Toán tiểu học - Dãy số (quy luật)

7.DÃY SỐ (quy luật)
Bài 1:
        Cho dãy số 2; 16; 42; 80; ; 560; 682; 
1. Hãy viết tiếp ba số hạng liền sau số 80.
2. Tìm số hạng thứ 20 của dãy số.
           Giải
Cách 1:  Quy luật 1
1,Ta thấy quy luật là
Số thứ nhất  1*1+1=2    số thứ tự x1+số thứ tự
Số thứ hai     2*7+2=16   số thứ tự *số lớn hơn 6 đơn vị (1+6)+số thứ tự
Số thứ ba      3*13+3=42   số thứ tự * số lớn hơn 6 đv(7+6)* số thứ  tự
Số thứ tư       4*19+4=80      tương tự như trên
Vậy 3 số tiếp theo là 5*25+5=130
                                     6*31+6=192
                                     7*37+7= 266
2, từ số thứ nhất đến số thứ 20 có hai mươi số suy ra có 19 khoảng cách mà mỗi khoảng cách là 6 đơn vị vậy số thứ 20 là:
                  20*(19*6+1)+20=2320
Cách 2:   Quy luật 2 
số hạng thứ nhất : 2 = 2x1 + 10x0 
             thứ hai :   16 = 2x(1+2) + 10x1
             thứ ba :  42 =  2x(1+2+3) + 10x(1+2)
             thứ tư : 80 = 2x(1+2+3+4) +10x(1+2+3)
Nếu gọi n là số hạng thứ n của dảy số ta có công thức tổng quát của số hạng thứ n :
số Thứ n  = 2xnx(n+1)/2 + 10xnx(n-1) = 6xnxn - 4xn = 2xn(3xn - 2)
Vậy 3 số hạng liền sau số 80 là:
THứ 5: = 2x5x(3x5 - 2) = 10x13 = 130
THứ 6: = 2x6x(3x6 - 2) = 12x16 = 192
Thứ 7: = 2x7x(3x7 - 2) = 14x19 = 266
=> số hạng thứ 20: = 2x20x(3x20 - 2) = 40x 58 = 2320
Bài 2:
        Cho dãy số 2, 17, 47, 92, 152,  Tìm số hạng thứ 120 của dãy.
Dãy số trên có quy luật kể từ số hạng thứ 2 như sau:
Số hạng thứ 2 là 17 = 2 + 15 x (1)
Số hạng thứ 3 là 47 = 2 + 15 x (1+2)
Số hạng thứ 2 là 92 = 2 + 15 x (1+2+3)
Số hạng thứ 2 là 152 = 2 + 15 x (1+2+3+4)
.
Số hạng thứ 120 là :
2 + 15 x (1+2+3+4+.+117+118+119) =
2 + 15 x [(1+119) x 119] : 2 =
2 + 15 x 7140 =  107102
Đáp số:  107102
Bài 3:
        Cho một số tự nhiên có 2014 chữ số. Biết rằng với hai chữ số liên tiếp theo thứ tự đã viết thì tạo thành số có hai chữ số chia hết cho 17 hoặc chia hết cho 23. Nếu chữ số cuối cùng của số đó là chữ số 1 thì chữ số đầu tiên là chữ số nào?
Ta suy luận dần thế này:
Chữ số cuối cùng là 1 thì chữ số liền trước phải là 5 để 51 chia hết cho 17 (51:17=3)   51
Trước chữ số 5 phải là 8 để có 85:17=5   .851
Trước chữ số 8 phải là 6 để có 68:17=4   .6851
Trước chữ số 6 phải là 4 để có 46:23=2   .46851
Trước chữ số 4 phải là 3 để có 34:17=2   .346851
Trước chữ số 3 phải là 2 để có 23:23=1   .2346851
Trước chữ số 2 phải là 9 để có 92:23=4   .92346851
Trước chữ số 9 phải là 6 để có 69:23=3   .692346851
..
Tiếp tục:  .92346 92346 92346 851
Ta thấy quy luật được lập lại nhiều lần 5 chữ số: 9;2;3;4;6 cuối cùng là 851.
Bỏ 3 chữ số cuối cùng (851) thì còn lại: 2014-3=2011 (chữ số)
Chia nhóm 5 thì được:  2011 : 5 = 402 (nhóm 5) dư 1.
