Tổng hợp các công thức phương pháp Giải tích – Hình học 12

Tổng hợp các công thức phương pháp Giải tích – Hình học 12
GV: Võ Thành Lâm Cần file word vui lòng liên hệ : 0947313384 1
Phần 1. TÓM TẮT GIẢI TÍCH 12
A. BỔ TÚC VỀ ĐẠI SỐ:
1. Phương trình bậc 2:
 ■ ax2+bx+c=0 với x1, x2 là nghiệm thì 
ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2) 
 ■ =b2 - 4ac (’=b’2 - ac với b’=b/2) thì 



 
a
bx
a
bx
2
''
2 2,12,1
 ■ Định lý Viet: , 





a
cxxP
a
bxxS
21
21
.
 là nghiệm của phương trình:21 , xx
 02  PSXX
2. Tam thức bậc hai : f(x)= ax2+bx+c
 ■  thì f(x) cùng dấu a; thì 0 0
 trong trái ngoài cùng  xf
 ■ 0)(21   afxx
 ■ 




0
0
0)(
a
xf 
 ■ 




0
0
0)(
a
xf
 ■ 







0
2
0)(
0
21


S
afxx
 ■ 







0
2
0)(
0
21


S
afxx
3. Phương trình bậc ba: ax3+bx2+cx+d=0
 ■ Phương trình bậc 3 luôn có ít nhất là 1 
nghiệm và nhiều nhất là 3 nghiệm
 ■ Phương trình có 1 hoặc 3 nghiệm lấy 
bên phải làm chuẩn cùng dấu hệ số bậc 3 còn 
các vị trí khác đan dấu
 ■ Phương trình có 2 nghiệm thì tách ra 1 
nhị thức và 1 tam thức để xét.
 ■ Cg/t sơ đồ Hooner: Tìm 1 nghiệm 0x
    








0
0
2
0
23
x
dxaxbaxxx
dcxbxax
4. Phương trình chứa căn:
 ■ 



 2
0
BA
B
BA
 ■  





BA
ABBA 00
5. Các công thức về lượng giác :
a) Công thức cơ bản:
 1cossin 22  xx 1cot.tan xx
x
x 2
2
cos
1tan1 
x
x 2
2
sin
1cot1 
b) Các cung có liên quan đặc biệt:
 ■ Đối nhau: -x và x 
cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cot( ) cot
x x
x x
x x
x x
 
  
  
  
 ■ Bù nhau: và xx
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
x x
x x
x x
x x




 
  
  
  
Tổng hợp các công thức phương pháp Giải tích – Hình học 12
GV: Võ Thành Lâm Cần file word vui lòng liên hệ : 0947313384 2
 ■ Sai kém: và x x
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
x x
x x
x x
x x




  
  
 
 
 ■ Phụ nhau: và xx
2

sin cos cos sin
2 2
tan cot cot tan
2 2
x x x x
x x x x
 
 
            
            
c) Công thức nhân đôi:
 xxx cos.sin22sin 
 TQ: 
2
cos.
2
sin2sin nxnxnx 
 xxx 22 sincos2cos 
 1cos2 2  x
 x2sin21
 TQ: 
2
sin
2
coscos 22 nxnxnx 
 1
2
cos2 2  nx
2
sin21 2 nx
d) Công thức hạ bậc:
2
2cos1sin 2 xx 
2
2cos1cos2 xx 
e) Công thức nhân ba:
 xxx 3sin4sin33sin 
 xxx cos3cos43cos 3 
f) Công thức biểu diễn biến t: 
2
tan xt 
 21
22sin
t
tx  2
2
1
12cos
t
tx 
 21
22tan
t
tx 
g) Công thức cộng: 
 
 
 
 
 
1)cos cos cos sin sin
2)cos cos cos sin sin
3)sin sin cos cos sin
4)
1
5)
1
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
tga tgbtg a b
tgatgb
tga tgbtg a b
tgatgb
  
  
  
  
  
h) Công thức biến đổi tích thành tổng:
    
    
    bababa
bababa
bababa



sinsin
2
1cos.sin
coscos
2
1sin.sin
coscos
2
1cos.cos
i) Công thức biến đổi tổng thành tích:


