Tuyển chọn 50 bài toán giải bất phương trình - Ôn thi THPT quốc gia

 TUYỂN CHỌN 
50 BÀI TOÁN 
GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
CẨM NANG CHO MÙA THI 
NGUYỄN HỮU BIỂN 
https://www.facebook.com/groups/nguyenhuu
bienEmail: ng.huubien@gmail.com 
(ÔN THI THPT QUỐC GIA) 
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 
Trang 1 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
Bài 1: Giải bất phương trình 2 21 2 3 4 .x x x x+ − ≥ − −
Hướng dẫn 
- Điều kiện: 2
2
0 0 1
3 411 0 0 .3 41 3 41 8
2 3 4 0 8 8
x x
x x
x
x x
≥ ≤ ≤
− + 
− ≥ ⇔ ⇔ ≤ ≤ 
− − − +≤ ≤ 
− − ≥ 
- Bất phương trình đã cho tương đương với 
2 2 21 2 (1 ) 2 3 4x x x x x x+ − + − ≥ − − 2 23( ) (1 ) 2 ( )(1 ) 0x x x x x x⇔ + − − + + − ≥
2 2 2
2
5 34
1 93 2 1 0 9 10 1 0
1 1 1 3 5 34
.
9
x
x x x x x x
x x
x x x
x

− +≥+ + + ⇔ + − ≥ ⇔ ≥ ⇔ + − ≥ ⇔
− − − 
− −≤

- Kết hợp điều kiện (*), ta suy ra nghiệm của bất phương trình là 5 34 3 41 .
9 8
x
− + − +≤ ≤
Bài 2: Giải bất phương trình )(,01102492321 22 Rxxxxxx ∈≥−+−+−+− 
Hướng dẫn: Điều kiện: 1≥x 
- Bất phương trình đã cho tương đương với 
0410249423211 22 ≥++−+−−+−− xxxxx 
[ ]
)1(03)13(
223
6
11
1)2(
03)13()2(
223
)63(2
11
2
0)269)(2)(223(2)11(
2
2
2
≥





−−+
+−
+
+−
−⇔
≥−−−+
+−
−
+
+−
−
⇔
≥−−−−−+−−⇔
x
xx
x
xx
x
x
x
x
xxxxx
- Dễ thấy ( ) 1,013)11.3(313
223
6
11
1 22 ≥∀>=−−>−−+
+−
+
+−
xx
xx
- Hơn nữa (1) .202 ≥⇔≥−⇔ xx Kết hợp điều kiện thu được .2≥x 
Bài 3: Giải bất phương trình sau: ( ) ( )2 2 21 log log 2 log 6x x x+ + + > − 
Hướng dẫn: ĐK: 0 6x< < . 
( ) ( )222 2log 2 4 log 6x x x⇔ + > − ( )22 22 4 6 16 36 0x x x x x⇔ + > − ⇔ + − > 
Vậy: 18x < − hay 2 x< 
So sánh với điều kiện. KL: Nghiệm BPT là 2 6x< < . 
Bài 4: Giải bất phương trình )(,1
422
7119229
23
23
Rx
xxx
xxxx
∈>
−++
−−++−
Hướng dẫn: Điều kiện 



≠−++
≥
0422
1
23 xxx
x
- Nhận xét 1,014221422 23 ≥∀>=−++≥−++ xxxx . 
- Bất phương trình đã cho tương đương với 
 0217248114227119229 232323 >−+−+−−⇔−++>−−−+− xxxxxxxxxxx 
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 
Trang 2 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
)1(01)12(2
11
1)2(0)188)(2(
11
2 22 >





