Tổng hợp các bài số học và tổ hợp trong các kì olympic thi - Năm học 2013-2014

L÷u Giang Nam 1 c
Di¹n  n To¡n håc
TÊNG HÑP CC B€I SÈ HÅC V€ TÊ
HÑP TRONG CC Kœ OLYMPIC THI N‹M
2013-2014
L÷u Giang Nam
Chuy¶n To¡n, k20, Chuy¶n Phan Ngåc Hiºn, C  Mau.
1 Líi nâi ¦u.
Trong c¡c k¼ thi Olympic To¡n ð Vi»t Nam v  tr¶n th¸ giî th¼ Sè håc v  Tê
hñp luæn l  ph¦n quan trång v  quy¸t ành gi£i cho h¦u h¸t håc sinh dü thi.N¸u hoc giäi
ph¦n n y th¼ håc sinh s³ câ thº ¤t ÷ñc th nh t½ch cao trong c¡c k¼ thi n y. Tuy nhi¶n ¥y
l  ph¦n khâ håc v  công khâ l§y iºm, tuy nhi¶n nâ ÷ñc sû döng l¤i þ t÷ðng r§t nhi·u qua
c¡c k¼ thi.¥y câ thº l  mët lñi th¸ cho c¡c håc sinh håc khæng tèt ph¦n n y.
B i vi¸t têng hñp c¡c b i Sè håc v  Tê hñp qua c¡c k¼ thi HSG c¡c c§p n«m 2013-
2014. Ph¦n b i gi£i ÷ñc l§y l¤i tø c¡c th nh vi¶n VMF «ng tr¶n di¹n  n v  1 sè b i do
m¼nh tü gi£i. Mët sè b i kh¡ khâ m¼nh gi£i khæng ra v  công khæng t¼m th§y b i gi£i tr¶n
m¤ng n¶n m¼nh º Tü l m. Do l m trong mët thíi gian ng­n n¶n câ thº câ sai sât, hy vång
c¡c b¤n câ thº t¼m th§y v  tü sûa dòm m¼nh. Hy vång b i vi¸t s³ gióp ½ch ½t nhi·u cho c¡c
b¤n trong qu¡ tr¼nh håc Sè håc, Tê hñp v  thi HSG c¡c c§p. Chóc c¡c b¤n câ nhúng k¼ thi
håc sinh giäi tèt trong n«m 2015 v  c¡c n«m sau, °c bi»t l  câ thº xû l½ gån c¥u Sè håc v 
c¥u Tê hñp .
¸n mët lóc n o â, b¤n l m to¡n v¼ b¤n th½ch chù khæng ph£i º chùng tä mët c¡i g¼ núa.
Gi¡o s÷ Ngæ B£o Ch¥u
Ng y 24 th¡ng 7 n«m 2014
Möc löc
1 Líi nâi ¦u. 1
2 · thi 3
2.1 · thi c§p t¿nh, th nh phè v  c¡c k¼ thi phong tr o . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 · thi quèc qia, quèc t¸ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Gñi þ gi£i 18
3.1 Gñi þ gi£i · thi c§p t¿nh, th nh phè v  c¡c k¼ thi phong tr o . . . . . . . . . 18
3.2 Gñi þ gi£i · thi quèc qia, quèc t¸ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 Phö löc 45
4.1 Sè håc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Tê hñp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2
L÷u Giang Nam 3 c
Di¹n  n To¡n håc
2 · thi
2.1 · thi c§p t¿nh, th nh phè v  c¡c k¼ thi phong tr o
B i 1. Ta x¸p mët ho¡n và cõa (1; 2; 3; :::; 2014) l¶n váng trán v  k½ hi»u c¡c sè bði a1; a2; a3; :::; a2014
theo chi·u kim çng hç. Quy ÷îc a1 = a2015 v  a0 = a2014. Gåi N l  sè c¡c ch¿ sè
1  i  2014 sao cho ho°c ai1 > ai > ai+1. T¼m t§t c£ c¡c gi¡ trà câ thº câ cõa N .
· thi chån ëi tuyºn tham dü VMO 2014 THPT chuy¶n Khoa Håc Tü Nhi¶n, váng
1
B i 2. Cho 100 sè nguy¶n d÷ìng khæng lîn hìn 100 câ têng b¬ng 200. Chùng minh r¬ng tø
c¡c sè â câ thº chån ÷ñc ½t nh§t mët bë c¡c sè câ têng b¬ng 100.
(· · nghà duy¶n h£i BBB thpt chuy¶n H÷ng Y¶n n«m 2014 )
B i 3. T¼m sè nguy¶n d÷ìng n nhä nh§t º 2013n  1 chia h¸t cho 22014.