 

 
2
cos
2
cos2coscos bababa


 

 
2
sin
2
sin2coscos bababa


 

 


 

 
2
sin
2
cos2sinsin
2
cos
2
sin2sinsin
bababa
bababa
6. C/t nghiệm phương trình lượng giác: 
a) 


 

2
2
sinsin
k
k
b)  2coscos k
c)  k tantan
d)  k tantan
 cho các công thức Zk 
NaMN Ma log
Tổng hợp các công thức phương pháp Giải tích – Hình học 12
GV: Võ Thành Lâm Cần file word vui lòng liên hệ : 0947313384 3
B. ĐẠO HÀM:
1. Qui Tắc:
(u  v)’ = u’  v’ (u.v)’ = u’v + v’u
2
'
v
u'vv'u
v
u 


 (ku)’ = ku’ (k:const)
2. Công thức:
(xn)’ = n.xn – 1 (un)’ = n.un – 1 .u’
2
'
x
1
x
1 


 2
'
u
'u
u
1 


 
x2
1
x
'   
u2
'u
u
' 
(sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu
(cosx)’ = - sinx (cosu)’ = - u’.sinu 
(tgx)’ = 
xcos
1
2 x
2tan1
(tgu)’ = 
ucos
'u
2 =  uu 2tan1' 
(cotgx)’ = 
xsin
1
2  x2cot1
(cotgu)’ = 
usin
'u
2  uu 2cot1' 
(ex)’ = ex (eu)’ = u’.eu
(ax)’ = ax.lna (au)’ = u’.au.lna
(lnx)’ = 
x
1
 (lnu)’ = 
u
'u
(logax)’ = 
alnx
1
 (logau)’ = 
alnu
'u
  
n n
n
xn
x
1
' 1
   n nn un uu 1' ' 
3. Vi phân:
◊ dy = df(x) = f '(x)Δx. Với Δx là số gia của x
◊ Ta thường dùng Δx = dx (khi xét vi phân 
hàm y = x). Thì: dy = df(x) = f '(x)dx.
C. KHẢO SÁT HÀM SỐ:
1. Hàm bậc ba y = ax3+bx2+cx+d :
 ◊ Tập xác định D=R
 ◊ Tính y’= 3ax2+2bx+c
 ◊ y' = 0 tìm 2 cực trị hoặc không (nếu có)
 ◊ Giới hạn
 ◊ Bảng biến thiên
 ◊ Kết luận đồng biến nghịch biến
 ◊ Kết luận cực đại cực tiểu
 ◊ Tính y’’ tìm 1 điểm uốn
 ◊ Bảng giá trị ( chọn hoành độ điểm uốn 
làm chuẩn )
 ◊ Đồ thị (đt)
☻Các vấn đề đặc biệt cho hàm bậc 3: 
 □ Hs tăng trên D




0
0
0'
'y
a
y
 □ Hs giảm trên D




0
0
0'
'y
a
y
 □ Hs có cực trị trên D  y’=0 có 2 n0 pb
 □ Hs không có cực trị  y’=0 VN0 hoặc có 
nghiệm kép.
 □ Đồ thị h/s có tâm đối xứng là điểm uốn 
và tiếp tuyến tại đây cắt đồ thị.
 □ Chia y cho y’ dư mx + n thì đ/thẳng 
y=mx + n là đ/thẳng qua 2 điểm cực trị, nếu 
xi là cực trị thì giá trị cực trị là: yi = mxi +n
 □ Đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt thì hai 
giá trị cực trị trái dấu.
 □ Đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt cách 
đều nhau  ax3+bx2+cx+d=0 có 3 nghiệm 
lập thành 1 cấp số cộng  y’=0 có 2 nghiệm 
phân biệt và điểm uốn thuộc Ox.
☼ Lưu ý: 
  Đối với hàm bậc 3 khi phương trình y’ = 
0 có 2 nghiệm thì có 2 cực trị, còn vô nghiệm 
hay có nghiệm kép thì không có cực trị nào.
Tổng hợp các công thức phương pháp Giải tích – Hình học 12
GV: Võ Thành Lâm Cần file word vui lòng liên hệ : 0947313384 4
 Đồ thị hàm số bậc 3 luôn cắt trục hoành. 
2. Hàm trùng phương y = ax4+bx2+c :
 ◊ Tập xác định D=R
 ◊ Tính y’
 ◊ y' = 0 tìm 3 cực trị hoặc 1 cực trị
 ◊ Giới hạn
 ◊ Bảng biến thiên
 ◊ Kết luận đồng biến nghịch biến
 ◊ Kết luận cực đại cực tiểu
 ◊ Bảng giá trị ( lấy gốc tọa độ làm chuẩn )
 ◊ Đồ thị
☻Các vấn đề đặc biệt cho hàm trùng 
phương:
 □ Đ/thị nhận Oy làm trục đối xứng.
 □ Hs có 3 (hoặc 1) cực trị trên D  y’= 0 
có 3 n0 phân biệt (hoặc 1 n0)
 □ Hs có điểm uốn  y’’=0 có 2 n0 pb
 □ Đồ thị cắt Ox tại 4 điểm pb  .






