Tổng Hợp Công Thức Toán 12

 GV: Huỳnh Công Thành Tổng Hợp Công Thức Toán 12 ĐT : 0909077549 
1 
KHẢO SÁT HÀM SỐ: 
1. Hàm bậc ba : y = ax3+bx2+cx+d: 
 Miền xác định D=R 
 Tính y’= 3ax2+2bx+c 
 y' = 0 tìm 2 cực trị hoặc không (nếu có) 
 tính y’’ tìm 1 điểm uốn 
 bảng biến thiên 
 điểm đặc biệt (2điểm) 
 đồ thị (đt) 
* Các vấn đề đặc biệt cho hàm bậc 3: 
- để hs tăng trên D






0
0
0'
'y
a
y 
- để hs giảm trên D






0
0
0'
'y
a
y 
- để hs có cực trị trên D y’=0 có 2 n0 pb 
- để hs không có cực trị y’=0 VN hoặc có nghiệm kép 
- hs nhận điểm uốn làm tâm đối xứng và tiếp tuyến tại đây qua đthị 
- chia y cho y’ dư mx+n thì đthẳng y=mx+n là đthẳng qua 2 điểm cực trị, nếu xi là cực trị thì giá trị 
cực trị là: yi=mxi+n 
- đồ thị cắt ox tại 3 điểm phân biệt thì hai giá trị cực trị trái dấu. 
- đồ thị cắt ox tại 3 điểm pb cách đều nhau  ax3+bx2+cx+d=0 có 3 nghiệm lập thành csc  y’=0 
có 2 nghiệm pb và điểm uốn thuộc ox. 
2. Hàm trùng phƣơng : y = ax4+bx2+c: 
 Miền xác định D=R 
 Tính y’ 
 y' = 0 tìm 3cực trị hoặc 1 cực trị 
 bảng biến thiên 
 điểm đặc biệt (2điểm) 
 đồ thị 
* Các vấn đề đặc biệt cho hàm t phƣơng: 
- đt nhận oy làm trục đối xứng. 
- để hs có 3 (hoặc 1) cực trị trên D  y’=0 có 3 n0 pb (hoặc 1 n0) 
- để hs có điểm uốn  y’’=0 có 2 n0 pb 
- đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb  >0 ; P>0 ; S>0. 
- đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb lập thành csc  >0 ; P>0 ; S>0 ; x2 = 9x1 và sử dụng đlý 
Vieet. 
 GV: Huỳnh Công Thành Tổng Hợp Công Thức Toán 12 ĐT : 0909077549 
2 
3. Hàm nhất biến 
dcx
bax
y


 
 Miền xác định D=R\ cd 
 Tính 
 2
'
dcx
bcad
y


 (>0, <0) 
 TCĐ 
c
dx  vì 0lim 

y
c
dx
 TCN c
ay  vì c
ay
x


lim 
 bảng biến thiên 
 điểm đặc biệt (4điểm) 
 đồ thị 
- đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng 
4. Hàm hữu tỷ 
edx
x
edx
cbxax
y







2
 chia bằng Hoocner 
 Miền xác định D=R\ de 
 Tính y’=
   2
2
2
.
edx
pnxmx
edx
d






 
 y' = 0 tìm 2cực trị hoặc không có. 
 TCĐ 
d
e
x  vì 0lim 

y
d
ex
 TCX   xy vì 0lim 
 edxx

 bảng biến thiên 
 điểm đặc biệt (4điểm) 
 đồ thị 
* Một số kết quả quan trọng: 
- đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng 
- có 2 cực trị hoặc không  y’= 0 có 2 nghiệm pb khác nghiệm của mẫu hoặc VN 
- nếu xi là cực trị thì giá trị cực trị là 
d
bax
y ii


2
 và đó cũng là đt qua 2 điểm cực trị. 
- đthị cắt ox tại 2 điểm pb  ax2+bx+c=0 có 2 nghiệm pb 
* CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KSHS: 
1/ Phƣơng trình tiếp tuyến: (pttt) 
@ Loại 1: pttt tại M(x0,y0)  y=f(x) 
 tính: y’= 
 y’(x0)= 
 pttt: y = f’(x0)(x-x0)+y0 
@ Loại 2: pttt có hệ số góc k cho trước 
 ta có: f’(x)=k giải pt này tìm x0 thay vào y=f(x) tìm được y0 từ đó ta có pttt là: y = k(x-x0)+y0 
 GV: Huỳnh Công Thành Tổng Hợp Công Thức Toán 12 ĐT : 0909077549 
3 
 pttt // y=ax+b có hệ số góc k = a 
 pttt y=ax+b có hệ số góc k = -1/a. 
@ Loại 3: pttt qua M(x0,y0) của y=f(x) 
ptđt d qua M có hệ số góc k là: y = k(x-x0)+y0 
để d là tt thì hệ sau có nghiệm: 