(· · nghà duy¶n h£i BBB thpt chuy¶n H÷ng Y¶n n«m 2014 )
B i 4. Cho 10 sè nguy¶n d÷ìng a1; a2; :::; a10. Chùng minh r¬ng tçng t¤i c¡c sè ci 2 1; 0; 1
khæng çng thíi b¬ng 0 sao cho
P10
j=1 ci:aj chia h¸t cho 1023.
(· · nghà duy¶n h£i bbb thpt chuy¶n b­c giang n«m 2014 )
B i 5. Chùng minh r¬ng tø 19 sè tü nhi¶n tòy þ, luæn t¼m ÷ñc 2 sè sao cho hi»u c¡c b¼nh
ph÷ìng cõa chóng chia h¸t cho 36.
(· chån ëi tuyºn thi Tr¤i h± Hòng V÷ìng 2014 - Chuy¶n Y¶n B¡i )
B i 6. Tr¶n m°t ph¯ng câ 25 iºm, khæng câ 3 iºm n o trong chóng th¯ng h ng. T¼m sè
m u k nhä nh§t sao cho ta câ thº tæ m u t§t c£ c¡c o¤n th¯ng nèi hai iºm trong
m°t ph¯ng bði k m u (méi o¤n th¯ng ÷ñc tæ óng mët m u) v  c¡c c¤nh cõa mët
tam gi¡c b§t k¼ t¤o bði 3 iºm trong chóng ÷ñc tæ bði óng hai m u.
(· · nghà chån HSG khu vüc duy¶n h£i v  BBB chuy¶n Bi¶n Háa - H  Nam)
B i 7. Cho tªp hñp S = 1; 2; 3; :::; 2014. T¼m sè c¡ch chån ra tø tªp S m sè ch®n v  n sè l´
sao cho trong c¡c sè vøa chån, khæng câ hai sè hìn k²m nhau 1 ìn và.
(· thi chån ëi tuyºn tham dü VMO 2014 THPT chuy¶n Khoa Håc Tü Nhi¶n,
C¥u 2 ng y 1)
¸n mët lóc n o â, b¤n l m to¡n v¼ b¤n th½ch chù khæng ph£i º chùng tä mët c¡i g¼ núa.
Gi¡o s÷ Ngæ B£o Ch¥u
L÷u Giang Nam 4 c
Di¹n  n To¡n håc
B i 8. Câ tçn t¤i hay khæng mët tªp húu h¤n c¡c iºm xanh v  ä trong m°t ph¯ng sao
cho vîi måi ÷íng trán ìn và câ t¥m l  mët iºm xanh ·u câ óng 10 iºm ä, v 
sè iºm xanh nhi·u hìn sè iºm ä.
(· thi chån ëi tuyºn tham dü VMO 2014 THPT chuy¶n Khoa Håc Tü Nhi¶n,
C¥u 4 ng y 1)
B i 9. T¼m c¡c sè nguy¶n m;n thäa m¢n i·u ki»n 2n2 + 3jm2  2
(· thi chån ëi tuyºn tham dü VMO 2014 THPT chuy¶n Khoa Håc Tü Nhi¶n,
C¥u 1 ng y 2)
B i 10. T¼m sè nguy¶n d÷ìng k sao cho ph÷ìng tr¼nh
x2 + y2 + x+ y = kxy
câ nghi»m nguy¶n d÷ìng (x; y)
· thi ch½nh thùc Olympic 30-4 to¡n 10 l¦n thù XX n«m 2014, c¥u 4.
B i 11. Cho tr÷îc sè nguy¶n d÷ìng n  2. Trong mët gi£i §u cí vua câ 2n vªn ëng vi¶n
tham gia, mët ng÷íi §u vîi mët ng÷íi kh¡c óng mët v¡n. T¤i mët thíi iºm trong
gi£i, ng÷íi ta th§y câ n2+1 v¡n §u ¢ di¹n ra. Chùng minh r¬ng khi â câ thº chån
ra ba vªn ëng vi¶n sao cho hai ng÷íi b§t k¼ trong ba ng÷íi ÷ñc chån ·u ¢ thi
§u vîi nhau.
· thi ch½nh thùc Olympic 30-4 to¡n 10 l¦n thù XX n«m 2014, c¥u 5
B i 12. Câ n b¤n nam v  n b¤n nú x¸p th nh mët h ng th¯ng. Chùng minh r¬ng têng kho£ng
c¡ch giúa hai b¤n còng giîi nhä hìn ho°c b¬ng têng kho£ng c¡ch giúa hai b¤n kh¡c
giîi.