0
0
0
S
P
 □ Đồ thị cắt Ox tại 4 điểm p/b lập thành 
cấp số cộng  >0; P>0; S>0; x2 = 9x1 và 
sử dụng đlý Viet.
☼ Lưu ý: 
  Đối với hàm trùng phương thì số nghiệm 
của phương trình y’= 0 là số cực trị. 
3. Hàm nhất biến 
dcx
baxy 

 ◊ Miền xác định D=R\ cd
 ◊ Tính  2' dcx
bcady 
 (>0, <0), Dx 
 TCĐ: c
dx  
 
   








y
y
c
dx
c
dx
lim
lim

TCN: c
ay   cayxlim
 ◊ Bảng biến thiên
 ◊ Kết luận đồng biến (nghịch biến)
 ◊ Bảng giá trị ( lấy hoành độ tâm đối xứng 
làm chuẩn )
 ◊ Đồ thị
☻Các vấn đề đặc biệt cho hàm nhất 
biến:
 □ Luôn có hai tiệm cận: 1 tiệm cận đứng và 
1 tiệm cận ngang.
 □ Luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên 
và 

 
c
d; 

  ;
c
d
 □ Hs đồng biến trên TXĐ Dxy  ,0'
 □ Hs nghịch biến trên TXĐ Dxy  ,0'
 □ Giao điểm hai tiệm cận là tâm đối xứng 
của đồ thị hs.
D. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KSHS:
1. Phương trình tiếp tuyến: (pttt)
Dạng pttt: y = f’(x0)(x - x0) + y0 (1)
@ Loại 1: pttt tại M(x0,y0)  y=f(x) 
 ■ Tại M(x0;y0) , thay vào (1)  ?' 0  xf
 ■ Cho x0 , thay vào (1)  ?'
?
0
0


xf
y
 ■ Cho y0 giải pt:    000 xxfy 
, thay vào (1)  ?' 0  xf
 ■ Cho x0 thỏa pt nào đó giải tìm x0.
@ Loại 2: pttt có hệ số góc k cho trước
Ta có: f’(x0) = k, giải pt này tìm x0 y0, thay 
vào (1).
♣ Hệ số góc k có thể cho ở các dạng sau:
 +) pttt // y=ax+b có hệ số góc k = a
 +) pttt y=ax+b có hệ số góc k = -1/a.
Tổng hợp các công thức phương pháp Giải tích – Hình học 12
GV: Võ Thành Lâm Cần file word vui lòng liên hệ : 0947313384 5
@ Loại 3: pttt tại giao điểm của 2 đồ thị 
y = f(x) và y = g(x)
Phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x)
giải pt tìm x0 thực hiện như loại 1 
Lưu ý:
 +) Cắt trục hoành tại điểm có hoành 
độ là m cho x0 = m.
 +) Cắt trục tung tại điểm có tung độ là 
n cho y0 = n.
@ Loại 4: pttt qua M(x0,y0) của y = f(x)
Ptđt d qua M có hệ số góc k là: 
 y = k(x - x0) + y0
Để d là pttt thì hệ sau có nghiệm:




(2)
(1)
kxf
yxxkxf
)('
)()( 00 thay (2) vào 
(1) giải pt này tìm được x thay vào (2) ta 
được k thế vào pttt d ở trên.
2. Giao điểm của 2 đồ thị: Cho y = f(x) và 
y = g(x)
 ■ Ptrình hoành độ giao điểm là: f(x) = 
g(x) giải pt này được mấy nghiệm là có mấy 
giao điểm.
 ■ Bài toán ứng dụng cho việc biện luận 
nghiệm f(x,m) = 0 biến đổi về dạng f(x) = 
g(m); đặt y = f(x) là đồ thị đã vẽ; y = g(m) 
là đt // Ox. Từ đó biện luận số nghiệm pt dựa 
vào đồ thị.
 ■ Để f(x) tiếp xúc g(x) ta có: 




(x)')('
)()(
gxf
xgxf
từ đó tìm điểm tiếp xúc x
☻Các vấn đề tương giao đối với hàm 
bậc 3: 
Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = f(m).
Trong đó y = f(x) là đồ thị đã vẽ
 ■ Hàm số có 2 cực trị:
 ○ Pt có 3 nghiệm   CĐCT ymfy 
 ○ Pt có nhiều nhất 2 nghiệm 
   



CĐ
CT
ymf
ymf
 ○ Pt có đúng 1 nghiệm   



CĐ
CT
ymf
ymf
 ■ Hàm số không có cực trị: Pt luôn có 1 
nghiệm duy nhất
Lưu ý: Pt có 1nghiệm duy nhất Hs không 
có cực trị
☻Các vấn đề tương giao đối với hàm 
trùng phương: 
Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = f(m).
Trong đó y = f(x) là đồ thị đã vẽ
 ■ Hàm số có 3 cực trị:
 ○ Pt có đúng 4 nghiệm   CĐCT ymfy 
 ○ Pt vô nghiệm (a>0)  CTymf 
 ( (a<0) )  CĐymf 
 ○ Pt có đúng 2 nghiệm 
 (a>0)
 
 



CT
CĐ
ymf
ymf
hoặc: (a<0)
 
 



CĐ
CT
ymf
ymf
 ○ Pt có đúng 3 nghiệm 
 (a>0)  CĐymf 
hoặc: (a<0)  CTymf 
 ■ Hàm số có 1 cực trị:
 ○ Pt có đúng 2 nghiệm 
 (a>0)  CTymf 
hoặc: (a<0)  CĐymf 
 ○ Pt vô nghiệm (giống điều kiện trên hàm 
số có 3 cực trị).
Tức là: (a>0)  CTymf 
 ( (a<0) )  CĐymf 
Tổng hợp các công thức phương pháp Giải tích – Hình học 12
GV: Võ Thành Lâm Cần file word vui lòng liên hệ : 0947313384 6
3. Đơn điệu: cho y=f(x) 
 Đặt g(x) = y’
 ■ g(x) = ax2+bx+c  0 trong (;+)
  
 





0
2
0


g
a
b
a
 ■ g(x) = ax2+bx+c  0 trong (;+)
  
 





0
2
0


g
a
b
a
 ■ g(x) = ax2+bx+c  0 trong (;)
  a.g()  0; a.g()  0
 {áp dụng cho dạng có m2}
 ■ Trong g(x) có chứa m biến đổi về dạng 
m > h(x) (hoặc m < h(x))
 m > Maxh(x) (m < Minh(x))
 {cô lập tham số m}
 ■ H/s đồng biến trên R 
 

0
0
g
ga
 ■ H/s nghịch biến trên R 
 

0
0
g
ga
Lưu ý: Nếu là hàm nhất biến thì xf
 ○ Hàm số đồng trên R 0' y
 ○ Hàm số nghịch trên R 0' y
4. Cực trị:
 ♦ y = f(x) có cực trị  y’= 0 có nghiệm 
và đổi dấu qua điểm đó.(y’=0;y”0)
 ♦ H/s đạt cực đại tại   