(2) 
(1) 
kxf
yxxkxf
)('
)()( 00
 thay (2) vào (1) giải pt này tìm được x thay 
vào (2) ta được k thế vào pttt d ở trên. 
2/ Giao điểm của 2 đƣờng: Cho y=f(x) và y = g(x) 
+ ptrình hoành độ giao điểm là: f(x) = g(x) giải pt này được mấy nghiệm là có mấy giao điểm. 
 + bài toán ứng dụng cho việc biện luận nghiệm f(x,m)=0 biến đổi về dạng 
f(x)=g(m) 
đặt y=f(x) là đồ thị đã vẽ; y=g(m) là đt //ox. Từ đó biện luận số nghiệm pt dựa vào đồ thị. 
+ để f(x) tiếp xúc g(x) ta có: 





(x) ')('
)()(
gxf
xgxf
từ đó tìm điểm tiếp xúc x 
3/ đơn điệu: cho y = f(x) ; đặt g(x) = y’ 
a/ g(x) = ax
2
+bx+c  0 trong (,+)  a>0 ; 
a
b
2
 ; g()0. 
b/ g(x) = ax
2
+bx+c  0 trong (,+)  a<0 ; 
a
b
2
; g()0. 
c/ g(x) = ax
2
+bx+c  0 trong (,)  ag()0 ; ag()0 
{áp dụng cho dạng có m2} 
d/ trong g(x) có chứa m biến đổi về dạng 
m > h(x) (hoặc m giá trị lớn nhất của h(x) (m<minh(x)) 
e/ đối với hàm có mxđ D=R\{x0} thì 
 tăng trên (,+) y’0 ; x0 
 giảm trên (,+) y’0 ; x0 
4. Cực trị: 
 * y = f(x) có cực trị  y’= 0 có nghiệm và đổi dấu qua điểm đó.(y’=0;y”0) 
* y=f(x) có cực đại tại x0 
 
 




0''
0'
0
0
xy
xy
* y=f(x) có cực tiểu tại x0
 
 




0''
0'
0
0
xy
xy
1. T.Hợp 1: Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d 
 Tập xác định D = R 
 Tính y/ 
Để hàm số có cực trị thì y/ = 0 có hai n 0 pb 






0
0a
 GV: Huỳnh Công Thành Tổng Hợp Công Thức Toán 12 ĐT : 0909077549 
4 
2. T.Hợp 2: Hàm số 
//
2
bxa
cbxax
y


 
 Tập xác định 







/
/
\
a
b
RD 
 Tính 
 2//
/
)(
bxa
xg
y

 
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y/ = 0 có hai nghiệm pb thuộc D 








0)(
0
/
/
/
a
b
g
g
5. GTLN, GTNN: 
 a. Trên (a,b) Tính y’ 
 Lập bảng biến thiên trên (a ; b ) 
 KL: 
 ;
max CD
a b
y y , 
 ;
min CT
a b
y y 
b. Trên [a;b] Tính y’ 
 Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm  0 ;x a b 
 Tính y (x0 ) , y(a) , y (b) 
 Chọn số lớn nhất M KL:  ;
max
a b
y M 
 Chọn số nhỏ nhất m , KL:
 ;
min
a b
y m 
CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN 
KHẢO SÁT HÀM SỐ 
 Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC 
Cho hàm số  xfy  ,đồ thị là (C). Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau: 
Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm    0 0;M x y C . 
 Tính đạo hàm và giá trị  0'f x . 
 Phương trình tiếp tuyến có dạng:   0 0 0'y f x x x y   . 
Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm    0 0;M x y C có hệ số góc  0'k f x . 
Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k . 
 Giải phương trình:  'f x k , tìm nghiệm 0 0x y . 
 Phương trình tiếp tuyến dạng:  0 0y k x x y   . 
Chú ý: Cho đường thẳng : 0Ax By C    , khi đó: 
 GV: Huỳnh Công Thành Tổng Hợp Công Thức Toán 12 ĐT : 0909077549 
5 
 Nếu  // :d d y ax b    hệ số góc k = a. 
 Nếu   :d d y ax b    hệ số góc 
1
k
a
  . 
Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm    ;A AA x y C . 
 Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó    : A Ad y k x x y   
 Điều kiện tiếp xúc của    à d v C là hệ phương trình sau phải có nghiệm: 
   
 '
A Af x k x x y
f x k
   


Tổng quát: Cho hai đường cong    :C y f x và    ' :C y g x . Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc 
với nhau là hệ sau có nghiệm. 
   
