2 Với m là tham số
1. Tìm toạ độ giao điểm I của d1 và d2 theo m
2. Khi m thay đổi, hãy chứng minh điểm I luôn thuộc đường thẳng cố định.
Hướng dẫn 
1.Giải hệ 
ta đựợc 
2.ta có 
Vởy I thuộc đường thẳng y=-x-3 cố định 
Câu 3 : 
Giả sử cho bộ ba số thực (x;y;z) thoả mãn hệ 
1. Chứng minh x2 + y2 = -z2 + 12z – 19
2. Tìm tất cả bộ số x,y,z sao cho x2 + y2 = 17
Hướng dẫn
1.Từ (1) ta có x-y=z-1x2-2xy+y2=1-2z+z2 x2+y2=2xy+1-2z+z2 (*)
Từ (2) ta có xy=-z2+7z-10 thay vào (*)
ta có x2 + y2 =2(=-z2+7z-10 )+z2 -2z -+1 x2 + y2 = -z2 + 12z -19 (đpcm)
2. ta có -z2 + 12z – 19=17z2-12z+36=0z=6 thay vào ta có hệ 
 Hệ có 2 nghiệm (x,y,z)=(-1;4;6);(-4;1;6)
Câu 4 : 
Cho hình vuông ABCD có độ dài bằng cạnh a. Trong hình vuông đo lấy điểm K sao cho tam giác ABK đều. Các đường thẳng BK và AD cắt nhau ở P.
1. Tính độ dài KC theo a
2. Trên AD lấy I sao cho CI cắt BP ở H. 
Chứng minh CHDP là nội tiếp.
 3.Gọi M và L lần lượt là trung điểm CP và KD. Chứng minh LM = 
Hướng dẫn
1.Kẻ KQ BC trong tam gíac vuông BQK có BK=a; KBQ=300 nên áp dụng Pi-Ta-Go cho tam giác vuông BKQ ta có 
 nên 
áp dụng Pi-Ta-Go cho tam giác vuông CKQ ta có
2.Xét tam giácvuông DCI có DC=a; nên nên DCI=300 theo GT ta có KBC=300 suy ra DPH=300 (So le) 
Vởy DPH=DCH =300 nên theo QT cung chứa góc 2 điểm P ; C thuộc cung chứa góc 300 dựng trên DH hay tứ giác CHDP nội tiếp 
3. Kẻ KE AB thì HA=HB và KE//AP xét tam giác ABP có HA=HB; KH//AP nên KP=KB=a gọi N là trung điểm KB thì LN//CD và ; MN//KP; 
Vởy tam giác MNL cân tại N có (cạnh tương ứng //) Nên tam gíc MNL đều suy ra ( đpcm)
Câu 5: Giải phương trình : (x2 -5x + 1)(x2 - 4) = 6(x-1)2 (*)
Hướng dẫn
 Đặt x2 -5x + 1-=a; x2 - 4=b thì a-b=-5(x-1) suy ra 
Nếu thì a=6b ta có PT
Nếu b=6a ta có PT
PT(*) có 4 nghiệm
PTC_1011QĐ_04
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYấN
Năm học 2010- 2011
Mụn thi: TOÁN- Vũng II 
Cõu 1: 
 1.Giả sử a và b là hai số dương khỏc nhau và thoả món 
	Chứng minh rằng 
 2.Chứng minh rằng số là số nguyờn dương
Cõu 2:
Giả sử 4 số thực a , b, c, c, d đụi 1 khỏc nhau và thoả món hai điều kiện sau 
Phương trỡnh cú 2 nghiờm a và b
Phương trỡnh cú 2 nghiờm c và d
 Chứng minh rằng:
a – c = c – b = d - a
a + b + c + d = 30
Cõu 3 Giả sử m và n là những số nguyờn dương với n>1 .Đặt 
Chứng minh rằng:
1. Nếu m>n thỡ 
2. Nếu S là số chớnh phương thỡ m=n
Cõu 4 Cho tam gớac ABC với AB>AC ,AB >BC.Trờn cạnh AB của tam giỏc lấy 
cỏc điểm M và N sao cho BC=BM và AC=AN
1.Chứng minh điểm N thuộc đoạn thẳng BM
2.Qua M và N ta kẻ đường thẳng MP song song với BC và NQ song song 
với CA .Chứng minh CP=CQ.
3.Cho gúc ACB = 900 , gúc CAB = 300 và AB = a .
Tớnh diện tớch tam giỏc MCN theo a.
