Tổng hợp kiến thức môn Toán lớp 12

Hình học 12 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
5 
hoctoancapba.com 
TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
     
 
 


























21
21
13
13
32
32
332211
3
3
2
2
1
1
332211
33
22
11
2
3
2
2
2
1
321
332211
222
,,a .10
0...0.a .9
0.//a .8
....a .7
a .6
a .5
,,ak. .4
,, .3
 .2
),,( .1
bb
aa
bb
aa
bb
aa
b
babababab
b
a
b
a
b
a
babkab
bababab
ba
ba
ba
b
aaa
kakaka
babababa
zzyyxxABAB
zzyyxxAB
ABABAB
ABABAB
cb,,a .11 đồng phẳng   0.  cba 
cb,,a .12 không đồng phẳng   0.  cba 
13. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1 
 











k
kzz
k
kyy
k
kxx
M BABABA
1
 , 
1
 , 
1
14. M là trung điểm AB 
 




 
2
,
2
,
2
BABABA zzyyxxM 
15. G là trọng tâm tam giác ABC 
 




 
,
3
,
3
,
3
CBACBACBA zzzyyyxxxG 
16. Véctơ đơn vị : )1,0,0();0,1,0();0,0,1( 321  eee 
17. OzzKOyyNOxxM  ),0,0(;)0,,0(;)0,0,( 
18. OxzzxKOyzzyNOxyyxM  ),0,(;),,0(;)0,,( 
19. 
2
3
2
2
2
1
2
1
2
1
aaaACABS ABC  
20. ADACABVABCD ).(
6
1
 
21. /
.
).(//// AAADABV DCBAABCD  
CÁC DẠNG TOÁN 
Daïng 1: Chöùng minh A,B,C laø ba ñænh tam giaùc 
 A,B,C laø ba ñænh tam giaùc  [

AC,AB ] ≠ 0

 SABC = 
2
1 
AC],[AB 
 Ñöôøng cao AH = 
BC
S ABC.2
 Shbh = 

AC],[AB 
Daïng 2: Tìm D sao cho ABCD laø hình bình haønh 
 Chöùng minh A,B,C khoâng thaúng haøng 
 ABCD laø hbh  DCAB  
Daïng 3: Chöùng minh ABCD laø moät töù dieän: 
 [

AC,AB ].

AD ≠ 0 
 Vtd = 
6
1 
AD.AC],[AB 
 Ñöôøng cao AH cuûa töù dieän ABCD 
 AHSV BCD.
3
1
  
BCDS
V
AH
3
 
 Theå tích hình hoäp : 
  /
.
.;//// AAADABV DCBAABCD  
Daïng4: Hình chieáu cuûa ñieåm M 
 1. H laø hình chieáu cuûa M treân mp 
 Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua M vaø 
vuoâng goùc mp : ta coù nad  
 Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : (d) vaø () 
 2. H laø hình chieáu cuûa M treân ñöôøng thaúng (d) 
 Vieát phöông trình mp qua M vaø vuoâng goùc 
vôùi (d): ta coù dan  
 Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : (d) vaø () 
Daïng 5 : Ñieåm ñoái xöùng 
 1.Ñieåm M
/
 ñoái xöùng vôùi M qua mp 
 Tìm hình chieáu H cuûa M treân mp (daïng 4.1) 
 H laø trung ñieåm cuûa MM/ 
 2.Ñieåm M
/
 ñoái xöùng vôùi M qua ñöôøng thaúng d: 
 Tìm hình chieáu H cuûa M treân (d) ( daïng 4.2) 
 H laø trung ñieåm cuûa MM/ 
TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
Hình học 12 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
6 
TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
1. Vectô phaùp tuyeán cuûa mp : 
n

≠ 0

 laø veùctô phaùp tuyeán cuûa   n

  
2. Caëp veùctô chæ phöông cuûa mp : 
 a

 b

 laø caëp vtcp cuûa   a

, b

 cuøng //  
 3 Quan heä giöõa vtpt n

 vaø caëp vtcp a

, b

: n

 = [ a

, b

] 
 4. Pt mp qua M(xo ; yo ; zo) coù vtpt n

 = (A;B;C) 
 A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0 
() : Ax + By + Cz + D = 0 ta coù n

 = (A; B; C) 
5.Phöông trình maët phaúng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; 
C(0,0,c) : 1
c
z
b
y
a
x
 
 Chuù yù : Muoán vieát phöông trình maët phaúng caàn: 
 1 ñieåm vaø 1 veùctô phaùp tuyeán 
6.Phöông trình caùc maët phaúng toïa ñoä 
 (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0 
7. Chuøm maët phaúng : giaû söû 1  2 = d trong ñoù 
 (1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 
 (2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0 
 Pt mp chöùa (d) coù daïng sau vôùi m
2
+ n
2
 ≠ 0 : 
 m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 
8. Vò trí töông ñoái cuûa hai mp (1) vaø (2) : 
° 222111 C:B:AC:B:Acaét  
° 
2
1
2
1
2
1
2
1//
D
D
C
C
B
B
A
A
 