−−+
+−
−⇔>+−−+
+−
−
⇔ x
x
xxxx
x
x
- Rõ ràng 1,011)12(21)12(2
11
1 22 ≥∀>=−−>−−+
+−
xx
x
 nên (1) 202 >⇔>−⇔ xx 
Bài 5: Giải bất phương trình: ( ) ( ) ( )5 5 1
5
log 4 1 log 7 2 1 log 3 2x x x+ − − ≤ + + 
Hướng dẫn: + Điều kiện: 1 7
4 2
x− < < 
( ) ( ) ( )5 5 5log 4 1 log 3 2 1 log 7 2x x x⇔ + + + ≤ + − 
( )( ) ( )
( )( ) ( )
5 5
2
log 4 1 3 2 log 5 7 2
4 1 3 2 5 7 2
12 21 33 0
33 1
12
x x x
x x x
x x
x
⇔ + + ≤ −
⇔ + + ≤ −
⇔ + − ≤
⇔ − ≤ ≤
Giao với điều kiện, ta được: 1 1
4
x− < ≤ . Vậy: nghiệm của BPT đã cho là 1 1
4
x− < ≤ 
Bài 6: Giải bất phương trình )(221452)1( 22 Rxxxxxxx ∈+++≥+−− 
Hướng dẫn: Điều kiện: .Rx ∈ Khi đó : 
0)5212(2)522)(1( 222 ≤+−−+++−++⇔ xxxxxxx 
0
5212
547)52)(1(252214)1(
0)
5212
)13(2522)(1(
0
5212
)13)(1(2)522)(1(
0
5212
)5244(2)522)(1(
22
22222
22
2
22
2
22
22
2
≤








+−++
+−++−+++−++
+⇔
≤
+−++
−
++−++⇔
≤
+−++
−+
++−++⇔
≤
+−++
−+−+
++−++⇔
xxx
xxxxxxxx
x
xxx
xx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxxx
xxx
- Do >++−=+− 16)2(547 222 xxxx 0 nên (2) )1;(101 −−∞∈⇔−≤⇔≤+⇔ xxx 
Bài 7: Giải bất phương trình : ( ) 2 2x 1 x 5 x x 1− + + > + 
Hướng dẫn: 
x 1+ ≤ : loại 
( )
2
2 2 2
2 2
2
2
x x 1 1 1
x 1: x 5 x 5 x x 5 x
x 1 x 1 x 1
5 1 5 x 1 x 5 x 4x 5 x 5
x 1x 5 x
5
x
x 24
15x 40x 20 0
− +
+ > + > ⇔ + > + ⇔ + − >
− − −
⇔ > ⇔ − > + + ⇔ − > +
−+ +

>
⇔ ⇔ >

− + >
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 
Trang 3 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
Bài 8: Giải bất phương trình: ( )2 25 4 1 ( 2 4)x x x x x+ < + + − (x∈ R). 
Hướng dẫn: ( )2 25 4 1 ( 2 4)x x x x x+ < + + − (*) 
- ĐK: x(x2 + 2x − 4) ≥ 0 ⇔ 1 5 0
1 5
x
x

− − ≤ ≤

≥ − +
- (*) ⇔ 2 24 ( 2 4) 5 4x x x x x+ − > + − ⇔ 2 24 ( 2 4) ( 2 4) 3x x x x x x+ − > + − + (**) 
TH 1: 1 5x ≥ − + , chia hai vế cho x > 0, ta có: (**) ⇒ 
2 22 4 2 44 3x x x x
x x
+ − + −
> + 
Đặt 
2 2 4
, 0x xt t
x
+ −
= ≥ , ta có bpt: 2 4 3 0t t− + < 1 3t⇔ < < 
22
2
7 4 02 41 3
4 0
x xx x
x x x

− − <+ − 
< < ⇔ 
+ − >
 ⇔ 
1 17 7 65
2 2
x
− + +
< < 
TH 2: 1 5 0x− − ≤ ≤ , 2 5 4 0x x+ − < , (**) luôn thỏa mãn 
Vậy tập nghiệm BPT (*) là 1 17 7 651 5;0 ;
2 2
S
 