0''
0'
0
0
0 xf
xf
x
 ♦ H/s đạt cực tiểu tại   



0''
0'
0
0
0 xf
xf
x
 ♦ H/s đạt cực trị tại   



0''
0'
0
0
0 xf
xf
x
○ T.Hợp 1: Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d
P.Pháp: ● Tập xác định D = R
 ● Tính y/
H/s có cực trị y/= 0 có 2 n0 p/b  



0
0
'y
a
○ T.Hợp 2: Hàm số 
//
2
bxa
cbxaxy 

P.Pháp: ● Tập xác định 




/
/
\
a
bRD
 ● Tính  2///
)(
bxa
xgy 
Hàm số có cực đại và cực tiểu thì y/ = 0 có 
hai nghiệm p/b thuộc D 






0)(
0
/
/
/
a
bg
g
5. GTLN, GTNN:
 a. Trên (a,b)
 Tính y’ 
 Lập bảng biến thiên trên (a ; b )
 KL: ,  ;max CDa b y y  ;min CTa b y y
 b. Trên [a;b]
 Tính y’ 
 Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm  0 ;x a b
 Tính y (x0 ) , y(a) , y (b) (có thể lập 
bảng giá trị)
Chọn số lớn nhất M KL:  ;maxa b y M
Chọn số nhỏ nhất m , KL:  ;mina b y m
Tổng hợp các công thức phương pháp Giải tích – Hình học 12
GV: Võ Thành Lâm Cần file word vui lòng liên hệ : 0947313384 7
E. HÀM SỐ MŨ, LOGARIT:
1. Các phép tính về lũy thừa với số mũ 
thực:
Cho và 0,0;,  baRbRa yx,
ta có:
 yxyx aaa  yxy
x
a
a
a 
   xyyx aa    yxx baab 
 x
xx
b
a
b
a 

 nn
a
b
b
a 




x
x
a
a 1
Chú ý: 0,00  xx
 0,10  aa
2. Các phép toán có chứa căn số:
Cho , a,b nếu n lẻ; a,b nếu *Nn  R 0
n chẵn, ta có:
 nnn baab .
n
n
n
b
a
b
a   0b
  nmn mmn aaa 
3. Tính đơn điệu của hàm lũy thừa, hàm 
mũ, hàm logarit: 
 ■ H/s lũy thừa: xy 
 hàm luôn đồng biến 0
 hàm luôn nghịch biến 0
 ■ H/s mũ: xay 
 hàm luôn đồng biến 1a
 hàm luôn nghịch biến 10 a
 ■ H/s logarit: xy alog
 hàm luôn đồng biến 1a
 hàm luôn nghịch biến 10 a
Chú ý: là thì tương tựx  xf
4. Tìm tập xác định của hàm lũy thừa: 
 Xét hàm số: . Ta có:  xfy 
 ○ Nếu TXĐ:  *N RD 
 ○ Nếu    0Z   0xf
 ○ Nếu không nguyên     0xf
5. Logarti: Cho và , N > 00a 1a
 NaMN Ma log
 ♦ 01log a 1log aa
 ♦ RMMa Ma  ,log
 ♦ 0,log  NNa Na
 ♦ Logarit thập phân: viết là: b10log
 hoặc blog blg
 ♦ Logarit tự nhiên: viết là: lnbbelog
□ Các phép tính về logarit:
Giả sử . Ta có:0...,,,1,0  NBAaa
 a)   BAAB baa logloglog 
Mở rộng: 
 
naa
ana
AA
AAAA
log...log
log...log
2
121


 b) BA
B
A
aaa logloglog 


 c) N
N aa
log1log 


 d) NN aa loglog  
 e) N
n
N ana log
1log 
□ Các công thức đổi cơ số:
Giả sử a, b dương và khác 1; . Ta có:0, xc
 a) cbc baa log.loglog 
 b) 
a
xx
b
b
a log
loglog 
Tổng hợp các công thức phương pháp Giải tích – Hình học 12
GV: Võ Thành Lâm Cần file word vui lòng liên hệ : 0947313384 8
 c) 
a
b
b
a log
1log 
 d) x
n
x aan log
1log 
 e) xnx aan loglog 
 f) xx a
a
loglog 1 
 g) 
xx
x
ba
ab
log
1
log
1
1log