° 
2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A
 
 ª 0212121  CCBBAA 
 9.KC từ M(x0,y0,z0) đến () : Ax + By + Cz + D = 0 
222
ooo
CBA
D Cz By Ax


)d(M, 
10.Goùc giữa hai maët phaúng : 
21
21
.
.
nn
nn


),cos(  
CAÙC DAÏNG TOAÙN 
Daïng 1: Maët phaúng qua 3 ñieåm A,B,C : 
 ° Caëp vtcp:

AB ,

AC °
]
)(

 AC , AB[nvtpt
qua

ChayBhayA
 
Daïng 2: Maët phaúng trung tröïc ñoaïn AB : 
 ° 
 AB vtpt
AB ñieåm trungMqua
n

 
Daïng 3: Maët phaúng  qua M vaø  d (hoaëc AB) 
 ° 
)....(ABn

 
d
a vtpt neân (d) Vì
 Mqua


 
Daïng 4: Mp qua M vaø // : Ax + By + Cz + D = 0 
 ° 



n n vtpt neân // Vì
M qua


Daïng 5: Mp chöùa (d) vaø song song (d/) 
 Ñieåm M ( choïn ñieåm M treân (d)) 
 Mp chöùa (d) neân aad  
 Mp song song (d/) neân bad / 
■ Vtpt  /, dd aan  
Daïng 6 Mp qua M,N vaø   : 
■ Mp qua M,N neân aMN  
■ Mp  mp neân  bn  
 ° 
],[


n nvtpt
N) (hayM qua
 
 MN
Daïng 7 Mp chöùa (d) vaø ñi qua 
■ Mp chöùa d neân aad  
■ Mp ñi qua )(dM  vaø A neân bAM  
°
],[ AM nvtpt
A qua


d
a
 (Caùch 2: söû duïng chuøm mp) 
MẶT PHẲNG 
 // 
Hình học 12 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
7 
TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
1.Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng (d) qua 
 M(xo ;yo ;zo) coù vtcp a

= (a1;a2;a3) 
 Rt;
tazz
tayy
taxx
(d)
3o
2o
1o









: 
2.Phöông trình chính taéc cuûa (d) 
32
a
z-z
a
yy
a
xx
(d)
o
1
o 0
: 



3.PT toång quaùt cuûa (d) laø giao tuyeán cuûa 2 mp 1 vaø 2 





0 DzBxA
0 DzBxA
(d)
2222
1111
Cy
Cy
: 
 Veùctô chæ phöông 








22
11
22
11
22
11
,,
BA
BA
AC
AC
CB
CB
a 
4.Vò trí töông ñoái cuûa 2 ñöôøng thaúng : 
 (d) qua M coù vtcp da

; (d’) qua N coù vtcp /da 
 d cheùo d’  [ da

, /d
a ].

MN ≠ 0 (khoâng ñoàng phaúng) 
 d,d’ ñoàng phaúng  [ da

, /d
a ].

MN = 0 
 d,d’ caét nhau  [ da

, /d
a ] 0 vaø [ da

, /d
a ].

MN =0 
 d,d’ song song nhau  { da

 // /d
a vaø )( /dM  } 
 d,d’ truøng nhau  { da

 // /d
a vaø )( /dM  } 
5.Khoaûng caùch : 
Cho (d) qua M coù vtcp da

; (d’) qua N coù vtcp /da 
Kc từ đieåm ñeán ñường thẳng: 
d
d
a
AMa
dAd
];[
),(  
Kc giöõa 2 ñường thẳng : 
];[
].;[
);(
/
/
/
dd
dd
aa
MNaa
ddd  
6.Goùc : (d) coù vtcp da

; ’ coù vtcp /da ; ( ) coù vtpt n

Goùc giữa 2 ñöôøng thaúng : 
/
/
.
.
'
dd
dd
aa
aa


)dcos(d, 
Goùc giữa ñường vaø mặt : 
na
na
d
d


.
.
)sin(d, 
CAÙC DAÏNG TOAÙN 
Daïng 1: : Ñöôøng thaúng (d) ñi qua A,B 



 ABaVtcp
hayBquaA
d
d
)(
)( 
Daïng 2: Ñöôøng thaúng (d) qua A vaø song song () 

 a 
d
a vtcp neân )( // (d) Vì
qua

A
d )( 
Daïng 3: Ñöôøng thaúng (d) qua A vaø vuoâng goùc mp 

 n 
d
a vtcp neân )( (d) Vì
qua


A
d )( 
Daïng4: PT d’ hình chieáu cuûa d leân  : d/ =    
 Vieát pt mp chöùa (d) vaø vuoâng goùc mp 
  
   











];[
)()(
)(






nan
bn
aad
dquaM
d
d
 ª



)(
)(
)( /


d 
Daïng 5: Ñöôøng thaúng (d) qua A vaø vuoâng goùc 
(d1),(d2) 
] 
d
a ,
d
a [ avtcp
qua
1 2
)( 