   ' '
f x g x
f x g x
 


. 
Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ 
Cho hàm sô  xfy  ,đồ thị là (C). Các vấn đề về cực trị cần nhớ: 
 Nghiệm của phương trình  ' 0f x  là hoành độ của điểm cực trị. 
 Nếu 
 
 
0
0
' 0
'' 0
f x
f x
 


 thì hàm số đạt cực đại tại 0x x . 
 Nếu 
 
 
0
0
' 0
'' 0
f x
f x
 


 thì hàm số đạt cực tiểu tại 0x x . 
Một số dạng bài tập về cực trị thƣờng gặp 
 Để hàm số  y f x có 2 cực trị 
'
0
0y
a 
 
 
. 
 Để hàm số  y f x có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành . 0CĐ CTy y  . 
 Để hàm số  y f x có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung . 0CĐ CTx x  . 
 Để hàm số  y f x có hai cực trị nằm phía trên trục hoành 
0
. 0
CĐ CT
CĐ CT
y y
y y
 
 

. 
 Để hàm số  y f x có hai cực trị nằm phía dưới trục hoành 
0
. 0
CĐ CT
CĐ CT
y y
y y
 
 

. 
 Để hàm số  y f x có cực trị tiếp xúc với trục hoành . 0CĐ CTy y  . 
Cách viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua hai điểm cực trị. 
Dạng 1: hàm số 3 2y ax bx cx d    
 Lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x). Khi đó y = r(x) là đường thẳng đi qua 2 điểm cực 
trị. 
 GV: Huỳnh Công Thành Tổng Hợp Công Thức Toán 12 ĐT : 0909077549 
6 
Dạng 2: Hàm số 
2ax bx c
y
dx e
 


 Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng 
 
 
2 ' 2
'
ax bx c a b
y x
dx e d d
 
  

Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾNNGHỊCH BIẾN 
Cho hàm sô  xfy  có tập xác định là miền D. 
 f(x) đồng biến trên D   Dxxf  ,0' . 
 f(x) nghịch biến trên D   Dxxf  ,0' . 
(chỉ xét trường hợp f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên miền D) 
Thƣờng dùng các kiến thức về xét dấu tam thức bậc hai:   2f x ax bx c   . 
1. Nếu 0  thì f(x) luôn cùng dấu với a. 
2. Nếu 0  thì f(x) có nghiệm 
2
b
x
a
  và f(x) luôn cùng dấu với a khi 
2
b
x
a
  . 
3. Nếu 0  thì f(x) có hai nghiệm, trong khoảng 2 nghiệm f(x) trái dấu với a, ngoài khoảng 2 nghiệm 
f(x) cùng dấu với a. 
So sánh nghiệm của tam thức với số 0 
* 1 2
0
0 0
0
x x P
S
 

   
 
 * 1 2
0
0 0
0
x x P
S
 

   
 
 * 1 20 0x x P    
Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐƢỜNG CONG 
Quan hệ giữa số nghiệm và số giao điểm 
Cho hai hàm số y=f(x) có đồ thị (C1) và y=g(x) có đồ thị (C2). Khảo sát sự tương giao giữa hai đồ 
thị (C1) và (C2) tương đơưng với khảo sát số nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (1). Số giao điểm của 
(C1) và (C2) đúng bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (1). 
(1) vô nghiệm  (C1) và (C2) không có điểm chung. 
 (1) có n nghiệm  (C1) và (C2) có n điểm chung. 
(1) có nghiệm đơn x1  (C1) và (C2) cắt nhau tại N(x1;y1). 
(1) có nghiệm kép x0  (C1) tiếp xúc (C2) tại M(x0;y0). 
 GV: Huỳnh Công Thành Tổng Hợp Công Thức Toán 12 ĐT : 0909077549 
7 
Dạng 5: CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH 
Các công thức về khoảng cách: 
Khoảng cách giữa hai điểm (độ dài đoạn thẳng):    
2 2
B A B AAB x x y y    . 
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho đường thẳng : 0Ax By C    và điểm 
M(x0;y0) khi đó  
0 0
2 2
,.
Ax By C
d M
A B
 