· thi HSG th nh phè H£i Pháng b£ng A1 n«m 2013-2014, c¥u 5
B i 13. Gåi S l  tªp hñp t§t c£ c¡c sè tü nhi¶n câ 2011 chú sè câ d¤ng a2011a2010:::a2a1 thäa
m¢n i·u ki»n ai  i (mod 2) vîi måi i = 1; 2; 3:::; 2011. T½nh sè t§t c£ c¡c c°p sè
(x; y) vîi x; y 2 Z, x < y sao chox+ y chia h¸t cho 52011.
· thi H÷îng tîi Olympic To¡n 2013,trong GGTH 2013, c¥u 3, khèi 11
¸n mët lóc n o â, b¤n l m to¡n v¼ b¤n th½ch chù khæng ph£i º chùng tä mët c¡i g¼ núa.
Gi¡o s÷ Ngæ B£o Ch¥u
L÷u Giang Nam 5 c
Di¹n  n To¡n håc
B i 14. Trong ch÷ìng tr¼nh G°p gï To¡n håc l¦n IV câ têng cëng 673 tüa s¡ch v  quy¸t ành
tê chùc «ng kþ mua s¡ch cho c¡c th nh vi¶n tham gia. Sau khi thu phi¸u «ng kþ,
ban tê chùc ph¡t hi»n c¡c i·u thó và sau:
1) T§t c£ c¡c b¤n ·u «ng kþ mua óng ba tüa s¡ch.
2) Hai b¤n b§t k¼ «ng kþ mua gièng nhau ½t nh§t mët tüa s¡ch.
3) Khæng câ tüa s¡ch n o ÷ñc t§t c£ c¡c th nh vi¶n «ng kþ mua.
4) Khæng câ ba b¤n n o mua ba tüa s¡ch gièng nhau.
Chùng minh r¬ng ð ký G°p gï To¡n håc l¦n n y câ nhi·u nh§t 2011 b¤n tham gia
giao l÷u v  håc tªp.
· thi H÷îng tîi Olympic To¡n 2013,trong GGTH 2013, c¥u 4, khèi 11
B i 15. T¼m t§t c£ c¡c sè nguy¶n d÷ìng n ch®n sao cho n¸u °t
an =
1
1!:(n 1)! +
1
3!:(n 3)! + :::+
1
(n 1)!:1!
th¼ ph÷ìng tr¼nh 2xn = an(2yn + 1) câ nghi»m nguy¶n d÷ìng (xn; yn).
· thi H÷îng tîi Olympic To¡n 2013,trong GGTH 2013, c¥u 3, khèi 12
B i 16. Trong mët §t n÷îc câ 54 th nh phè, méi th nh phè câ mët s¥n bay. Giúa hai th nh
phè b§t k¼ câ óng mët ÷íng bay nèi trüc ti¸p giúa chóng v  méi ÷íng bay thuëc
sï húu cõa mët h¢ng h ng khæng duy nh§t. Bi¸t r¬ng câ 4 h¢ng h ng khæng ang
ho¤t ëng tr¶n n÷îc n y. Chùng minh r¬ng tçn t¤i mët h nh tr¼nh bay váng quanh
mët sè th nh phè (lîn hìn 2) sao cho t§t c£ c¡c ÷íng bay tr¶n h nh tr¼nh â ·u
thuëc sð húu cõa mët h¢ng h ng khæng.
· thi H÷îng tîi Olympic To¡n 2013,trong GGTH 2013, c¥u 4, khèi 12
B i 17. a) CMR vîi måi sè nguy¶n tè p th¼ p3 +
p 1
2
khæng ph£i l  t½ch cõa 2 sè tü nhi¶n
li¶n ti¸p.
b) Cho c¡c sè nguy¶n d÷ìng a; b sao cho ab l  sè ch½nh ph÷ìng. Chùng minh r¬ng a
thùc xa + xb + 1 khæng chia h¸t cho a thùc x2 + x+ 1.
· kiºm tra ch§t l÷ñng ëi tuyºn THPT Chuy¶n H  T¾nh 2013-2014, c¥u 2
B i 18. a) Tçn t¤i hay khæng c¡c sè thüc aij 2 [0; 1] 8i = 1; 2013; j = 1; 2014 thäa m¢n i·u
ki»n
1
2014
p
mn
mX
i=1
mX
i=1
aij = 1 8m = 1; 2013; n = 1; 2014 ?
b) Tr¶n b n cí vua câ mët sè qu¥n cí. Bi¸t r¬ng n¸u mët æ n o â cán trèng th¼
têng sè l÷ñng nhúng qu¥n cí ùng còng h ng v  còng cët vîi æ â khæng nhä hìn 8.
