Tóm tắt một số dạng toán cơ bản chương I – Giải tích 12

Tĩm tắt một số dạng tốn cơ bản chương I – Giải tích 12 hoctoancapba.com 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
1 
MỘT SỐ DẠNG TỐN CƠ BẢN LIÊN 
QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ 
Dạng 1: Tìm m để hàm số tăng (giảm) 
1.Hàm số bậc 3 ( hàm số hữu tỷ ) 
  Tập xác định 
  Đạo hàm y/ 
  Hàm số tăng trên R ( trong từng khoảng 
xác định): y
/
  0 x  R 





0
0a
 Giải tìm m 
  Chú ý:Nếu hệ số a của y/ có chứa tham số thì 
phải xét khi a = 0 
 Tương tự cho hàm số giảm: 
y
/
  0 x R 






0
0a
2.Hàm số nhất biến : 
dcx
bax
y


 
  Tập xác định 
  Đạo hàm y/ 
  Hàm số tăng (giảm) trong từng khoảng xác 
định : y
/
 > 0 ( y
/
 < 0 ) . Giải tìm m 
  Chú ý : Nếu hệ số c có chứa tham số ta xét 
thêm c = 0 
Dạng 2: Dùng dấu hiệu 2 tìm cực trị 
 Tập xác định 
 Đạo hàm y/ 
 Giải phương trình y/ = 0 tìm nghiệm x0 
 Đạo hàm y//.Tính y//(x0) 
 * Nếu y
//
(x0) > 0 : hàm số đạt cực tiểu tại x0 
 * Nếu y
//
(x0) < 0 : hàm số đạt cực đại tại x0 
 Dạng 3: Tìm m để hàm số bậc 3 có cực đại , 
cực tiểu 
 Tập xác định R 
 Đạo hàm y/ 
 Hàm số có cực đại,cực tiểu khi y/ = 0 có hai 
nghiệm phân biệt 





0
0a
  Giải tìm m 
Dạng 4: Tìm m để hàm số bậc 4 có cực đại , 
cực tiểu (cĩ 3 cực trị) 
 4 2y ax bx c   
 Tập xác định R 
 Đạo hàm 34 2y ax bx   
 y/ = 0 3
2
0
4 2 0 (1)
4 2 0(2)
x
ax bx
ax b

    
 
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y/ = 0 có ba nghiệm 
phân biệt  pt(2) cĩ 2 nghiệm phân biệt khác 0 
 Giải tìm m 
Dạng 5 Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x0 
  Tập xác định 
  Đạo hàm y/ 
  Hàm số đạt cực trị tại x0 : 
 y/(x0) = 0 giải ra tìm m 
 Thử lại 
Chú ý: 
Đạo hàm y
//
.Tính y
//
(x0) 
 * Nếu y
//
(x0) > 0 : hàm số đạt cực tiểu tại x0 
 * Nếu y
//
(x0) < 0 : hàm số đạt cực đại tại x0 
 Dạng 6: Hàm số đạt cực trị bằng y0 tại x0 
  Tập xác định 
  Đạo hàm y/ = f/ (x) 
  Hàm số đạt cực trị bằng y0 tại x0 khi 








0)(
)(
0)(
0
//
00
0
/
xf
yxf
xf
 Dạng 7 Tìm GTLN,GTNN trên đoạn [a,b] 
 Tìm xi [a,b]: f/(xi) = 0 hoặc f/(xi) không xác định 
 Tính f(a), f(xi) , f(b) 
 Kết luận  max max ( ); ( ); ( )i
D
y f a f x f b 
  min min ( ); ( ); ( )i
D
y f a f x f b 
Tĩm tắt một số dạng tốn cơ bản chương I – Giải tích 12 hoctoancapba.com 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
2 
 Dạng 8: Tiếp tuyến của đường cong ( C) 
1.Tiếp tuyến tại M(x0,y0): y = f
/
 (x0).(x – x0 ) + y0 
2.Tiếp tuyến đi qua A(xA ,yA): 
  (d): y = k.(x – xA) + yA = g(x) 
  Điều kiện tiếp xúc: 





)()(
)()(
// xgxf
xgxf
3.Tiếp tuyến sg sg (d) y ax b  thì  0f x a  
4.Ttuyến vuông góc (d): y ax b  thì  0
1
f x
a
   