 

. 
Dạng 6: CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH 
Phƣơng pháp: 
Từ hàm số  ,y f x m ta đưa về dạng    , ,F x y mG x y . Khi đó tọa độ điểm cố định nếu có là 
nghiệm của hệ phương trình 
 
 
, 0
, 0
F x y
G x y
 


. 
Dạng 7: ĐỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 
y = f(x) có đồ thị (C)  y f x có đồ thị (C’)  y f x có đồ thị (C “) 
   0,y f x x D    . Do đó ta phải 
giữ nguyên phần phía trên trục Ox 
và lấy đối xứng phần phía dưới 
trục Ox lên trên. 
 y f x có    f x f x  , 
x D  nên đây là hàm số 
chẵn do đó có đồ thị đối xứng 
qua trục tung Oy. 
f(x)=x^3-2x^2-0.5
x
y
(C)
f(x)=abs(x^3-2x^2-0.5)
f(x)=x^3-2x^2-0.5
x
y
(C')
f(x)=abs(x)^3-2x^2-0.5
f(x)=x^3-2x^2-0.5
x
y
(C'')
Chú ý: Đối với hàm hữu tỷ 
1. Cho hàm số  
2
:
2 2
x x
C y
x



. 
a. Khảo sát hàm số. 
b. Định k để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt. 
2
2 2
x x
k
x



. 
 GV: Huỳnh Công Thành Tổng Hợp Công Thức Toán 12 ĐT : 0909077549 
8 
f(x)=(x^2+x)/(2x-2)
x(t)=1 , y(t)=t
f(x)=x/2+1
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4
-8
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
f(x)=(x^2+x)/(2x-2)
x(t)=1 , y(t)=t
f(x)=x/2+1
f(x)=(x^2+abs(x))/(2abs(x)-2)
f(x)=-x/2+1
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-8
-6
-4
-2
2
4
x
y
2. Cho hàm số  
2 3 3
:
1
x x
C y
x
 


. 
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. 
b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
2 3 3
1
x x
m
x
 


. 
f(x)=(x^2+3x+3)/(x+1)
x(t)=-1 , y(t)=t
f(x)=x+2
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
x
y
f(x)=(x^2+3x+3)/(x+1)
x(t)=-1 , y(t)=t
f(x)=x+2
f(x)=(x^2+3x+3)/abs(x+1)
f(x)=-x-2
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
x
y
3. Cho hàm số  
24
:
1
x x
C y
x



. 
a. Khảo sát hàm số. 
b. Định m để phương trình  2 4 0x m x m    có bốn nghiệm phân biệt. 
f(x)=(4x-x^2)/(x-1)
x(t)=1 , y(t)=t
f(x)=-x+3
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
x
y
f(x)=(4x-x^2)/(x-1)
x(t)=1 , y(t)=t
f(x)=(4abs(x)-x^2)/(abs(x)-1)
f(x)=-x+3
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
x
y
4. Cho hàm số  
2 1
:
2
x x
C y
x
 


. 
1. Khảo sát hàm số. 
2. Định m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:  2 1 2 1 0x m x m     . 
 GV: Huỳnh Công Thành Tổng Hợp Công Thức Toán 12 ĐT : 0909077549 
9 
5. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 3 22 9 12 4y x x x    . 
b. Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt: 
3 22 9 12x x x m   . (ĐH Khối A2006) 
f(x)=2x^3-9x^2+12x
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4
-8
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
f(x)=2abs(x)^3-9x^2+12abs(x)
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2
-8
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
a. ĐS: b. 4<m<5. 
Dạng 8: CÁC CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG 
Điểm  0 0;I x y là tâm đối xứng của đồ thị    :C y f x  Tồn tại hai điểm M(x;y) và 
M’(x’;y’) thuộc (C) thỏa: 
   
0
0
' 2
' 2
x x x
f x f x y
 

     
0
0 0
' 2
2 2
x x x
f x f x x y
 
 
  
Vậy  0 0;I x y là tâm đối xứng của (C)     0 02 2f x y f x x   
. 
Dạng 9: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIỆM CẬN 
1. Định nghĩa: 
(d) là tiệm cận của (C) 
  