Chùng minh r¬ng tr¶n b n cí â câ ½t nh§t 32 qu¥n cí.
¸n mët lóc n o â, b¤n l m to¡n v¼ b¤n th½ch chù khæng ph£i º chùng tä mët c¡i g¼ núa.
Gi¡o s÷ Ngæ B£o Ch¥u
L÷u Giang Nam 6 c
Di¹n  n To¡n håc
· kiºm tra ch§t l÷ñng ëi tuyºn THPT Chuy¶n H  T¾nh 2013-2014, c¥u 4
B i 19. T¼m t§t c£ c¡c bë ba sè (x; n; p) vîi x; n l  c¡c sè nguy¶n d÷ìng v  p l  sè nguy¶n tè
thäa m¢n: x3 + 2x = 3(pn  1).
· thi Olympic chuy¶n KHTN 2014
B i 20. Trong mët pháng thi câ n  2 th½ sinh, ÷ñc x¸p xung quanh mët b n trán . Trong
ng¥n h ng · câ 4 lo¤i · kh¡c nhau , méi lo¤i câ nhi·u hìn n b£n . Mët c¡ch ph¡t
· ÷ñc gåi l  hñp l» n¸u méi th½ sinh ÷ñc nhªn ch¿ 1 · v  hai th½ sinh b§t ký ngçi
c¤nh nhau th¼ nhªn ÷ñc 2 lo¤i · kh¡c nhau. Häi câ nhi·u nh§t bao nhi¶u th½ sinh?
Bi¸t r¬ng sè c¡ch ph¡t · hñp l» khæng v÷ñt qu¡ 2013.
· thi chån ëi tuyºn HSG QG t¿nh H£i Pháng n«m håc 2013-2014, c¥u 4 ng y 1
B i 21. Cho a; b 2 N thäa m¢n 1  a  b v  °t M = ba+b
2
c: Gi£ sû f : Z ! Z l  h m
sè cho bði f(n) = n + a n¸u n < M v  f(n) = n  b n¸u n  M; 8n 2 Z: °t
f 1(n) = f(n); f i+1(n) = f(f i(n)) 8 i > 1: T¼m sè k nhä nh§t sao cho fk(0) = 0:
· thi chån ëi tuyºn HSG QG t¿nh H£i Pháng n«m håc 2013-2014, c¥u 1 ng y 2
B i 22. Cho p nguy¶n tè v  p  3 (mod 4): H¢y t¼m sè d÷ cõa ph²p chia (12 + 1)(22 +
1) 
 
 
 ((p 1)2 + 1) cho p:
· thi chån ëi tuyºn HSG QG t¿nh H£i Pháng n«m håc 2013-2014, c¥u 3 ng y 2
B i 23. Trong méi æ cõa b£ng 2013 2013 ta i·n mët sè thüc b§t ký trong o¤n [1; 1] sao
cho têng 4 sè trong h¼nh vuæng con 2 2 b§t ký th¼ b¬ng 0: T¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa
têng t§t c£ c¡c sè tr¶n b£ng 2013 2013:
· thi chån ëi tuyºn HSG QG t¿nh H£i Pháng n«m håc 2013-2014, c¥u 4 ng y 2
B i 24. Cho hai sè tü nhi¶n m v  n sao cho m > n  1. Bi¸t r¬ng hai chú sè t¦n còng cõa
2014m b¬ng vîi hai chú sè tªn còng cõa 2014n theo còng thù tü. T¼m c¡c sè m v  n
sao cho têng m+ n câ gi¡ trà nhä nh§t.
· thi ch½nh thùc Olympic 30-4 to¡n 11 l¦n thù XX n«m 2014, c¥u 5
B i 25. Cho a gi¡c ·u 9 ¿nh A1A2:::A9. Méi ¿nh cõa a gi¡c ho°c câ m u ä ho°c câ m u
xanh. Chùng minh r¬ng tçn t¤i hai tam gi¡c ph¥n bi¸t b¬ng nhau câ t§t c£ c¡c ¿nh
l  ¿nh cõa a gi¡c còng m u.
¸n mët lóc n o â, b¤n l m to¡n v¼ b¤n th½ch chù khæng ph£i º chùng tä mët c¡i g¼ núa.