Cõu 5 
Trờn bảng đen viết ba số .Ta bắt đầu thực hiện trũ chơi như sau :
Mỗi lần chơi ta xoỏ hai số nào đú trong ba số trờn bảng ,giả sử là a và b rồi viết vào 2 vị trớ vừa xoỏ hai số mới và đồng thời giữ nguyờn số cũn lại .Như vậy sau mỗi lần chơi trờn bảng luụn cú ba số .Chứng minh rằng dự ta cú chơi bao nhiờu lần đi chăng nữa thỡ trờn bảng khụng đồng thời cú ba số .
----------------------------------------------- Hết -------------------------------------------
Giải đề thi tuyển sinh
Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010
Môn thi: Toán học
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin)
Câu 1: 
 1.Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thoả mãn 
	Chứng minh rằng 
 2.Chứng minh rằng số là số nguyên dương
Hướng dẫn 
từ GT 
suy ra 
ta có hệ 
2 Đặt a= 2009 ta có =
Câu 2:
Giải sử 4 số thực a , b, c, c, d đôi 1 khác nhau và thoả mãn hai điều kiện sau 
Phương trình có 2 nghiêm a và b
Phương trình có 2 nghiêm c và d
 Chứng minh rằng
a-c=c-b=d-a
a+b+c+d=30
Hướng dẫn 
Vì a,b là nghiệm PT (1) theo Vi-ét ta có 
Vì a,b là nghiệm PT (1) theo Vi-ét ta có 
Từ (1) ta có a-c=c-b từ (3) ta có c-a=a-d nên a-c=c-b=d-a
2.nhân (2) và (4) ta có abcd=25bd suy ra ac=25
Mặt khác a là nghiệm PT(1) nên 
 c là nghiệm PT(1) nên 
từ (5) và (6) ta có 
Câu 3 Giả sử m và n là những số nguyên dương với n>1 .Đặt 
 Chứng minh rằng:
	1.Nếu m>n thì 
	2.Nếu S là số chính phương thì m=n 
Hướng dẫn 
1.ta chứng minh 
Bằng cách xét hiệu
Mặt khác vì n>1; m>n
2.Ta chứng minh 
xét S=(mn-1)2 thì 
không tồn tại m,n vì vế phải chẵn 
 Xét S=(mn+1)2 thì 
không tồn tại m,n vì vế phải chẵn
Từ đó ta có S=m2n2  thì suy ra m=n
Câu 4 Cho tam gíac ABC với AB>AC ,AB >BC.Trên cạnh AB của tam giác lấy 
các điểm M và N sao cho BC=BM và AC=AN
1.Chứng minh điểm N thuộc đoạn thẳng BM
 2.Qua M và N ta kẻ đường thẳng MP song song với BC và NQ song song 
với CA .Chứng minh CP=CQ.
3.Cho góc ACB=900 , góc CAB=300 và AB= a .
Tính diện tích tam giác MCN theo a.
Hướng dẫn 
Ta có BN=AB-AN=AB-AC<BC=BM ( bđt tam giác) vậy NBM
Ta có 
Mà MB=BC; NA=AC kết hợp với (1) và (2) ta có CP=CQ (đpcm)
3.Nếu ACB=900 , góc CAB=300 và AB= a .thì 
 ta có MN=AN-AM=AC-AM=AC-(AB-BM)=AC-AB+BC=
Kẻ CH AB thì 
Vậy: ( đvdt)
 Câu 5 Trên bảng đen viết ba số .Ta bắt đầu thực hiện trò chơi như sau :
Mỗi lần chơi ta xoá hai số nào đó trong ba số trên bảng ,giả sử là a và b rồi viết vào 2 vị trí vừa xoá hai số mới và đồng thời giữ nguyên số còn lại .Như vậy sau mỗi lần chơi trên bảng luôn có ba số .Chứng minh rằng dù ta có chơi bao nhiêu lần đi chăng nữa thì trên bảng không đồng thời có ba số .
Hướng dẫn 
Ta có 
Như vậy sau khi xoá 2 số a; b thay bởi hai số mới và thì tổng bình phương hai số mới không đổi nên tổng bình phương của ba số trên bảng không đổi bằng 
 mà tổng bình phương ba số là ( đpcm)
PTC_1011QĐ_05
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐH NGOẠI NGỮ
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYấN
Năm học 2010- 2011
Mụn thi: TOÁN
Cõu 1 ( 2,0 điểm )
Cho biểu thức 
Tỡm điều kiện của x để P cú nghĩa và rỳt gọn P.
Tỡm giỏ trị của x để P 
Cõu 2 ( 2,0 điểm )
Tỡm cỏc số nguyờn x, y thỏa món x2 + 4x + 1 = y4.