− + + = − − ∪   
 
Bài 9: Giải bất phương trình sau : 2 5 3 2 4 1 5 6x x x x+ + − > + + − 
Hướng dẫn: 
2 5 4 1 3 2 5 6 0
1 1( 2 4)[ ] 0
2 5 4 1 3 2 5 6
2
BPT x x x x
x
x x x x
x
⇔ + − + + − − − >
⇔ − + + >
+ + + − + −
⇔ <
Bài 10: Giải bất phương trình 2 2 23( 2)( 2 2 5) 9 ( 2)(3 5 12) 5 7x x x x x x x+ − + − ≤ + + − − + + 
Hướng dẫn: Điều kiện xác định: 5
2
x ≥ − . Khi đó ta có 
33 2 2 2(1) 3 14 15 2( 2) 2 5 3( 2) 5 5 7 0x x x x x x x x⇔ + + + − + + − + + − + ≤ 
33 2 2 23 18 2( 2)( 2 5 3) 3( 2)( 5 3) 3 5 7 0x x x x x x x x⇔ + − − − + + − − + + − + − + ≤ 
( )
2 2
2
22
3 32 2
2( 2)(2 4) 3( 2)( 4) 5(4 )
( 2)( 5 9) 0
2 5 3 5 3 9 3 5 7 5 7
x x x x x
x x x
x x x x
+ − + − −
⇔ − + + − − + ≤
+ + + + + + + +
( )
2
2
22
3 32 2
4( 2) 3( 2) 5( 2)
( 2) 5 9 0(*)
2 5 3 5 3 9 3 5 7 5 7
x x x
x x x
x x x x
 
 + + +
⇔ − + + − − − ≤ 
 + + + + + + + + 
 
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 
Trang 4 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
- Ta có với 
( )
2
2
2
2
3 32 2
4( 2) 4 3( 2) 3
( 2); ( 2)
3 52 5 3 5 35
5( 2) 5( 2)
2
9
9 3 5 7 5 7
x x
x x
x x
x x x
x x
 + +≤ + < +
+ + + +
≥ − ⇒  + +
<
 + + + +

( )
2
2
22
3 32 2
4( 2) 3( 2) 5( 2)
5 9
2 5 3 5 3 9 3 5 7 5 7
x x x
x x
x x x x
+ + +
⇒ + + − − − >
+ + + + + + + +
218 57 127 5
0,
45 2
x x
x
+ +
> ∀ ≥ − 
- Do đó (*) 2 0 2x x⇔ − ≤ ⇔ ≤ , kết hợp với điều kiện 5
2
x ≥ − ta suy ra bất phương 
trình đã cho có nghiệm là 5 2
2
x− ≤ ≤ 
Bài 11: Giải bất phương trình )(76)1(2
152
)2(2 2 Rxxx
x
x
∈++≥++
++
+
Hướng dẫn: Điều kiện: 
2
5
−≥x 
Bất phương trình đã cho tương đương với 
)1(0)3(2
652
1)1(0)3)(1(2
652
1
0)32(265276242152 22
≥





++
+++
−⇔≥+−+
+++
−
≥−+++−+⇔++≥+++−+⇔
x
xx
xxx
xx
x
xxxxxxxx
Chú ý rằng 
2
5
,0)3(2
552
1
−≥∀>++
+++
xx
xx
 nên (1) 101 ≥⇔≥−⇔ xx 
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm 1≥x 
Bài 12: Giải bất phương trình 2 82 1 2x x
x x
− + − ≥ 
Hướng dẫn: Điều kiện của bất phương trình: 
221 0 0 2 0
8 222 0
2 0
x
x xx
xx
x
x x
 ≥ 
− ≥  <
− ≤ < 
⇔ ⇔   ≥≥  
− ≥  
− ≤ <
- Với 2 0x− ≤ < ⇒bất phương trình đã cho luôn đúng 
- Với 2x ≥ ⇒ bất phương trình đã cho 2 2 2( 2)( 2)x x x x x⇔ − + − + ≥ 
2 2 34( 2) 2( 4) 4 ( 2) ( 2)x x x x x⇔ − + − + − + ≥ 
3 2 3 22 4 16 4 2( 2 4 8) 0x x x x x x⇔ − − + − − − + ≤
3 2 3 22( 2 4 8) 8 2( 2 4 8) 16 0⇔ − − + − − − + + ≤x x x x x x
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 
Trang 5 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
( )23 2 3 22( 2 4 8) 4 0 2( 2 4 8) 4x x x x x x− − + − ≤ ⇔ − − + = 
3 2
0
2 4 0 1 5 1 5
1 5
x
x x x x x
x
=