Gi¡o s÷ Ngæ B£o Ch¥u
L÷u Giang Nam 7 c
Di¹n  n To¡n håc
· thi ch½nh thùc Olympic 30-4 to¡n 11 l¦n thù XX n«m 2014, c¥u 6
B i 26. Cho hai sè nguy¶n d÷ìng l´ m;n thäa m¢n

n j m2 + 2
m j n2 + 2
1) T¼m mët c°p gçm hai sè nguy¶n d÷ìng (m;n) thäa m¢n i·u ki»n tr¶n m 
m;n > 10 v  m;n ·u l´.
2) Chùng minh 4mn j m2 + n2 + 2.
· thi HSG to¡n 10 t¿nh çng Nai 2013-2014, c¥u 4
B i 27. Vîi måi sè nguy¶n d÷ìng n, h¢y x¡c ành theo n sè t§t c£ c¡c c°p thù tü hai sè
nguy¶n d÷ìng (x; y) sao cho
x2  y2 = 100:302n
. çng thíi chùng minh sè c°p n y khæng thº l  sè ch½nh ph÷ìng.
CT Olympic to¡n 10 THPT Chuy¶n L¶ Hçng Phong TpHCM 2014,l¦n 3, c¥u 2
B i 28. Cho tªp X gçm n ph¦n tû. Häi câ bao nhi¶u bë thù tü (A;B;C) vîi A;B;C l  c¡c
tªp con cõa X sao cho X = A [B [ C.
CT Olympic to¡n 10 THPT Chuy¶n L¶ Hçng Phong TpHCM 2014,l¦n 3, c¥u 5
B i 29. Cho p l  mët sè nguy¶n tè, n l  sè nguy¶n d÷ìng v  a; b; c l  c¡c sè nguy¶n thäa m¢n
:
an + pb = bn + pc = cn + pa
. Chùng minh r¬ng a = b = c.
· thi · nghà chån HSG to¡n 10 THPT Chuy¶n L¶ Hçng Phong TPHCM
2013-2014, c¥u 4
B i 30. Gi£ sû S l  tªp hñp câ 2011 iºm tr¶n m°t ph¯ng, hai iºm b§t k¼ cõa S c¡ch nhau
½t nh§t 1 ìn và ë d i. Chùng minh r¬ng S câ chùa tªp con T gçm 250 iºm m  hai
iºm b§t k¼ c¡ch nhau ½t nh§t mët o¤n b¬ng
p
3.
· thi · nghà chån HSG to¡n 10 THPT Chuy¶n L¶ Hçng Phong TPHCM
2013-2014, c¥u 5
B i 31. Tr¶n m°t ph¯ng cho 2014 iºm ph¥n bi»t thäa m¢n i·u ki»n : vîi 2 iºm b§t ký ta
luæn t¼m ÷ñc ½t nh§t 1 iºm thù 3 th¯ng h ng vîi 2 iºm â . chùng minh r¬ng 2014
iºm ¢ cho l  th¯ng h ng.
Chån ëi dü tuyºn THPT Chuy¶n Quèc Håc ng y 2 ,n«m 2013-2014, c¥u 2
¸n mët lóc n o â, b¤n l m to¡n v¼ b¤n th½ch chù khæng ph£i º chùng tä mët c¡i g¼ núa.
Gi¡o s÷ Ngæ B£o Ch¥u
L÷u Giang Nam 8 c
Di¹n  n To¡n håc
B i 32. Cì sð dú li»u t¤p ch½ cõa th÷ vi»n Quèc Gia câ óng 2016 lo¤i kh¡c nhau . Th÷ vi»n
n y cho ph²p 2013 th÷ vi»n àa ph÷ìng k¸t nèi º câ thº khai th¡c cì sð dú li»u t¤p
ch½ cõa nâ. Bi¸t méi th÷ vi»n àa ph÷ìng ÷ñc ph²p khai th¡c ½t nh§t 1008 lo¤i t¤p
ch½ kh¡c nhau v  2 th÷ vi»n àa ph÷ìng b§t k¼ câ tèi a 504 lo¤i t¤p ch½ m  c£ 2 th÷
vi»n àa ph÷ìng â còng c ph²p khai th¡c. Chùng minh r¬ng khæng câ qu¡ 1 lo¤i
t¤p ch½ trong cì sð dú li»u cõa th÷ vi»n Quèc Gia m  c£ 2013 th÷ vi»n àa ph÷ìng
·u khæng thº khai th¡c ÷ñc.
· chån ëi tuyºn thi Quèc Gia Khèi chuy¶n HSP 2013-2014, c¥u 4 váng 1
B i 33. Vîi méi sè nguy¶n d÷ìng k ta °t f(k) = 6k + 9k + 10k + 15k. Mët c°p 2 sè nguy¶n
d÷ìng (m;n) ÷ñc gåi l  c°p æi h¤nh phóc n¸u f(m) v  f(n) còng chia h¸t cho mn.