Giải hệ phương trỡnh: .
Cõu 3 ( 2,0 điểm )
Cho phương trỡnh ẩn x: (m-10)x2 + 2(m-10)x + 2 =0
Tỡm m để phương trỡnh trờn cú hai nghiệm x1; x2.
Chứng minh rằng khi đú ta cú: 
Cõu 4 ( 3,0 điểm )
Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn và AB<AC vẽ đường cao AD và đường phõn giỏc AO của tam giỏc ABC (D, OBC) Vẽ đường trũn tõm O tiếm xỳc với AB, AC lần lượt tại M và N.
Chứng minh rằng D, O, M, N, A cựng thuộc một đường trũn.
Chứng minh 
Đường thẳng qua O vuụng gúc với BC cắt MN tại I. Đường thẳng AI cỏt BC tại K. Chứng minh K là trung điểm của BC.
Cõu 5 ( 1,0 điểm )
Cho a, b, c là cỏc số dương thỏa món điều kiện a+b+c+ab+bc+ca=6. Chứng minh rằng: 
----------------------------------------------- Hết -------------------------------------------
Hướng dẫn giải đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 2010
Câu 1: (2điểm)
 Cho biểu thức 
Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P.
 2) Tìm giá trị x để 
Hướng dẫn 
ĐKXĐ ;
2) 
Câu 2 : ( 2 điểm) 
Tìm các số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức : x2 + 4x +1 =y4
Giải hệ phương trình : 
Hướng dẫn 
	 x2 + 4x +1 =y4 (x+2)2-y4=3(x-y2+2)(x+y2+2)=3
Phương trình có 4 nghiệm (x;y) = ( 0;1) ;(0;-1) ; ( -4; 1) ; (-4;-1)
2) 
Hệ có 3 nghiệm (x;y) = (1;1) (-1; -1) ;( -2;1)
Câu 3: ( 2 điểm) 
Cho phương trình ẩn x : (m-10)x2+2(m-10)x + 2 =0 
	1)Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 .
 2) Chứng minh rằng khi đó 
Hướng dẫn 
1) Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì 
với ĐK trên theo Viét ta có 
Đặt Q= 
Thoả mãn điều kiện 
Câu 4:(3 điểm) 
	 Cho tam giác nhọn ABC ( AB <AC). Vẽ đường cao AD và đường phân giác trong AO của tam giác ABC ( D , O thuộc BC). Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC tại M , N
Chứng minh các điểm M , N, O, D , A cùng thuộc một đường tròn.
Chứng minh gócBDM = gócCDN .
Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt MN tại I .Đường thẳng AI cắt BC tại K .Chứng minh K là trung điểm cạnh BC
ta có AMO=ADO=ANO=900 nên 5 điểm A, M.D, O, N thuộc đường tròn Tâm O/ đường kính AO
Ta có ADB=ADC=900 (1) mà ADM=ADN (2) ( góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)
từ (1);(2) ta có ĐPCM
3)Qua I ta kẻ đường thẳng //BC cắt AB,AC tại P;Q ta có tứ giác OMPI; OQNI nội tiếp nên POI=PMI; QOI=INA mà PMI=INA (do tam giác AMN cân tại A)
Nên POI=QOI xét tam giác POQ có OI vừa là đường cao vừa là pân giác nên IP=IQ. áp dụng hệ quả Ta-lét cho 2 tam giác ABK và ACK có PQ//BC 
Ta có 
Câu 5: ( 1 điểm) 
	Cho a , b , c là các số dương thoả mãn điều kiện : a + b+c +ab +bc+ ca=6
	Chứng minh rằng: 
Hướng dẫn 
áp dụng BBĐT dấu “= “ xảy ra khi x=y 
Ta có 
Nên (*)
Dấu “ =” xảy ra khi a=b=c=1
Mặt khác 
T có 
PTC_1011QĐ_06
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HÀ NỘI
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10- THPT CHUYấN
Năm học 2010- 2011
Mụn thi: TOÁN
Bài 1 (2,0 điểm)
1) Cho n là số nguyờn, chứng minh chia hết cho 6
2) Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn n để là số nguyờn tố
Bài 2 (2,0 điểm)
 Cho phương trỡnh : .Gọi là hai nghiệm của phương trỡnh đó cho.
 1) Tỡm cỏc giỏ trị của m để .