Chữ số cuối cùng trong nhóm 5 là chữ số 6.
Vậy chữ số đầu tiên trong dãy số trên là 6
(6 92346 92346 92346 . 92346 92346 851)
Bài 4
        Cho dãy số 4; 6; 9; 13; 18; .     Tìm số hạng thứ 2014 của dãy số trên.
Dãy số trên có quy luật từ số thứ hai về sau bằng số liền trước cộng thêm thứ tự của nó.
Số hạng thứ 2:             6 = 4+2
Số hạng thứ 3:             9 = 4+2+3
Số hạng thứ 4:             13 = 4+2+3+4
Số hạng thứ 2014:       ?  = 4+2+3+4+.+2014
Dãy số tự nhiên từ 2 đến 2014 có:   2014-2+1= 2013 (số hạng)
Số hạng thứ 2014 là:
4 + (2+2014) x 2013 : 2 = 2 029 108
Bài 5
    Số thứ 100 trong dãy sau là số nào?
        1/1 ; 2/1 ; 1/2 ; 3/1 ; 2/2 ; 1/3 ; 4/1 ; 3/2 ; 2/3 ; 1/4 ; 5/1 ; 4/2 ; 3/3 ; 2/4 ; 1/5 ;...
1/1 ; 2/1 ; 1/2 ; 3/1 ; 2/2 ; 1/3 ; 4/1 ; 3/2 ; 2/3 ; 1/4 ; 5/1 ; 4/2 ; 3/3 ; 2/4 ; 1/5;...
Ta có thể chia dãy số trên theo các nhóm có tổng của tử số và mẫu số bằng nhau như sau: 
(1/1) ; (2/1 ; 1/2) ; (3/1 ; 2/2 ; 1/3) ; (4/1 ; 3/2 ; 2/3 ; 1/4) ; (5/1 ; 4/2 ; 3/3 ; 2/4 ; 1/5) ; ...
Bằng 2:  có 1 ps.         1/1                 
Bằng 3:  có 2 ps.         2/1 ; 1/2
Bằng 4:  có 3 ps.         3/1 ; 2/2 ; 1/3
Bằng 5:  có 4 ps.         4/1 ; 3/2 ; 2/3 ; 4/1
Bằng 6:  có 5 ps.         5/1 ; 4/2 ; 3/3 ; 2/4 ; 1/5
.
Phân số đầu tiên trong nhóm có mẫu số bằng 1 rồi tăng dần đến phân số cuối cùng có tử số bằng 1.
Phân số thứ 100 thuộc nhóm số hạng cua dãy số:
1+2+3+4+5+ . có tổng là 100
Ta thấy: 1+2+3+4+.+13+14 = (14+1)x14:2 = 105
Như vậy phân số thứ 100 nằm trong nhóm có 14 phân số có tổng của tử số và mẫu số bằng 14+1=15 bắt đầu là:
14/1 ; 13/2 ; 12/3 ; 11/4 ; ..  ; 6/9 ; 5/10 ; 4/11 ; 3/12 ; 2/13 ; 1/14
Do dư 5 phân số nên ta bỏ đi 5 phân số ở cuối sẽ được phân số thứ 100.
Phân số thứ 100 là  6/9
BỔ SUNG
Bài 6:
Tìm số hạng thứ 99 của dãy số: 1;6;15;28;...;120;153.
Nhận xét:
Thứ 1: 	1 = 1
Thứ 2: 	6 = 1+5
Thứ 3: 	15 = 1+5+9
Thứ 4: 	28 = 1+5+9+13
Thứ 5: 	45 = 1+5+9+13+17
 	..
Thứ 99: 	.. = 1+5+9+13+.. 99 số hạng.
Ta thấy số mang thứ tự ở mỗi số hạng ứng với TỔNG của dãy số cách đều nhau 4 đơn vị được bắt đầu từ 1 có số số hạng bằng với số thứ tự của dãy số đó.
Số hạng thứ 99 của dãy số: 1;5;9;13;. là:
1 + (99 – 1) x 4 = 393
Số hạng thứ 99 của dãy số: 1;6;15;28;.. là: (tổng 99 số hạng của dãy số cách đều).
(1 + 393) x 99 : 2 = 19503