1) Cho 2 sè nguy¶n l´ m;n > 1 v  (m;n) l  1 c°p æi h¤nh phóc. Chùng minh r¬ng
25jmn nh÷ng 125 6 jmn.
2) Chùng minh r¬ng tçn t¤i sè nguy¶n d÷ìng k º (k; k) l  c°p æi h¤nh phóc v 
n¸u ph¥n t½ch k = p11 ::::p
r
r th¼ 1 + ::: + n = 1911
103. Ð ¥y p1; p2; :::; pr l  c¡c sè
nguy¶n tè æi 1 ph¥n bi»t v  1; :::r l  c¡c sè nguy¶n khæng ¥m.
· chån ëi tuyºn thi Quèc Gia Khèi chuy¶n HSP 2013-2014, c¥u 2 váng 2
B i 34. Cho 2 ÷íng g§p khóc kh²p k½n khæng tü c­t, méi ÷íng câ 2013 c¤nh. Bi¸t r¬ng
÷íng th¯ng chùa c¡c c¤nh cõa 2 ÷íng g§p khóc nâi tr¶n khæng câ 3 ÷íng n o
çng quy. Chùng minh r¬ng ta câ thº chån ra tø méi ÷íng g§p khóc 1 c¤nh sao cho
c¡c ¦u mót cõa chóng l  4 ¿nh tù gi¡c lçi.
· chån ëi tuyºn thi Quèc Gia Khèi chuy¶n HSP 2013-2014, c¥u 4 váng 2
B i 35. Vîi x v  a l  hai sè thüc, ta nâi sè y l  sè t÷ìng ùng vîi x º ÷ñc a n¸u: y + x = a.
Cho tªp hñp X = fx 2 Z;10  x  5g. G¿a sû x1; x2; x3 l  ba sè thuëc tªp X lªp
th nh mët c§p sè cëng vîi cæng sai d = 2 v  °t S = x1+x2+x3. Kþ hi»u yi l¦n l÷ñt
l  sè t÷ìng ùng vîi xi º ÷ñc 9S, vîi i = 1; 2; 3:. Kþ hi»u zi l¦n l÷ñt l  sè t÷ìng ùng
vîi yi º ÷ñc
1
9
S3, vîi i = 1; 2; 3:. Kþ hi»u F = z1+z2+z3, t¼m gi¡ trà lîn nh§t cõa F .
Kœ THI CHÅN ÊI TUYšN QUÈC GIA TŸNH C€ MAU N‹M 2013 - 2014, c¥u 3
B i 36. Cho d¢y c¡c sè tü nhi»n 1; 2; 3; :::; 2013() câ 2013 sè v  B1; B2; :::; Bn l  c¡c b£ng
h¼nh vuæng k´ æ, trong â b£ng Bk câ k dáng k cët (k = 1; 2; :::; n). Vi¸t c¡c sè tü
nhi¶n trong d¢y (*) v o c¡c æ cõa c¡c b£ng nâi tr¶n thäa m¢n hai i·u ki»n sau:
1) Méi sè cõa d¢y (*) ch¿ vi¸t trong mët æ duy nh§t;
2) Vi¸t sè 1 v o æ cõa B1, vi¸t c¡c sè 2; 3; 4; 5 v o c¡c æ cõa B2. Sau khi vi¸t ¦y c¡c
æ cõa b£ng Bk th¼ vi¸t c¡c sè ti¸p theo cõa d¢y v o (*) v o c¡c æ cõa b£ng Bk+1 vîi
k = 1; 2; :::; n 1 v  b£ng Bn døng l¤i ngay sau æ ÷ñc vi¸t sè 2013.
T¼m n v  têng t§t c£ c¡c sè vi¸t trong b£ng Bn.
¸n mët lóc n o â, b¤n l m to¡n v¼ b¤n th½ch chù khæng ph£i º chùng tä mët c¡i g¼ núa.
Gi¡o s÷ Ngæ B£o Ch¥u
L÷u Giang Nam 9 c
Di¹n  n To¡n håc
Kœ THI CHÅN ÊI TUYšN QUÈC GIA TŸNH C€ MAU N‹M 2013 - 2014, c¥u 5
B i 37. Cho c¡c sè nguy¶n d÷ìng n; k; p vîi k  2 v  k (p+ 1)  n. Cho n iºm ph¥n bi»t
còng n¬m tr¶n 1 ÷íng th¯ng. Tæ n iºm â b¬ng 2 m u xanh, ä (méi iºm ch¿ tæ
óng 1 m u). T¼m sè c¡ch tæ m u kh¡c nhau, sao cho c¡c k çng thíi x£y ra:
1) Câ óng k iºm ÷ñc tæ bði m u xanh.