A
d 
Daïng 6: PT d vuoâng goùc chung cuûa d1 vaø d2 : 
+ Tìm da = [ a

d1, a

d2] 
+ Mp chöùa d1 , (d) ; mp chöùa d2 , (d) 
  d =    
Daïng 7: PT qua A vaø d caét d1,d2 : d =    
vôùi mp = (A,d1) ; mp = (A,d2) 
Daïng 8: PT d //  vaø caét d1,d2 : d = 1  2 
 vôùi mp1 chöùa d1 //  ; mp2 chöùa d2 //  
Daïng 9: PT d qua A vaø  d1, caét d2 : d = AB 
vôùi mp qua A,  d1 ; B = d2   
Daïng 10: PT d  (P) caét d1, d2 : d =    
vôùi mp chöùa d1 ,(P) ; mp chöùa d2 ,  (P) 
ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 
Qui öôùc: 
 Maãu = 0 thì Tö û= 0 
Hình học 12 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
8 
TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
1.Phương trình maët caàu taâm I(a ; b ; c),baùn kính R 
       2Rczbyax:R)S(I, 222  (1) 
 0d2cz2by2axzyx:R)S(I,
222  (2) 
 ( 0dcbavôùi
222  ) 
 Taâm I(a ; b ; c) vaø dcbaR 
222
2.Vò trí töông ñoái cuûa maët phaúng vaø maët caàu 
 Cho       2Rczbyax:(S) 222  
 vaø  : Ax + By + Cz + D = 0 
 Goïi d = d(I,) : khoûang caùch töø taâm mc(S) 
ñeán mp : 
 d > R : (S)   =  
 d = R :  tieáp xuùc (S) taïi H (H: tieáp ñieåm, : 
tieáp dieän) 
 *Tìm tieáp ñieåm H (laø hchieáu cuûa taâm I treân mp) 
 Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua I 
vaø vuoâng goùc mp : ta coù nad  
 Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : (d) vaø () 
 d < R :  caét (S) theo ñöôøng troøn coù pt 
     





2
0DCzByAx : 
Rczbyax:(S)
222
 *Tìm baùn kính r vaø taâm H cuûa ñöôøng troøn: 
+ baùn kính ),(22 IdRr  
+ Tìm taâm H ( laø hchieáu cuûa taâm I treân mp) 
 Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua I 
vaø vuoâng goùc mp : ta coù nad  
 Toïa ñoä H laø nghieäm cuûa hpt : (d) vaø () 
3.Giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng vaø maët caàu 








tazz
tayy
taxx
d
3o
2o
1o
: (1) vaø 
       2Rczbyax:(S) 222  (2) 
 + Thay ptts (1) vaøo pt mc (2), giaûi tìm t, 
 + Thay t vaøo (1) ñöôïc toïa ñoä giao ñieåm 
CAÙC DAÏNG TOAÙN 
Daïng 1: Maët caàu taâm I ñi qua A 
ª       2Rczbyax:R)S(I, 222  (1) 
 Theá toïa ñoä A vaøo x,y,z tìm R2 
Daïng 2: Maët caàu ñöôøng kính AB 
 Taâm I laø trung ñieåm AB 
 Vieát phöông trình maët caàu taâm I (1) 
 Theá toïa ñoä A vaøo x,y,z tìm R2 
Daïng 3: Maët caàu taâm I tieáp xuùc mp 
222
..)(
CBA
D
I
zC
I
yBS



I
A.x
)d(I, R
I taâmcaàu maët Pt

Daïng 4: Maët caàu taâm I vaø tieáp xuùc () 
)d(I, R
I taâm

)(S 
Daïng 5: Maët caàu ngoaïi tieáp töù dieän ABCD 
Duøng (2) 0d2cz2by2axzyx:R)S(I,
222  
A,B,C,D  mc(S)  heä pt, giaûi tìm a, b, c, d 
Daïng 6:Maët caàu ñi qua A,B,C vaø taâm I € (α) 
 0d2cz2by2axzyx:R)S(I,
222  (2) 
A,B,C  mc(S): theá toïa toïa A,B,C vaøo (2) 
I(a,b,c) (α): theá a,b,c vaøo pt (α) 
 Giaûi heä phöông trình treân tìm a, b, c, d 
Daïng 7: Maët phaúng tieáp xuùc maët caàu taïi A 
Tieáp dieän  cuûa mc(S) taïi A :  qua A,

 IA n vtpt

Daïng 8: Maët phaúng  tieáp xuùc (S) vaø   
 + Vieát pt mp vuoâng goùc  : ),,( CBAan   
 + Mp : Ax + By + Cz + D = 0 
 + Tìm D töø pt d(I ,  ) = R 
Daïng 9: Maët phaúng  tieáp xuùc (S) vaø // 2 ñt a,b : 
 R )d(I, töø
0CzByAx :pt
] b, a[ n
D
D






Daïng 10: Mp chöùa  vaø tieáp xuùc mc(S) : 
nm, )d(I, R
 chöùa mp chuøm thuoäc



 
MẶT CẦU 
Hình học 12 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
9