0lim 


CM
M
MH 
2. Cách xác định tiệm cận 
a. Tiệm cận đứng:     0:lim
0
xxdxf
xx


. 
b. Tiệm cận ngang:     00 :lim yydyxf
x


. 
c. Tiệm cận xiên: TCX có phương trình: y=x+ trong 
đó: 
 
  xxf
x
xf
xx
 

lim;lim . 
Các trường hợp đặc biệt: 
6
4
2
-2
-4
-6
-10 -5 5
y
x
(d)
(C)
h y  = 0
g x  = 0
f x  = 1.7x
H
M
 GV: Huỳnh Công Thành Tổng Hợp Công Thức Toán 12 ĐT : 0909077549 
10 
*Hàm số bậc nhất trên bậc nhất (hàm nhất 
biến) 
nmx
bax
y


 
+TXĐ: D= R\







m
n
+TCĐ:  
m
n
xdy
m
n
x


:lim 
+TCN:  
m
a
yd
m
a
y
x


:lim 
f(x)=x/(x-1)
f(x)=1
x(t)=1 , y(t)=t
T?p h?p 1
-14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y


I
* Hàm số bậc hai trên bậc nhất (hàm hữu tỷ) 
 
nmx
A
x
nmx
cbxax
y




 
2
+TXĐ: D= R\







m
n
+TCĐ:  
m
n
xdy
m
n
x


:lim 
+TCX: 0lim 
 nmx
A
x
  TCX: y=x+ 
f(x)=x^2/(2(x-1))
f(x)=x/2+1/2
x(t)=1 , y(t)=t
T?p h?p 1
-14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y

I
Dạng 10: DIỆN TÍCHTHỂ TÍCH 
Ứng dụng tích phân (Dạng này thường xuất hiện nhiều trong các đề thi tốt nghiệp) 
a. Diện tích 
Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) có đồ thị (C1), (C2). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1), (C2) và hai 
đường thẳng x=a, x=b được tính bởi công thức: 
   
b
a
S f x g x dx  
Chú ý: 
Nếu diện tích thiếu các đường thẳng x=a, x=b 
ta phải giải phương trình f(x)=g(x) để tìm a, b. 
b. Thể tích 
Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi 
{(C):y=f(x),y=0,x=a,x=b} quay quanh Ox 
được tính bởi công thức:   
b
a
dxxfV
2
 
Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi {(C): x=(y), x=0, y=c, y=d} quay quanh Oy được tính bởi công thức: 
  
d
c
dyyV
2
 
 Thể tích tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi hai đường y=f(x), y=g(x) quay quanh Ox (f(x)g(x), 
x[a;b]) được tính bởi công thức:        
b
a
dxxgxfV
22
 . 
x 
y 
O 
f(x) 
g(x) 
b a 
x 
y 
O 
f(x) 
(x) 
b a 
y 
x c 
d 
O 
 GV: Huỳnh Công Thành Tổng Hợp Công Thức Toán 12 ĐT : 0909077549 
11 
TÍCH PHÂN 
I.CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 
1. Phƣơng pháp đổi biến số 
Bài toán: Tính ( )
b
a
I f x dx  , 
*Phương pháp đổi biến dạng I 
Định lí . Nếu 1) Hàm ( )x u t có đạo hàm liên tục trên đoạn  ;  , 
 2) Hàm hợp ( ( ))f u t được xác định trên  ;  , 
 3) ( ) , ( )u a u b   , thì '( ) ( ( )) ( )
b
a
I f x dx f u t u t dt


   
Chú ý: Trong thực tế chúng ta có thể gặp dạng tích phân trên dạng tổng quát hơn như: 
 Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa căn dạng 
2 2 2 2,a x a x  và 2 2x a 
(trong trong đó a là hằng số dương) mà không có cách biến đổi nào khác thì nên đổi sang các hàm số lượng giác 
để làm mất căn thức, cụ thể là: 
 Với 
2 2a x , đặt sin , ;
2 2
x a t t
  
    
 hoặc  cos , 0;x a t t   
 Với 
2 2a x , đặt tan , ;
2 2
  
   
 
x a t t hoặc  , 0; x acott t . 
 Với 
2 2x a , đặt  , ; \ 0
sin 2 2
a
x t
t
  
    
 hoặc ;
cos
a
x
t
  0; \
2
t


 
  