  1x
6. Phương trình, bất phương trình mũ:
 là những hàm số, ta    xgxfa ,;0
có:
♦           



xgxfa
xgxfa
aa xgxf
:1
,:1
♦ Với ta có: 1a
        xgxfaa xgxf 
     01  xfa xf
     010  xfa xf
♦ Với ta có: 10  a
        xgxfaa xgxf 
     01  xfa xf
     010  xfa xf
7. Phương trình, bất phương trình 
logarit:
 a) Cơ số không chứa biến:
Giả sử ; là các 1,0  aa    xgxf ,
hàm số theo biến x, ta có:
♦         



xgxf
xg
xgxf aa
0
loglog
♦ Với : 1a
        xgxfxgxf aa  0loglog
     100log  xfxfa
♦ Với : 10  a
         0loglog  xgxfxgxf aa
     10log  xfxfa
     100log  xfxfa
 b) Cơ số có chứa biến:
   
 
    
 
    













m
m
xf
xfxg
xf
xfxg
xf
mxg
0
10
1
log
 ( Tương tự cho <, kết hợp với ,
khi cần thiết )  0xg
F. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN:
Định nghĩa: F(x) đgl nguyên hàm của hàm số 
y=f(x) trên khoảng (a;b)
  F    xfx / ,  bax ;
KH: (C phụ thuộc      CxFdxxf
vào giá trị của x)
♥ Nguyên hàm của hàm số sơ cấp
   cxdx.1
  1
1
.
1


 cxdxx
   cxdxx ln.
1
   cSinxdxCosx.
   cCosxdxSinx.
     Cxdxxdxx tantan1cos1 22
Tổng hợp các công thức phương pháp Giải tích – Hình học 12
GV: Võ Thành Lâm Cần file word vui lòng liên hệ : 0947313384 9
     Cxdxxdxx cotcot1sin1 22
   cedxe xx .   ca
adxa
x
x
ln
.
Chú ý:   Cxdxx 112
    Cbaxadxbax 111 2
♥ Nguyên hàm các hàm số thường gặp:
     

cbax
a
dxbax
1
1.
1

   cbaxadxbax ln.
1.1
      cbaxSinadxbaxCos .
1.
      cbaxCosadxbaxSin .
1.
      Cbaxadxbax tan1cos 12
      Cbaxadxbax cot1sin 12
    ceadxe baxbax .
1.
    ca
a
m
dxa
nmx
nmx
ln
.1.
♥ Nguyên hàm các hàm số đặc biệt:
   Cxxdx coslntan
   Cxxdx sinlncot
   Cxxx dx 11ln2112
   Cax axaax dx ln2122
   Ckxxkx
dx 2
2
ln
   Cxxxxdxx 1ln21121 222
   Ckxxkkxxdxkx 222 ln22
G. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH 
PHÂN:
♣ Tích phân của tích, thương phải đưa về tích 
phân của một tổng hoặc hiệu bằng cách nhân 
phân phối , chia đa thức, nhân chia liên hợp.
1. Phương pháp đổi biến số 
         b
a
xdxxfA .. /
 P.Pháp:
 Đặt : t =  x     xdxdt ./
 Đổi cận: 
 
 



atax
btbx
 Do đó:        
 
 





b
a
b
atFdttfA .
Chú ý: Ta thường đặt t bằng: mũ, mẫu, căn, 
 trong  xf   nxf
☼ Các dạng đặc biệt cơ bản:
 ■  
a
xa
dxI
0
22 ( hoặc ;   22 xa
dx
 )  dxxa 22
P.Pháp: 
 Đặt: , tax tan
22
  t
Tổng hợp các công thức phương pháp Giải tích – Hình học 12
GV: Võ Thành Lâm Cần file word vui lòng liên hệ : 0947313384 10
  dttadt
t
adx 22 tan1cos