 2) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất và giỏ trị lớn nhất của biểu thức 
Bài 3 (2.0 điểm)
1) Cho a là số bất kỡ,chứng minh rằng: 
2) Tỡm cỏc số nguyờn x, y thỏa món phương trỡnh 
Bài 4 (3,0 điểm)
Cho đường trũn (O;R) và một điểm M nằm ngoài đường trũn.Đường trũn đường kớnh OM cắt đường trũn (O;R) tại hai điểm E , F.
1) Chứng minh giao điểm I của đoạn thẳng OM với đường trũn (O;R) là tõm đường trũn nội tiếp tam giỏc MEF.
2) Cho A là một điểm bất kỡ của thuộc cung EF chứa điểm M của đường trũn đường kớnh OM (A khỏc E,F). Đoạn thẳng OA cắt đoạn thẳng EF tại điểm B. Chứng minh 
3) Cho biết OM=2R và N là một điểm bất kỡ thuộc cung EF chứa điểm I của đường trũn (O;R) ( N khỏc E,F). Gọi d là đường thẳng qua F và vuụng gúc với đường thẳng EN tại điểm P, d cắt đường trũn đường kớnh OM tại điểm K (K khỏc F). Hai đường thẳng FN và KE cắt nhau tại điểm Q. chứng minh rằng: 
Bài 5 ( 1,0 điểm)
Giải phương trỡnh: 
----------------------------------------------- Hết -------------------------------------------
Một số gợi ý đề chuyên Amsterdam, Chu Văn An 23.6.2010
Bài I. (2 điểm)
Cho n là số nguyên, chứng minh A = n3 + 11n chia hết cho 6.
Tìm tất cả các số tự nhiên n để B = n4 – 3n2 + 1 là số nguyên tố
Gợi ý :
A = (n- 1)n(n + 1) + 12n
Mỗi hạng tử chia hết cho 2 và 3 . suy ra điều phải chứng minh
B =(n2 – n - 1).(n2 + n - 1)
n2 – n – 1 < n2 + n – 1. để B là số nguyên tố thì n2 – n – 1= 1
suy ra n = - 1(loại), n = 2 thoả mãn
Bài II. (2 điểm)
	Cho phương trình: (m2 + 2m + 2)x2 – (m2 – 2m + 2)x – 1 = 0
	Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho.
Tìm các giá trị của m để : x12 + x22 = 2x1x2(2x1x2 – 1)
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức S = x1 + x2
Gợi ý :
dễ có phương trình luôn có nghiệm với mọi m. 
Theo vi et : thay vào , tìm được m
S =.
Sau đó xét hiệu S – () và hiệu S – () ta tìm được max, min.
Hoặc dùng phương pháp đenta
Bài III. (2 điểm)
Cho a bất kì, chứng minh rằng: 
Tìm các số nguyên x, y thoả mãn phơng trình:
 y2 – x(x – 2)(x2 – 2x + 2) = 0
Gợi ý :
1) . Suy ra điều phảI chứng minh
Dấu bằng không xẩy ra.
Đặt (x - 1)2 = t ≥ 0 phương trình có dạng : y2 – (t- 1)(t + 1) = 0
Hay (y - t)(y + 1)= - 1. giải theo ước số 
Bài IV( 3 điểm)
	Cho đường tròn (O;R) và một điểm M nằm ngoài đường tròn . Đ ường tròn đường kính OM cắt đờng tròn (O;R) tại hai điểm E, F.
Chứng minh giao điểm I của đoạn thẳng OM với đường tròn (O;R) là tâm của đờng tròn nội tiếp tam giác MEF.
Cho A là một điểm bất kì thuộc cung EF chứa điểm M của đường tròn đường kính OM (A khác E và F). Đoạn thẳng OA cắt đoạn thẳng EF tại điểm B. Chứng minh OA. OB = R2 .
Cho biết OM = 2R và N là điểm bất kì thuộc cung EF chứa điểm I của đường tròn (O; R) (N khác E và F). Gọi d là đường thẳng qua F và vuông góc với đường thẳng EN tại điểm P, d cắt đờng tròn đường kính OM tại điểm K (K khác F). Hai đường thẳng FN và KE cắt nhau tại điểm Q. Chứng minh rằng: 
 	PN . PK + QN . QK 
Gợi ý : (các bạn tự vẽ hình nhé)
Ta dễ có ME, MF là tiếp tuyến của đường tròn (O), từ đó dễ chứng minh được cung EI = cung FI của đường tròn (O). Dễ dàng chứng minh được EI, FI, MI là các đường phân giác của tam giác MEF.
Gọi EF cắt OM tại H. Dễ chứng minh được : OA.OB = OH.OM = OE2.
Ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔMEF và ΔMEF đều có cạnh bằng .
Sử dụng góc n