⇔ − − = ⇔ = + ⇔ = +

= −
 (do 2x ≥ ) 
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là [ ) { }2;0 1 5− ∪ +
Bài 13: Giải bất phương trình sau : 22 1
2
log ( 1) log ( 1)x x− ≥ − . 
Hướng dẫn: ĐK: x >1. BPT
2 2
2 1 2 2
2
log ( 1) log ( 1) log ( 1) log ( 1) 0x x x x− ≥ − ⇔ − + − ≥
2
 ( 1)( 1) 1x x⇔ − − ≥
3 2
 1 1x x x⇔ − − + ≥ 2 ( 1) 0x x x⇔ − − ≥
 1 5
2
x
+
⇔ ≥
 (do x >1). 
Vậy tập nghiệm của BPT là 1 5S= ;
2
 +
+∞  
 
. 
Bài 14: Giải bất phương trình 3 32log ( 1) log (2 1) 2x x− + − ≤ 
Hướng dẫn: ĐK: 1x > . BPT 1
2
3
3
2log ( 1) log (2 1) 2x x⇔ − + − ≤ 
3 3 3log ( 1) log (2 1) 1 log ( 1)(2 1) 1x x x x⇔ − + − ≤ ⇔ − − ≤ 
⇔ 2( 1)(2 1) 3 2 3 2 0x x x x− − ≤ ⇔ − − ≤ 
1 2
2
x⇔ − ≤ ≤ . Kết hợp ĐK ta có tập nghiệm là ( ]1;2S = 
Bài 15: Giải bất phương trình )(,)1()12)(3( 22 Rxxxxx ∈−≥+−− 
Hướng dẫn: Điều kiện: 
2
1≥x 
- Nhận xét x = 1 không thỏa mãn bài toán, do đó xx ≠−12 
- Bất phương trình đã cho tương đương với 
2
133
,
2
13301312212
22133)12(3
)12(
)1(3
2222
22
2
2
−≤+≥⇔≥−−⇔++≥−⇔+≥−⇔
−−−≥−⇔−−≥−⇔
+−
−≥−
xxxxxxxxxxx
xxxxxxx
xx
x
x
Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm 
2
313 +≥x 
Bài 16: Giải bất phương trình 29122)5124(4 2223 +−≤−+−− xxxxxxx 
Hướng dẫn: +) Điều kiện: 


≤
≥
⇔≥−
0
2
022
x
x
xx 
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 
Trang 6 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
+) Ta có bất phương trình đã cho tương đương với 
[ ] )1(0)()12(02)52(252)12(
02)52)(12()252)(12(
02)5124(29124
22
23
2223
≤−⇔≤−−−+−−⇔
≤−−−−+−−⇔
≤−+−−−+−
xfxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
+) Với xxxxxxf 2)52(252)( 22 −−−+−= .Đặt xxttxxt 2)0(;2 222 −=⇒≥−= 
- Khi đó 2)52(22)52()2(22)52(252 2222 +−−−=+−−−−=−−−+− xtxtxtxxxxxxxx 
- Ta có 2222 )32(912416825204)2(8)52( −=+−=−++−=−−−=∆ xxxxxxxx 
Do vậy phương trình 




−=
−=
⇔=
2
1
2
0)(
t
xt
xf 
Do vậy ta có phân tích 
122)(22(2)52(252)( 2222 +−+−−=−−−+−= xxxxxxxxxxxf 
Khi đó (1) 0)122)(22)(12( 22 ≤+−+−−−⇔ xxxxxx 
 )2(,0)22)(12( 2 ≤+−−−⇔ xxxx 
(Do 2 0122 >+− xx với mọi x thuộc miền xác định) 
Ta xét một số trường hợp sau: 
+) TH1: 
2
1012 =⇔=− xx (không thỏa mãn) 
+) TH2) 2
442
2
22 22
2
=⇔