 
. 
*Phương pháp đổi biến dạng II 
Định lí :Nếu hàm số ( )u u x đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn  ;a b sao cho 
'( ) ( ( )) ( ) ( )f x dx g u x u x dx g u du  thì 
( )
( )
( ) ( )
u bb
a u a
I f x dx g u du  
. 
2.Phƣơng pháp tích phân từng phần. 
Định lí . Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên  ;a b thì: 
  ' '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
b
u x v x dx u x v x v x u x dx
a
   hay 
b b
a a
b
udv uv vdu
a
   . 
 GV: Huỳnh Công Thành Tổng Hợp Công Thức Toán 12 ĐT : 0909077549 
12 
Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau: 
 Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng 
'udv uv dx bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x) làm u(x) và 
phần còn lại 
' ( ) .dv v x dx 
 Bước 2: Tính 
'du u dx và ' ( )v dv v x dx   . 
 Bước 3: Tính '
b b
a a
vdu vu dx  và 
b
uv
a
. 
 Bước 5: Áp dụng công thức trên. 
*Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần. 
Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào để chọn u và 
'dv v dx 
thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx. Nói chung nên chọn u là phần của f(x) mà khi lấy đạo hàm 
thì đơn giản, chọn 
'dv v dx là phần của f(x)dx là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm. 
 Có ba dạng tích phân thường được áp dụng tích phân từng phần: 
 Nếu tính tích phân ( ) ( )P x Q x dx


 mà P(x)là đa thức chứa x và Q(x) là một trong những hàm số: 
, cos , sinaxe ax ax thì ta thường đặt 
' ( )
( )
( ) ( )
du P x dx
u P x
dv Q x dx v Q x dx
 
 
   
 Nếu tính tích phân ( ) ( )P x Q x dx


 mà P(x) là đa thức của x và Q(x) là hàm số ln(ax) thì ta đặt 
 '( )
( ) ( )
du Q x dx
u Q x
dv P x dx v P x dx

 
 
   
( )
b
x
a
P x e dx 
( ) ln
b
a
P x xdx ( )cos
b
a
P x xdx cos
b
x
a
e xdx 
u P(x) lnx P(x) xe 
dv xe dx P(x)dx cosxdx cosxdx 
 GV: Huỳnh Công Thành Tổng Hợp Công Thức Toán 12 ĐT : 0909077549 
13 
 Nếu tính tích phân cosaxI e bxdx


  hoặc sin
axJ e bxdx


  thì 
 ta đặt 
1
cos sin
ax
ax du ae dxu e
dv bxdx v bx
b

 
 
  
 hoặc đặt 
1
sin cos
ax
ax du ae dxu e
dv bxdx v bx
b

 
 
   
Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở thành tích phân ban đầu. Từ đó suy ra 
kết quả tích phân cần tính. 
II.TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM SỐ THƢỜNG GẶP 
1. Tích phân hàm số phân thức 
a)Tính tích phân dạng tổng quát sau: 
  
2
0
dx
I a
ax bx c


 
 
 (trong đó 
2 0ax bx c   với mọi  ;x   ) 
Xét 
2 4b ac   . 
 +)Nếu 0  thì tính được. 
2
2
dx
I
b
a x
a



 
 
 

 +)Nếu 0  thì 
  1 2
1 dx
I
a x x x x



 
, (trong đó 
1 2
;
2 2
b b
x x
a a
     
  ) 
 
1
1 2 2
1
ln
x x
I
a x x x x



 
 
. 
 +) Nếu 0  thì 
22 2
22 4
 
     
    
    
 
dx dx
I
ax bx c b
a x
a a
 
 
Đặt  2
2 2
1
tan 1 tan
2 4 2
 
    
b
x t dx t dt
a a a
, ta tính được I. 
b) Tính tích phân:  
2
, 0
mx n
I dx a
ax bx c



 
  . 
 GV: Huỳnh Công Thành Tổng Hợp Công Thức Toán 12 ĐT : 0909077549 
14 
(trong đó 
2
( )
mx n
f x
ax bx c


 
 liên tục trên đoạn  ;  ) 
 +) Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho: 
cbxax
B
cbxax
baxA
cbxax
nmx







222
)2(
 +)Ta có I= 


dx
cbxax
B
dx
cbxax
baxA
dx
cbxax
nmx







 222
)2(




 Tích phân dx
cbxax
baxA