 Đổi cận:
 ■ dxxaJ
a
.
0
22  (hoặc )  22 xa
dx
P.Pháp:
 Đặt 

 
22
int. tSax
 dtCostadx ..
 Đổi cận
 ■ (hoặc )  dxaxK 22   22 ax
dx
P.Pháp: 
 Đặt với 
t
ax
sin
  0\
2
;
2 

 t
 dt
t
tadx 2sin
cos
 Đổi cận
2. Phương pháp đồng nhất thức
■ Bài toán 1: Tính  
n
m cbxax
dxI 2  0a
 ● Nếu mẫu có 2 nghiệm phân biệt 21 , xx
Ta có: 



 212
11
xx
B
xx
A
acbxax
Đồng nhất hệ số tìm 2 số A,B.
 ● Nếu mẫu có 1 nghiệm kép 0x
Ta có:    
2
02
0
2
111  xxaxxacbxax
Áp dụng công thức:    dxbax n
■ Bài toán 2:      axax dxax dxJ 22
Áp dụng: 

  MLMNMNMLMNML
111
.
1
 ( ML: mẫu lớn, MN: mẫu nhỏ )
3. Phương pháp tính tích phân từng 
phần
♥ Loại 1: Có dạng: A= dx
Cosx
Sinx
e
xP
b
a
x
.).( 







 Trong đó P(x) là hàm đa thức
P.Pháp: 
 Đặt u = P(x)  du = P(x).dx
 dv = .dx  v = ...








x
x
e x
cos
sin
 Áp dụng: A =    b
a
b
a duvvu ..
♥ Loại 2: B =  b
a
dxbaxLnxP ).().( 
P.Pháp:
 Đặt u = Ln(ax+b)  dx
bax
adu . 
 dv = P(x).dx  v = ...
 Áp dụng: B =    b
a
b
a duvvu ..
☼ Thứ tự đặt u: 
 “ lô đa lượng mũ ”  
4. Nguyên hàm, tích phân lượng giác cơ 
bản
☺ Dạng :  dxxSinA n . hay 
 dxxCosB n .
 Nếu n chẵn: Áp dụng công thức hạ bậc, 
rồi khai triển hằng đẳng thức nếu n = 4, 6,..
Tổng hợp các công thức phương pháp Giải tích – Hình học 12
GV: Võ Thành Lâm Cần file word vui lòng liên hệ : 0947313384 11
Nếu n lẻ:   dxSinxxSinA n ..1
Đặt Cosxt  (Đổi xn 1sin  thành Cosx )
☺ Dạng: hay  dxxA nsin1
 dxxB ncos1
Nếu n lẻ: 
+) Nhân tử mẫu cho sinx :   dxxxA n 1sinsin
+) Chuyển về đặt xn 1sin  x2cos xt cos
Nếu n chẵn: 
+) Thực hiện:   dxxxA n 22 sin1.sin1
+) Chuyển về , đặt 
xn 2sin
1
 x
2cot xt cot
 {tương tự cho nguyên hàm B }
☺ Dạng : hay  xdxA ntan
 xdxB ncot
P.Pháp: 
 Đặt làm thừa sốx2tan
 Thay 1
cos
1tan 2
2 
x
x
H. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG:
■ Dạng 1:  HSS 
 
 
 






babx
ax
trucOxy
xfy
0   b
a
dxxf
► Nếu giải thuyết không cho cận a, b thì ta 
giải phương trình hoành độ giao điểm f(x) = 
0 để tìm cận của tích phân.
► Nhiều trường hợp đặc biệt ta phải dùng 
hình vẽ để xác định cụ thể các cận tích phân 
► Cách khử giá trị tuyệt đối:
 +) Nếu phương trình vô   0xf
nghiệm trên thì ta đưa giá trị tuyệt đối  ba;
ra ngoài tích phân:   b
a
dxxfS
 +) Nếu phương trình có nghiệm   0xf
 thuộc thì ta tách S kxxx  ...21  ba;
thành tổng các tích phân trên từng đoạn rồi 
đưa giá trị tuyệt đối ra ngoài.
     
 



b
x
x
x
x
a
b
a
k
dxxf
dxxfdxxfdxxfS
...
2
1
1
■ Dạng 2: 
 HSS 
 
 
 






babx
ax
xgy
xfy
     b
a
dxxgxf
☺ Về việc khử giá trị tuyệt đối dưới dấu