+−=−
≥
⇔−=− x
xxxx
x
xxx (thỏa mãn) 
+) TH3 ⇒



+−<−
>
⇔




−<−
>−
442
2
22
012
222 xxxx
x
xxx
x
Hệ phương trình vô nghiệm 
+) TH4 
2
1
22
012
2
<⇔




−>−
<−
x
xxx
x
Kết hợp với đk ta được 0≤x 
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là x=2;x 0≤ 
Bài 17: Giải bất phương trình: ( ) ( ) ( )5 5 1
5
log 4 1 log 7 2 1 log 3 2x x x+ − − ≤ + + 
Hướng dẫn: + Điều kiện: 1 7
4 2
x− < < 
+ BPT ( ) ( ) ( )5 5 5log 4 1 log 3 2 1 log 7 2x x x⇔ + + + ≤ + − 
( )( ) ( )
( )( ) ( )
5 5
2
log 4 1 3 2 log 5 7 2
4 1 3 2 5 7 2
12 21 33 0
33 1
12
x x x
x x x
x x
x
⇔ + + ≤ −
⇔ + + ≤ −
⇔ + − ≤
⇔ − ≤ ≤
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 
Trang 7 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
 Giao với điều kiện, ta được: 1 1
4
x− < ≤ . Vậy: nghiệm của BPT đã cho là 1 1
4
x− < ≤ 
Bài 18: Giải bất phương trình: 2 2(4 7) 2 10 4 8x x x x x− − + > + − 
Hướng dẫn: ĐK: x ≥ -2 
2 2(4 7) 2 10 4 8x x x x x− − + > + − 2 2(4 7) 2 2(4 7) 2[( 2) 4]x x x x x x⇔ − − + + − − > + − 
2(4 7)( 2 2) 2( 2 2)( 2 2)x x x x x⇔ − − + + > + − + + 
2 2
2 2
4 7 2 2 4 4 2 2 2 1
(2 ) ( 2 1) 0 (2 2 1)(2 2 1) 0
x x x x x x
x x x x x x
⇔ − − > + − ⇔ > + + + +
⇔ − + + > ⇔ + + + − + − >
2 2 1
2 2 1
x x
x x
 + > −
⇔ 
+ < − −
 hoặc 2 2 1
2 2 1
x x
x x
 + > − −

+ < −
Giải các hệ bất pt trên được tập nghiệm là: T = [ ) 5 412; 1 ;
8
 +
− − ∪ +∞  
 
Bài 19: Giải bất phương trình 38 2 (4 1)( 14 8 1)x x x x x− ≥ + − + + − . 
Hướng dẫn: Điều kiện : 1x ≥ 
3 3 3(1) 8 2 (4 1)( 1 8 1 16 1) 8 2 (4 1) (4 1) (2)x x x x x x x x x⇔ − ≥ + − − + − + − ⇔ − ≥ + − − + −
- Xét hàm số 3 2( ) ; '( ) 3 1 0 1f t t t f t t t= − = − > ∀ ≥ ⇒ f(t) đồng biến trên [1;+ ∞ ) mà (2) có 
(2 ) (4 1)f x f x≥ + − và 2 ,4 1 [1; )x x+ − ∈ +∞ nên (2) 2 4 1x x⇔ ≥ + − 
2
2 4 0
2 4 1 (2 4) 1
1 0
x
x x x x
x
− ≥

⇔ − ≥ − ⇔ − ≥ −

− ≥
2
22 17 17
17 17 17 17 84 x 17 x 17 0 ;
8 8
x
x
x
x x
≥≥ +
⇔ ⇔ ⇔ ≥ 
− +
− + ≥ ≤ ≥ 