Dạng 9; Dùng đồ thị (C) biện luận số 
 nghiệm phương trình f (x) – g(m) = 0 
 Đưa phương trình về dạng : f(x) = g(m) (*) 
 Ptrình (*) là ptrình hoành độ giao điểm của 
 (C) :y = f(x) và (d): y = g(m) ( (d) // Ox ) 
 Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương 
trình. (2 đồ thị cắt nhau tại bao nhiêu điểm thì 
phương trình cĩ bấy nhiêu nhiệm) 
Dạng 10; Biện luận số giao điểm của ( C) 
và d 
  (d): y = k(x – xA) + yA = g(x) 
  Ptrình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*) 
  Nếu (*) là phương trình bậc 2: 
 1) Xét a= 0:kết luận số giao điểm của (C) và(d) 
 2) Xét a  0 : + Lập  = b2 – 4ac 
 + Xét dấu  và kết luận 
(Chú ý: (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt 






0
0a
  Nếu (*) là phương trình bậc 3: 
 1) Đưa về dạng (x – x0)(Ax2 + Bx + C) = 0 
 




(2) )(02
0
xgCBxAx
xx
 2) Xét trường hợp (2) có nghiệm x = x0 
 3) Tính  của (2), xét dấu  và kết luận 
(Chú ý: (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt khi 
phương trình (2) có 2 no pb x1 , x2 khác x0) 









0)(
0
0
0
)2(
xg
A
 ĐẠO HÀM 
 
 
 
2
//
2
///
//
///
///
.
.5
)0(
..
.4
...3
....2
.1
v
vC
v
C
v
v
uvvu
v
u
vCvC
vuvuvu
vuvu


















 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
x
x
x
xx
xx
x
x
ax
x
ee
aaa
x
x
xx
xx
x
C
a
xx
xx
2
/
2
/
/
/
/
/
/
/
/
2
/
1/
/
/
sin
1
cot.18
cos
1
tan.17
sincos.16
cossin.15
1
ln.14
ln.
1
log.13
.12
ln..11
.2
1
.10
11
.9
...8
1.7
0.6




















 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
sin
cot
cos
tan
sin.cos
cos.sin
ln
ln.
log
.
.ln.
.2
1
...
2
/
/
2
/
/
//
//
/
/
/
/
//
//
/
/
2
//
/1/
u
u
u
u
u
u
uuu
uuu
u
u
u
au
u
u
uee
uaaa
u
u
u
v
v
v
uxu
a
uu
uu

















  
dcx
bax
y


.19 ta có 
2
/
)( dcx
bcad
y


 
22
2
2
11
2
1.20
cxbxa
cxbxa
y


 ta có 
Tĩm tắt một số dạng tốn cơ bản chương I – Giải tích 12 hoctoancapba.com 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
3 
 22222
22
11
22
112
22
11
/
2
cxbxa
cb
cb
x
ca
ca
x
ba
ba
y


 
Tĩm tắt một số dạng tốn cơ bản chương I – Giải tích 12 hoctoancapba.com 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
4 
LŨY THỪA 
aaaa n ....  
 ( n thừa số) 
n
m
nm
nmnm
n
n
a
a
a
aaa
a
a
a







. 
1
1 0
nn
n mn
m
nmmnnm
n
nn
nnn
aa
aa
aaa
b
a
baba











1
.
)()( 
b
a
.).( 
 PHƯƠNG TRÌNH MŨ 












)()(
)()(
1
)()(
10
xgxf
xgxf
DD
a
xgxf
a
aa 
 





0)()().1(
0
)()(
xgxfa
a
aa xgxf 
)()( thì1a0 
)()( ì th1a 
)()(
)()(
xgxfaa
xgxfaa
xgxf
xgxf


 LOGARIT 
) 1 a , 0 N a, ( 
log a

 NaMN M
NaNa  log 
01log  a 
1log  aa 
N
N  aloga 
NkNN
k
N
a
N
NNa
a
N
N
NN
N
N
NNNN
a
k
aa
N
a
ba
b
b
a
aa
aa
log.log log
1
log 
log
1
log 
loglog.log 
log
log
log 
logloglog 
loglog.log 
ka
b
21
2
1
a
2121a





)()(0)(log)(log thì1a0 
0)()()(log)(log thì1a 
a
a
xgxfxgxf
xgxfxgxf
a
a











g(x)f(x)
) 0g(x) ( 0)(
10
)(log)(log xf
a
xgxf aa 











0g(x)]-1)[f(x)-(a
 0g(x) 
 0)(
10
)(log)(log
xf
a
xgxf aa 
SỐ PHỨC 
* 1
2 i 
* 
2
1
z
z
z
 