2) Giúa hai iºm m u xanh li¶n ti¸p (t½nh tø tr¡i qua ph£i) câ ½t nh§t p iºm ÷ñc
tæ m u ä.
3) Ð b¶n ph£i iºm tæ m u xanh cuèi còng câ ½t nh§t p iºm ÷ñc tæ m u ä.
(Hai c¡ch tæ m u ÷ñc gåi l  kh¡c nhau n¸u câ ½t nh§t mët iºm ÷ñc tæ m u kh¡c
nhau trong hai c¡ch â).
· chån ëi tuyºn Qu£ng B¼nh 2013-2014, c¥u 9
B i 38. Sè nguy¶n d÷ìng x ÷ñc gåi l  sè thó và n¸u hai chú sè tªn còng cõa x v  x2 gièng
nhau. V½ dö c¡c sè 1; 25; 100 l  c¡c sè thó và. Häi câ bao nhi¶u sè thó và trong tªp
hñp t§t c£ c¡c sè nguy¶n d÷ìng khæng lîn hìn 2013?
· thi chån ëi tuyºn HSG QG t¿nh çng Th¡p n«m håc 2013-2014, c¥u 4 ng y 1
B i 39. CLB du kh£o câ n th nh vi¶n. N«m ngo¡i CLB ¢ tê chùc ÷ñc 6 chuy¸n du kh£o,
méi chuy¸n câ 5 th nh vi¶n tham dü. Mët th nh vi¶n CLB nhªn x²t r¬ng hai chuy¸n
du kh£o b§t ký câ khæng qu¡ hai th nh vi¶n chung. Häi CLB â câ ½t nh§t bao nhi¶u
th nh vi¶n?
· thi chån ëi tuyºn HSG QG t¿nh çng Th¡p n«m håc 2013-2014, c¥u 2 ng y 1
B i 40. Câ bao nhi¶u ho¡n và cõa d¢y (2; 4; 1; 0; 2; 0; 1; 3) thäa m¢n c¡c chú sè gièng nhau
khæng ùng k· nhau.
· thi chån ëi tuyºn HSG QG t¿nh Qu£ng Ninh n«m håc 2013-2014, c¥u 4
B i 41. Trong mët hëi nghà khoa håc câ 5000 ¤i biºu tham dü, méi mët ¤i biºu bi¸t ½t nh§t
mët thù ti¸ng. Mët u ban gçm mët sè ¤i biºu ÷ñc gåi l  u ban l m vi»c n¸u
t§t c£ th nh vi¶n trong u ban ·u bi¸t chung mët thù ti¸ng v  ÷ñc gåi l  u ban
th¡ch thùc n¸u khæng câ hai th nh vi¶n n o cõa u ban bi¸t chung mët thù ti¸ng
(u ban câ thº gçm 1 th nh vi¶n; u ban n y gåi l  l m vi»c công ÷ñc, th¡ch thùc
công ÷ñc). Chùng minh r¬ng câ thº chia c¡c ¤i biºu th nh óng 100 u ban ríi
nhau (méi ¤i biºu thuëc óng mët u ban) sao cho c¡c u ban n y ho°c l  u ban
l m vi»c ho°c l  u ban th¡ch thùc.
· thi chån ëi tuyºn to¡n tr÷íng PTNK n«m 2013-2014, ng y 1 , c¥u 3
¸n mët lóc n o â, b¤n l m to¡n v¼ b¤n th½ch chù khæng ph£i º chùng tä mët c¡i g¼ núa.
Gi¡o s÷ Ngæ B£o Ch¥u
L÷u Giang Nam 10 c
Di¹n  n To¡n håc
B i 42. Cho n l  sè nguy¶n d÷ìng v  A l  tªp con kh¡c réng cõa X = f1; 2; :::; ng. T½nh gi¡
trà cõa têng S(A) =
P
EX
(1)jE[Aj, trong â E l§y tr¶n t§t c£ c¡c tªp con cõa X (kº
c£ tªp réng). Cho m 2 N, x²t m tªp con kh¡c réng cõa X l  A1; A2; :::; Am v  m sè
nguy¶n kh¡c 0 l  a1; a2; :::; am sao cho a1 + a2 + 
 
 
+ am < 0. Chùng minh r¬ng tçn
t¤i tªp con E cõa X sao cho
P
EX
(1)jE[Ajai > 0. (Kþ hi»u jAj ch¿ sè ph¦n tû cõa
tªp hñp A, sè ph¦n tû cõa tªp réng l  0).