Bài 20: Giải bất phương trình: ( ) 2( 2) 2 3 2 1 2 5 3 1x x x x x+ + − + + + + ≥ 
Hướng dẫn: Điều kiện: 1x ≥− 
Đặt 
2 2
2
2 2
22 3
1 2 5 3
, 0 1 2
x a bx a
x b x x ab
a b a b
  + = −+ =     + = ⇒ + + = 
  ≥  = −   
. 
Bất phương trình trở thành: 2 2 2 2( )( 2 ) 2a b a b ab a b− − + ≥ − 
2 2 2 2( )( 2 ) ( ) ( ) 0
( )( 2 ) ( 2 ) 0 ( 0)
( 2 )( 1) 0
a b a b b a b a b
a b a b a b do a b
a b a b
⇔ − − + + − − ≥
⇔ − − − − ≥ + >
⇔ − − − ≥
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 
Trang 8 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
TH1: 
11
1 1
2 3 2 1 0 3
2 2
2 3 1 1 0 1 3
x
x
x x x x
x x x
 ≥− ≥−    + − + ≤ ⇔ ≥− ⇔ − ≤ ≤ 
   + − + − ≤ − ≤ ≤  
TH2:
11
1
2 3 2 1 0 1
2
2 3 1 1 0 1; 3
x
x
x x x x
x x x x
 ≥ − ≥−    + − + ≥ ⇔ ≤− ⇔ = − 
   + − + − ≥ ≤− ≥  
Vậy bất phương trình có nghiệm 1{ 1} ;3
2
S
 
 = − ∪ −
 
 
Bài 21: Giải bất phương trình 5325235010 22 −−+−≥−− xxxxx 
Hướng dẫn: Điều kiện 
10
74525
5
0252
035010
2
2
+≥⇔





≥
≥+−
≥−−
x
x
xx
xx
- Nhận xét 0
53252
4714253252
2
2
2 >
−++−
+−
=−−+−
xxx
xx
xxx 
- Bất phương trình đã cho tương đương với 
02.51123)2(5)5112(2
02.)5)(12(320274
)5)(2)(12(645925235010
22
2
22
≥−+−+−−+−⇔
≥−−−++−⇔
−−−−−++−≥−−
xxxxxx
xxxxx
xxxxxxxx
- Đặt )0;0(,2;5112 2 >>=−=+− babxaxx ta thu được 
2
226
;
2
2260712225112
0)52)((0352
22
22
−≤+≥⇔≥+−⇔−≥+−⇔
≥⇔≥+−⇔≥+−
xxxxxxx
bababaabba
Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm 





+∞+= ;
2
223S 
Bài 22: Giải bất phương trình xxxxx 215123 232 −+−≤+− 
Hướng dẫn: Điều kiện 2
0)2(
1
05123 2
≥⇔





≥−
≥
≥+−
x
xx
x
xx
Bất phương trình đã cho tương đương với 
)1()1)(1(2125123 2232 −++−+−−+≤+− xxxxxxxxxx 
0.232)23(3)(
0)1(.2)(1(26102
232223
223
≥+++−++−−++⇔
≥++−−+−+−⇔
xxxxxxxxxx
xxxxxxxx
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 
Trang 9 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
)1(023223.31 23
2
23
2
≥
++
+−
+
++
+−
−⇔
xxx
xx
xxx
xx
Đặt )0(2323
2
≥=
++
+−
tt
xxx
xx
 thì (1) 
 )2(024231
3
10231 32322 ≥++⇔++≤+−⇒≤≤−⇔≥+−⇔ xxxxxxxttt 
Nhận thấy (2) nghiệm đúng với 2≥x . Kết luận nghiệm [ )+∞= ;2S 
Bài 23: Giải bất phương trình: 
23 4 2 2 3
11
x x x
xx
+ + +
+ ≥ +
++
Hướng dẫn: ĐK: x > -1 
- Theo câu a ta có: 
2 4 3, 1
1
+ + ≥ ∀ > −
+
x x
x
x
. (1) 
- Lại có 3 21
1 1
+
= + +
+ +
x
x
x x
- Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số 21,
1
+
+
x
x
 ta được: 
21 2 2, 1
1
+ + ≥ ∀ > −
+
x x
x
 (2) 
Từ (1) và (2), cộng vế với vế ta có: 
23 4 2 2 3
11
x x x
xx
+ + +
+ ≥ +
++
, 1x∀ > − 
Suy ra mọi giá trị x > -1 đều thỏa mãn bất phương trình. 
Vậy kết hợp với điều kiện, bât phương trình có tập nghiệm là ( )1;S = − +∞ 
Bài 24: Giải bất phương trình sau: 
2
2
1 2 2 3 1 1
1 2 1
x x x
x x
+ − + +
>
− − +
Hướng dẫn: Điều kiện: 2
2
0
3 1 0 0
1 2 1 0
x
x x x
x x
 ≥