*
22. baibaz  
* ibazibaz ..  
* 22 bazz  






db
ca
idciba .. 
*
).)(.(
).)(.(
.
.
ibaiba
ibaidc
iba
idc





*
2121 zzzz  
*
2121 zzzz  
*
2
1
2
1
2121 ;..
z
z
z
z
zzzz 





 
1. iba . .Gọi  là căn bậc 2 của  , ta cĩ: 
 b ≥ 0 : 







 



2
.
2
2222 baa
i
baa
 
b < 0 : 







 



2
.
2
2222 baa
i
baa
 
2. 












r
b
r
a
bar
irz


sin
cos)sin.(cos
22
3. )]sin(.)[cos(. 21212121   irrzz 
4. )]sin(.)[cos( 2121
2
1
2
1   i
r
r
z
z
5. )]sin(.)[cos(
11
  i
rz
6.   )sin.(cos)sin.(cos  ninrir nn  
   )sin.(cos)sin.(cos  nini n  
TÍCH PHÂN 
Tĩm tắt một số dạng tốn cơ bản chương I – Giải tích 12 hoctoancapba.com 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 




































)cot(
1
)(sin
cot
sin
)10
)tan(
1
)(cos
tan
cos
)9
)sin(
1
)cos(sincos)8
)cos(
1
)sin(cossin)7
ln
1
ln
)6
1
)5
)(
11
)(
11
)4
ln
1
ln
1
)3
1
)(1
)(
1
)2
)1
22
22
)(
)(
)()(
22
11
bax
abax
dx
x
x
dx
bax
abax
dx
x
x
dx
bax
a
dxbaxxxdx
bax
a
dxbaxxxdx
C
a
a
c
dxaC
a
a
dxa
Ce
a
dxeCedxe
C
baxabax
dx
C
x
dx
x
Cbax
abax
dx
Cxdx
x
C
bax
a
dxbaxC
x
dxx
CkxkdxCxdx
dcx
dcx
x
x
baxbaxxx





TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ 
1.  )().(
/)( dxxuef xu Đặt )(xut  
2.  
1
).(ln dx
x
xf Đặt )ln(xt  
3.   ).( dxbaxf
n Đặt n baxt  
4.  dxxxf )cos,(sin 
 • Nếu f là hàm lẻ đối với cosx : đặt t = sinx 
 • Nếu f là hàm lẻ đối với sinx : đặt t = cosx 
 • Nếu f là hàm chẵn đối với sinx, cosx dùng cơng 
thức hạ bậc: 
2
2cos1
sin,
2
2cos1
cos 22
x
x
x
x



 
 • Nếu f chỉ chứa sinx hoặc cosx đặt 
2
tan
x
t  
5.   ).(
22 dxxaf Đặt tax sin 
6.   ).(
22 dxxaf Đặt tax tan 
7.   ).(
22 dxaxf Đặt 
t
a
x
cos
 
8. 

 ).
1
(
22
dx
ax
f Đặt 22 axxt  
TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 
 
b
a
b
a
vdxu
a
b
vudxvu // .. 
dxexP bax
).( . 
 Đặt 
baxbax e
a
vev
xPxPu
 

1
chon 
)(u cĩ ta)(
/
//
dxbaxxP  )cos().( . 
 Đặt: 
)sin(
1
chon )cos(
)(u cĩ ta)(
/
//
bax
a
vbaxv
xPxPu


dxbaxxP  )sin().( . 
 Đặt: 
)cos(
1
chon )sin(
)(u cĩ ta)(
/
//
bax
a
vbaxv
xPxPu




dxxuxP )(ln).( . 
 Đặt: 


dxxPvxPv
x
xu
)(chon )(
1
u cĩ taln
/
/
Chú ý : Đặt u là hàm mà đạo hàm của nĩ đơn giản 
hơn cịn v/ là phần cịn lại của biểu thức dưới dấu tích 
phân mà nguyên hàm của phần này đã biết 
 DIỆN TÍCH , THỂ TÍCH 
dxyyV
dxy
bxax
CC
H
b
a
CCOx
C








2
2
2
1
b
a
2C1
21
yS
b)(a ,
)( và)(
)(

dyxxV
dyx
ddycy
CC
H
d
c
CCOy
C








2
2
2
1
d
c
2C1
21
xS
)(c ,
)( và)(
)(