· thi chån ëi tuyºn to¡n tr÷íng PTNK n«m 2013-2014, ng y 2 , c¥u 3
B i 43. Cho 10 sè nguy¶n d÷ìng a1; a2; :::; a10. Chùng minh r¬ng tçn t¤i c¡c sè xi 2 f1; 0; 1g
khæng çng thíi b¬ng 0 vîi i = 1; 2; :::; 10 sao cho sè
P10
i=1 xiai chia h¸t cho 1023.
Y¶n B¡i TST, b i 5 ng y 1
B i 44. a) Cho d¢y sè: 1; 101; 10101; 1010101; :::. T¼m c¡c sè h¤ng trong d¢y l  sè nguy¶n tè.
b) Ho ng tû muèn cùu cæng chóa khäi mët con rçng câ 100 c¡i ¦u. Ho ng tû câ 2
thanh ki¸m. N¸u dòng thanh ki¸m thù nh§t th¼ méi l¦n ch°t ÷ñc óng v  ch¿ óng
21 c¡i ¦u. N¸u dòng thanh ki¸m thù hai th¼ méi l¦n ch°t ÷ñc óng v  ch¿ óng 5
c¡i ¦u nh÷ng con rçng l¤i måc l¶n 2014 c¡i ¦u kh¡c. Ho ng tû s³ cùu ÷ñc cæng
chóa n¸u to n bë sè ¦u rçng bà ch°t h¸t. Häi ch¿ vîi hai thanh ki¸m tr¶n ho ng tû
câ thº cùu ÷ñc cæng chóa hay khæng? V¼ sao?
Y¶n B¡i TST, b i 4 ng y 2
B i 45. T¼m t§t c£ sè nguy¶n d÷ìng n câ óng 12 ÷îc nguy¶n d÷ìng d1; d2; :::; d12 tho£ m¢n
c¡c i·u ki»n sau:
i)1 = d1 < d2 < ::: < d11 < d12 = n;
ii)dd41 = d8(d1 + d2 + d4).
B i 46. Ng÷íi ta x¸p 2014 bâng ±n ang bªt s¡ng th nh mët h ng d i, tø tr¡i sang ph£i.
Hai ng÷íi còng thüc hi»n mët trá chìi nh÷ sau: L¦n l÷ñt tøng ng÷íi chån tuý þ 5
bâng ±n li¶n ti¸p, trong â bâng ±n ¦u ti¶n b¶n tr¡i trong 5 bâng ±n ÷ñc chån
ph£i ang s¡ng v  thay êi tr¤ng th¡i cõa 5 bâng ±n â (tø s¡ng th nh t­t v  tø
t­t th nh s¡ng). Ai khæng thº thüc hi»n ÷ñc núa th¼ thua cuëc. Chùng minh r¬ng
¸n mët lóc n o â trá chìi ph£i k¸t thóc v  dò cho câ chìi nh÷ th¸ n o th¼ ng÷íi
¦u ti¶n luæn thua cuëc.
· thi chån ëi tuyºn to¡n t¿nh B  Ràa Vông T u 2013-2014, c¥u 5
B i 47. T¼m sè thüc p; q sao cho ph÷ìng tr¼nh x2 + px+ 1 = 0 v  x2 + qx+ 2 = 0 câ nghi»m
chunng v  A = 2jpj+ 3jqj nhä nh§t.
¸n mët lóc n o â, b¤n l m to¡n v¼ b¤n th½ch chù khæng ph£i º chùng tä mët c¡i g¼ núa.
Gi¡o s÷ Ngæ B£o Ch¥u
L÷u Giang Nam 11 c
Di¹n  n To¡n håc
— THI CHÅN ËI TUYšN HSG QG TP.HÇ CH MINH N‹M HÅC 2013-2014,
c¥u 3 ng y 1
B i 48. Câ tçn t¤i hay khæng mët tªp con A gçm 2014 ph¦n tû cõa tªp S = f1; 2; :::; 3020g
thäa 2x =2 A 8x 2 A?
— THI CHÅN ËI TUYšN HSG QG TP.HÇ CH MINH N‹M HÅC 2013-2014,
c¥u 5 ng y 2
B i 49. T¼m sè nguy¶n d÷ìng n nhä nh§t sao cho 3n  1 chia h¸t cho 22013.
· thi chån ëi tuyºn HSG QG t¿nh B­c Ninh n«m håc 2013-2014, c¥u 4
B i