+ + ≥ ⇔ ≥

− − + ≠
- Ta có 
2
2 1 32 1 2 3 1 ( 0)
2 4
x x x x
 
− + = − + ≥ > ∀ ≥ 
 
 ⇒ 21 2 1 0x x− − + < 
- BPT 
2 21 3 1⇔ + − + < + +x x x x x 
1 11 1 3x x
x x
⇔ + + − < + + (Vì x = 0 không thỏa mãn bất phương trình) 
- Đặt 
1 2x t t
x
+ = ⇒ ≥ vì 0x > . 
- Ta có 131 1 3 2 1 3
4
t t t t+ − < + ⇔ − < ⇔ < 
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 
Trang 10 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
- Suy ra 13 1 132 2
4 4
t x
x
≤ < ⇒ ≤ + < 
( )2
2
1 2 1 0 13 105 13 105
1 13 8 84 13 4 0
4
x
xx
x
x xx
x

+ ≥ 
− ≥
− + 
⇔ ⇔ ⇔ < < 
− + < + <

Bài 25: Giải bất phương trình: 10121123 22 −+<−++ xxxxx 
Hướng dẫn: Điều kiện: 1≥x 
Bất phương trình đã cho tương đương với 
)2(22.3
4)2)((3822)2)((6
101211)2)(1(6)2(9
22
2222
22
++−<+−⇔
++<+−⇔++<+−⇔
−+<−−+−++
xxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxx
Đặt )0,(
2
2
≥




+=
−= ba
xb
xxa
 ta được BPT 0)2)((23 22 >−−⇔+< bababaab 
- TH1: 
2
575
2
575
2
575
085
022
84
2
2 2
2
2
2
+
>⇔






−
<
+
>
⇔




>−−
>−−
⇔




+>−
+>−
⇔



>
>
x
x
x
xx
xx
xxx
xxx
ba
ba (do )1≥x 
- TH2: 3113131
085
022
84
2
2 2
2
2
2
+<≤⇔+<<−⇔




<−−
<−−
⇔




+<−
+<−
⇔



<
<
xx
xx
xx
xxx
xxx
ba
ba (do 1≥x ) 
Vậy bất phương trình có tập nghiệm [ )31;1;
2
575
+∪







+∞
+
=S 
Bài 26: Giải bất phương trình ( ) ( )11 1 2
2 2
log 4 4 log 2 3 log 2x x x++ ≥ − − . 
Hướng dẫn: 
( ) ( )11 1 2
2 2
log 4 4 log 2 3 log 2x x x++ ≥ − − 
( ) ( )
( ) ( )
1
1 1 1
2 2 2
2 1
1 1
2 2
log 4 4 log 2 3 log 2
log 4 4 log 2 3.2
x x x
x x x
+
+
⇔ + ≥ − +
⇔ + ≥ −
( )
2 14 4 2 3.2
4 3.2 4 0
2 1
2
2 4
x x x
x x
x
x
L
x
+⇔ + ≤ −
⇔ − − ≥
 ≤ −
⇔ ⇔ ≥
≥
Vậy BPT có tập nghiệm: S = [ )2;+∞ 
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 
Trang 11 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
Bài 27: Giải bất phương trình 2.14 3.49 4 0x x x+ − ≥ 
Hướng dẫn: Chia cả hai vế của bpt cho 4x được bpt
27 72 3 1 0
2 2
x x
   
⇔ + − ≥   
   
Đặt 7
2
x
t
 
=  
 
 (với t > 0). BPT trở thành 3t2 + 2t – 1 ≥ 0 
1
1
1 3
3
t
t
t
≤ −
⇔ ⇒ ≥
 ≥

7 1
2 3
x
 
⇔ ≥ 
 
7
2
log 3x⇔ ≥ − . KL: BPT có tập nghiệm 





∞+−= ;3log
2
7S 
Bài 28: Giải bất phương trình )(4307545124 23 Rxxxxxx ∈<+−+− 
Hướng dẫn: Điều kiện 
2
1≥x . Bất phương trình đã cho tương đương với 
[ ]
)1(01)13(5
112
4)1(
01)13(5)1(
112
)22(4
0)43045)(1()112(4
043475454124
2
2
2
23
<





−−+
+−
−⇔
<−−−+
+−
−
⇔
<+−−+−−⇔
<−+−+−−
x
x
x
x
xx
x
xx
xxxxx
xxxxxx
- Nhận xét 
2
1
,01)1
2
1
.3(51)13(5
112
4 22 ≥∀>−−>−−+
+−
xx
x
x
 nên (1) 101 <⇔<−⇔ xx 
- Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm S = 



 1;
2
1
Bài 29: Giải bất phương trình: 2 0,5log ( 2) log 1x x− + < . 
Hướng dẫn: Điều kiện: 2x > . 
( )2 2 2 2 2log 2 log 1 log 1 2x xx x
x x
− −
⇔ − − < ⇔ < ⇔ < 
2 2 2x x x⇔ − − . 
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bpt là 2> −x . 
Bài 30: Giải bất phương trình: 3 2 3 22 4 5 3 4x x x x x x x− − > − + − − + . 
 Hướng dẫn: 
Cách 1: BPT 
( ) ( )2 22 2 1 2 ( 1)x x x x x x ⇔ − − > − + − − +  ( )0x ≥ . 
( )2( 2) | 2 | 1 1 2 1x x x x x ⇔ − + − + > + − +   . (1) 
* 2 :x = (1) 0 2 2⇔ > (loại). 
* 0 : (1) 2 2= ⇔ − > −x (loại). 
TUYỂN CHỌN 50 BÀI TOÁN GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 
Trang 12 NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 
* 2 :x > ( ) ( )2(1) ( 2) 1 1 1 2 1x x x x ⇔ − + + > + − +   
- Chia 2 vế cho .( 2) 0x x − > ta được: ( )2
1 1 1 1(1) 1 1
2 2x xx x
⇔ + + > + +
−
−
. 
- Xét hàm 2
2
( ) 1 , 0 '( ) 1 0 0
1
tf t t t t f t t
t
= + + > ⇒ = + > ∀ >
+
( )f t⇒ đồng biến 
0t∀ > , 1 1(1)
2xx
⇔ >
−
22 5 4 0 4; 1x x x x x x⇔ − > ⇔ − + > ⇔ > < . 
- Kết hợp 2 4x x> ⇒ > . 
* 0 2 :x< < 
( ) ( )2(1) ( 2) 1 1 1 2 1x x x x ⇔ − − + > + − +   . 
- Chia 2 vế cho .( 2) 0x x − < ta được: ( )2
1 1 1 1(1) 1 1
2 2x xx x
⇔ − + < − +
−
−
. 
- Xét hàm 
2
2
2 2
1( ) 1 , '( ) 1 0 
1 1
t t tf t t t t f t t
t t
+ −
= − + ∈ ⇒ = − = > ∀
+ +
R ( )f t⇒ đồng 
biến t∀ . Từ đó 1 1(1)
2xx
⇔ <
−
. Trường hợp này vô nghiệm vì 1 0
2x
<
−
. 
Đáp số: 4x > . 
Cách 2: ĐK 0x ≥ 
+ 0x = không là nghiệm. Xét 0 :x > 
+ ( )( ) 23 2 3 25 4(1) 2 1 4 5 3 4
x x
x x
x x x x x
− +
⇔ − + >
− + + − +
 ( )
3 2 3 2
1 1( ) 4 0
2 4 5 3 4
x xf x x
x x x x x x
 + −
⇔ = − + > 
+
− + + − + 
. 
+ Xét 
3 2 3 2
1 1( )
2 4 5 3 4
x xg x
x x x x